bcap 16 triangulos oblicuangulos

7/31/2019 BCAP 16 TRIANGULOS OBLICUANGULOS

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CAPTULO16TRINGULOSOBLICUNGULOS

JohannMLLER

Astrnomo y matemtico alemn que realiz trata-dos sobre la trigonometra y la astronoma, inven-tor de diversas herramientas para la observaciny la medida del tiempo.Su obra se compone de cinco libros llamados: Detriangulis omnimodis, publicada en Nuremberg70 aos despus de haber sido escrita! Es intere-sante desde el punto de vista matemtico, ya queen el primer libro se establecen las defi nicionesbsicas de radio, arcos, igualdad, crculos, cuer-

das y la funcin seno. En el segundo, la ley de senos para la resolucinde problemas con tringulos, y del tercero al quinto libros se expone latrigonometra esfrica.

Johann Mller Von

Knigsberg

(regiomontanus)

1436 - 1476


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Solucin de tringulos oblicungulos

Un tringulo es oblicungulo cuando sus tres ngulos son oblicuos, es decir, no tiene un ngulo recto. Este tipo de

tringulos se resuelven mediante la ley de senos, de cosenos o de tangentes.

Ley de senos

La razn que existe entre un lado de un tringulo oblicungulo y el seno del ngulo opuesto a dicho lado es proporcionala la misma razn entre los lados y ngulos restantes.

C

Ley de senos:


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Ley de cosenos

El cuadrado de un lado de un tringulo oblicungulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes,

menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ngulo opuesto al lado buscado.

Ley de cosenos:

a2 = b2 + c2 2bc cos A

b2 = a2 + c2 2ac cos Bc2 = a2 + b2 2ab cos C

C

A B

b a

c


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Ley de tangentes

En todo tringulo oblicungulo la razn entre la dierencia de 2 lados y la suma de los mismos, es igual a la razn

entre la tangente de la semidierencia de los ngulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma

de dichos ngulos.

Frmulas:

a c

a c

tan A C

tanA C

+

=

+

2

2

,b c

b c

tan B C

tanB C

+

=

+

2

2

ya b

a b

tan A B

tanA B

+

=

+

2

2


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Resuelve el siguiente tringulo oblicungulo de acuerdo con los datos proporcionados.

A B

C

c

ab

1. B = 57 20, C= 43 39, b = 18

2. A = 63 24, C= 37 20, c = 32.4

3. A = 85 45, B = 26 31, c = 43.6

4. C= 49, A = 54 21, a = 72

5. B = 29, C= 84, b = 12.3

6. A = 32, B = 49, a = 12

7. a = 5, A = 32, b = 8

8. c = 13, b = 10, C= 35 159. B = 56 35, b = 12.7, a = 9.8

10. a = 9, c = 11.5, C= 67 21

11. a = 15, b = 16, c = 26

12. a = 32.4, b = 48.9, c = 66.7

13. a = 100, b = 88.7, c = 125.5

14. a = 15, b = 12, c = 20

15. a = 12, b = 15, C= 68

16. a = 28, c = 32, B = 76

17. b = 45, c = 75, A = 35

18. a = 12.6, b = 18.7, C= 56

Demuestra que para el tringulo se cumple:

a

sen A

b

sen B

c

sen C= =

a2= b2 + c2 2bc cos A

b2 = a2 + c2 2ac cos B

c2=a2+b2 2ab cos C

EJERCICIO 53

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente


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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN

Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un punto P a 100 metros del puntoM;

al medir los ngulos resulta que M= 110 y P = 40. Cul es la distancia entre los puntosMy Q?

Solucin

Se realiza una fgura que represente el problema:

40

Q

M

P

100 m

110d

De acuerdo con los datos se determina el valor de Q:

Q = 180 110 40 = 30

Sea MQ = d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene:

d

sen 40100

=sen 30

De la cual se despeja d:

d=(100)(sen 40)

sen 30=

100 0 6427

0 5

( )( ).

.= 128.54

En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.

Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edifcios, 250 m y 380 m, respectivamente. Si el nguloormado por los 2 edifcios y el observador es 38 20, precisa la distancia entre ambos edifcios.

Solucin

250 m

d

38 20

P

380 m

Sea dla distancia entre ambos edifcios; entonces, por la ley de cosenos:

d cos= ( ) + ( ) ( )( ) = +250 380 2 250 380 38 20 62 5002 2 ' 1144400 149038.98 240 55 .=

Finalmente, la distancia entre los edifcios es de 240.55 m.

22

1


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Se inscribe un octgono regular de lado 1 cm en una circunerencia; determina el rea del crculo.

Solucin

Si se inscribe un polgono regular en una circunerencia, la distancia del centro al vrtice es el radio, si se trazan 2

radios a 2 vrtices se orma un tringulo issceles y la medida del ngulo central es360

8

= 45, como lo muestra

la fgura:

45 r r

1 cmx x

Seaxla medida de cada ngulo de la base en un tringulo issceles, entonces:

2x+ 45 = 180 S 2x= 135 S x=135

2

= 67.5

Por la ley de senos se tiene la igualdad:

1

sen 45

=r

sen 67.5Al despejar rde la expresin anterior:

r=sen 67.5

sen 45= 1.3 cm

Luego, el rea del crculo est dada por la expresin:

A = r2

Se sustituye r= 1.3 cm y se obtiene:

A = (1.3 cm)2 = 1.69cm2

3

Resuelve los siguientes problemas:

1. Para establecer la distancia desde un puntoA en la orilla de un ro a un puntoB de ste, un agrimensor selecciona

un punto P a 500 metros del puntoA, las medidas de BAP y BPA son 38 y 47 32. Obtn la distancia entre

A yB.

P

500 m

EJERCICIO 54


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2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7

y 1.2 cm. Determina la distancia entre los extremos de dichas

manecillas a las 13:30 horas.

d

3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con di-

reccin sur 3020O. Una segunda embarcacin sale del mismo

puerto a las 11:30 h a 12 km/h con direccin norte 45O. Qu

distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?

N

S

EO

45

30 20

4. La distancia entre 2 puntos A yB es de 20 km. Los ngulos deelevacin de un globo con respecto a dichos puntos son de 58 20

y 67 32. A qu altura del suelo se encuentra?

A B

58 20 67 32

20 km

5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se

localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con

un ngulo de elevacin de 30 y la parte superior de sta con un

ngulo de 70. Determina la altura de la antena.

3.7 m

70

h

30


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6. Cul es la longitud de los lados de un pentgono regular ins-

crito en una circunerencia de 4 centmetros de radio?

4 cm

4 cm

l

7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones orman un

ngulo de 74 23. Despus de una hora, uno de ellos se encuentra

a 225 km de la ciudad, mientras que el otro est a 300 km. Cul

es la distancia entre ambos aviones?

74 2325 km

300 km

8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros

de altura. Si el ngulo del plano con respecto a la horizontal es de

20, calcula la longitud de un cable que llegara de un punto a

300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.

20

20 m

300 m

9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una veloci-dad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en direccin noreste,

otro buque viaja a razn de 80 km por hora. A qu distancia se

encontrarn uno del otro despus de media hora?

45

80 km/h

70 km/h

N

S

EO

d


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10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago

son 145 y 215 metros, mientras que el ngulo entre las 2 visuales

es de 56 10. Calcula la distancia entre los extremos del lago.

56 10

P

A

B

145 m215 m

d

11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su dia-

gonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe

que el ngulo entre la diagonal y el primer lado es de 28 30.

20.8 cm46.3 cm28 30

d

12. Si ABCtringulo cualquiera y DE es el dimetro de la circun-

erencia, demuestra que:

DEAB

sen C

BC

sen A

CA

sen B = = =

A

B

C

D EO

13. Observa la siguiente fgura:

P

QR

rq

p

a) Demuestra que dado un lado y 2 ngulos adyacentes, el rea del tringulo ser:

Ar sen Q sen P

sen Q P

q sen P sen

2 2

=

+( )

=2

R

sen P R

p sen R sen Q

sen R Q2 2

2

+( )

=

+( )b) Demuestra que el rea del tringulo est dada por cualquiera de las siguientes rmulas:

A r sen P sen Q csc R1

2= 2

Ap q r

p q rcos P cos Q

2 1

2

1

2=

+ +

1

2cos R

FORMA TRIGONOMTRICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS


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FORMATRIGONOMTRICADELOSNMEROSCOMPLEJOS

ReseaHISTRICA

Abraham de Moivre es conocido por lafrmula de Moivre y por su trabajo en la distri-bucin normal y probabilidad. Fue amigo

de Isaac Newton y Edmund Halley. En 1697 fueelegido miembro de Royal Society de Londres.

La frmula de Moivre afi rma que:xRnZ(cos u+ i sen u)

n=(cos n u+ i sen n u)

Esta frmula es importante porque conecta los n-meros imaginarios con la trigonometra.

Abraham de Moivre(1667-1754)

Forma trigonomtrica o polar


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Forma trigonomtrica o polar

Sea el nmero complejo z = a+ bi, r=z = a b2 2+ su valor absoluto yu= arc tanb

a

el argumento o mdulo de

z, entonces su orma trigonomtrica o polar se defne como:

z = r(cos u+ i sen u)= r cis u = rq con cosu + isenu = cisu

Demostracin

En el tringulo

cos u=a

r, sen u=

b

r

Al despejar a y b respectivamente

a = r cos u, b = r sen u

Si sustituyes enz = a + bi, obtienes:

z = r cos u+ i r sen u= r(cos u+ i sen u)= r cis u= rq

z = a + bi

P(a, b)

r

a

b

Real

Imaginario

z = 4 + 3iz = 5 cis 36 52

3652

4

3

0 Real

Imaginario

451

z = 2 cis 135

Real

Imaginario

1 0

Transorma el complejoz = 4 + 3i a su orma trigonomtrica con 0 u 360.

Solucin

Se obtiene u y r, entonces:

u = arc tanb

a

= arctan3

4

= 36 52

r= 4 32 2

( ) + ( ) = 16 9+ = 25 = 5

Por tanto, la orma trigonomtrica es:

z = 5(cos 36 52 + i sen 36 52)

z = 5 cis 36 52 = 5 36 52

Transorma el complejoz = 1 + i a su orma trigonomtrica con 0 u 360.

Solucin

Se obtiene u y r, entonces:

u = arc tan1

1

= 135

r= ( ) + ( )1 12 2 = 1 1+ = 2

Por tanto, la orma trigonomtrica es:

z = 2 (cos 135 + i sen 135)

z = 2 cis 135= 2 135

22

1

EjemplosEJEMPLOS

Resuelve lo que se te pide.


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q p

21. Siz = 3 cis 120, determinaz2

22. Encuentra z4siz =3(cos 25+ i sen 25)

23. Determina z3siz =5 cis 15

24. Encuentra z siz =16 cos i sen

3 3+

25. Si z =64 cis 120,determina z6

26. Encuentra z3

si z =1

27. Si z =4 cis

9y z

1=

3

2cis

2

9

, determina (z z

1)2

28. Si z =2(cos 30+ i sen 30)y z1=4(cos 60+ i sen 60),determina z z

1

3

29. Encuentra el resultado de: 22

7(cos 36 + i sen 36)(cos 32 + i sen 32)

30. Determina el resultado de: 812 12

2

3

cos i sen +

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

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