UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

MATEMÁTICA IPROF. ROSARIO CORTEZ

CENTENO

SEMANA 1SESIÓN 1

FUNCIÓNDEFINICIÓN.DOMINIO Y RANGOFUNCIÓN INYECTIVA

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Por ejemplo, si la regla que define a f es f(x)=x-1, tenemos

(Entrada)f(x)fx

(Salida)

IDEA INTUITIVA DE FUNCION

f(2)=1f1

Resulta útil concebir una función como una máquina de hacer cálculos. Si x esta en el dominio de la función f, entonces x entra a la maquina, se acepta como una entrada y la maquina produce una salida de acuerdo con la regla de la función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una regla que asigna a cada elemento de

un conjunto D, exactamente un elemento, llamado , de un conjunto E.

Gráficamente

El rango f es el subconjunto de E que consiste en todos los valores posibles de f(x). conforme x varíe en todo el dominio D

 El conjunto D se llama dominio de la función. El número f(x). es el valor de f en x , y se lee “efe de equis”.

De ahora en adelante, solo trabajaremos con funciones para las cuales los conjuntos son subconjuntos de R ; a estas funciones se les llamara funciones reales de variable real.

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Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente.

A ( r ) = r 2

Variableindependient

e

Variabledependient

e

Por ejemplo:

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN SE DESCRIBE UNA FUNCIÓN POR MEDIO DE UNA FÓRMULA QUE SE ESPECIFICA CÓMO SE CALCULA EL NÚMERO F(X) EN TÉRMINOS DE X.

 

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EJEMPLO 1

1. f(-1) , f(0) y f(t)2. f(a+b)3. El dominio de f4. Rango de f

Dada la función f definida por la regla Hallar.

2( )f x x

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GRAFICA DE UNA FUNCIÓNLa grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje x y el eje y respectivamente.

x

y

f (1)f (2)

f (x)

(x,f (x))

1 2 x0 x

y

y = f (x)

rango

0dominio

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En la figura se muestra la grafica de una función f.

x

y1. Encuentre los valores de f(1)

y f(0)2. Hallar los valores de x para

los que f(x)=03. Hallar los valores de x para

los que f(x)<04. ¿Cuál es el dominio y rango

de f?

EJEMPLO 2.

x0

PRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

y = x2

-1

1

3

5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Una curva en el plano xy es la grafica de una función en la variable x si ninguna recta vertical corta a la curva mas de una vez

x2 + y2 = 4

Es función No es función

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DOMINIO NO ESPECIFICADO

Si una función se define como en el ejemplo 1, y no se especifica el dominio , entonces se considera que el dom(f) es la totalidad de los números reales tales que f(x) es real, a veces se le llama dominio implícito de f.

EJEMPLO 3

2( ) ( ) 1b g x x

2

1( ) ( )

4c h x

x

1( ) ( )

5d F x

x

( ) ( ) 1a f x x

Determine el dominio de las siguientes funciones:

CALCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN  

Caso 1: Cuando el dominio esta implícito en la regla de correspondencia que define a la función. En este caso se despeja x en términos de y, luego se analiza para que valores de y, x es real.Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones:

( ) ( ) 1a f x x 2( ) ( ) 1b g x x

2

1( ) ( )

4c h x

x

Ax

Caso 2: Cuando el dominio esta escrito explícitamente junto con la formula que define a la función. Es decir, si

entonces Ran(f)=f(A) donde f(A) el conjunto de imágenes de x tal que Ejemplo : Sea la funcion

.

BAf :

6,2,24)(/, 2 xxxxfyxf

Hallar su rango.

Función inyectiva

Si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. Esto es:

Ejemplos: f(x) = x+5 es una función Inyectiva

ABCD

12345

fDombababfaf ,

Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.

Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.

AA BBff

Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4AA BBff

ff: : AA → → BB

ff(a(a11) ) ff(a(a22) entonces a) entonces a11 a a22

ff((AA) = ) = BB; luego; luego f f es biyectivaes biyectiva

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Sean f y g funciones. Entonces las funciones suma f+g, diferencia f-g, producto f.g y cociente f/g se definen por:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g=Df Dg

b. (f – g)(x) = f(x) – g(x); Df-g=Df Dg

c. (f · g)(x) = f(x) · g(x);Df.g=Df Dg

d. (f / g)(x) = f(x) / g(x); Df/g=Df Dgx/g(x)=0

Operaciones con Funciones

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Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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Ejemplo 3