PRIMJERI RJEŠENIH ZADATAKA IZ STATISTIKE

Download PRIMJERI RJEŠENIH ZADATAKA IZ STATISTIKE

Post on 08-Dec-2016

234 views

Category:

Documents

2 download

TRANSCRIPT

<ul><li><p>PRIMJERI RJEENIH ZADATAKA IZ STATISTIKE </p><p>Obuhvaene cjeline su: </p><p> Srednje vrijednosti ( X , Me , Mo ) Mjere disperzije ( , , Q1, Q3, Iq , Vq , V ) Standardizirano obiljeje ( z ) Mjere asimetrije i zaobljenosti ( 3 i 4 ) Indeksi Linearni trend ( Yc = a+bx ) </p></li><li><p> 1.) </p><p> a) Izraunajte prosjean radni sta djelatnika. b) Izraunajte srednju pozicijsku i frekvencijsku vrijednost. </p><p> RJEENJE: </p><p>a) </p><p>====</p><p>========k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>f</p><p>Xf</p><p>X</p><p>1</p><p>1 </p><p> 1110 X = = 12,33 godine 90 </p><p> AKO JE a =12,5 </p><p>aXd</p><p>f</p><p>df</p><p>aX iik</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>====++++====</p><p>====</p><p>====</p><p>1</p><p>1 </p><p> -15 X = 12,5+ = 12,33 god. 90 TUMA: Prosjeni radni sta zaposlenika je 12,33 godine</p><p>Radni sta ( u god ) Broj djelatnika 0-4 12 5-9 20 </p><p>10-14 28 15-19 19 20-24 11 90 </p><p>PRAVE GRANICE </p><p>Xi fixi </p><p>0-5 2,5 30 5-10 7,5 150 </p><p>10-15 12,5 350 15-20 17,5 332.5 20-25 22,5 247.5 1110 </p><p>di = xi-a fidi -10 -120 -5 -100 0 0 5 95 </p><p>10 110 -15 </p><p>SREDNJE VRIJEDNOSTI </p></li><li><p>AKO JE a = 12,5 I b = 5 </p><p>b</p><p>aXd</p><p>f</p><p>df</p><p>baX iik</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii ====++++====</p><p>====</p><p>==== '</p><p>1</p><p>1</p><p>'</p><p> -3 X = 12,5 + *5 = 12,33 god. 90 b) </p><p> if</p><p>fN</p><p>lMmed</p><p>i+= 21 </p><p> N/2 = 45 45 - 32 Me = 10 + * 5 = 12,32 god. 28 TUMA: 50% zaposlenika ima radni sta 12,32 godina i manje ,a ostalih 50% 12,32 godina radnog staa i vie. c) </p><p> 28-20 Mo = 10 + * 5 = 12,66 god. (28-20) + (28-19) TUMA: Najei radni sta je 12,66 godina </p><p>di = (xi-a)/b fidi -2 -24 -1 -20 0 0 1 19 2 22 -3 </p><p>KN manje od 12 32 </p><p>60 (medijalni raz.) 79 90 </p><p>i fi 5 12 5 20 a 5 28 b 5 19 c 5 11 </p><p>( )( )</p><p>icbab</p><p>ablMo</p><p>)(1 +</p><p>+=</p></li><li><p>2. ) </p><p>a) Izraunajte prosjean broj automobila po obitelji. b) Odredite srednje vrijednosti po poziciji i frekvenciji. RJEENJE: a) </p><p>====</p><p>========k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>f</p><p>Xf</p><p>X</p><p>1</p><p>1 </p><p> 735 X = = 1.19 615 TUMA: Prosjean broj automobila po obitelji je 1.19 b) </p><p> N/2 = 307.5 (drugi lan KN ) Me = 1 Mo = 1 </p><p> TUMA: 50% ili ( 307.5 308 ) obitelji ima 1 automobil Ili niti jedan ,a ostalih 50% ima 1 automobil i vie. Najei broj obitelji ima 1 automobil.</p><p>Broj automobila </p><p>Xi </p><p>Broj obitelji fi </p><p>0 180 1 220 2 130 3 85 615 </p><p>fixi 0 </p><p>220 260 255 735 </p><p>Broj automobila </p><p>Xi </p><p>Broj obitelji fi </p><p>0 180 Me, Mo =1 220 </p><p>2 130 3 85 615 </p><p>KN 180 </p><p>400 (medijalni i modalni razred ) </p><p>530 615 </p></li><li><p> 1.) Izraunati raspon varijacije, interkvartil kao apsolutnu I koeficijent kvartilne devijacije ( Vq ) kao relativnu mjeru disperzije oko Me, prosjeno kvadratno odstupanje radnog staa od prosjenog radnog staa djelatnika ( ), prosjeno odstupanje radnog staa od prosjenog radnog staa djelatnika ( ) kao apsolutnu I koeficijent varijacije ( V ) kao relativnu mjeru disperzije oko X . RJEENJE </p><p> minmax XXRx = R = 25 - 0 = 25 </p><p> donji kvartilni razred (N/4) gornji kvartilni razred (3N/4) </p><p> N/4 = 90/4 = 22.5 </p><p> 3N/4 = 270/4 = 67.5 </p><p>Radni sta ( u god ) Broj djelatnika 0-4 12 5-9 20 </p><p>10-14 28 15-19 19 20-24 11 90 </p><p>PRAVE GRANICE </p><p>0-5 5-10 </p><p>10-15 15-20 20-25 </p><p>PRAVE GRANICE Broj djelatnika KN 0-4 12 12 5-9 20 32 </p><p>10-14 28 60 15-19 19 79 20-24 11 90 90 </p><p>MJERE DISPERZIJE </p></li><li><p>if</p><p>fN</p><p>lQQ</p><p>i</p><p>1</p><p>411</p><p>+= </p><p> 22.5 - 12 Q1 = 5 + * 5 = 7,62 god 20 TUMA: ili 25% djelatnika ima 7,62 godine radnog staa i manje ,a ostalih ili 75% 7,62 godine radnog staa i vie. </p><p> if</p><p>fN</p><p>lQQ</p><p>i</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>13</p><p>+= </p><p> 67.5 - 60 Q3 = 15 + * 5 = 16,97 godina 19 TUMA : ili 75% djelatnika ima 16,97 godina radnog staa i manje ,a ostalih ili 25% ima 16,97 godina radnog staa i vie </p><p> 13 QQI Q = </p><p> 9,34 Iq = 16,97 7,62 = 9,34 godine Vq = = 0,37 godina </p><p> 24,59 </p><p>TUMA: Sredinjih 50% djelatnika ima radni sta od 9,34 godine u apsolutnom iznosu i 37% u relativnom iznosu </p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>fN</p><p>N</p><p>Xxf</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>22</p><p>)(</p><p> Q3 Q1 Vq = Q3 + Q1 </p></li><li><p>xi i fixi fixi di=xi-a fidi fidi 2,5 5 30 75 -10 -120 1200 7,5 5 150 1125 -5 -100 500 </p><p>12,5 5 350 4375 0 0 0 17,5 5 332,5 5818,75 5 95 475 22,5 5 247,5 5568,75 10 110 1100 </p><p> 1110 16962,5 -15 3275 PRVI NAIN 2 </p><p>16962,5 1110 = - = 36,361 godina 90 90 TUMA: Prosjeno kvadratno odstupanje radnog staa od prosjenog radnog staa je 36,3 godina = = 6,03 godine TUMA: Prosjeno odstupanje radnog staa od prosjenog radnog staa je 6,03 godine DRUGI NAIN 2 3275 (-15) = - = 36,361 godina 90 90 = = 6,03 godina </p><p> 100</p><p>XV</p><p>=</p><p> 6,03 </p><p>V = * 100 = 48,90% 12,33 TUMA: Postotno odstupanje od prosjeka je 48,90% </p><p>PRVI NAIN DRUGI NAIN ( a=12,5 ) </p></li><li><p>Promatraju se dvije distribucije: A) visina iznosa kupljene literature polaznika studija B) broj proitanih knjiga studenata prve godine </p><p> Distribucija iznosa kupljene literature polaznika studija Distribucija proitanih knjiga studenata prve godine </p><p>Broj proitanih knjiga </p><p>Broj studenata </p><p>1 2 </p><p>1 80 2 130 3 180 4 210 5 150 6 50 800 </p><p> Izraunajte: a) standardizirane vrijednosti numerikog obiljeja obiju distribucija b) odstupa li vie od prosjeka polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna, ili </p><p>vie odstupa od prosjeka onaj student koji je proitao pet knjiga c) grafiki prikaite standardizirane vrijednosti obiju distribucija frekvencija a) Standardiziranje svih vrijednosti numerikog obiljeja obiju distribucija frekvencija kn % Xi </p><p>Xxz ii</p><p>= </p><p>i i/ pi/( i/) piXi piXi2 </p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 </p><p>50-150 0,25 100 -1,1905 100 0,6435 0,3885 25 2500 150-300 0,35 225 -0,3861 150 0,9653 0,3626 78,75 1718,75 300-450 0,20 375 0,5792 150 0,9653 0,2072 75 28125 450-550 0,15 500 1,3835 100 0,6435 0,2331 75 37500 550-700 0,05 625 2,1879 150 0,9653 0,0518 31,25 19531,25 </p><p> 1 - 285 105375 </p><p>Izdvojeno kuna Struktura polaznika </p><p>1 2 </p><p>50-150 0,25 150-300 0,35 300-450 0,20 450-550 0,15 550-700 0,05 </p><p> 1 </p><p>STANDARDIZIRANO OBILJEJE </p></li><li><p>2851</p><p>===</p><p>k</p><p>i</p><p>ii XpX </p><p>24150</p><p>)285(105375</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>22</p><p>=</p><p>=</p><p>= </p><p>==</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>k</p><p>i</p><p>ii xpxp </p><p> Prosjeno odstupanje od prosjene cijene izdvojene za kupovinu literature, dakle analizirane distribucije, je 155,40 kuna. Knjige Studenti </p><p>Xxz ii</p><p>= </p><p>i pi i/ pi/( i/) fiXi fiXi2 </p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 </p><p>1 80 -1,7755 1 0,1 0,7210 0,1387 80 80 2 130 -1,0545 1 0,163 0,7210 0,2261 260 520 3 180 -0,3335 1 0,225 0,7210 0,3121 540 1620 4 210 0,3876 1 0,263 0,7210 0,3648 840 3360 5 150 1,1086 1 0,188 0,7210 0,2601 750 3750 6 50 1,8296 1 0,063 0,7210 0,0873 300 1800 800 1 - 2770 11130 </p><p>4625,3800</p><p>2770</p><p>1</p><p>1 ===</p><p>=</p><p>=</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>f</p><p>Xf</p><p>X </p><p>3869,1</p><p>9236,1</p><p>)4625,3(9125,13</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>f</p><p>Xf</p><p>f</p><p>Xf</p><p> Prosjeno odstupanje od prosjenog broja proitanih knjiga () je 1,3869 knjiga (1,5 knjige). </p></li><li><p>b) Odstupa li vie od prosjeka polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna, ili vie odstupa od prosjeka onaj student koji je proitao pet knjiga? </p><p>253,14,155</p><p>285480=</p><p>=</p><p>=</p><p>XXz ii </p><p>109,13869,1</p><p>4625,35=</p><p>=</p><p>=</p><p>XXz ii </p><p> Od prosjeka vie odstupa polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna. On od prosjeka odstupa za 1,253 standardnih devijacija. </p><p>c) Grafiko prikazivanje standardiziranih vrijednosti obiju distribucija frekvencija </p><p>Xxz ii</p><p>= </p><p>pi/( i/) </p><p>Xxz ii</p><p>= </p><p>pi/( i/) </p><p>-1,1905 0,3885 -1,7755 0,1387 -0,3861 0,3626 -1,0545 0,2254 0,5792 0,2072 -0,3335 0,3121 1,3835 0,2331 0,3876 0,3641 2,1879 0,0518 1,1086 0,2601 </p><p> 1,8296 0,0867 </p><p>Standardizirano obiljeje</p><p>0</p><p>0,1</p><p>0,2</p><p>0,3</p><p>0,4</p><p>0,5</p><p>0,6</p><p>0,7</p><p>0,8</p><p>Zi</p><p>kori</p><p>gir</p><p>ane </p><p>rela</p><p>tivn</p><p>e fr</p><p>ekve</p><p>nci</p><p>je </p><p>pci</p><p>-3 -2 -1 0 1 2 3</p><p> -- distribucija izdvojenih sredstava za </p><p> kupovinu literature</p><p> - distribucija proitanih knjiga studenata </p><p> prve godine</p></li><li><p> PRAVILO EBIEVA Chebyshev's theorem </p><p>Standardizirana varijabla moe poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. One e rijetko odstupati od aritmetike sredine za vie od +3. Dakle, u intervalu od +3 e se nai gotovo sva odstupanja individualnih vrijednosti numerikog niza od aritmetike sredine. Pravilo ebieva: Najmanja proporcija lanova bilo koje populacije u intervalu od X + k, k &gt; 1 iznosi1: </p><p>=</p><p>2</p><p>11</p><p>kp </p><p>11</p><p>1)(2</p><p>&gt;+</p></li><li><p> Pet poduzea upoljava razliiti broj djelatnika. Prvo poduzee upoljava 3 djelatnika, </p><p>drugo 6 djelatnika, tree 9 djelatnika, etvrto 12 djelatnika, a peto 15 djelatnika. </p><p>Poduzea koja upoljavaju 15 djelatnika mogu dobiti poduzetniki kredit pod vrlo </p><p>povoljnim uvjetima. </p><p> Za zadani niz izraunajte: </p><p>1) momente oko sredine (1, 2, 3, 4) 2) sve pomone momente oko nule (1-4), oko a 3) preko pomonih momenata provjerite tonost izraunatih momenata oko </p><p>sredine! </p><p> Poduzea s obzirom na broj </p><p>djelatnika 3 6 9 12 15 </p><p> 45 1. Centralni momenti (momenti oko sredine) </p><p>koje sredine? aritmetike sredine </p><p>Xi (Xi-9) (Xi-9)2 (Xi-9)</p><p>3 (Xi-9)4 </p><p>1 2 3 4 5 </p><p>3 -6 36 -216 1296 6 -3 9 -27 81 9 0 0 0 0 </p><p>12 3 9 27 81 15 6 36 216 1296 45 0 90 0 2754 </p><p>.05</p><p>0</p><p>5</p><p>)9()(5</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 const</p><p>x</p><p>N</p><p>Xxi</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>===</p><p>=</p><p>=</p><p>== </p><p>MOMENTI DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA </p></li><li><p>2. Pomoni momenti 2.1. oko nule </p><p>Xi (Xi-0) Xi2 Xi</p><p>3 Xi4 </p><p>1 6=1 7 8 9 </p><p>3 3 9 27 81 6 6 36 216 1296 9 9 81 729 6561 </p><p>12 12 144 1728 20736 15 15 225 3375 50625 45 45 495 6075 79299 </p><p>X</p><p>xx</p><p>m ii</p><p>i</p><p>i</p><p>====</p><p>=</p><p>== 95</p><p>45</p><p>55</p><p>)0(5</p><p>1</p><p>15</p><p>1</p><p>1</p><p>1 </p><p>995</p><p>495</p><p>55</p><p>)0(5</p><p>1</p><p>25</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ===</p><p>=</p><p>== i</p><p>i</p><p>i</p><p>i xx</p><p>m </p><p>12155</p><p>6075</p><p>55</p><p>)0(5</p><p>1</p><p>35</p><p>1</p><p>3</p><p>3 ===</p><p>=</p><p>== i</p><p>i</p><p>i</p><p>i xx</p><p>m </p><p>2.2. oko a Xi (Xi-15) (Xi-15)</p><p>2 (Xi-15)3 (Xi-15)</p><p>4 </p><p>1 10 11 12 13 </p><p>3 -12 144 -1728 20736 6 -9 81 -729 6561 9 -6 36 -216 1296 </p><p>12 -3 9 -27 81 15 0 0 0 0 45 -30 270 -2700 28674 </p><p>65</p><p>30</p><p>55</p><p>)(</p><p>'</p><p>5</p><p>1</p><p>15</p><p>1</p><p>1</p><p>1 =</p><p>==</p><p>=</p><p>== i</p><p>i</p><p>i</p><p>i dax</p><p>m </p></li><li><p>545</p><p>270</p><p>55</p><p>)(</p><p>'</p><p>5</p><p>1</p><p>25</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ===</p><p>=</p><p>== ii</p><p>i</p><p>i dax</p><p>m </p><p>5405</p><p>2700</p><p>55</p><p>)('</p><p>5</p><p>1</p><p>35</p><p>1</p><p>3</p><p>3 =</p><p>==</p><p>=</p><p>== i</p><p>i</p><p>i</p><p>i dax</p><p>m </p></li><li><p> Izraunavanje 3 za distribuciju frekvencija kontinuiranog numerikog obiljeja </p><p>Popijene litre Xi </p><p>Broj obitelji fi </p><p>Sredine razreda Xi </p><p>Brojnik 2 fi(Xi- X )</p><p>2 Brojnik 3 fi(Xi- X )</p><p>3 Brojnik 4 fi(Xi- X )</p><p>4 </p><p>1 2 3 4 5 6 </p><p>2-4 30 3 325,51 -1072,24 3531,96 4-6 56 5 93,77 -121,34 157,01 6-8 42 7 20,93 14,78 10,43 </p><p>8-10 28 9 205,03 554,81 1501,31 10-12 14 11 310,05 1459,10 6866,50 </p><p> 170 - 955,29 835,11 12067,21 (1 = 0) fiXi = 1070 </p><p> a) Izraunavanje 3 preko treeg momenta oko sredine </p><p> aritmetika sredina (prvi moment oko nule): </p><p>litara</p><p>f</p><p>xf</p><p>Xk</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>294,6170</p><p>1070</p><p>1</p><p>1 ===</p><p>=</p><p>= </p><p> varijanca (drugi moment oko sredine): </p><p>litara</p><p>f</p><p>Xxf</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>619,5170</p><p>29,955)(</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>22 ==</p><p>==</p><p>=</p><p>= </p><p>litara370,262,52 === </p><p> Trei moment oko sredine (brojnik koeficijenta </p><p>asimetrije alfa 3): </p><p>litara</p><p>f</p><p>Xxf</p><p>k</p><p>i</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>ii</p><p>912,4170</p><p>11,835)(</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>3 ==</p><p>=</p><p>=</p><p>= </p><p>MJERE ASIMETRIJE I ZAOBLJENOSTI </p></li><li><p> Koeficijent asimetrije 3: </p><p>369,031,13</p><p>912,4</p><p>370,2</p><p>912,433</p><p>33 ====</p><p> Za analiziranu distribuciju obitelji prema popijenim litrama pia, potrebno je izraunati koeficijent zaobljenosti. </p><p>Popijene litre Xi </p><p>Broj obitelji fi </p><p>Sredine razreda Xi </p><p>Brojnik 2 fi(Xi- X )</p><p>2 Brojnik 3 fi(Xi- X )</p><p>3 Brojnik 4 fi(Xi- X )</p><p>4 1 2 3 4 5 6 </p><p>2-4 30 3 325,51 -1072,24 3531,96 4-6 56 5 93,77 -121,34 157,01 6-8 42 7 20,93 14,78 10,43 </p><p>8-10 28 9 205,03 554,81 1501,31 10-12 14 11 310,05 1459,10 6866,50 </p><p> 170 - 955,29 835,11 12067,21 (1 = 0) fiXi = 1070 </p><p>litaralitara</p><p>litaraX</p><p>37,2;619,5</p><p>;294,62 ==</p><p>=</p><p>litara</p><p>fi</p><p>XXifi</p><p>k</p><p>i</p><p>k</p><p>i 98,70170</p><p>21,12067)(</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>4 =</p><p>=</p><p>=</p><p>= </p><p> Koeficijent zaobljenosti 4: </p><p>25,258,31</p><p>98,70</p><p>37,2</p><p>98,7044</p><p>44 ====</p><p> 2,25 = 4 4</p></li><li><p>Godina Kaznene prijave </p><p>It Vt Optube Vt </p><p>1993. 69 244 100 - 26 296 - 1994. 53 289 76,96 76,96 25 561 97,20 1995. 46 451 67,08 87,17 21 118 82,62 1996. 47 399 68,45 102,04 23 965 113,48 1997. 43 203 62,39 91,15 22 777 95,04 </p><p> Yz It Vt = * 100 = * 100 Y z-1 I t-1 53 289 76,96 V94 = * 100 = * 100 = 76,96 69 244 100 46 451 67,08 V95 = * 100 = * 100 = 87,17 53289 76,96 </p><p>PRERAUNAVANJE INDEKSA NA STALNOJ BAZI U VERINE </p><p> Godina Pojava It Vt </p><p>1990. 5 800 100 - 1991. 8 526 147 147 1992. 10 904 188 128 1993. 12 006 207 110 1994. 13 224 228 110 1995. 14 558 251 110 1996. 15 022 259 103 </p><p>INDEKSI </p></li><li><p> 147 8 526 V91 = * 100 = * 100 = 147 100 5 800 188 10 904 V92 = * 100 = * 100 = 128 </p><p>147 8 526 PRERAUNAVANJE VERINIH INDEKSA U INDEKSE NA STALNOJ </p><p>BAZI </p><p> I t V t = * 100 t=1,2,3 ... N I t-1 V t * I t-1 I t = 100 </p><p>Godina Pojava Vt It </p><p>1992.=100 1992. 1448 - 100 1993. 1425 98.41 98.41 1994. 1797 126.10 124.08 1995. 1721 95.77 118.81 1996. 1615 93.84 111.51 1997. 1494 92.51 103.16 1998. 1539 103.01 106.27 1999. 1576 102.40 108.82 2000. 1742 110.53 120.28 2001. 1780 102.18 122.90 </p><p> It-1 * Vt It = 100 </p></li><li><p>Godina Vt It </p><p>2001. = 100 1992. - 81.37 1993. 98.14 80.07 1994. 126.10 100.96 1995. 95.77 96.69 1996. 93.84 90.74 1997. 92.51 83.94 1998. 103.01 86.00 1999. 102.40 88.54 2000. 110.53 97.87 2001. 102.18 100.00 </p><p> It It-1 = * 100 Vt </p><p>Godina Vt It </p><p>1997. = 100 1992. - 96.94 1993. 98.41 95.38 1994. 126.10 120.28 1995. 95.77 115.19 1996. 93.84 108.10 1997. 92.51 100.00 1998. 103.01 103.01 1999. 102.40 105.48 2000. 110.53 116.59 2001. 102.18 119.13 </p><p> It * 100 Vt It = 100 </p><p> It-1 * Vt...</p></li></ul>