Univerzitet u Istočnom SarajevuSaobraćajni fakulet Dodoj u Doboju

SEMINARSKI RAD IZ MATEMATSKE STATISTIKE

TEMA :

Vjerovatnoća: Osnovni pojmovi, definicije, osnovne operacije sa vjerovatnoćama

Predmetni nastvanik : Studenti: Edita Tenić 166/11Dr Stevan Stević Almir Kopić 165/11 Asmir Kopić 144/10

VJEROVATNOĆA

SADRŽAJ

Uvod

1. Osnovni pojmovi

2. Neke operacije sa slučajnim događajima

3. Različite definicije vjerovatnoće

4. Pravilo sabiranja vjerovatnoća (aditivno pravilo)

5. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja

6. Vjerovatnoća uzroka (Bayes-ova teorema)

Zaključak

Literatura

2

Uvod

Vjerovatnoća, kao izraz mjere očekivanja da se neki događaj desi, važno je uporište statističkog zaključivanja, koje se izvodi u uslovima manje ili veće neizvjesnosti.

Teorija vjerovatnoće potpomaže zaključivanje u uslovima imperfektne informacije i neizvjesnosti. To se posebno odnosi na formulisanje metoda za zaključivanje o vrijednostima parametara populacije na osnovu informacije iz uzorka.

Vjerovatnoća je jedna od nekoliko riječi koje označavaju nesigurne događaje, koja se u zavisnosti od konteksta može nazivati i izgledi, mogućnost, šansa, nesigurno, sumnjivo, itd.

Teorija vjerovatnoće pokušava da kvantifikuje vjerovatan događaj. 

Teorija vjerovatnoće se dosta koristi u oblastima, kao što su finansije, statistika, kockanje, matematika, nauka i filozofija kako bi se izveli zaključci o vjerovatnosti potencijalnih događaja.

Naučna studija o vjerovatnoći datira iz modernijeg doba. Kockanje pokazuje interesovanje za vjerovatnoću od davnina, ali sama matematička teorija počela je da vjerovatnoću definiše i opisuje mnogo kasnije.

Nauka o vjerovatnoći datira od prepiske Pierre de Fermata i Blaise Pascala (1654). Christiaan Huygens (1657) se prvi posvetio vjerovatnoći dajući svom istraživanju naučni karakter. Jakob Bernoullijevo djelo Ars Conjectandi (objavljena posthumno, 1713. godine) iAbraham de Moivre Doktrina slučajnosti (1718. godina) je tretirala vjerovatnoću kao granu matematike.

3

1.OSNOVNI POJMOVI

Osnovni pojmovi u teoriji vjerovatnoće su: eksperiment, ishod i prostor uzorka, odnosno elementarnih događaja.

Eksperi menti , su potpuno precizirane operacije posmatranja ili prikupljanja podataka, koje se u nepromijenjenim uslovima mogu ponavljati proizvoljno mnogo puta i čiji se ishod ne može sa sigurnošću predvidjeti.

Realizacije eksperimenata su ishodi (elementarni događaji) , kao skup unaprijed poznatih mogućnosti realizacije. U svakom pojedinom izvođenju eksperimenta realizuje se samo jedan ishod - elementarni događaj, što znači da su elementarni događaji međusobno isključivi.

Prostor uzorka (prostor elementarnih događaja) je skup svih elementarnih događaja, a može se označiti kao:

S = {e1, e2, ..., ei, ..., en}, ei S, 1 i n

Slučajni događaj predstavlja podskup skupa elementarnih događaja, koji imaju neku zajedničku osobinu.

Posmatrajmo bacanje kocke, čije su strane numerisane brojevima od 1 do 6. Elementarni događaji su brojevi od 1 do 6, koji čine prostor uzorka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Slučajni događaj čine jedan, dva ili više elementarnih događaja. Na primjer, slučajni događaj je A < dobijeni broj je neparan > , što se može zapisati kao A = {1, 3, 5}.

Siguran događaj ( S ) jednak je skupu elementarnih događaja i realizuje se svaki put kada se izvodi određeni eksperiment.

U ovom slučaju može se odrediti kao:

S < dobijeni broj je manji od 7>.

Nemoguć događaj ( N ) je onaj koji se ne može realizovati prilikom izvođenja nekog eksperimenta.

Za eksperiment bacanja kocke nemoguć događaj može se odrediti kao:

N < dobijeni broj veći je od 6 >.

4

2. NEKE OPERACIJE SA SLUČAJNIM DOGAĐAJIMA

Neka su dati događaji A i B.

Kažemo da A implicira B ako se svaki put kada se ostvari događaj A ostvari i događaj B, što se označava sa:

Događaji A i B su jednaki ako istovremeno A implicira B i B implicira A, što se označava sa:

Unija događaja A i B je događaj koji se ostvaruje onda i samo onda ako se ostvari bar jedan od događaja A i B. Označava se sa:

Presjek događaja A i B je događaj koji se ostvaruje istovremenim ostvarenjem i događaja A i događaja B.

Označava se sa:

Za dva događaja A i B kažemo da se međusobno isključuju (da su disju nktni ) ako je njihov presjek nemoguć događaj, odnosno prazan skup:

gdje je sa označen prazan skup, odnosno je oznaka da nema zajedničkih elemenata događaja A i B.

Unija dva događaja A i B, koji su međusobno isključivi (disjunktni), predstavlja zbir tih događaja:

U slučaju kada događaji A i B pokrivaju cjelokupan prostor elementarnih događaja S (A B =S), a međusobno su isključivi, tj. A B = , tada za ove događaje kažemo da su komplementarni.

5

3. RAZLIČITE DEFINICIJE VJEROVATNOĆA

1. Statistička definicija vjerovatnoće

Pretpostavimo da se statistički eksperiment izvodi proizvoljno mnogo puta i da se u svakom od tih izvođenja slučajan događaj A može realizovati ili ne. Ako n (A) označava broj realizacija događaja A u n ponovljenih eksperimenata, tada je

Količnik naziva se relativna učestalost ili frekvencija događaja

A u tih n izvođenja. Ako se izvede više ovakvih serija eksperimenata od po n nezavisnih ponavljanja, zapaža se da za dovoljno veliki broj n frekvencija događaja A za večinu ovih serija „oscilira“ oko neke konstante. Što je n veće, odstupanja frekvencije od te konstante su manja.

Ova stabilnost frekvencija omogućava da se uočena konstanta može uzeti za

vrijednost vjerovatnoće posmatranog događaja. Tako se frekvencija

događaja A grupiše oko broja P(A).

2. Geometrijska vjerovatnoća

Neka je skup S beskonačan. Pretpostavimo da je S mjerljiv podskup prostora (što znači da postoji mera koja je za n=1 dužina, za n=2 površina i za n=3 zapremina podskupa). Neka je A proizvoljan podskup od S čija je mjera m(A).

Ako se eksperiment sastoji u slučajnom biranju tačaka iz skupa , treba pronaći vjerovatnoću da slučajno izabrana tačka iz S padne u A. Ovdje „slučajan izbor“ znači da se može izabrati bilo koja tačka iz S i da je vjerovatnoća padanja tačke A proporcionalna mjeri oblasti A kojom se predstavlja (nezavisno od položaja i oblika podskupa A).

Tada je

Neka je, npr., interval sa realne prave R i neka je . Ako sa A označimo događaj koji se realizuje kad slučajno izabrana tačka sa intervala padne u interval , tada je

6

3. Aksiomatska definicija vjerovatnoće događaja

Aksiomatska teorija vjerovatnoće Kolmogorova zasniva se na pojmu - polja.

Neka je familija podskupova skupa S koja ima sljedeće osobine:

1. ,

2. ako , tada ,

3. ako , tada i .

Familija sa navedenim osobinama zove se - polje, ili -algebra događaja.

Ako je prostor elementarnih događaja S konačan, tada svako sigma polje ima konačno mnogo elemenata, pa se umjesto treće osobine koristi:

3*. Ako , tada je i .

U tom slučaju se umjesto naziva sigma polje koristi naziv polje događaja ili algebra događaja.

Svako sigma polje je polje.

Iz definicije sigma polja slijedi da ako se na događaje iz sigma polja prebrojivo mnogo puta primijene operacije uzimanja komplementa i unije, dobijaju se događaji iz , pa se kaže da je sigma polje zatvoreno u odnosu na prebrojivu primjenu operacije presjeka događaja.

Za razliku od sigma polja, polje događaja je zatvoreno u odnosu na konačnu primjenu operacije unije, presjeka i komplementa.

Uređen par zove se mjerljiv prostor. Kod aksiomatskog zasnivanja Teorije vjerovatnoća, vjerovatnoća događaja iz definiše se kao funkcija događaja sa određenim osobinama.

Vjerovatnoća je realna funkcija definisana na - polju događaja iz S koja ima sljedeće osobine:

1. za svako važi (nenegaivnost),

2. (normiranost),

3. ako su uzajamno disjunktni događaji, tada je ( -aditivnost).

U prethodnoj definiciji osobine 1,2 i 3 su aksiome Kolmogorova.

1. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula,

7

2. Vjerovatnoća je konačno aditivna funkcija: ako su

uzajamno disjunktni događaji, tada je

3. Vjerovatnoća suprotnog događaja:

4. Ako je , tada je

5. Za svako važi

6. Lema o pokrivanju ili Bulova nejednakost:

7. Za slučaj da je n=2, biće:

8. Neprekidnost vjerovatnoće: Ako je niz događaja monotono neopadajući, tj., onda je:

Uređena trojka naziva se prostor vjerovatnoća ili vjerovatnosni model posmatranog stohastičkog eksperimenta.

Ako je prostor ishoda nekog eksperimenta S diskretan (najviše prebrojiv), tj. , - polje je partitivni skup skupa S. Svakom elementarnom događaju možemo pridružiti vjerovatnoću tako da je:

, j =1,2,...

Vjerovatnoću proizvoljnog događaja definišemo kao zbir vjerovatnoća ishoda koji sačinjavaju događaj A:

Može se dokazati da je uređena trojka prostor vjerovatnoća. Još se naziva diskretan prostor vjerovatnoća ili prekidan prostor vjerovatnoća.

4. Klasična definicija vjerovatnoće

8

Kada je skup elementarnih događaja konačan i kad su svi ishodi jednako vjerovatni, tada se na jednostavan način može definisati vjerovatnoća slučajnog događaja.

Neka je prostor elementarnih događaja konačan, tj. , - polje je skup svih podskupova od S. Svakom elementarnom događaju pridružimo vjerovatnoću , j = 1,2,..., n, tako da je:

,

Vjerovatnoća proizvoljnog događaja A sastavljena je od k elementarnih događaja koji se može predstaviti u obliku: , jednaka je:

Ako svakom elementarnom događaju pridružimo istu vjerovatnoću

j = 1,2,..., n, dobijamo da je

Navedena definicija vjerovatnoće poznata je kao klasična ili Laplasova definicija vjerovatnoće.

4. PRAVILO SABIRANJA VJEROVATNOĆA (ADITIVNO PRAVILO)

U slučajevima kada se određuje vjerovatnoća da se desi događaj E1 ili

9

E2 ili događaj ... En, primjenjuje se pravilo sabiranja vjerovatnoća.

U čisto praktičnom smislu, ovakvu kombinaciju očekivanja realizacije događaja prepoznajemo po upravo ovakvoj formulaciji ... "ili" ... "ili".

Neka su događaji E1 i E2 slučajni događaji iz prostora elementarnih događaja S. Tada je vjerovatnoća njihove unije jednaka zbiru pojedinačnih vjerovatnoća tih događaja umanjenom za vjerovatnoću njihovog istovremenog ostvarenja:

što predstavlja vjerovatnoću da će se ostvariti ili događaj E1 ili događaj E2.

Ako su događaji E1 i E2 međusobno disjunktni (isključivi), tada je vjerovatnoća njihove unije jednaka zbiru njihovih pojedinačnih vjerovatnoća:

,

Za n događaja E1, E2, ... , En iz prostora elementarnih događaja S, vjerovatnoća njihove unije je:

PRIMJER

Posmatramo auto gume istog proizvođača. Većina guma je u skladu sa propisanim standardom u pogledu broja kilometara koje može da pređe. Neke gume su prešle manji ili veći broj kilometara.

Analizom broja pređenih kilometara za 200 slučajno izabranih auto guma ustanovljeno je sljedeće:

Broj pređenih kilometara

DogađajBroj auto

gumaVjerovatnoća pojavljivanja

Manja od E1 14 0,070

10

propisane

Propisana E2 178 0,890

Veća od propisane

E3 8 0,040

200 1,000

Pitanje koje se postavlja je: kolika je vjerovatnoća da će slučajno izabrana auto guma imati broj pređenih kilometara manji ili veći od propisanog?

Izbor auto gume sa brojem kilometara manjim od propisanog označimo kao događaj E1, a izbor gume sa brojem kilometara većim od propisane sa E3. Događaji su međusobno isključivi (disjunktni), jer neka auto guma ne može istovremeno da ima broj kilometara i manji i veći od propisane. Vjerovatnoća da izabrana guma ne bude sa propisanim brojem kilometara (da ima broj pređenih kilometara ili manji ili veći od propisanog), je:

.

PRIMJER

Iz špila karata slučajno se izvlači jedna karta. Kolika je vjerovatnoća da izvučena karta bude dama ili karta pik?

Označimo događaje i njihove odgovarajuće vjerovatnoće:

- E1 izvučena karta je dama P(E1) = 4/52 = 0,077,

- E2 izvučena karta je karta pik P(E2) = 13/52 = 0,250,

- izvučena karta je dama pik 1/52 = 0,019.

Prema ranije datom izrazu vjerovatnoća da izvučena karta bude dama ili karta pik iznosi:

.

5. USLOVNA VJEROVATNOĆA I NEZAVISNOST DOGAĐAJA

Za dva događaja E1 i E2 uslovna vjerovatnoća označava se sa P(E2/E1) i predstavlja vjerovatnoću ostvarenja događaja E2 pod uslovom

11

da se ostvario događaj E1. Ova vjerovatnoća određuje se pomoću izraza:

uz uslov da je P(E1) > 0.

Nezavisni događaji su oni kod kojih ostvarenje ili neostvarenje jednog događaja nema uticaja na vjerovatnoću ostvarenja drugog događaja, tako da je:

.

Ovo se može iskazati i na sljedeći način: dva događaja E1 i E2 su nezavisni ako je:

,

Odnosno, dva događaja su nezavisna ako je vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja jednaka proizvodu njihovih pojedinačnih vjerovatnoća.

PRIMJER

Jedan proizvođač automobila sagledava žalbe u vezi sa kvalitetom svog proizvoda. Sve žalbe razvrstane su u tri grupe: elektronske, mehaničke i dizajnerske, u toku i poslije garantnog perioda. Distribucija žalbi prema navedenim kategorijama bila je kao što je predstavljeno u sljedećoj tabeli:

Razlozi za žalbe (u %)

Električni Mehanički Dizajnerski Ukupno

U garant. roku

14 12 25 51

Nakon garant. roka

21 18 10 49

Ukupno 35 30 35 100

Odrediti vjerovatnoću da je neka pojedinačna žalba zbog mehaničkog kvara, ako se zna da je podnesena u garantnom roku.

Neka su događaji:

12

M – razlog za žalbu je mehaničke prirode,

G – žalba je podnesena u garantnom roku.

Iz prethodne tabele može se ustanoviti da je vjerovatnoća da je žalba podnesena u garantnom roku P(G) = 0,51, a vjerovatnoća da je žalba u garantnom roku podnesena zbog mehaničkog kvara je .

Vjerovatnoća da je neka pojedinačna žalba zbog mehaničkog kvara (kao uslovna vjerovatnoća), je:

pod uslovom da se zna da je žalba podnesena u garantnom periodu.

PRAVILO MNOŽENJA VJEROVATNOĆA (MULTIPLIKATIVNO PRAVILO)

Pravilo množenja vjerovatnoća primjenjuje se za određivanje vjerovatnoće istovremenog (zajedničkog) javljanja dva ili više događaja prilikom izvođenja nekog eksperimenta.

U praksi, ovakvu kombinaciju očekivanja realizacije događaja prepoznajemo po formulaciji ... "i" ... "i", odnosno kada se određuje vjerovatnoća da se desi "i" jedan "i" drugi "i" ... "i" n-ti događaj.

Za dva događaja E1 i E2 vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja dobije se na osnovu izraza:

Za tri događaja E1, E2 i E3 vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja dobije se na osnovu izraza:

Za slučajne događaje koji su međusobno nezavisni vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja dobije se kao proizvod njihovih pojedinačnih vjerovatnoća:

ako je , odnosno .

Za n događaja E1, E2, ... , En vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja dobije se na osnovu izraza:

13

PRIMJER

Standardna kocka, čije su strane numerisane brojevima od 1 do 6, baca se na slučaj tri puta uzastopno. Odrediti vjerovatnoću da se broj 6 dobije u sva tri bacanja.

Prilikom bacanja kocke realizacije su elementarni događaji - brojevi od 1 do 6, koji čine prostor uzorka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vjerovatnoća da se dobije broj 6 je P(E6) = 1/6.

Vjerovatnoća da se prilikom tri bacanja kocke dobije broj 6 tri puta uzastopno, izračunava se na osnovu izraza (3.22), tako da je:

.

PRIMJER

Od 15 auto dijelova 3 su neispravna. Auto dijelovi su zapakovani tako da se ne može odmah vidjeti koji od njih su neispravni. Na slučaj se izvlače dva auto dijela. Kolika je vjerovatnoća da oba auto dijela budu ispravna?

Događaj A – izvučeni auto dio je ispravan, ima vjerovatnoću . Događaj B/A – drugi izvučeni auto dio je ispravan,

pod pretpostavkom da je prvi izvučeni auto dio ispravan, ima vjerovatnoću P(B/A) = 11/14 = 0,786, jer nakon izvlačenja prvog auto dijela, koji je ispravan, ostaje 11 ispravnih auto dijelova od preostalih 14.

Očigledno je da su ova dva događaja međusobno zavisni, jer je očekivanje realizacije drugog događaja vezano za realizaciju prvog. Vjerovatnoća da oba auto dijela budu ispravna (i u prvom i u drugom izvlačenju), je:

.

PRIMJER

14

Jedan veliki auto servis ispituje vezanost (odanost) svojih mehaničara za firmu. U anketi koja je provedena postavljeno je pitanje, da li bi mehaničar prešao u drugi servis koji bi nudio istu ili nešto povoljniju poziciju.

Odgovori 100 mehaničara i dužina njihovog staža u servisu dati su u sljedećoj tabeli:

Dužina staža u servisu(godina)

Odgovor do 1 1-5 6-10preko

10Ukupno

Ostaje u servisu 6 16 4 37 63

Prelazi u drugi servis 11 6 4 16 37

17 22 8 53 100

Kolika je vjerovatnoća da slučajnim izborom jednog mehaničara izaberemo onog koji bi prešao u drugi servis, a koji u konkretnom servisu radi više od 10 godina?

Prvi događaj D označava sve one mehaničare koji bi prešli u drugi servis, a njegova vjerovatnoća je .

Drugi događaj K je da izabrani mehaničar ima više od 10 godina staža u servisu, čija je vjerovatnoća .

Događaj je izbor mehaničara koji bi prešao u drugi servis, a koji radi više od 10 godina u servisu, čija vjerovatnoća je .

Konačno, vjerovatnoća da slučajnim izborom jednog mehaničara dobijemo onog koji bi prešao u drugu firmu, a koji radi više od 10 godina u predmetnom servisu, prema izrazu (3.19) je:

Ovaj rezultat mogao se dobiti i kao prosta vjerovatnoća, jer se jasno vidi da je od ukupnog broja anketiranih mehaničara (100) njih 16 bilo u grupi koja bi promijenila firmu, a koji više od 10 godina rade u posmatranom auto serisu.

15

6. VJEROVATNOĆA UZROKA (BAYES-OVA TEOREMA)

Vrlo često nas zanima vjerovatnoća uzroka nekog događaja. Tako, na primjer, ako smo kontrolom proizvodnje auto dijelova ustanovili da je neki od njih neispravan, postavlja se pitanje, na kojoj mašini je proizveden ili koji ga je radnik proizveo.

U slučaju kad automobil ne može da upali, postavlja se pitanje zbog čega: da li se akumulator ispraznio, da li je u pitanju kvar na elektro instalacijama ili je nešto treće u pitanju.

U ovakvim slučajevima određivanje vjerovatnoće uzroka jedan je od načina njihovog otkrivanja.

Neka su dati događaji D1, D2, ... , Dk, koji su međusobno disjunktni:

, i, j ,

a čija unija predstavlja siguran događaj, odnosno neki potpun prostor elementarnih događaja:

, i = 1, ..., k.

Tada je vjerovatnoća događaja X koji se realizuje pod uslovom da se realizovao jedan i samo jedan od događaja D1, D2, ... , Dk :

Prema pravilu množenja vjerovatnoća važi:

.

Odavde se uopštavanjem dobija opšti oblik Bayes-ove teoreme:

Pri tome se događaji D1, D2, ... , Dk smatraju uzrocima događaja X koji je, dakle, njihova posljedica. Zato se ova vjerovatnoća označava kao vjerovatnoća uzroka.

Treba uočiti da su vjerovatnoće a priori, a vjerovatnoće a posteriori, što u konačnom rezultatu daje a posteriorne vjerovatnoće, koje pokazuju da je neki od događaja D1, D2, ... , Dk bio uzrok nastanka događaja X.

Ova teorema posebnu primjenu nalazi prilikom određivanja vjerovatnoće

16

nekih događaja za koje je poznata vjerovatnoća uzroka njihovog nastanka.

PRIMJER

Proizvođač automobila ugrađuje, pored ostalih dijelova, i jedan mikročip, kojeg nabavlja od tri proizvođača, S, Q i T, i to 35% od proizvođača S, 25% od proizvođača Q i 40% od proizvođača T.

Na osnovu ranijih iskustava poznato je da je učešće neispravnih mikročipova kod proizvođača S 3%, kod proizvođača Q 4%, a kod proizvođača T 2%. Mikročip se skladišti bez posebnog označavanja, tako da se ne razaznaje od kog je proizvođača.

Slučajno je izabran jedan mikročip i ustanovljeno je da je neispravan. Kolika je vjerovatnoća da je proizveden kod proizvođača Q?

Tri događaja i odgovarajuće (apriorne) vjerovatnoće su:

D1– mikročip nabavljen od proizvođača S ;

D2 – mikročip nabavljen od proizvođača Q ;

D3 – mikročip nabavljen od proizvođača T .

Posebna je informacija da je mikročip neispravan, tako da je događaj X da je slučajno izabrani mikročip neispravan.

Uslovne vjerovatnoće (aposteriorne), da je neispravan mikročip proizveden kod određenog proizvođača, na osnovu ranijih iskustava su:

neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača S;

neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača Q;

neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača T.

Mikročip se slučajno bira iz skladišta i nije poznato ko je proizvođač.

Zadatak je da se odredi vjerovatnoća da je neispravan mikročip proizveden kod proizvođača Q, odnosno .

Ova vjerovatnoća može da se izračuna na osnovu izraza:

.

Ovo znači da je vjerovatnoća da je slučajno izabrani neispravan mikročip proizveden kod proizvođača Q 0,3509, odnosno u 35,1%

17

slučajeva može se očekivati da je neispravan mikročip proizveden kod proizvođača Q.

U sljedećoj tabeli dat je pregled svih događaja i vjerovatnoća za ovaj primjer:

Događaj

Di

Apriorna vjerovatnoća

P(Di)

Uslovna vjerovatnoća

P(X/Di)

Zajednička vjerovatnoća

P(Di) P(X/Di)

Aposteriorna vjerovatnoća

P(Di/X)

S - D1 0,35 0,03 0,01050,0105/0,0285

= 0,3684

Q - D2 0,25 0,04 0,01000,0100/0,0285

= 0,3509

T - D3 0,40 0,02 0,00800,0080/0,0285

= 0,2807

1,00 - P(X) = 0,0285 1,0000

Vjerovatnoća da je neispravan mikročip proizveden kod proizvođača S je 0,3684, a kod proizvođača T je 0,2807. U čisto praktičnom smislu, ove informacije za konkretnog proizvođača automobila mogu da imaju izuzetno važno značenje u organizaciji nabavke i proizvodnje.

Zaključak :

18

Matematička teorija verovatnoće je grana čiste matematike.

Teorija verovatnoće se bavi izučavanjem zakonitosti raznih slučajnih procesa i događaja. Kao i u svakoj matematičkoj disciplini i ovde se polazi od skupa nedefinisanih objekata, a zatim se pomoću određenih aksioma razvija matematička teorija koja odgovara našem intuitivnom poimanju verovatnoće.

Teorija verovatnoće je polazna osnova za Matematičku Statistiku, jednu od oblasti matematike sa najviše primjena.

Literatura :

19

 -Prof.dr. Hasan Zolić-Osnovi statistike, izdanje 2006.god 

-Stojakovic Mila: Matematička statistika, Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad, 2000.

-Zoran A. Ivković, Matematička statistika, Naučna knjiga, 1980.

-Milan J. Merkele i Petar M. Vasić, Vjerovatnoća i statistika, Beograd 1998.

20