SEMANA 02TRIÁNGULOS I

1. En la figura, calcule el valor de “x”

A) 40° B) 45° C) 50°

D) 60° E) 80°

RESOLUCIÓN

APC: 2 + 2 + 100 = 180°

+ = 40°

Luego:

: + +x = 100°

40 + x = 100 x = 60°

2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”

A) 10º B) 20º C) 30º

D) 40º E) 22º 30’RESOLUCIÓN

Si: a + b + c = 130°

Propiedad del cuadrilátero:

a + b = 2x + 90º

130º = 2x + 90º 2x = 40º

3. En el gráfico: ABC es equilátero y .

Calcule: “x”.

A) 100º B) 98º C) 105º

D) 120º E) 110º

RESOLUCIÓN

El ABC es equilátero:

(30°) + (180° -x°) = x°

210° = 2x° x° = 105°

4. Calcule el valor de “” , si AB = BC y AC = CE = ED.

A) 10º B) 15º C) 12º

D) 18º E) 24º

RESOLUCIÓN

ACE:

10 = 180° = 18°

5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD.

A) 15º B) 20º C) 35º

D) 45º E) 55º

RESOLUCIÓN

En el ABC

x + 20° = 65° x = 45°

6. En la figura se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:

A) B) a-b-c = 0

C) D)

RESOLUCIÓN

DEF es equilátero se cumple:

60° + b = +a .............. ( 1)

+c = 60 + a .............. ( 2)

De (1) a (2)

7. En la figura, x+ y + z = 360°; siendo x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

RESOLUCIÓN

Se cumple:

m + n + + = 360° ...... ( 1 )

m +n = + ................ ( 2 )

(2) en (1)

1 + 1 + 2 = 360°

x + y + z = 4

8. Calcule x + y, si: m + n = 150º

A) 150° B) 200 ° C) 225°

D) 255° E) 270°

RESOLUCIÓN

x = 90º + y = 90º +

Sumando x + y = 180 + ... (I)

Dato: m + n = 150º ... (II)

Reemplazando (II) en (I)

x + y = 180 +

x + y = 180 + 75º x + y = 255º

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF.

A) 50º b) 30º C) 45º

D) 70º E) 60º

RESOLUCIÓN

ABF : x+x+15º +x+15º = 180º

3x = 150º x = 50º

10.Si AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC.

A) 15º B) 18º C) 30º

D) 36º E) 20º

RESOLUCIÓN

Completando ángulos:

mBAC = mACB = 4x

mDAC = x

ACD : 4x + 4x + x = 180º x = 20º

11.En la figura mostrada, calcule “x”.

A) 60º B) 40º C) 80º

D) 70º E) 50º

RESOLUCIÓN

exterior: 8 + x = 8

x = 8( - )

3 + 30º = 3

- = 10º x = 80º

12.En la figura, calcule “x”:

A) 8° B) 15° C) 12°

D) 18° E) 10°

RESOLUCIÓN

4 + 4 = 40º +180º + = 55º

3 + 3 = x = 180º

3. 55 + x = 180º x = 15º

13.En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.

A) 20 B) 21 C) 22

D) 26 E) 25

RESOLUCIÓN

Dato: a + b = 36

ABC : x < 10 +a .................. ( I)

ACD : x < 8 + b .................. ( II)

(I) + (II) 2x < 10 + 8 + a + b

2x < 54 x < 27 xmax = 26

14.En la figura, calcule: “x”.

A) 144º B) 150º C) 136º

D) 160º E) 120º

RESOLUCIÓN

x + = 180º x =180º -

2 +2 + = 5 = 180º = 36º

x = 180º - 36º = 144º15.Halle el valor entero de “x”, AB=AE=CD

A) 82º B) 83° C) 84°

D) 85° E) 86°

RESOLUCIÓN

* EPD, m AEP = x + 4º

** ABE isósceles

m AEB = m ABE = x + 4º

m BAE = 180º 2(x + 4º) ... (I) *** x + 4º < 90º x < 86º ... (II)

**** ACD a mayor lado se opone mayor ángulo, 180º 2(x+4º) < 4º

84º< x ................................(III)

***** De (II) y (III)

84º < x < 86º x = 85º

16.Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.

A) 62º B) 82º C) 88º

D) 92º E) 98º

RESOLUCIÓN

* 2x y + x + y + y x = 180

2x + y = 180 y = 180 2x ... (I)

** En A:

2xº yº > 0º (no existe ángulo

negativo), Luego,2xº > yº...(II)

*** (I) en (II)

2x > 180º 2x 4x > 180 x > 45

**** El mínimo valor entero de “x” es 46º

***** (III) en (I)

yº = 180º 2(46º) yº = 88º

17.Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP intersectándose en “O”. Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC.

A) 20 B) 21 C) 23

D) 25 E) 27

RESOLUCIÓN

Del gráfico: > 90º (obtuso)

AOC: 12 < AC < 16

ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²

ADC: 2 < x < 28 xmax = 27

18.En ΔABC, S y R son puntos que pertenecen a y Si : AC = AS = RC, mSAR =

10° y mRAC = 50°. Calcule mSRA.

A) 20° B) 30° C) 40°

D) 25° E) 15°

RESOLUCIÓN

Se une S y C ASC equilátero SRC

Isósceles

x + 50° = 80° x = 30°

19.Se tiene un Δ equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD.

A) 5° B) 10° C) 15°

D) 18° E) 20°

RESOLUCIÓN

Como la m BDA = 30° es la mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB ,

entonces:

AC = CB = CD

mCBD = mCDB

x+30° = 40° x = 10°

m CAD = x = 10°

PROBLEMAS ADICIONALES

01. Si BD = 5 y BC = 7 Hallar AD

A) 20° B) 30° C) 40°

D) 25° E) 15°

02. Hallar el valor de “x” en:

A) 20° B) 30° C) 40°

D) 25° E) 15°

Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se debe a que los ignorantes están completamente seguros, y los inteligentes llenos de

dudas.