SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS

GUÍA NÚMERO DOS

Área: Matemáticas

Período: 1

Fecha: 27 de marzo de 2020

Asignatura: Geometría Grado:

Institución Educativa: Centro Formativo de Antioquia CEFA

Docentes: María Lorena Patiño Orozco

Sesiones de trabajo:

1. Título:

Semejanza de triángulos y teorema de Tales.

2. Propósitos de la guía:

Comprende y aplica el concepto de semejanza de triángulos, interpretando la información que

proporciona el problema, para la solución de ejercicios donde se desconoce una variable, un

lado o un ángulo.

Aplica el teorema de Tales en la solución de ejercicios para resolver problemas cotidianos, de

las matemáticas y de otras ciencias.

Justifica de manera organizada y coherente cada uno de los pasos utilizados en la

demostración de triángulos semejantes, y los utiliza para la solución de ejercicios.

3. Estándares curriculares:

Conjeturo y verifico propiedades de semejanzas entre triángulos para la solución de problemas.

Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de

teoremas básicos.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en

otras disciplinas.

4. Estrategias metodológicas:

En el desarrollo de esta guía se evidenciará las 4 fases del modelo pedagógico.

Antes de iniciar los conceptos básicos, se formula una pregunta para que la estudiante se haga

una pequeña reflexión sobre saberes previos o al menos, para tenga una pequeña idea, del

tema que se va a abordar. (Vivencias)

Luego viene la parte correspondiente a conceptos básicos (Documentación)

La solución de ejercicios propuestos y la misma evaluación del tema (Aplicación)

Los últimos ejercicios planteados en el taller, tienen un mayor grado de dificultad, en este se

verán abocadas a consultar otros textos o pensar en otras estrategias más allá de lo planteado

en la guía (Profundización o Ampliación)

Encontrarás en esta guía el desarrollo de los conceptos básicos necesarios. Inicialmente los

criterios de semejanza de triángulos y posteriormente el teorema de Tales de Mileto y sus

respectivas aplicaciones. A continuación se resuelve 1 ejercicio por cada uno de los criterios

vistos, con la explicación de cada uno de los pasos ejecutados. Por último se plantea un taller

con el cual se pretende desarrollar competencias propias de matemática como la observación,

la comparación, la lógica, la deducción, la interpretación, la aplicación de conceptos y por

último servirá para verificar la comprensión de los temas trabajados.

Como lo mencionábamos en la guía anterior, es muy importante aprender a estudiar textos

matemáticos y una de las principales claves, es tener a mano papel y lápiz para verificar cada

enunciado, cada operación, cada paso que se da en la solución y explicación de ejercicios. No

debes proseguir, hasta no verificar renglón a renglón que todo está quedando claro.

5. Conceptos básicos:

Antes de empezar el desarrollo de los conceptos, observa las siguientes figuras y escribe en la

parte inferior si el par de objetos o personas son iguales, diferentes o semejantes.

Como ya utilizaste el término semejantes para clasificar las figuras, piensa: ¿Qué características

puede tener un par de triángulos semejantes?; ¿Cómo es el comportamiento de sus lados y de

sus ángulos? Explica.

Semejanza de triángulos

No necesariamente si en dos triángulos los ángulos de uno de

los triángulos son respectivamente congruentes con los ángulos

del otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Razones y proporciones

En primer lugar, es necesario saber la definición de ambos conceptos. La razón es la comparación

de dos cantidades y se mide a partir de la división de dos valores (𝑎

𝑏). Es importante saber que

esos valores precisan estar en la misma unidad de medida y que el denominador debe ser diferente

de cero (0).

Veamos un ejemplo:

Cuando se pide comparar la edad de Magnolia (15 años) con la edad de Josefina (45 años); una

manera rápida es expresarla: 45 𝑎ñ𝑜𝑠

15 𝑎ñ𝑜𝑠=

3

1 𝑜

15 𝑎ñ𝑜𝑠

45 𝑎ñ𝑜𝑠=

1

3 Lo cual nos permite deducir rápidamente

que una tiene el triple de edad de la otra o que una es la tercera parte de la otra.

La proporción es la igualdad entre dos o más razones. Esto es: Si 𝑎

𝑏 corresponde a la razón,

entonces 𝑎

𝑏 =

𝑐

𝑑 equivale a una proporción.

Semejanza:

Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma,

sus ángulos son respectivamente iguales (congruentes)

y sus lados proporcionales. Es decir, uno de

los polígonos es una ampliación o reducción del otro.

Criterios de semejanza de triángulos.

Primer Criterio: (A-A-A) O (A-A)

Observemos que así el criterio está establecido como A-A-A, es suficiente que un par de ángulos

sea respectivamente igual a los otros dos ángulos del segundo triángulo, ya que por una de las

propiedades de los triángulos, en la cual la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo da

180°, vamos a obtener que la medida de ese tercer ángulo es siempre igual en los dos triángulos.

En conclusión:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.

En el caso de dos triángulos rectángulos, es suficiente

con que un ángulo agudo en uno de ellos sea

congruente con un ángulo agudo del otro.

Pregúntate el porqué de esta afirmación.

Segundo Criterio: L-L-L: Dos triángulos son semejantes si sus tres

lados son proporcionales.

Es decir, el ABC A`B`C`si:

``` c

c

b

b

a

a = k (razón de semejanza); es decir, el cociente obtenido de

comparar dos lados homólogos, es siempre constante.

TERCER CRITERIO L-A-L: Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son

proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Es decir, el ABC DEF si:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐷𝐸̅̅ ̅̅=

𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐷𝐹̅̅ ̅̅ y ∡𝐴 ≅ ∡𝐷

Reflexiona:

1. ¿Son semejantes todos los triángulos equiláteros?

2. ¿Son semejantes todos los triángulos rectángulos isósceles?

3. Comprueba que, si dos triángulos son semejantes, la razón de sus perímetros coincide con la

razón de semejanza.

4. ¿Qué relación existe entre la razón de semejanza y la razón de sus áreas?

Teorema de Tales

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo

que es semejante al triángulo dado.

Tales de Mileto

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre

ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados.

Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo

se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del

teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo

de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el

cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Por el teorema de Tales, se cumple que:

𝐴

𝐵=

𝐷

𝐶

Del teorema de Tales se deduce además lo siguiente

(realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez,

consecuencia del mismo): Si las rectas 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅̅ 𝑌 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ son paralelas

y cortan a otras dos rectas 𝑙1 𝑦 𝑙2, Entonces los segmentos

que determinan en ellas son proporcionales.

Esto es: 𝑥

20=

8

10

Teorema de Tales en el triángulo:

Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a

los otros dos lados en segmentos proporcionales, por lo que

forman un triángulo semejante al primero.

''`` CB

BC

AC

AC

AB

AB

Imagen 1

Imagen 1(fuente):

https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/geometria/triangulo-thales.html

6. Ejercicios y actividades

Criterio A-A-A

Ejercicio 1:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ Son rectas paralelas, probar que:

a) ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐶

b) 𝑚∡𝐴 = 3𝑥 + 10 𝑦 𝑚∡𝐷 = 6𝑥 − 5, hallar el

valor de x, 𝑚∡𝐴 y 𝑚∡𝐷.

Solución a)

Paso 1: Identificar la información que brinda el problema y la que se puede deducir bajo

cualquier criterio, propiedad o teorema de la geometría.

Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ Son rectas paralelas, podemos hablar de ángulos alternos internos y alternos

externos, entre otros. Esta información nos deja concluir la congruencia de los ángulos A y D,

lo mismo que los ángulos B y E, ya que

son ángulos alterno internos. Hacemos un

distintivo diferente sobre los ángulos que

son congruentes.

También se observa la congruencia de los ángulos ACB y DCE puesto que son opuestos por el

vértice.

Ya que tenemos 3 ángulos en un triángulo, respectivamente congruentes a los tres ángulos de

otro triángulo, podemos utilizar el teorema A-A-A.

Paso 2: Organizar la demostración con sus respectivas justificaciones.

a) Ya teniendo la ruta del cómo y a dónde quiero llegar, organizo mis argumentos así:

1. ∡𝐴 ≅ ∡𝐷………………Porque son alternos internos

2. ∡𝐵 ≅ ∡𝐸………………Porque son alternos internos

3. ∡𝐴𝐶𝐵 ≅ ∡𝐷𝐶𝐸………..Porque son opuestos por el vértice

4. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐶 …..…………..Por 1, 2 y 3. Criterio A-A-A

𝑏) 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑚∡𝐴 = 3𝑥 + 10 𝑦 𝑚∡𝐷 = 6𝑥 − 5, podemos igualar estas dos expresiones ya que son

ángulos congruentes, afirmación hecha en el literal a, paso 2-1, de este mismo ejercicio.

3𝑥 + 10 = 6𝑥 − 5 De esta ecuación, despejamos x.

10 + 5 = 6𝑥 − 3𝑥 Separamos términos semejantes.

15 = 3𝑥 Reunimos términos semejantes.

Despejando x tenemos que 𝑥 =15

3= 5 . Respuesta: x=5

También nos pide en el ejercicio hallar 𝑚∡𝐴 y 𝑚∡𝐷. Reemplazamos el valor de x en las

expresiones iniciales.

𝑚∡𝐴 = 3𝑥 + 10 . Enunciado del ejercicio.

𝑚∡𝐴 = 3(5) + 10. Reemplazo el valor de x.

𝑚∡𝐴 = 15 + 10. Realizo operaciones indicadas.

𝑚∡𝐴 = 25. Realizo operaciones indicadas. Respuesta 𝑚∡𝐴 = 25

𝑚∡𝐷 = 6𝑥 − 5 . Enunciado del ejercicio.

𝑚∡𝐷 = 6(5) − 5. Reemplazo el valor de x.

𝑚∡𝐷 = 30 − 5. Realizo operaciones indicadas.

𝑚∡𝐷 = 25. Realizo operaciones indicadas. Respuesta 𝑚∡𝐷 = 25

Criterio L-L-L

Ejercicio 1:

Demostrar que los triángulos que

aparecen en la figura, son semejantes.

Solución

Si los triángulos son semejantes debe establecerse una relación de proporcionalidad ente sus

lados correspondientes; señalamos en la figura los

lados que se corresponden. Por tanto tenemos: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐷𝐹̅̅ ̅̅=

𝐶𝐵̅̅ ̅̅

𝐸𝐹̅̅ ̅̅=

𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐸𝐷̅̅ ̅̅. Reemplazamos el valor de sus lados.

28

20=

21

15=

14

10. Simplificamos cada expresión. (Tome

papel y lápiz y simplifique cada fracción)

7

5=

7

5=

7

5 . Después de simplificar, vemos que si cumple una relación de proporcionalidad, ya

que la razón entre la longitud de dos de los lados correspondientes en cada triángulo, se mantiene

constante para todos sus lados (sus fracciones son iguales). Por tanto podemos decir que los tres

lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados del otro triángulo.

De lo anterior concluimos, que los triángulos son semejantes por el teorema L-L-L.

Criterio L-A-L

Ejercicio 1:

En la siguiente figura demostrar

que ∆ 𝐷𝐸𝐶 ~ ∆𝐴𝐵

Solución

Ya tenemos un par de ángulos que son opuestos por el vértice, por tanto son congruentes. Solo

nos falta verificar que los lados adyacentes a cada ángulo son respectivamente proporcionales.

Señalamos en la figura, los lados que son

correspondientes entre sí. Veamos: 3

9=

8

24

Simplificando la expresión tenemos que: 1

3=

1

3

Otra forma de probar que los segmentos son

proporcionales es recurrir a una de las propiedades de las proporciones, en donde se puede

concluir que si 3

9=

8

24 entonces 3 ∗ 24 = 9 ∗ 8. En efecto se cumple la igualad ya que 72=72.

Por lo anterior se concluye que 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝐸𝐶̅̅ ̅̅

Paso 2: Organizar la demostración con sus respectivas justificaciones.

∡𝐴𝐸𝐵 ≅ ∡𝐷𝐸𝐶 Por ser opuestos por el vértice.

𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝐸𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝐸𝐷̅̅ ̅̅} Porque

9

3=

24

8; 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 3 = 3

∆𝐴𝐵𝐸~∆𝐷𝐸𝐶 Por el teorema L-A-L

PROBLEMA DE APLICACIÓN:

1)A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto

invertido de 4 m de radio y 16 m de altura, entra agua a

una razón determinada. Encontrar el radio (x) en un

instante en que el agua alcanza una altura de 12 m.

Observe que en el cono que aparece en la figura, solo nos

interesa el triángulo de la derecha.

Vamos a probar primero que los dos triángulos son semejantes (∆𝑂𝐷𝐸~∆𝑂𝐵𝐶) y luego de

haber probado semejanza, podemos establecer una relación de proporcionalidad entre sus

lados correspondientes y hallamos x.

Solución:

Paso 1:

Primero analizamos que información me está brindando el problema y cual se puede deducir bajo

cualquier criterio matemático, geométrico, o de otra ciencia. El nivel del agua siempre determina

rectas horizontales, no importa la altura de llenado del recipiente, en este caso el cono. Por esta

razón podemos afirmar que 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ . Si las rectas son paralelas y son cortadas por una

transversal, podemos hablar de ángulos alternos externos, alternos internos o correspondientes.

Procedemos a organizar los argumentos y sus respectivas justificaciones para probar que los

triángulos 𝐵𝑂𝐶 𝑦 𝐷𝑂𝐸 son semejantes.

Paso 2:

∡ CBD ≅ ∡EDO Porque son correspondientes.

∡ BCE ≅ ∡DEO Porque son correspondientes.

∡ O para el ∆BOC es el mismo ∡O para el ∆DOE, por tanto:

∡ O ≅ ∡𝑂 Propiedad reflexiva.

∆ 𝐵𝑂𝐶 ~ ∆ 𝐷𝑂𝐸 Por el teorema A-A-A

Como ya probamos semejanza, ya puedo establecer una relación de proporcionalidad entre partes

correspondientes de los dos triángulos en mención. Hablo de partes correspondientes porque se

puede relacionar, lados o ángulos, según los requerimientos del problema. Veamos cómo

quedaría nuestro planteamiento:

𝑥

4𝑚=

12𝑚

16𝑚 Recomiendo establecer esta relación de proporcionalidad, empezando siempre por la

incógnita. Esto facilita el despeje de la variable.

Despejando x tenemos: 𝑥 =4 𝑚∗12 𝑚

16 𝑚

Realizando las operaciones indicadas y simplificando las unidades, tenemos que 𝑥 = 3 𝑚.

7. Ejercicios y problemas propuestos

1. 𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑖 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,

𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒

∆ 𝐴𝐷𝐸 ~ ∆𝐴𝐵𝐶

2. 𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆ 𝐴𝐷𝐶 𝑠𝑖 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,

𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒

∆ 𝐴𝐷𝐶 ~ ∆𝐴𝐵𝐸

Ejercicios 3 y 4:

En la figura 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

3. Demostrar que ∆ 𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐶

4. Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 8, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 6 𝑦 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 3, hallar 𝐸𝐷̅̅ ̅̅

5. Demostrar que Δ ABC ~ ΔADE

Ejercicios 6 y 7

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:

6. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴𝐷𝐸

7. 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐸̅̅ ̅̅

Ejercicios 8 y 9

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ Se cortan en el punto E.

Demostrar que:

8. ∆ 𝐴𝐶𝐸~∆𝐵𝐷𝐸.

9. 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ . 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ . 𝐸𝐵̅̅ ̅̅

10. 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 20, 𝐸𝐶̅̅ ̅̅ = 12,

𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 10 𝑦 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑥 ,

Hallar x.

Ejercicios de profundización

11. 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ,

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 12 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ = 15 𝑦 ,

𝐹𝐶̅̅̅̅ = 10. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐸𝐶̅̅ ̅̅

12. Sobre una calle recta, un hombre se

aleja caminando desde un poste vertical

cuya lámpara está a 8 metros del suelo,

como se muestra en la Figura. Si el

hombre tiene una estatura de 1,60 metros,

¿a cuántos metros del poste se encuentra

cuando su sombra sobre el piso mide 4

metros?

13. Para calcular la altura de un árbol

muy alto, un guardabosques mide primero

la altura de un árbol más pequeño que

está sembrado a 40 metros del árbol alto.

Luego se desplaza hasta lograr que el

punto más alto de cada uno de los árboles

esté en la misma línea visual, como se

muestra en la Figura, y mide qué tan lejos

está del árbol pequeño. Suponiendo que el

guardabosque está a 9 metros del árbol

pequeño el cual tiene 6 metros de altura y

que sus ojos están a 1,50 metros por

encima del suelo, ¿cuánto mide el árbol

más alto?

14.Se tiene un

tanque de forma

de cono recto

invertido de 3 m

de altura y 2 m de

diámetro en la

parte superior. Si el tanque está

parcialmente lleno de agua, con 1.8 m

desde el vértice hasta la superficie,

calcule el radio de la superficie del agua.

En la Figura, las carreteras L y M son

paralelas y están unidas entre sí por otras

dos carreteras 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ que se intersecan

en un punto O. Teniendo en cuenta los

datos de la Figura, que están dados en

kilómetros, hallar la medida de las

carreteras 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

15. Un tanque tiene 3 metros de ancho.

Un hombre de 1,50 metros de estatura

observa, como se muestra en la Figura,

que cuando se ubica a un metro del borde

del tanque, la línea visual une el punto C

en el borde del tanque con el punto A en

el fondo. ¿Cuál es la profundidad del

tanque?

16. El ∆𝐴𝐵𝐶 es isósceles,

Con 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

Si 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ es la altura relativa a la base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,

y si 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,

ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ .

17. 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 14, 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 12 ,

𝐸𝐵̅̅ ̅̅ = 4, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 15,

∡𝐶 ≅ ∡𝐷 𝑦 𝑠𝑢 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑋°.

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Ejercicios 18 y 19

En la figuras que se muestran a continuación

L ll M.

18. Se pide probar que ∆ 𝐴𝐵𝑂 ~ ∆𝐷𝐶𝑂

19. Hallar la medida de los segmentos

𝐴𝑂̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝑂̅̅ ̅̅

8. Evaluación

Para poder presentar la evaluación de este tema en línea deben enviar su contacto al correo

malopavirtual@gmail.com

9. Referencias bibliográficas

Barnett, R. A adaptada Uribe J. A. (1988). Algebra y geometría 2. Bogotá, Colombia: McGraw-

Hill.

https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/geometria/triangulo-thales.html