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Seleccion de Portafolios Optimos Usando Clusters
DJ ES
21 de noviembre de 2013
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 1 / 68
Contenido
1 Motivacion
2 Similitud entre activosSimilitud entre activos
3 Estrategias de Clusteringk-medoidesNumero de ClustersClustering Jerarquico
4 Meta-heurıstico de Optimizacion de PortafolioMeta-heurıstico GeneralMeta-heurıstico con Cardinalidad
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Motivacion
Definimos los invariantes como:
Xi ,t,τ = ln(Pi ,t
Pi ,t−τ) (1)
Donde Pi ,t es el precio de una accion en el momento t en un horizonte deestimacion de tamano τ .
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Motivacion
El problema clasico de seleccion de portafolios se puede escribir como:
mınwTΩw (2)
Sujeto a: ∑i
µiwi = r∑i
wi = 1
wmini ≤ wi ≤ wmax
i
(3)
Donde w es un vector de ponderaciones, r es una constante, µ y Ω son lamatriz de medias y las covarianzas de los invariantes Xi .
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Motivacion
Moviendo valores de r se pueden graficar en el espacio deretorno(
∑i µiwi ) y varianza(wTΩw) las diferentes soluciones del
problema descrito anteriormente, lo que se conoce como frontera eficiente:
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
−0.
15−
0.10
−0.
050.
000.
050.
10
Frontera Eficiente
riesgo
Ret
orno
CX US EquityAMX US EquityEWW US EquityLFL US EquitySQM US EquityECH US EquityMELI US EquityCIB US EquityEC US EquityPRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US EquitySCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US EquityVALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityAND US EquityJJC US Equity
2
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 5 / 68
Motivacion
Normalmente se elige un portafolio basado en un perfil de aversion alriesgo (usando una funcion de utilidad sobre el espacio de retorno yvarianza). Y se elige el portafolio que haga tangencia con la funcion deutilidad:
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 6 / 68
Motivacion
Dado que µ y Ω no son conocidos, es necesario usar estimadores paraestimarlos. Entre otros, algunos estimadores famosos son:
Estimadores no-parametricos.
Estimadores de shrinkage.
Black Litterman.
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Motivacion
Cuando se permiten ventas en corto wmini < 0 (Una venta en corto
consiste en vender una accion sin tenerla, por lo tanto si el precio de laaccion cae se obtiene ganancia dado que se puede comprar a un preciomas bajo) idealmente se espera que el portafolio tenga cierto cubrimientode mercado.El cubrimiento de mercado se refiere a que cuando empieza a caer elprecio de las acciones en general, la caıda de valor del portafolio enposiciones largas (wi > 0) se vea compensado por aumentos en el valor delportafolio en las posiciones cortas (wi < 0).
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Motivacion
En escenarios de crisis, la matriz de varianza-covarianza estimada presentaun comportamiento inestable. Por lo que en algunos casos los cubrimientosdel portafolio no funcionaran en la direccion deseada, por ejemplo:
Las correlaciones se invierten o se vuelven 1, y cuando las posicioneslargas pierden valor las cortas tambien.
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Motivacion
Ejemplo distribucion retorno diario portafolio durante una crisis:
Retornos (1 año) Portafolio vs 11 de Julio
Retornos
Fre
cuen
cia
−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04
02
46
8
Antes 11 Julio11 Julio en AdelanteÚltimos Días
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Se muestra el cambio de la matriz de varianza-covarianza durante elperiodo de crisis.
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Motivacion
Correlaciones Antes 11 de Julio
CX US EquityAMX US Equity
EWW US EquityLFL US Equity
SQM US EquityECH US EquityMELI US Equity
CIB US EquityEC US Equity
PRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US Equity
SCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US Equity
VALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityJJC US Equity
GRAM US Equity
CX US E
quity
AMX U
S Equ
ity
EWW
US E
quity
LFL
US Equ
ity
SQM U
S Equ
ity
ECH US E
quity
MELI
US E
quity
CIB U
S Equ
ity
EC US E
quity
PRE CN E
quity
GTE US E
quity
PMG C
N Equ
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BVN US E
quity
SCCO US E
quity
BAP US E
quity
EPU US E
quity
PBR US E
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VALE
US E
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ITUB U
S Equ
ity
BBD US E
quity
EWZ U
S Equ
ity
CPA U
S Equ
ity
BLX U
S Equ
ity
SLV U
S Equ
ity
GLD U
S Equ
ity
USO US E
quity
GXG US E
quity
JJC U
S Equ
ity
GRAM U
S Equ
ity−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
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Motivacion
Correlaciones Despues 11 de Julio
CX US EquityAMX US Equity
EWW US EquityLFL US Equity
SQM US EquityECH US EquityMELI US Equity
CIB US EquityEC US Equity
PRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US Equity
SCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US Equity
VALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityJJC US Equity
GRAM US Equity
CX US E
quity
AMX U
S Equ
ity
EWW
US E
quity
LFL
US Equ
ity
SQM U
S Equ
ity
ECH US E
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MELI
US E
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CIB U
S Equ
ity
EC US E
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PRE CN E
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GTE US E
quity
PMG C
N Equ
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BVN US E
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BAP US E
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EPU US E
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PBR US E
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ITUB U
S Equ
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BBD US E
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CPA U
S Equ
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BLX U
S Equ
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SLV U
S Equ
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GLD U
S Equ
ity
USO US E
quity
GXG US E
quity
JJC U
S Equ
ity
GRAM U
S Equ
ity−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
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El cambio es tan drastico que algunas covarianzas cambian de signo:
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Motivacion
Cambios de Signo
CX US EquityAMX US Equity
EWW US EquityLFL US Equity
SQM US EquityECH US EquityMELI US Equity
CIB US EquityEC US Equity
PRE CN EquityGTE US EquityPMG CN EquityBVN US Equity
SCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US Equity
VALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityJJC US Equity
BSAC US EquityGRAM US Equity
CX US E
quity
AMX U
S Equ
ity
EWW
US E
quity
LFL
US Equ
ity
SQM U
S Equ
ity
ECH US E
quity
MELI
US E
quity
CIB U
S Equ
ity
EC US E
quity
PRE CN E
quity
GTE US E
quity
PMG C
N Equ
ity
BVN US E
quity
SCCO US E
quity
BAP US E
quity
EPU US E
quity
PBR US E
quity
VALE
US E
quity
ITUB U
S Equ
ity
BBD US E
quity
EWZ U
S Equ
ity
CPA U
S Equ
ity
BLX U
S Equ
ity
SLV U
S Equ
ity
GLD U
S Equ
ity
USO US E
quity
GXG US E
quity
JJC U
S Equ
ity
BSAC US E
quity
GRAM U
S Equ
ity−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
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Dada la estructura de la estimacion de la matriz de varianza-covarianza, elmetodo de seleccion de portafolios clasico parece destinado a sufrirgrandes perdidas en periodos de crisis.
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Motivacion
Para evitar esto proponemos agrupar en clusters los diferentes activos yluego proponer una estrategia de seleccion de portafolio, teniendo enmente los siguientes objetivos:
Que los activos dentro de un cluster presenten un comportamientosimilar.
Que la metodologıa de estimacion de los clusters sea relativamentesuave.
Establecer como objeto de inversion los clusters y no los activos en sı.
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Contenido
1 Motivacion
2 Similitud entre activosSimilitud entre activos
3 Estrategias de Clusteringk-medoidesNumero de ClustersClustering Jerarquico
4 Meta-heurıstico de Optimizacion de PortafolioMeta-heurıstico GeneralMeta-heurıstico con Cardinalidad
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Medidas
Para establecer una estrategia de clustering es necesario definir la similitudo distancia entre dos activos de tal forma que durante los escenarios decrisis los activos dentro de un cluster:
Idealmente tengan un perfil de retorno similar.
Tengan un perfil de comovimientos similar.
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Medidas
Desarrollamos 3 medidas de distancia entre los activos:
Spread
K-S
Omega
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Medidas - Spread
Se tienen las series de retornos de dos activos x ,y . La medida de spread ladefinimos entre cada par de activos como:
sd(u = y − xb) (4)
Que es la desviacion estandar del spread de los retornos salvo unaconstante. La intuicion es que salvo una constante dos activos presentanco-movimientos similares.
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Medidas - KS
La medida K-S es el valor del estadıstico de Kolmogorov-Smirnoff.
Dn = supX |Fy (X )− Fxb(X )| (5)
Que es la distancia maxima entre las CDF de los retornos de los dosactivos salvo una constante.
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Medidas - KS
Graficamente el estadıstico K-S:
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Medidas - Omega
La medida de riesgo Omega fue introducida por Keating et al. (2002) yesta definida como:
Ωr (L) =
∫ bL (1− F (r))dr∫ L
a F (r)dr(6)
Donde r = u = y − xb. Que es el cociente entre una call de strike L sobreuna put con el mismo strike sobre el activo u. En otras palabras el valoresperado de las ganancias por encima de un valor L sobre el valor esperadode las perdidas sobre el mismo valor.
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Medidas - Omega
Graficamente la medida Omega:
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Medidas
Con las medidas anteriores es posible construir matrices de distancia entretodos los activos, donde el elemento (i , j) es justamente la distancia entreel activo i y el activo j .
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Medidas
Ejemplo medida spread:
Distancias entre Activos
CX US EquityAMX US Equity
EWW US EquityLFL US Equity
SQM US EquityECH US EquityMELI US Equity
CIB US EquityEC US Equity
PRE CN EquityGTE US Equity
SCCO US EquityBAP US EquityEPU US EquityPBR US Equity
VALE US EquityITUB US EquityBBD US EquityEWZ US EquityCPA US EquityBLX US EquitySLV US EquityGLD US EquityUSO US EquityGXG US EquityJJC US Equity
GRAM US Equity
CX US E
quity
AMX U
S Equ
ity
EWW
US E
quity
LFL
US Equ
ity
SQM U
S Equ
ity
ECH US E
quity
MELI
US E
quity
CIB U
S Equ
ity
EC US E
quity
PRE CN E
quity
GTE US E
quity
SCCO US E
quity
BAP US E
quity
EPU US E
quity
PBR US E
quity
VALE
US E
quity
ITUB U
S Equ
ity
BBD US E
quity
EWZ U
S Equ
ity
CPA U
S Equ
ity
BLX U
S Equ
ity
SLV U
S Equ
ity
GLD U
S Equ
ity
USO US E
quity
GXG US E
quity
JJC U
S Equ
ity
GRAM U
S Equ
ity0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
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Medidas
Con estas medidas de distancias entre activos es posible aplicar unaestrategia de clustering.
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Contenido
1 Motivacion
2 Similitud entre activosSimilitud entre activos
3 Estrategias de Clusteringk-medoidesNumero de ClustersClustering Jerarquico
4 Meta-heurıstico de Optimizacion de PortafolioMeta-heurıstico GeneralMeta-heurıstico con Cardinalidad
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k-medoides
El algoritmo de k-medoides consiste en hacer particiones de diferentespuntos en grupos minimizando la distancia entre los puntos clasificados enun mismo grupo. El algoritmo Partitioning Around Medoids (PAM)consiste en:
Seleccionar aleatoriamente k puntos como medoides.
Se asocia cada punto sobrante al medoide mas cercano.
Para cada medoide m.
Para cada punto no medoide o.
Intercambiar m y o. Y calcular el costo total del nuevo arreglo.
Seleccionar el arregla con el menor costo total.
Repetir pasos 2-4 hasta tener el menor costo total.
El costo total es la suma de las distancias a su medoide correspondiente detodos los puntos.
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k-medoides
Una de las debilidades de esta metodologıa es que no establece uncriterio de optimalidad en el numero de clusters (k).
La sensibilidad al numero de clusters (k) es evidente.
Las siguientes representaciones graficas de los clusters se construyenusando Multidimensional scaling (MDS)
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 31 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
MELI US Equity
BAP US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US EquityEC US Equity
GTE US Equity
EPU US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
1
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k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
MELI US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
GTE US Equity
EPU US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
1
2
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k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
MELI US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
GTE US Equity
12
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 34 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
MELI US Equity
GTE US Equity
12
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 35 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
MELI US Equity
GTE US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
1
2
5
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 36 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
MELI US Equity
PRE CN Equity
GTE US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
12
6
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 37 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
CX US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
MELI US Equity
PRE CN Equity
GTE US Equity
CPA US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
12
7
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 38 / 68
k-medoides
−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Visualización Distancias
Dim1
Dim
2
CX US Equity
BAP US Equity
EC US Equity
EPU US Equity
USO US Equity
JJC US Equity
AMX US EquityEWW US Equity
CIB US Equity
BLX US Equity
GXG US EquityGRAM US Equity
LFL US EquitySCCO US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
SQM US Equity
ECH US Equity
MELI US Equity
PRE CN Equity
GTE US Equity
CPA US Equity
SLV US Equity
GLD US Equity
2
3
8
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 39 / 68
Numero de Clusters
En un principio establecimos el siguiente criterio para determinar elnumero de clusters:
Se establece como costo la maxima distancia a su medoide respectivode todos los puntos.
El punto donde el cambio marginal del costo sea maximo seracorrespondiente al numero de clusters.
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 40 / 68
Numero de Clusters
5 10 15 20 25
0.01
00.
015
0.02
00.
025
0.03
0
TradeOff Número de Clusters
Número de Clusters
max
Dis
t
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 41 / 68
Numero de Clusters
Sin embargo, Milligan y Cooper (1985) examinan mas de 40 indices paradeterminar el numero optimo de clusters. Por ejemplo, el indice deDunn(1974) consiste en el cociente entre la minima distancia interclusterssobre la maxima distancia interclusters.
Actualmente se estan examinando cuales indices tienen mejor impactoen el backtest de la estrategia de seleccion de portafolio.
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 42 / 68
Numero de Clusters
Los resultados de los diferentes indices son variados para los mismos datos.
DJ ES (Quantil Matematicas Aplicadas) Seleccion de Portafolios Optimos 21 de noviembre de 2013 43 / 68
Clustering Jerarquico
Tambien dentro del analisis se esta usando clustering jerarquicoconglomerativo, que consiste en:
Todos los activos inicialmente pertenecen a su propio cluster.
Se agrupan dos clusters proximos en un mismo cluster de acuerdo a lasiguiente formula para clusters X ,Y :
D(X ,Y ) = maxx∈X ,y∈Y
d(x , y) (7)
Continua el proceso iterativo hasta que todos los elementos esten enel mismo cluster.
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Clustering Jerarquico
El dendograma del clustering jerarquico se ve ası para la metrica de spread.
CX
US
Equ
ityS
LV U
S E
quity
GLD
US
Equ
ityU
SO
US
Equ
ityS
CC
O U
S E
quity
CPA
US
Equ
ityB
LX U
S E
quity
JJC
US
Equ
ityA
MX
US
Equ
ityE
WW
US
Equ
ityC
IB U
S E
quity
EC
US
Equ
ityG
XG
US
Equ
ityB
SA
C U
S E
quity
SQ
M U
S E
quity
LFL
US
Equ
ityE
CH
US
Equ
ityA
ND
US
Equ
ityIT
UB
US
Equ
ityB
BD
US
Equ
ityP
BR
US
Equ
ityV
ALE
US
Equ
ityE
WZ
US
Equ
ityP
MG
CN
Equ
ityP
RE
CN
Equ
ityG
TE
US
Equ
ity ME
LI U
S E
quity
BV
N U
S E
quity
GR
AM
US
Equ
ityB
AP
US
Equ
ityE
PU
US
Equ
ity
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Cluster Dendrogram
hclust (*, "complete")distancias
Hei
ght
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Contenido
1 Motivacion
2 Similitud entre activosSimilitud entre activos
3 Estrategias de Clusteringk-medoidesNumero de ClustersClustering Jerarquico
4 Meta-heurıstico de Optimizacion de PortafolioMeta-heurıstico GeneralMeta-heurıstico con Cardinalidad
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Meta-heurıstico de Optimizacion
En la seccion anterior se obtiene una particion del universo de activosen clusters o grupos de activos.
La siguiente pregunta es entonces como obtener una asignacionoptima de activos basado en los clusters.
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Meta-heurıstico de Optimizacion
Para el problema de inversion desarrollamos el siguiente meta-heurıstico:
Se calculan los clusters dentro de una medida escogida.
Se realiza una optimizacion intra-clusters.
A partir de la optimizacion anterior se obtienen 2 activosrepresentativos del cluster (no necesariamente activos individuales,sino una combinacion lineal de los activos del cluster). Uno largo yuno corto.
Con estos activos representativos se construye una frontera eficienteusando unicamente los activos representativos del cluster.
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Meta-heurıstico de Optimizacion
Optimizacion intra-cluster:
Se optimiza una frontera eficiente dentro del cluster (es decir, seconstruye una frontera eficiente usando solamente los activos delcluster).
Se eligen dos activos representativos (portafolios) de la siguientemanera:
max E[u(r)]max E[u(-r)]
La intuicion es obtener dos activos por cluster. Uno con perfil Largo yotro con perfil Corto.
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Meta-heurıstico de Optimizacion
Optimizacion inter-cluster:Con estos activos (2n), donde n es la cantidad de clusters, seconstruye una frontera eficiente derivada del siguiente problema:
mınwTΩw (8)
Sujeto a: ∑i
µiwi = r∑i
wi = 1
wmini ≤ wi ≤ wmax
i
(9)
No se puede estar invertido simultaneamente en los dos activos de unmismo cluster.Los activos largos de los clusters tienen limites mayores o iguales a 0:0 % ≤ wL
i
Los activos cortos de los clusters tienen limites menores o iguales a 0:0 % ≥ wC
i
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Meta-heurıstico de Optimizacion
Finalmente se elige un portafolio que maximice la funcion de utilidaddeseada.
Las ventajas de la estrategia de optimizacion son:
Se hace un hedging mas sensible a cambios no capturados por lascovarianzas (dado que se agrupan los activos en clusters y no sepermiten largos y cortos entre activos similares).La volatilidad del portafolio deberıa disminuir. Hipotesis por probar
Las desventajas de la estrategia de optimizacion son:
Puede ser difıcil operativamente estar invertido en todos los activossimultaneamente.Es necesario determinar una estrategia de tiempo de rebalanceo de losclusters.
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
Dentro del mismo problema general de optimizacion de portafolio sepuede generalizar el meta-heurıstico usando restricciones decardinalidad.El problema de seleccion de portafolio con restricciones decardinalidad es:
mınwTΩw (10)
Sujeto a: ∑i
µiwi = r∑i
wi = 1
δiwmini ≤ wi ≤ δiwmax
i∑i
δi = K
δi ∈ 0, 1
(11)
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
Para solucionar este problema se usa un algoritmo llamado Branchand Bound, propuesto por Ailsa Land y Alison Doig en 1960: ’Anautomatic method of solving discrete programming problems.’
El algoritmo busca dentro de todo el universo de posibles candidatos,usando una estrategia iterativa que le permite ir descartando en masacandidatos que no son parte de la solucion posible del problema.
http://rjlipton.wordpress.com/2012/12/19/
branch-and-bound-why-does-it-work/
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
La idea detras del paper original es la siguiente:
Se tiene un problema de programacion lineal de la siguiente forma:
c ′x + c ′y = γ
st
Ax + Ay ≤ b
x es un entero no negativo
y ≥ 0
(12)
Donde γ, el maximo, es un escalar. b es un vector columna de m filas.c y x son vectores columna de n1 filas. c y y son vectores columna de(n − n1) filas. A es una matriz de dimensiones mxn1 y A es unamatriz de dimensiones mx(n − n1)
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
La solucion e idea detras del paper es mover el funcional de la solucion γhasta un valor γ0 en el cual se cumplan las todas restricciones enteras.
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
El procedimiento para mover el funcional en dimensiones superiores estomar una de las variables x y calcular el limite maximo de γ de tal formaque se cumplan las restricciones enteras, por ejemplo:
En este caso se sabe que los candidatos a la solucion tienen un limitesuperior de γk(2)
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
Se tiene entonces el siguiente algoritmo.
P(j): maximizar γ sujeto a las restricciones continuas yadicionalmente a j de las x variables discretas (j = 0, 1, 2, ..., n1).
Sea Sj el conjunto de las soluciones alcanzables del tipo P(j) y sea Sel conjunto de las soluciones no alcanzables del tipo P(j).
El valor de Sn1 que maximiza γ es la solucion del problema.
La solucion del problema esta acotada por arriba por el valor maximode γ en el conjunto Sn1−1 y ası sucesivamente.
La solucion se construye haciendo un grafo de arbol donde los verticesson elementos de los conjuntos Sj .
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Meta-heurıstico con Cardinalidad
Los pasos para construir el arbol son:
Paso 0: El primer vertice del arbol es la solucion de P(0) = γ0, si lasolucion de P(0) satisface P(n1) entonces se ha solucionado elproblema.Paso 1: Si γ0 no es la solucion del problema, entonces de acuerdo alas reglas abajo, se dibujan nuevas aristas correspondientes a lospuntos en S1 y se evalua γ en los puntos de S1 y nunca en los de S .Paso 2: Si los vertices γ0, ..., γk ya han sido rotulados con el valor γ,al vertice con el mayor γ no rotulado, se le da el rotulo γk .Paso 3: La solucion final se ha alcanzado cuando por primera vez unvertice es un elemento de Sn; esto ocurre tan pronto todas lasvariables x son enteros no negativos. Si γk no es una solucion de estetipo, suponga que es un elemento de Sj . Una nueva arista se originaen el vertice inmediatamente arriba de γk y terminando en el mismosubconjunto de soluciones (Sj) que γk o en S . Si este nuevo verticeesta en Sj , su valor γ es necesariamente menor o igual a γk .Paso 4: Se dibujan dos vertices desde γk a los puntos en Sj+1 o S . Denuevo, si estos puntos estan en Sj+1 sus valores γ son necesariamentemenores o iguales a γk . Regresar al paso 2.
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Algoritmo de optimizacion B&B
Ejemplo en el problema de Cardinalidad, se tienen 4 activos y se quiereelegir un portafolio de 2.
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
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Algoritmo de optimizacion B&B
Con esto el portafolio que tiene los activos 2 y 3 es el que soluciona elproblema de cardinalidad.
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Algoritmo de optimizacion B&B
Una frontera eficiente con este numero de activos se ve ası:
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
−0.
050.
000.
050.
10
Frontera Eficiente
riesgo
Ret
orno
CX US Equity
AMX US Equity
EWW US Equity
ECH US Equity
MELI US Equity
CIB US Equity
PRE CN Equity
GTE US Equity
PMG CN Equity
SCCO US EquityBAP US Equity
PBR US Equity
VALE US Equity
ITUB US Equity
BBD US Equity
EWZ US Equity
CPA US Equity
BLX US Equity
USO US Equity
GXG US Equity
AND US Equity
JJC US Equity
BSAC US Equity
GRAM US Equity
LFL US Equity
SQM US Equity
EC US Equity
BVN US Equity
EPU US Equity
SLV US EquityGLD US Equity
AVH US Equity
8910
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Algoritmo de optimizacion B&B
La forma en como se conecta el problema de clusters con el de cardinalidades usar una restriccion de cardinalidad en el problema intra-clusters cuandose quiere resolver el problema usando la metodologıa de clusters paraacotar el numero total de activos que se van a tener en el portafolio.
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