CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL

Y DE SERVICIOS NO.-50

MODULO VI:

MATEMÁTICAS

SUB MODULO:

MATEMÁTICAS APLICADAS

ALUMNO:

MORALES BENITEZ NOEMI YERELY

SANCHEZ RODRIGUEZ FATIMA AIDE

NAVA SANCHEZ LUZ MARIA

GARCIA REYES DANTE DE JESUS

LUCIOS SANTOS ANA LUISA

PORTADA

FORMATO DESARROLLO

DIBUJOS

CONCLUSIONES

ORTOGRAFIA

CALIFICACIÓN

PROFESOR:

ING. IVAN ACAL ALVARADO

GRUPO: 6 C

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS

TAREA NO.-

FECHA 13/02/2013

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolución de triángulos: Si bien un triangulo consta de 3 elemento:

3 ángulos y 3 lados esta perfectamente determinado si se conocen

tres de ellos, siempre que uno de los datos sea un lado. Resolver un

triangulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se

conocen los otros tres.

Triángulos rectángulos: En el caso de los triángulos rectángulos

como tienen un ángulo recto, están determinados es decir se pueden

resolver cuando se conocen dos de sus elementos siempre que uno

sea un lado. Esto nos conduce a los siguientes casos de resolución de

triángulos rectángulos.+

1.- Dados los dos

2.- Dados un cateto y la Hipotenusa

3.-Dados un cateto y un ángulo agudo

4.- Dado la Hipotenusa y un ángulo agudo

Primer caso:

Datos:

b = 50 m a= b² + c²

C = 64 m Tan B = b/c

A = 90 ° C = 90° - B

Calculo de a.

a= b² + c² = 50² + 60² = 2500 + 4096 = 6596 = 81.21 m

Calculo de B.

Tan B = b/c = 50/ 64 = 25/32 = 0.78125

B = 38°

Calculo de C

C = 90° - B = 90° - 38° = 52°

Segundo Caso: Dados un cateto y la hipotenusa

Datos

a = 60 cm Formulas

c = 28 cm b = a² - c² B = 90° - C

A = 90° sen C = c/a

Calculo de b.

B = a² - c² = 60² - 28² = 3600 - 784 = 2816 = 53.06 cm

Calculo de C.

Sen C = c / a = 28/60 = 14/30 = 7/15 = 0.46666 C = 27° 49’

TEOREMA DE PITAGORAS

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un

triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los

cuadrados construidos sobre los catetos.

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la

definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos

"triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual

al cuadrado de c (c²):

El teorema del coseno es una generalización del teorema de

Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza,

normalmente, en trigonometría

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y

con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de

teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de

Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o,

dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se

reduce a:

Que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado

desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación para resolver un triángulo, y

saber determinar

el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo

y los lados adyacentes:

.

los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres

lados:

.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones

de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir,

cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su

equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos

triángulos semejantes ABC y A'B'C'

RESOLUCION GENERAL DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se puede aplicar la

ley de los senos, la ley de las tangentes, como veremos a

continuación.

LEY DE LOS SENOS. “Los lados de un triangulo son

proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Para la demostración consideramos dos casos:

PRIMER CASO: El triangulo el triangulo es acutángulo. Sen ABC (Fig.331) un

triangulo acutángulo.

Tracemos las alturas CD y AE. C E

En el ACD: CD / b = sen A:

CD= b sen A. (1)

En el BCD: CD/a = a sen B. (2) b d

a /sen A = b / sen B (3)

AE = b sen C (4) A

B

AE = c sen B (5) D e

B / sen B = c/ sen C (6)

COMPARANDO (1) Y (2), TENEMOS b sen A = a sen B;

En el ACE: AE /b = sen C:

En el ABE: AE/ c= sen B;

Comparando (3) y (6), tenemos:

a/ sen A= b/sen B= c/sen C

Segundo caso: el triangulo es oblicuángulo. Sea ABC

RESOLUCION DE TRIANGULOS

Tracemos la altura CD y AE. CD = a sen B

(1)

En el CDB: CD /a = sen B:

En el CDA: CD /b = (180 -----A) = sen A: CD = b sen A

(2)

Comparando (1) y (2):

A sen B = b sen A: C

A / sen A = b / sen B (3)

En el AEC:

AE/b= b sen C (4) b E

En el AEB: 180° d

AE/ C = sen B D

B

Comparando (4) y (5) tenemos: A c

B sen C = C sen B

b/ sen R = c / sen C (6)

Comparando (3) y (6) tenemos:

A7 sen A = b / sen b = c/ sen C

LEY DEL COSENO. “el cuadrado de un lado de un triangulo es igual a la suma

de los cuadrados de los otro lados, menos el dato del producto de dichos

lados, por el cosenos del ángulos que forman”

Para la demostración consideramos dos casos:

Primar caso: El triangulo es acutángulos.

Sea ABC. Un triangulo acutángulo

B

C d

A D b C

GEOMETRIA PLANA O DEL ESPACIO

Por el teorema generalizado de Pitágoras, tenemos:

a(a)= b(b) + c(c) – 2b AD (1)

Pero: AD / e = cos A : AD= c cos A (2)

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: B

A(a) = b(b) + c (c) – 2bc cos A

Analógicamente se demuestra: c a

B(b)= a(a) + c(c) – 2ac cos B: 180° - A

C©= a(a) + b (b) – 2ab cos C D C

A b

SEGUNDO CASO: El triangulo es obtusángulo.

Tenemos la altura BD prolongado AC sea (A) 90°.

Por el teorema generalizado de Pitágoras, Tenemos:

A(a)= b(b) + c(c) + 2b AD (1)

Pero: AD / e = cos (180 – A ) = - cos A : AD=- c cos A

(2)

Sustituyendo dos en uno tenemos

A(a)= b(b) + c(c) + 2b ( -c cos A):

A(a)= b(b)+ c(c)- 2bc cos A.

LEY DE LAS TANGENTES

“En todo triangulo oblicuángulo. La diferencia de dos de sus lados es a

su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos

apuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de

dicha ángulos”

Demostracion:

A/ sen A = b / sen B:

a/b = sen A / sen B

RESOLUCION DE TRIANGULOS

a-b/a= sen A – sen B/sen A

(1) Propiedad de las p

Proporciones

a+b/a=sen A + sen B / sen A

(2)

Dividiendo (1) por (2), tenemos:

a-b /a/a+b/a = sen A – sen B / sen A / sen A+ sen B / sen A

a-b / a+b = sen A – sen B / sen A + sen B

GOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

419… SEGUNDO CASO. RESOLVER UN TRIANGULO CONOCIDOS

DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDO: EJEMPLO:

RESOLVER EL TRIANGULO CUYOS DATOS SON:

A= 68° 18´ b=6 c=10

DATOS: FORMULA:

a= 68° 18´ a= b² + c² -

2bc cos A

b= 6 a²+ c² -b²0

cos B= 2ac

c= 10 cos C= a² + b² -

c²

2ab

CALCULO DE a.

a= b²+c² -2 bc cos A = 6² +10² - 2 x 6 x cos 68°

18´

a= 36+100 – 120 x 0.36975 =

136 – 44.37 = 91.36

a= 9.57

CALCULO DE b.

Cos b= a²+ c² - b² = 9.57² + 10² - 6² = 91.63 + 100 - 36

2 ac 2x 9.57 x 10 191.4

Cos b= 191.63 – 36 = 155.63 = 0.81311

191.4 191.4

b= 35° 36´

CALCULO DE c.

Cos c= a² + b² - c² = 9.57² + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100

2ab 2x 9.57 x 6 12x 9.57

Cos c= 127.63-100 = 27.63 = 0.24059

114.84 114. 84

420… TERCER CASO: DADOS UN LADO Y DOS ANGULOS

DATOS:

FORMULAS:

A= 80° 25´

A+B+C= 180°

B= 35° 43´ a

= b = c

C= 60 sen

A sen B sen C

CALCULO DE c.

A+B+C= 180°, 80° 25´+ 35° 43´ + C = 180°; 116° 8´ + C= 180°

C=180° - 116° 8´ = 63° 52´

CALCULO DE a.

a = c a = 60

Sen A sen C sen 80° 25´ sen 63° 52´

a = 60

0.98604 0.89777

a= 60 x 0.98604 = 59.16240 = 65.88

0. 89777 0. 89777

CALCULO DE b.

B = c b = 60

Sen B sen C sen 35° 43´ sen 63° 52´

B = 60

0.58378 0.89777

b= 60x 0.58378 = 39.01

0.89777

HALLAR EL AREA DEL TRIANGULO CUYOS LADOS SON : a= 18,

b= 26

Y c= 28

P= a + b+ c p – a =

36- 18 = 18

2

P= 18 + 26 + 28 p- b =

36- 26 = 10

2

P= 72 = 36 p- c = 36

– 28 = 8

2

Aᵼ= P(p-a) (p- b) (p-c) = 36 x 18 x 10 x 8

Aᵼ= 36 x 9 x 2 x 2 x 5 x 4 x ² = 36 x 9 x 4 x 5 x 4 x 2

Aᵼ= 6 x 3 x ² x ² 5 x ² = 72 10 = 72 x 3.

162

Aᵼ= 227.694

SEGUNDO CASO: DADOS LOS LADOS Y EL ANGULO

COMPRENDIDO. SI LOS LADOS SON a Y b Y EL ANGULO

COMPRENDIDO C SE UTILIZA LA FORMULA:

A = ½ bh (1)

DEMOSTRACION DE LA FORMULA:

h = sen C

a

h = a sen C (2)

Sustituyendo (2) en (1)

Aᵼ = ½ b asen C

Análogamente se obtiene:

Área= ½ bc sen A

Área= ½ ac sen B

EJEMPLO: Hallar el triangulo cuyos datos son a= 7 b = 8 y C = 30°

RESOLUCION DE TRIANGULOS:

Aᵼ= ½ AB SEN c =½ X 7 X 8 SEN 30°

Aᵼ=½ X 56 X 0.5 = 28 X 0.5 = 14

Tercer caso: dados un lado y dos ángulos de la formula anterior:

Aᵼ= ½ ab sen C (1)

Y de la ley de los senos: a = b

Sen A sen B

Se deduce, despejando b: b= a sen B

Sen A

Y sustituyendo en (1)

Aᵼ= ½ a (a sen B) sen C

Sen A

Análogamente se obtiene:

Aᵼ= b² sen A sen C Aᵼ= c² sen A sen B

2 sen B 2 sen C

Ejemplo: Hallar el área del triangulo cuyos datos son A= 70° B = 50° y

C = 50

Aᵼ= c² sen A sen B = 50² sen 70° sen 50°

2 sen C 2 sen 60°

Aᵼ= 2500 x 0.93969 x 0.76604 = 1250 x 0.93969 x 0.76604

2 x 0. 86603 0. 86603

Aᵼ= 899.7575 = 1038.9

0.86603

RESOLVER LOS SIGUIENTES TRIANGULOS OBLICUANGULOS:

1) a=41 R=b=19.5

B=27° 50´ C=32.5

C=51° a=101° 10´

2) a=78.6 R= b=50

A=83° 26´ c=66.6

B=39° 13´ a=57° 21´

3)a=1048 R=b=1136.8

A=63° 20´ c=767.6

B=75° 47´ C=40° 53´

4) b=50 R=a=60

A=57° 7´ c=70

C=78° 28´ B=44° 25´

5)b=31.5 R= B=70° 32´

A=48° 25´ a=25

C=61° 3´ c=29.25

6) c=547.5 R= b=374

B=41° 27´ a=318

C=104° 18´ A=34° 15´

7)b=40 R= a=32.6

B=103° 37´ c=16.8

C=24° 5´ A=52° 18´

8) b=61.5 R=a=42.30

A=29° 14´ c=83.44

B=45° 18´ C=105° 15´

9)c=15 R=b=4

C=112° 37´ a=13

A=53° 8´ B=14° 15´

10) c=24.8 R= a=50

B=52° 21´ b=40

C=29° 30´ A=98° 9´

DESAROLLO DE PROBLEMAS

CONCLUSION

Este trabajo nos hizo comprender, analizar, y razonar con

profundidad sobre las teorías que deben aplicarse en la

resolución de distintos triángulos los cuales constan de

tres lados y tres ángulos utilizamos el teorema de

Pitágoras, Ley de cosenos.

En cuanto a la resolución de los problemas de triángulos oblicuángulos solo utilizamos que A+B+C=180 GRADOS y a = b =c Sen A sen B sen C