zbirka zadataka iz statistike

Sveučilište u Rijeci

Fakultet za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu

SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ

»Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»

Zbirka zadataka iz

S T A T I S T I K E

Šifra predmeta: PST0103

ECTS bodovi: 6

Nositelj predmeta:

Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ

2

S A D R Ţ A J

# Predgovor 3

Vjeţba 1 Uvod 4

Vjeţba 2 Uređivanje i grafičko prikazivanje podataka 5

Vjeţba 3 Relativni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje 8

Vjeţba 4 Srednje vrijednosti (potpune, poloţajne) 12

Vjeţba 5 Mjere disperzije 16

Vjeţba 6 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti 19

Vjeţba 7 Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i

proporcije osnovnog skupa

21

Vjeţba 8 Korelacijska i regresijska analiza 24

Vjeţba 9 Korelacija ranga 26

Vjeţba 10 Analiza vremenskih nizova: individualni indeksi

(veriţni i bazni indeksi)

28

Vjeţba 11 Trend modeli (linearni trend) 30

3

P R E D G O V O R

Zbirka zadataka iz «Statistike» je namijenjen studentima sveučilišnog preddiplomskog studija Fakulteta za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu u Opatiji koji slušaju predmet «Statistika». Primarni cilj predmeta je ovladavanje teorijskim spoznajama iz cjelina koje se izučavaju na predmetu, osposobljavanje studenata za provođenje istraţivačkih zadaća na terenu, analiziranje prikupljenih podataka, tumačenje i prezentiranje izračunatih statističkih pokazatelja, te uporabu različitih statističkih paketa u obradi prikupljenih podataka. Priručnik slijedi programski sadrţaj predmeta, te je dizajniran tako da podrţava interaktivno učenje i učenje svih studenata, neovisno o tome da li prisustvuju nastavi ili ne. U priručniku se nalazi veliki broj primjera s rješenjima s ciljem da se maksimalno olakša razumijevanje gradiva. Prilikom odabira podataka za zadatke korišteni su aktualni statistički podaci.

4

VJEŢBA 1 Uvod

Primjer 1. Skup se sastoji od 8666 diplomiranih studenata na sveučilišnim studijima u

Republici Hrvatskoj u 1999. godini. Podaci o diplomiranim studentima prikupljaju

se pomoću statističkog lista. Među njima su i ovi: spol, mjesto rođenja,

drţavljanstvo, prethodna školska sprema, zanimanje roditelja, dob, prebivalište,

narodnost, način studiranja, broj članova kućanstva.

(a) Definirajte statistički skup. (b) Kojoj vrsti pripadaju podaci dobiveni pomoću statističkog lista? Navedite moguće modalitete nekih od navedenih obiljeţja.

Primjer 2. (a) Pregledajte publikaciju «Statistički ljetopis» Drţavnog zavoda za statistiku.

Proučite metodološka objašnjenja koja se odnose na podatke o registru poslovnih

subjekata, zaposlenosti, plaćama, investicijama, i drugim područjima djelatnosti

odabranim po volji. Utvrdite druge izvore podataka Drţavnog zavoda za statistiku.

Pronađite internetsku stranicu Zavoda i pregledajte je.

(b) Koje podatke objavljuje Hrvatska narodna banka? Informacije potraţite na

internetskoj stranici.

(c) Identificirajte lokacije stranica drugih ustanova koje objavljuju podatke o

gospodarskim kretanjima (ministarstva, gospodarske komore, poslovne udruge).

(d) Pronađite na internetskim stranicama podatke o međunarodnoj robnoj

razmjeni Republike Hrvatske.

(e) Pronađite statističke podatke međunarodnih organizacija i zajednica, posebno

onih koje se bave turizmom i hotelskom industrijom.

Primjer 3. Pregledajte stranice na navedenim adresama: www.dzs.hr, www.hnb.hr,

www.zse.hr, www.hgk.hr, www.worldbank.org.

Primjer 4. Na stranicama međunarodnih organizacija potraţite informacije o Republici

Hrvatskoj. Potraţite lokaciju stranice Europskog ureda za statistiku –

EUROSTAT. Aktivirajte pojedine opcije na temelju kojih se dolazi do informacija

o organizaciji EUROSTAT-a i podataka o gospodarskim aktivnostima zemalja

Europske unije.

Primjer 5. Analizirajte metode istraţivanja javnog mijenja Gallupova instituta na temelju

informacija danih na stranici www.gallup.com.

http://www.dsz.hr/

http://www.hnb.hr/

http://www.zse.hr/

http://www.hgk.hr/

http://www.worldbank.org/

http://www.gallup.com/

5

VJEŢBA 2 Uređivanje i grafičko prikazivanje podataka

Primjer 1. Turistička noćenja u RH 1997. godine:

Vrsta objekta Noćenja u 000

Hoteli 11 247

Turistička naselja 3 791

Radnička odmarališta 685

Kampovi 7 857

Kućanstva 5 660

Ostali objekti 5 660

Ukupno 30 314

Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 10, 1998., str. 59

Podatke iz tabele prikaţite grafički jednostavnim stupcima.. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 2. Dolasci turista prema vrstama objekta od siječnja do svibnja 2006. godine:

Vrsta objekta Domaći turisti

(u 000)

Strani turisti

(u 000)

Hoteli 359 770

Turistička naselja 26 47

Kampovi 3 147

Omladinski hoteli 10 14

Kućanstva-sobe, kuće za odmor 13 44

Nekategorizirani objekti 21 12

Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, srpanj 2006., str. 3.

Podatke iz tabele prikaţite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 3. Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn):

Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit

Erste Bank 3 191 365 135

Slavonka banka 1 417 78 387

Međimurska 117 43 46

Volksbank 250 1 089 320

Izvor: www.hznet.hr, 31.7.2006.

Podatke iz tabele prikaţite grafički višestrukim stupcima i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.hznet.hr/

6

Primjer 4. Zaposleno osoblje u trgovini prema djelatnostima poslovnih subjekata u Republici

Hrvatskoj 1997. godine:

Djelatnost poslovnih subjekata Broj zaposlenih

Trgovina na malo 45 674

Trgovina na veliko 7 719

Ostale djelatnosti 10 224

Ukupno 63 617

Izvor: SLJRH, 1998., str. 347

Podatke iz tabele prikaţite grafički uz pomoć strukturnog kruga. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 5. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine:

Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)

Austrija 1 865 3 253

Italija 7 100 9 932

Njemačka 3 066 8 935

Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006.

Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 6. Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama:

Zemlje namjene i porijekla Izvoz Uvoz

Zemlje Europske unije (EU) 2161 4980

Europsko udruţenje slobodne trgovine

(EFTA)

80 231

Ostale industrijske zemlje 136 611

Zemlje u razvoju 2165 2561


Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 7. Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama:

Zemlje namjene i porijekla Izvoz Uvoz

Zemlje Europske unije (EU) 2161 4980

Europsko udruţenje slobodne trgovine

(EFTA)

80 231

Ostale industrijske zemlje 136 611

Zemlje u razvoju 2165 2561


Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.dzs.hr/

7

Primjer 8. Stanovništvo prema završenoj školi (u 000):

Stupanj obrazovanja Muškarci Ţene

Bez škole 220 274

Osnovno obrazovanje 345 463

Srednje obrazovanje 956 778

Više obrazovanje 77 74

Visoko obrazovanje 145 143

Izvor: Popis stanovništva 2001. godine, www.hznet.hr, 16.8.2006.

Usporedite strukturu stanovništva prema stupnju obrazovanja grafički uz pomoć strukturnih krugova i strukturnih polukrugova. Što se zaključuje na temelju grafičkog prilaza?

Primjer 9. Prihodi i rashodi od putovanja u milijunima US$:

Godina Prihodi Rashodi

1997. 2 529.1 521.4

1998. 2 726.3 600.3

Izvor: Hrvatska narodna banka, 1999.

Usporedite prihode i rashode od putovanja u turizmu u RH 1997. i 1998. godine pomoću dvostrukih stupaca, strukturnih krugova i strukturnih polukrugova. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 10. Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine:

Mjesec Broj domena

Siječanj 717

Veljača 731

Oţujak 1 061

Travanj 777

Svibanj 812

Lipanj 596

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

Podatke iz tabele prikaţite grafički linijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.hznet.hr/

http://www.dns.hr/

8

VJEŢBA 3 Relativni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje

Primjer 1. Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine:

Vrsta usluge Broj usluga (u mil.)

2005. godina 2006. godina

Utrošene minute u

nepokretnoj mreţi

5 162 4 463

Utrošene minute u

pokretnoj mreţi

1 215 1 831

SMS poruke 1 153 1 235


Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikaţite grafički strukturnim stupcima. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 2. Izvoz i uvoz po odabranim ţupanijama od siječnja do lipnja 2006. godine:

Ţupanija Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)

Varaţdinska 1 834 1 895

Primorsko-goranska 1 280 2 656

Osječko-baranjska 1 653 1 284

Splitsko-dalmatinska 2 366 3 551

Istarska 2 963 3 352


Izračunajte relativne frekvencije i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza?

Primjer 3. Studenti sveučilišnih studija u Republici Hrvatskoj školske godine 2000/2001.

Studijsko područje Broj studenata Broj studentica

Prirodne znanosti 2367 1285

Tehničke znanosti 18398 5252

Medicinske znanosti 4693 3079

Biotehničke znanosti 3334 1416

Društvene i humanističke

znanosti

40048 26445

Umjetničke akademije 997 559

Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2001., str. 435

(a) Niz studenata prema studijskim područjima prikaţite jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake.

(b) Izračunajte relativni udjel (postotak) studenata i studentica u ukupnom broju studenata po studijskim područjima. Strukturu studenata po spolu i studijskim područjima prikaţite razdijeljenim stupcima.

(c) Usporedite obujam i strukturu studenata po spolu i studijskim područjima proporcionalnim strukturnim krugovima.

http://www.dzs.hr/

http://www.dzs.hr/

9

Primjer 4. Prosječne mjesečne isplaćene neto plaće u djelatnosti financijskog posredovanja

u Republici Hrvatskoj u lipnju 2001. godine

Vrsta djelatnosti Prosječna plaća u kunama

Financijsko posredovanje, osim

osiguranja i mirovinskih fondova

4931

Osiguranje i mirovinski fondovi, osim

obveznog osiguranja

5501

Pomoćne djelatnosti u financijskom

posredovanju

2451

Izvor: Priopćenje DSZ (www.dsz/hr/Hrv/2001Priopćenja)

Prosječna plaća za djelatnost kao cjelinu iznosila je 4997 kuna. Izračunajte indekse neto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uzmite prosječnu plaću u djelatnosti kao cjelini. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom.

Primjer 5. Prosječne isplaćene neto plaće po radniku u travnju 2006.:

Djelatnost Neto plaća u kn

Građevinarstvo 3 779

Trgovina 3 866

Hoteli i restorani 3 770

Prijevoz, skladištenje i veze 5 333

Financijsko posredovanje 6 847

Obrazovanje 4 476

Izvor: Računovodstvo i financije, Zagreb, srpanj 2006., str. 95.

Prosječna plaća u odabranim djelatnostima iznosila je 4678,50 kuna. Izračunajte indekse neto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uzmite prosječnu plaću u odabranim djelatnostima. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom.

Primjer 6. Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.)

Banka Odobreni krediti (u mil.kn)

Zagrebačka banka 38 126

Privredna banka 29 801

Raiffeisenbank 16 587

Hypo Alpe-Adria Bank 13 739

Erste und Steiermärkische Bank 19 365

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikaţite grafički. Što se moţe zaključiti na temelju izračunatih indeksa?

http://www.dsz/hr/Hrv/2001Priop�enja

10

Primjer 7. Osobe koje su stekle obrazovanje u Republici Hrvatskoj 1996. godine

Stupanj obrazovanja Broj osoba

Osnovno 55067

Srednje 48498

Više 3831

Visoko 7679

Izvor: Mjesečno statističko izvješće DSZ, 1/1998., str. 97

Izračunajte relativne frekvencije. Prikaţite niz odgovarajućim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Pri konstrukciji grafa koristite relativne frekvencije.

Primjer 8. Izvoz i uvoz Republike Hrvatske u zemlje Europske unije 1999. godine

Zemlja Izvoz u mil. US$ Uvoz u mil US$

Austrija 265 549

Belgija 31 114

Francuska 104 392

Grčka 34 18

Italija 772 1234

Nizozemska 50 141

Njemačka 673 1439

Španjolska 19 82

Velika Britanija 80 181

Ostale zemlje 60 242

Ukupno 2088 4392

Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2000., str. 331 i 332.

Analizirajte strukturu izvoza i uvoza pomoću odgovarajućih relativnih veličina. Usporedite strukturu izvoza i uvoza Republike Hrvatske i zemalja EU strukturnim krugovima.

Primjer 9. Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja:

Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2

Austrija 7987 83858

Hrvatska 4776 56610

Mađarska 10372 93032

Slovenija 2052 20251

Izvor: SLJRH, 1996., str. 620-621.

Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km2, tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije. Dobivene veličine prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

11

Primjer 10. Dolasci i noćenja turista u RH od siječnja do lipnja 2006. godine (u 000):

Mjesec Dolasci Noćenja

Siječanj 111 293

Veljača 128 325

Oţujak 189 484

Travanj 530 1 548

Svibanj 804 2 772

Lipanj 1 388 6 807


Izračunajte prosječnu duljinu boravka turista u Hrvatskoj po mjesecima. Relativne brojeve koordinacije prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom.

http://www.dzs.hr/

12

VJEŢBA 4 Srednje vrijednosti (potpune, poloţajne)

Primjer 1. Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske

centrale Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora bilo je

sljedeće:

Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=2; Mo=1; Me=2)

Primjer 2. Ispitu iz predmeta «Statistika» pristupilo je 35 studenata, a rezultati ispita su

prikazani u sljedećoj tablici:

Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

7 3 11 5 9

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=3.17; Mo=3; Me=3)

Primjer 3. Na kolokviju iz kolegija «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:

Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

23 14 6 5 2

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=1,98; Mo=1; Me=2)

Primjer 4. Starost zaposlenih u trgovačkom društvu X:

Starost u godinama Broj zaposlenih

18 – 26 8

27 – 30 19

31 – 41 32

42 – 50 14

51 – 59 9

Ukupno 82

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=37.19; Mo=29.71; Me=35.81)

Primjer 5. Zaposleni prema godinama u poduzeću X:


21 – 30 32

31 – 40 162

41 – 50 404

51 – (65) 142

Ukupno 740

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=45,25; Mo=45,44; Me=45,36)

13

Primjer 6. Zaposleni u trgovini u RH, stanje potkraj studenog 1997. godine i prosječna

mjesečna neto plaća po zaposlenome:

Vrsta trgovine Broj zaposlenih u 000 Prosječna plaća u kunama

Trgovina na malo 63.8 1988

Trgovina na veliko 44.0 2739

Robna razmjena s

inozemstvom

5.9 2754

(a) Kolika je bila prosječna mjesečna plaća u trgovini kao cjelini u studenome 1997. godine? (b) Izračunajte indekse prosječnih plaća za svaku od navedenih vrsta trgovine. Za osnovu indeksa uzmite veličinu izračunatu pod (a). Dobivene bazne indekse prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom.

(Rj. A.S.A.S. = 2318,37 kn)

Primjer 7. Za numerički niz: 7, 3, 8, 6, 2, 5, izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku

sredinu i geometrijsku sredinu.

(Rj. A.S.=5.167, H.S.=4.088, G.S.=4.648)

Primjer 8. Za distribuciju frekvencija:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

fi 11 28 38 66 90 36 28 7

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu. (Rj. A.S.=4.48 ; H.S.=3.66 )

Primjer 9. Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godine dobivena je

sljedeća distribucija telefonskih poziva:

Broj

poziva

0 1 2 3 4 5 6 7

Broj

dana

10 9 3 4 1 1 1 1

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=1,63; H.S.=2,38; Mo=0; Me=1)

Primjer 10. Razredi prema broju odsutnih:

Broj odsutnih 1 2 3 4 5 6 7

Broj razreda 5 8 9 4 2 1 1

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu. (Rj. A.S.=4.48 ; H.S.=3.66; G.S.=2,54)

Primjer 11. Zadane su pojedinačne vrijednosti numeričke varijable X:

Xi: 115 120 98 117 134 100 101 95 125 130 116

Kolika je geometrijska sredina? Odredite i vrijednost aritmetičke sredine. (Rj. G.S.=112.997; A.S.=113.727)

Primjer 12.

Izračunajte aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu i geometrijsku sredinu

vrijednosti numeričke varijable X: 10, 45, 27, 38, 89, 87, 98, 24, 36, 58, 23, 67,

67, 90.

(Rj. A.S.=54.21 ; H.S.=35.93)

14

Primjer 13.

Za distribuciju frekvencija:

xi 10 20 30 40 60

fi 7 13 10 2 3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu. (Rj. A.S.=25.43; H.S.=19.63)

Primjer 14.

Osobe prijavljene u Hrvatskom zavodu za zapošljavanje, stanje potkraj 1999. :

Navršene godine ţivota Broj osoba

15 – 19 67 170

20 – 24 48 482

25 – 29 119 819

30 – 39 82 263

40 – 49 10 604

50 – (65) 13 392


Odredite najčešću dob osoba koje su bile prijavljene u Zavodu za zapošljavanje. Izračunajte medijalnu dob osoba prijavljenih u Zavodu za zapošljavanje u RH. Izračunajte aritmetičku sredinu distribucije frekvencija. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija.

(Rj. Mo=26.67; Me=27.30; A.S.=28.35 )

Primjer 15. Korisnici Interneta prema dobi (istraţivanje 2005. godina)

Starost u godinama Broj ispitanika

15 – 25 34

25 – 35 27

35 – 45 23

45 – 65 15

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=32,68; H.S.=28,70; Mo=23,29; Me=30,74)

Primjer 16. Za distribuciju frekvencija:

xi 10 20 30 40 60

fi 7 13 10 2 3

Izračunajte: aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu. (Rj. A.S.=25,43 ; G.S.=11,20; H.S.=19,63)

Primjer 17. Količina vremena provedena tjedno na Internetu (istraţivanje 2005. godina):

Količina vremena (u satima) Broj ispitanika

0 – 2,5 37

2,5 – 5 25

5 – 7,5 12

7,5 – 10 13

Odredite najčešću količinu vremena koju ispitanici provedu na Internetu. Izračunajte medijalnu količinu vremena.. Izračunajte prosječnu količinu vremena provedenu na Internetu. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija.

(Rj. Mo=1,89; Me=3,15; A.S.=3,78)

15

Primjer 18. Zadane su ove vrijednosti numeričke varijable: 15, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15.

Izračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko sredine i to na temelju pomoćnih momenata oko nule.

(Rj. 2= 64.5; 3=184.5; 4=8158.5)

Primjer 19. Za numerički niz:

xi 0 5 10 15 20 25 30 35 40

fi 1 8 28 56 70 56 28 8 1

izračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko sredine i to na temelju pomoćnih momenata oko nule.

(Rj. 2= 50; 3=0; 4=6875)

Primjer 20. Za numerički niz:

xi 0 5 10 15 20 25 30

fi 1 8 28 56 70 56 28

Izračunajte vrijednosti momenata oko nule i momenata oko sredine.

(Rj. m1=19,43; m2=420,24; m3=9753,04; m4=238360,32;

2=42,59; 3=-68,68; 4=4598,32)


Izračunajte momente oko nule i momente oko sredine.

(Rj. m1=16; m2=320,5; m3=7376,5; m4=184574,5;

2= 64,5; 3=184,5; 4=8158,5)

16

VJEŢBA 5 Mjere disperzije



sljedeće:

Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

(Rj. (a) 3; 2; 50%; (b) 1; 1; 50%)



Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

7 3 11 5 9


(Rj. (a) 4; 3; 42.86%; (b) 2.036; 1.427; 44.92%)

Primjer 3. Na kolokviju iz kolegija «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:

Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

23 14 6 5 2


(Rj. (a) 4; 2; 50% (b) 1,34; 1,16; 58,46%)

Primjer 4. Zaposleni prema godinama u poduzeću X:


21 – 30 32

31 – 40 162

41 – 50 404

51 – (65) 142

Ukupno 740


(Rj. (a) 44; 9,50; 0,11 (b) 66,26; 8,14; 17,99% )


Izračunajte varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

(Rj. 64,50; 8,03; 50,19%)

17



18 – 26 8

27 – 30 19

31 – 41 32

42 – 50 14

51 – 59 9

Ukupno 82


(Rj. (a) 42; 13.98; 19.09%; (b) 88.38; 9.4; 25.28%)

Primjer 7. Prodaja električnog grijača, izraţena u komadima, u 10 prodavaonica trgovačkog

lanca Trade, iznosila je u studenome 2002. godine:

110 111 114 110 115 115 105 114 106 100

Izračunajte varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. (Rj. 22.4; 4.73286; 4.3026%)

Primjer 8. Prema evidenciji osiguravajućeg društva ustanovljen je broj šteta na automobilima

1000 osiguranika tijekom jedne godine. Distribucija osiguranika prema broju šteta

bila je ovakva:

Broj šteta 0 1 2 3 4 5 i više

Broj osiguranika 664 191 82 34 21 8

Izračunajte: aritmetičku sredinu, varijancu, standardnu devijaciju. (Rj. 0.58900; 1.102079; 1.04980)

Primjer 9.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke M&M prema dobi:

Godine ţivota Broj zaposlenika

15 – 20 62

20 – 25 142

25 – 30 221

30 – 35 205

35 – 40 137

40 – 50 142

50 – 60 81

60 – (70) 10

Izračunajte: (a) srednje vrijednosti (aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, medijan, mod), (b) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije.

(Rj. (a) A.S.=33.65; H=30.64; Me=31.83; Mo=29.16;

(b) Q1=26.04, Q3=39.38; IQ=13.34; VQ=0.20;

(c) 2=109.53; =10.47; V=31.10%)

18

Primjer 10. Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godine dobivena je

sljedeća distribucija telefonskih poziva:

Broj

poziva

0 1 2 3 4 5 6 7

Broj

dana

10 9 3 4 1 1 1 1


(Rj. (a) 7; 3; 1 (b) 3,43; 1,85; 113,50%)

Primjer 11. Greške u smjeni:

Broj grešaka Broj dana

0 - 4 11

5 – 9 22

10 – 14 13

15 – 19 8

20 – 24 3

25 – 29 2

Ukupno 59

Izračunajte: (a) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije.

(Rj. (a) 5,85; 14,33; 9,20; 8,48; 0,22

(b) 39,93; 6,32, 60,35%)

Primjer 12.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke S&S prema radnom staţu:

Godine radnog staţa Broj zaposlenika

0 – 5 297

5 – 10 348

10 – 15 183

15 – 20 87

20 – 25 41

25 – 30 30

30 – 35 9

35 - 40 5

Izračunajte: (a) srednje vrijednosti (aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, medijan, mod), (b) kvartile, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije.

(Rj. (a) A.S.=9.39; H=5.32; Me=7.92; Mo=6.18;

(b) Q1=4.21, Q3=12.87; IQ=8.66; VQ=0.51;

(c) 2=48.48; =6.96; V=74,15%)

19

VJEŢBA 6 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti



sljedeće:

Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti.

(Rj. (a) 0.6; 1; 0; 0; (b) 2.2)



Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

7 3 11 5 9


(Rj. (a) -0.182; 0.12; 0.36; 0.33 (b) 1.835)

Primjer 3. Na kolokviju iz predmeta «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće

rezultate:

Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

23 14 6 5 2


(Rj. (a) 1,04; 0,84; -0,05; 0 (b) 3,06)



18 – 26 8

27 – 30 19

31 – 41 32

42 – 50 14

51 – 59 9

Ukupno 82


(Rj. (a) 0.45; 0.8; 0.44; 0.12; (b) 2.46)



(Rj. (a) 0,36; 0,12; 0,37; 0,11 (b) 1,96)

20

Primjer 6. Prema evidenciji osiguravajućeg društva ustanovljen je broj šteta na automobilima

1000 osiguranika tijekom jedne godine. Distribucija osiguranika prema broju šteta

bila je ovakva:

Broj šteta 0 1 2 3 4 5 i više

Broj osiguranika 664 191 82 34 21 8


(Rj. (a) 3=2.32; (b) 4=9.29)

Primjer 7. Greške u smjeni:

Broj grešaka Broj dana

0 - 4 11

5 – 9 22

10 – 14 13

15 – 19 8

20 – 24 3

25 – 29 2

Ukupno 59


(Rj. (a) 0,79; 0,43; 0,60; 0,21 (b) 3,15)

Primjer 8.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke M&M prema dobi:

Godine ţivota Broj zaposlenika

15 – 20 62

20 – 25 142

25 – 30 221

30 – 35 205

35 – 40 137

40 – 50 142

50 – 60 81

60 – (70) 10


(Rj. (a) 3=0.70; Sk1=0.43; Sk2=0.52; Skq=0.13; (b) 4=2.96)

Primjer 9.

Zadana je distribucija zaposlenika tvrtke S&S prema radnom staţu:

Godine radnog staţa Broj zaposlenika

0 – 5 297

5 – 10 348

10 – 15 183

15 – 20 87

20 – 25 41

25 – 30 30

30 – 35 9

35 - 40 5


(Rj. (a) 3=1.32; Sk1=0.46; Sk2=0.63; Skq=0.14; (b) 4=4.77)

21

VJEŢBA 7 Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i

proporcije osnovnog skupa

► Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa

Primjer 1. Odredite vrijednosti standardne pogreške procjene aritmetičke sredine osnovnog

skupa za ove slučajeve:

(a) procjenjuje se sredina konačnog skupa od 125 768 članova pomoću

slučajnog uzorka veličine 1 250 članova. Standardna devijacija osnovnog

skupa iznosi 64,

(b) uzorak veličine 36 je izabran iz beskonačne populacije N ( = 5),

(c) N = 35679, n = 2500, = 10,

(d) Veličina uzorka je n = 256, N = 12 800, a standardna devijacija uzorka je

32.

(Rj. (a) 1.81; (b) 5.07; (c) 0.19; (d) 2)


centrale poduzeća Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora

iz evidencije 8967 razgovora bilo je sljedeće:

Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3

Pretpostavlja se da je trajanje pozitivnih razgovora na centrali normalno

distribuirano s nepoznatom aritmetičkom sredinom i nepoznatom standardnom

devijacijom.

Odredite granice u kojima se moţe očekivati da obuhvaćaju prosječno trajanje razgovora za osnovni skup. Pouzdanost procjene: 95% i 99%.

(Rj. 95%: 1.206; 2.794; 99%: 0.86; 3.14)

Primjer 3. Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i

zabiljeţili za svako od njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali

smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne

devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju osnovnog skupa i dobili

s = 1,36 ha.

Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku. (Rj. 1.49; 2.17)

Primjer 4. Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica.

Aritmetička sredina tog uzorka iznosi 2.5, a standardna devijacija je 1.204.

Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa. Izračunajte standardnu grešku. Pomoću te greške izračunajte interval procjene s 95% pouzdanosti. (Rj. 1.94; 3.07)

Primjer 5. Metodom slučajnog uzorka ispitano je 100 studenata o količini vremena koju oni

utroše na put do fakulteta. Rezultati ispitivanja pokazali su da prosječno troše 60

minuta pri prosječnom odstupanju od 15 minuta.

Na osnovu navedenih rezultata odredite: s vjerojatnošću od 95% interval u kojem će se nalaziti aritmetička sredina

osnovnog skupa ako je poznato da je na fakultetu upisano 5000 studenata; da li će se promijeniti rezultat rješenja ako pretpostavimo da je na fakultetu

upisano 1500 studenata? (Rj. (a) 57,06; 62,94; (b) 57,16; 62,84)

22

► Procjena totala osnovnog skupa

Primjer 1. U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne

tvrtke anketirano je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati:

prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta, standardna greška aritmetičke sredine

uzorka = 0,0747.

Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak?

(Rj. 42828; 43181)

Primjer 2. Iz populacije od 160 000 stanovnika anketirano je 400 osoba. Prema odgovorima

anketiranih prosječna dnevna potrošnja kruha po stanovniku jest 22 dkg.

Izračunata je i standardna greška aritmetičke sredine tog uzorka (sx = 0,45 dkg).

Koliko kilograma kruha troši ta populacija za ukupnu dnevnu prehranu? Interval totala procijenite uz 95% pouzdanosti.

(Rj. 3378888; 3661120)

Primjer 3. Poduzeće X dobilo je narudţbu za izradu 3000 proizvoda za jednog poslovnog

partnera. Uzorkom od 28 mjerenja utvrđeno je da je prosječno vrijeme za izradu

proizvoda (u tom uzorku) 26,5 minuta sa standardnom devijacijom 5,3 minute.

Procijenite sa 95% pouzdanost totala, tj. ukupno vrijeme potrebno za izradu te serije od 3000 komada. Zaključak?

(Rj. 73105,89; 85894,14)

Primjer 4. Da bismo procijenili koliki je ukupan broj djece u nekoj regiji X koja broji 5000

domaćinstava izabrali smo na slučajan način uzorak od 1000 domaćinstava. Uzorak

je dao slijedeću distribuciju prema broju djece:

Broj djece Broj domaćinstava

0 - 2 500

3 - 4 240

5 - 6 150

7 - 8 70

9 - 10 40

Ukupno 1000

Izračunajte prosječan broj djece izabranog uzorka. Na osnovu rezultata uzorka izračunajte 95% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa.

Primjer 5. Na području X djeluje 785 sportskih klubova. Sponzore zanima koliki je ukupni

prihod tih klubova. Slučajno je izabrano 35 klubova koji imaju prosječan prihod

35 340 kuna, uz standardnu devijaciju od 3 240 kuna.

S 99% pouzdanosti utvrdite ukupan prihod svih klubova na promatranom području. Napišite zaključak.

(Rj. 26616531,69; 28867268,32)

23

► Procjena proporcije osnovnog skupa

Primjer 1. Ispituje se raspoloţenje birača prema kandidatu X. U biračkom popisu navedeno

je 6000 građana. Iz popisa je slučajnim izborom izabrano 196 birača, od kojih je

138 izjavilo da će glasovati za kandidata X na predstojećim izborima.

Izračunajte granice u kojima se moţe očekivati proporcija svih birača kandidata X na predstojećim izborima. Razina signifikantnosti 95%.

(Rj. 0,64; 0.77)

Primjer 2. Iz osnovnog skupa od 6000 posjetilaca jedne nogometne utakmice, anketirano je

160 gledalaca. Na pitanje “da li su zadovoljni igrom svoje momčadi”, 10 anketiranih

odgovorilo je negativno.

Odredite proporciju gledalaca zadovoljnih igrom svoje momčadi s pouzdanosti 95%.

(Rj. 0.90; 0.98)

Primjer 3. Analizira se proporcija osiguranika poslovnice osiguravajućeg društva X koji su

sudjelovali u prometnim nezgodama u tijeku 2000. godine. Poslovnica ima 6432

osiguranika. U uzorku od 400 slučajno odabranih osiguranika njih 320 nije

sudjelovalo u prometnim nezgodama.

(a) Procijenite proporciju osiguranika poslovnice sudionika u prometnim nezgodama u 2000. godini jednim brojem.

(b) Odredite granice 95% intervala procjene proporcije navedene kategorije osiguranika.

(Rj. 0,16; 0.24)

Primjer 4. Od 10 000 gostiju jednog područja anketirano je 200 slučajno izabranih osoba.

4% anketiranih gostiju dalo je negativan odgovor na pitanje: "Da li ste zadovoljni

uslugom smještaja u hotelu?".

(a) Procijenite s 99% vjerojatnosti proporciju nezadovoljnih gostiju u tom osnovnom skupu. (b) Zaključak?

(Rj. 0.004; 0.076)

Primjer 5. Metodom slučajnog uzorka ispitano je 200 studenata na završnom ispitu. Od tih je

70 dobilo negativnu ocjenu. Na završnom ispitu bilo je ukupno 1000 studenata.

Odredite s vjerojatnošću od 95% nepoznatu generalnu proporciju studenata koji nisu uspjeli na završnom ispitu.

(Rj. 0.29; 0.41)

24

VJEŢBA 8 Korelacijska i regresijska analiza

Primjer 1. Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između

varijable X i varijable Y.

X 13,8 3,1 38,5 15,1 28,2 53,6

Y 6,0 2,7 13,6 3,4 10,1 19,7

U tu svrhu: nacrtajte dijagram rasipanja; izračunajte jednadţbu pravca regresije (Yc) i ucrtajte Yc u grafikon; analizirajte varijancu i ocijenite preciznost procjene jednadţbe Yc; izračunajte Pearsonov koeficijent korelacije; napišite zaključak.

(Rj. Yc=0,39+0,35x; r=0,98)

Primjer 2. Pomoću podataka iz tabele u prilogu:

X 798 121 1370 409 779 1421 168 548

Y 40,7 6,1 87,6 18,8 55,1 83,6 6,4 35,2

Izračunajte oba pravca regresije (Yc i Xc). Pomoću koeficijenta regresije (b i b') izračunajte koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i ucrtajte oba pravca regresije u taj

grafikon. Provjerite da li je sjecište tih pravaca u točki (X, Y). Zaključak?

(Rj. Yc=-0,41+0,06x; Xc=63,89+15,30y; r=0,96)

Primjer 3. Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između

varijabli X i Y.

X 1180 1322 1366 1010 1602 1226

Y 29,0 31,0 32,4 25,5 38,7 29,0

U tu svrhu izračunajte: jednadţbe pravaca regresije (Yc i Xc) i koeficijent korelacije (geometrijskom sredinom iz koeficijenata regresije

b i b'). ukupnu, protumačenu i rezidualnu varijancu (za Yc) i stupanj rezidualne varijance; koeficijent determinacije i Pearsonov koeficijent korelacije; koeficijent korelacije pomoću rezidualne varijance i koeficijent korelacije pomoću kovarijance.

(Rj. Yc=5,2+0,02x; Xc=75,96+44,02y; r=0,94)

Primjer 4. Zadana je tablica slučajnih varijabli:

X 1 3 4 6 8 9 11 14

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Odredite koeficijent korelacije i oba pravca regresije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.

(Rj. r=0,98; Yc=0,55+0,64x; Xc=0,50+1,50y)

25

Primjer 5. Zadane su slučajne varijable X i Y:

X 12 18 13 15 10

Y 14 8 16 20 15

Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.

(Rj. Yc=22,90-0,61x; Xc=17,98-0,30y; r=0,43)

Primjer 6.

Na razradbenom ispitu slučajno je odabrano 5 kandidata, te je izvršena

usporedba broja bodova postignutih na razradbenom ispitu i bodova dobivenih na

temelju ocjena postignutih u srednjoj školi. Dobivena je sljedeća tablica s

bodovima:

X 68 72 45 70 80

Y 95 80 63 100 90

Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.

(Rj. Yc=29,32+0,84x; Xc=8,79+0,68y; r=0,76)

Primjer 7. Na prvom i drugom kolokviju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je

bodove prikazane u tablici:

I.

kolokvij

80 78 91 45 47 77

II.

kolokvij

100 65 100 22 53 80

Odredite: oba pravca regresije, koeficijent korelacije, nacrtajte dijagram rasipanja, te napišite zaključak.

(Rj. Yc=-28,23+1,41x; Xc=45,64+0,34y; r=0,69)

Primjer 8. Dolasci i noćenja turista (u mil.)

Dolasci 7,1 7,9 8,3 8,8 9,4 10,0

Noćenja 39,1 43,4 44,7 46,6 47,8 51,4

Izvor: www.dzs.hr

Ispitajte da li postoji linearna veza između broja dolazaka i broja noćenja turista. U tu svrhu izračunajte: pravac regresije Yc, koeficijent korelacije, te komentirajte dobivene rezultate.

(Rj. Yc=12,55+3,84x; r=0,98)

Primjer 9. Temeljni kapital i aktiva hrvatskih banaka u 2005. godini ( u mil. kn)

Temeljni

kapital 1 098 1 666 1 333 1 434 1 324

Aktiva 63 408 47 370 28 651 19 307 30 335

Ispitajte jačinu i smjer veze između temeljnog kapitala i aktive odabranih banaka u Hrvatskoj u 2005. godini. Komentirajte dobiveni rezultat.

(Rj. r=0,33)

http://www.dzs.hr/

26

VJEŢBA 9 Korelacija ranga

Primjer 1. Dva stručnjaka banke neovisno ocjenjuju rizičnost naplativosti računa

potencijalnih korisnika kreditnih kartica banke Z&S. Ocjene su od 1 (najmanja

rizičnost) do 10. Ocjene su stručnjaka za 9 podnositelja zahtjeva:

Rang

stručnjaka

A

2 3 6 5 4 8 9 1 7

Rang

stručnjaka

B

3 2 5 4 6 8 7 1 9

Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0.05. Napišite zaključak.

(Rj. rs=0.87)

Primjer 2. Proizvodnja proizvoda A u tisućama komada (varijabla X) i ukupni troškovi po

jedinici proizvoda u kunama (varijabla Y) iznose:

Xi 550 580 620 700 750 815 895 997 1195 1541

Yi 60 54 50 45 36 32 25 23 18 10

Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 5% i 1%. Napišite zaključak.

(Rj. rs=-0.39)

Primjer 3. Zadane su slučajne varijable X i Y:

X 12 18 13 15 10

Y 14 8 16 20 15

Izračunajte koeficijent korelacije ranga i testirajte njegovu značajnost na razini 5% i 1%. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.

(Rj. rs=-0.10)

Primjer 4. Povjerenstvo turističke zajednice «Kvarner» ocjenjuje (rangira) 10 hotela prema

unutarnjem uređenju i kvaliteti usluga. Rangovi su sljedeći:

Rang unutarnjeg

uređenja (rx)

5 1 4 10 2 7 8 3 6 9

Rang usluga (ry)) 7 1 3 9 4 8 6 2 5 10

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti.

(Rj. rs=0.89)

27

Primjer 5. Sluţba za marketing ispituje reakcije potrošača na prodajnu cijenu novog

proizvoda. Područje drţave segmentirano je na 10 područja. Za svako je područje

određena posebna cijena proizvoda. Šest mjeseci poslije uvođenja proizvoda na

trţište dobiveni su ovi podaci po područjima:

Prodaja

u 000

komada

11.5 10.0 9.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.5 2.5 1.0

Cijena

po kom.

u kn

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0.05. Napišite zaključak.

(Rj. rs=-0.99)

Primjer 6. Dani su ovi parovi vrijednosti numeričkih varijabli:

Xi 352 373 411 441 462 490 529 577 641 692 743 801

Yi 166 153 177 201 216 208 227 238 268 268 274 302

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Napišite zaključak.

(Rj. rs=0.98)

Primjer 7. Na prvom i drugom kolokviju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je

bodove prikazane u tablici:

I.

kolokvij

80 78 91 45 47 77

II.

kolokvij

100 65 100 22 53 80

Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti.

(Rj. rs=0,93)

28

VJEŢBA 10 Analiza vremenskih nizova: grafičko prikazivanje, individualni

indeksi (veriţni i bazni indeksi)

Primjer 1. Prevezeni putnici (u tisućama) u cestovnom prometu u RH:

Godina 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Prevezeni putnici 83652 85764 85236 77595 64763 66556


O kojoj je vrsti statističkog niza riječ u ovom primjeru? Niz prikaţite grafički površinskim i linijskim grafikonom. Napišite zaključak.

Primjer 2. Mjesečni izvoz i uvoz Republike Hrvatske 2001. godine, u milijunima USD:

Mjesec I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Izvoz 321 375 397 344 388 409 374 425 397 498 343 389

Uvoz 537 638 815 742 957 845 814 689 744 843 744 676

Izvor: priopćenje DZS.

Usporedite izvoz i uvoz na jednom grafikonu. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza.

Primjer 3. Noćenja turista u RH:

Godina 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Ukupno 21860 30775 31852 27126 39183

Od toga stranih turista 16919 25114 26545 21885 34045


Usporedite navedene nizove odgovarajućim grafikonom i komentirajte ga.

Primjer 4. Robni izvoz i uvoz RH (u milijunima USD):

Godina 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Izvoz 4643 3981 4517 4302 4432

Uvoz 7784 9101 8276 7799 7887

Izvor: MSI, br. 1, 2002., str. 73

Izračunajte veriţne indekse izvoza i uvoza. Izračunate indekse prikaţite na jednom grafikonu. Napišite zaključak.

Primjer 5. Robni izvoz i uvoz RH (u milijunima USD):

Godina 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Izvoz 4643 3981 4517 4302 4432

Uvoz 7784 9101 8276 7799 7887

Izvor: MSI, br. 1, 2002., str. 73

Izračunajte indekse uvoza i izvoza (1996. = 100). Prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

29

Primjer 6. Robni izvoz i uvoz RH u milijunima US$:

Godina 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997.

Uvoz 3292 4957 3904 4260 4633 4512 4341

Izvoz 2334 4461 4666 5229 7510 7788 9123

Izračunajte bazne indekse uvoza i izvoza (1991. = 100). Bazne indekse prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

Primjer 7. Godišnji prihod tvrtke AGRO u milijunima kuna stalne cijene bio je:

Godina 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39

(a) Navedeni niz prikaţite grafički linijskim grafikonom. Što se na temelju grafikona moţe zaključiti?

(b) Izračunajte veriţne indekse i bazne indekse (1992. = 100).

Primjer 8. U tablici su dani podaci o upisanim studentima u RH u razdoblju od 1997/1998. do

2001/2002. akademske godine:

Ak. godina 1997/1998. 1998/1999. 1999/2000. 2000/2001. 2001/2002.

Broj

studenata

90.021 91.874 96.798 100.297 107.911

Navedeni niz prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom. Izračunajte veriţne indekse i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

Primjer 9. Tabela: Prijevoz robe u pomorskom prometu Republike Hrvatske

Godina 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997.

Roba

prevezena

morem

26 912 26 142 22 392 32 050 38 121 38 644 38 092

Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 1998., str. 293

Podatke iz tabele prikaţite grafički linijskim grafikonom. Izračunajte bazne indekse (1991. = 100) i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

Primjer 10. Tabela: Ukupan broj noćenja turista u Republici Hrvatskoj po mjesecima 1997. godine

Mjesec I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Noćenja 260 295 496 591 1524 2946 8944 11286 2924 537 251 260


Izračunajte veriţne indekse i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.

30

VJEŢBA 11 Trend modeli (linearni trend)

Primjer 1. Stanovništvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine):

Godina 1989. 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996 1997.

Stanovništvo 247 250 253 255 258 261 263 266 268

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak.

(Rj. (a) Yc=247,37+2,63x; (b) Yc=257,89+2,63x)

Primjer 2. Godišnji prihod tvrtke TREND u milijunima kuna stalne cijene bio je:

Godina 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.

Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak.

(Rj: (a) Yc=18,82+3,34x; (b) Yc=27,17+1,67x)

Primjer 3. Broj posjeta odabranoj web-stranici po mjesecima u 2006. godini (u 000)

Mjesec I. II. III. IV. V.

Broj posjeta 15,5 17,2 21,0 21,9 24,9

Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak.

(Rj. Yc=15,4+2,35x)

Primjer 4. Zaposlene osobe u RH (u 000)

Godina 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

Broj

zaposlenih

osoba

1 014

1 024

1 034

1 046

1 074

1 095


Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak.

(Rj. Yc=9035,86+114,25x)

Primjer 5. Proizvodnja artikala (u tisućama komada) bila je:

Godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002.

Komada 30 36 48 62 78 94 107 118 127

Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja. Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom.

http://www.dzs.hr/

31

Primjer 6. Noćenja turista u RH (u mil.)

Godina 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

Br. noćenja 39 43 45 47 48 51


Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini vremenskog niza. Napišite zaključak.

(Rj. Yc=45,50+1,10x)

Primjer 7. Prosječne mjesečne neto plaće zaposlenih

Godina 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

Neto plaća 3 326 3 541 3 720 3 940 4 173 4 376

Izvor: www.dzs.hr

Izračunajte: jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini veriţne indekse neto plaća sve prikaţite grafički napišite zaključak.

(Rj.Yc=3319,85+210,46x; Yc=3846+105,23x)

Primjer 9. Registrirana osobna vozila u tisućama (stanje potkraj godine):

Godina 1994. 1995. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Broj

vozila

8 11 15 22 36 63 125 288 776

Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja.

(Rj. Yc=-128,27+69,40x; Yc=149,33+69,40x)

http://www.dzs.hr/

http://www.dzs.hr/

32

Bilješke

zbirka zadataka iz statistike

Documents