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Nombre Fecha Clase

Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 5-1 y el Glosario multilingüe.

Vocabulario

función lineal ecuación lineal

Identificar una función lineal usando pares ordenadosIndica si cada conjunto de pares ordenados satisface una función lineal.

A. x �3 �2 �1 0 1

y 9 4 1 0 1

Completa cada diferencia para hallar el cambio en x.

�2 � (�3) � 1 �1 � (�2) � 1 0 � (�1) � 1 1 � 0 � 1

¿Hay un cambio constante de x? Sí

Completa cada diferencia para hallar el cambio en y.

4 � 9 � �5 1 � 4 � �3 0 � 1 � �1 1 � 0 � 1

¿Hay un cambio constante de y ? No

Como las diferencias para los cambios en y son diferentes , estos pares ordenados

no satisfacen una función lineal.

B. {(�3, 1), (�2, 2), (�1, 3), (0, 4), (1, 5)}

Completa la tabla. x �3 �2 �1 0 1y 1 2 3 4 5

Completa cada diferencia para hallar el cambio en x.

�2 � (�3) � 1 �1 � (�2) � 1 0 � (�1) � 1 1 � 0 � 1

Completa cada diferencia para hallar el cambio en y.

2 � 1 � 1 3 � 2 � 1 4 � 3 � 1 5 � 4 � 1

¿Hay un cambio constante de x e y ? Sí

Como las diferencias de los cambios en x e y son constantes , los pares ordenados

satisfacen una función lineal.

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-1 Cómo identificar funciones lineales5A

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase


Vocabulario

intersección con el eje y intersección con el eje x

Representar gráficamente ecuaciones lineales por medio de interseccionesUsa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por la ecuación 5x � 2y � 10.

PASO 1: La intersección con el eje x es el punto donde la línea se interseca con el

eje x . La coordenada y para la intersección con el eje x siempre es 0 .

Halla la intersección con el eje x de 5x � 2y � 10.

5x � 2( 0 ) � 10 Sustituye y = 0.

5x � ( 0 ) � 10 Multiplica.

5x � 10

x � 2

El punto donde 5x � 2y � 10 cruza el eje x es ( 2 , 0).

PASO 2: La intersección con el eje y es el punto donde la línea se interseca con el

eje y . La coordenada x para la intersección con el eje y siempre es 0 .

Halla la intersección con el eje y de 5x � 2y � 10.

5( 0 ) � 2y � 10 Sustituye x = 0.

( 0 ) � 2y � 10 Multiplica.

�2y � 10

y � �5

El punto donde 5x � 2y � 10 cruza el eje y es (0, �5 ).

PASO 3: La intersección con el eje x es ( 2 , 0). Marca este punto en el

sistema de coordenadas. La intersección con el eje y es (0, �5 ). Marca

este punto en el sistema de coordenadas. Conecta estas dos intersecciones

con una línea recta.

5A¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-2 Cómo usar la intersección

SECCIÓN

x

y

2

–4

–6

–4 –2

–2

2 4


Nombre Fecha Clase

Las intersecciones de la gráfica de una función lineal son puntos específicos sobre la línea. Son los puntos donde la línea cruza cada eje.

Jaime recibe una mensualidad de $50. Actualmente debe a su madre $250 por dinero que le pidió prestado. La función f (x ) � 50x � 250 representa la situación actual de la mensualidad de Jaime, donde x � meses. Representa gráficamente la función y halla sus intersecciones. ¿Qué representa cada intersección?

Comprende el problema

1. ¿Qué representa x? meses

2. ¿Qué representa f (x )? la cantidad de dinero que tiene Jaime

Haz un plan

3. Usa la función f (x ) � 50x � 250 para completar la tabla.

x 0 1 2 3 4 5

y �250 �200 �150 �100 �50 0

Resuelve

4. Representa gráficamente los pares ordenados de la tabla.

5. Identifica el par ordenado de la intersección con el eje y.

(0, �250)

6. La intersección con el eje y representa la cantidad de

dinero que Jaime debe a su mamá .

7. Identifica el par ordenado de la intersección con el eje x.

(5, 0)

8. La intersección con el eje x representa la cantidad de meses que pasarán antes de que Jaime

haya cancelado la deuda con su madre.

Repasa

9. Para comprobar tu respuesta, sustituye las intersecciones en la función.

intersección con el eje x: (5, 0) intersección con el eje y: (0, �250)

f ( 5 ) � 50( 5 ) � 250 f ( 0 ) � 50( 0 ) � 250

f ( 5 ) � 250 � 250 f ( 0 ) � 0 � 250

f ( 5 ) � 0 f ( 0 ) � �250

10. ¿Las intersecciones hacen que la función sea verdadera? Sí

5A

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas5-2 Cómo usar la intersección

SECCIÓN

x

y

862

200

100

–200

–100


Nombre Fecha Clase


Vocabulario

tasa de cambio distancia vertical distancia horizontal pendiente

Hallar la pendienteHalla la pendiente de la línea.

Halla dos puntos de la línea. Completa cada punto.

( �1 , 2) y (�3, �4 ). Marca estos dos puntos en la

gráfica de la línea.

La cantidad de unidades verticales, o distancia vertical,

entre estos dos puntos es 6 .

La cantidad de unidades horizontales, o distancia horizontal,

entre los dos puntos es 2 .

Pendiente � � 6 _____ 2 � 3

_____ 1

Describir la pendienteIndica si la pendiente de la línea es positiva, negativa, cero o indefinida.

¿Cuál es el valor de y cuando x � �4? �5

¿Cuál es el valor de y cuando x � 4? 2

Cuando el valor de x aumenta de �4 a 4, ¿el valor de y

aumenta o disminuye? Aumenta.

¿La línea se eleva o cae de izquierda a derecha?

Se eleva.

Como la línea se eleva de izquierda a derecha,

¿la pendiente es positiva, negativa, cero o indefinida?

positiva

5A¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-3 Tasa de cambio y pendiente

SECCIÓN

x

y

5

1

–7

–5

x

y

5

1

–7

–5

distancia verticaldistancia horizontal


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas5-3 Tasa de cambio y pendiente

La tasa de cambio es la razón del cambio entre la variable dependiente y el cambio en la variable independiente. La tasa de cambio se puede determinar a partir de pares ordenados, una gráfica o una ecuación.

En la tabla se da el precio promedio de la gasolina en diferentes años. Representa gráficamente estos datos y muestra las tasas anuales de cambio.

Año 2000 2001 2002 2003 2004

Costo ($) 1.20 1.50 1.65 2.00 2.15


1. ¿Cuál es la variable independiente, el año o el costo de la gasolina?

el año

2. ¿Cuál es la variable dependiente, el año o el costo de la gasolina?

el costo de la gasolina

Haz un plan

3. Mira la tabla y determina cuántas tasas de cambio debes hallar. 4

4. Completa la tabla:

Tasa 1 Tasa 2 Tasa 3 Tasa 4

Cambio en la variable independiente

2001 � 2000 �

12002 � 2001 �

12003 � 2002 �

12004 � 2003 �

1Cambio en la variable dependiente

1.50 � 1.20 �

0.301.65 � 1.50 �

0.152.00 � 1.65 �

0.352.15 � 2.00 �

0.15

Resuelve

5. Halla cada razón para determinar cada tasa de cambio:

tasa 1 � 0.3 ___ 1 � 0.3 tasa 2 �

0.15 _______

1 � 0.15

tasa 3 � 0.35 _____

1 � 0.35 tasa 4 �

0.15 _______

1 � 0.15

6. Representa gráficamente los pares ordenados a partir de la tabla de datos.

7. Escribe la tasa de cambio anual entre cada punto de la gráfica.

Repasa

8. ¿La inclinación de cada línea corresponde a las tasas del Ejercicio 5? Sí

5ASECCIÓN

2000 ’02 ’04 ’01 ’03

2.0

1.5

1.0

0.5

Año

Co

sto

, $


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-4 La fórmula de la pendiente

Hallar la pendiente a partir de gráficas y tablasHalla la pendiente de la línea. Luego indica qué representa la pendiente.

A.

4 751 100 2 863

(4, 160)

(2, 80)

9

20018016014012010080604020

Tiempo (h)

Distancia recorrida

Dis

tan

cia

(km

)

Usa los dos puntos dados para hallar la pendiente. Sea

(4, 160 ) (x1, y1) y sea (2, 80 ) (x2, y2).

x1 � 4 y1 � 160

x2 � 2 y2 � 80

pendiente � y2 � y1

______ x2 � x1 � 80 � 160

__________ 2 � 4

� �80 _____

�2 � 40

Como la pendiente � 40 , significa que la tasa de

cambio es 40 km por hora .

B.

20 50 0 10 40 30

(30, 75)

(10, 25)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Galones

Precios de la gasolina

Co

sto

($)


( 10 , 25) (x1, y1) y sea ( 30 , 75) (x2, y2).

x1 � 10 y1 � 25

x2 � 30 y2 � 75


______ x2 � x1 � 75 � 25

__________ 30 � 10

� 50 _____

20 � 5

______ 2

Como la pendiente � 5 ______

2 , significa que cada 2

galones de gasolina el costo es $ 5 .

C.

4 10 0 2 8 6 3 9 1 7 5

(1, 17)

(4, 8)

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

Tiempo (años)

Valor de un automóvil

Val

or

(mile

s d

e $)


(1, 17 ) (x1, y1) y sea (4, 8 ) (x2, y2).

x1 � 1 y1 � 17

x2 � 4 y2 � 8


______ x2 � x1 �

8 � 174 � 1

� �9 _____

3 � �3

Como la pendiente � �3 , significa que cada año el

valor de un automóvil disminuye $ 3000 .

SECCIÓN

5A


Nombre Fecha Clase


Vocabulario

variación directa constante de variación

Identificar variaciones directas a partir de pares ordenadosIndica si la relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación.

Halla y __ x para cada par ordenado.

(3, 12): y __

x � 12 ___ 3 � 4 (5, 20):

y __

x � 20

___ 5 � 4

(7, 28): y __

x �

28 _____

7 � 4 (9, 36):

y __

x �

36 _____

9 � 4

¿Es y __

x igual para cada par ordenado? Sí

Por lo tanto, éste es un ejemplo de variación directa .

Escribir y resolver ecuaciones con variaciones directasEl valor de y varía directamente con x e y � 8 cuando x � 10. Halla y cuando x � 24.

Como y varía directamente con x, puedes usar la fórmula y � k x.

Se da que y � 8 cuando x � 10 .

Sustituye por estos valores en la fórmula de variación directa: 8 � k( 10 )

PASO 1: Halla k. 8 � 10k

8 _____

10 � 10

_____ 10

k

4 _____ 5

� k

Sustituye k por este valor en la ecuación y � kx.

y � 4 _____

5 x

PASO 2: Halla y cuando x � 24.Sustituye x por 24 y halla y.

y � 4 _____

5 x

y � 4 __ 5 ( 24 )

y � ( 96 )

______ 5

y � 19.2

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-5 Variación directa5A

SECCIÓN

x 3 5 7 9

y 12 20 28 36

PASO 3: Completa: Cuando x � 24, y � 19.2 .


Nombre Fecha Clase

5-1 Cómo identificar funciones linealesIndica si los pares ordenados dados satisfacen una función lineal. Explica.

1. x �4 �3 �2 �1 0

y 16 9 4 1 0

No, no hay una diferencia de cambio constante en y.

2. {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), (5, 32)}

No, no hay una diferencia de cambio constante en y.

3. x �6 �5 �4 �3 �2

y 8 4 0 �4 �8

Sí, hay una diferencia de cambio constante en x y en y.

5-2 Cómo usar la intersección

4. Un tanque que contiene 2 galones de agua tiene una filtración y

está perdiendo agua a una tasa de 1 __ 2 galón por minuto. La función

f (x ) � 2 � 1 __ 2 x da la cantidad de agua que queda en el tanque

después de x minutos. Representa gráficamente la función y halla

sus intersecciones. ¿Qué representa cada intersección?

(4, 0) y (0, 2); La intersección con el eje x representa el

momento en que ya no queda agua en el tanque. La

intersección con el eje y representa la cantidad de agua

que había en el tanque antes de producirse la pérdida.

Usa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación.

5. 4x � 3y � 12 6. �2y � 8x � �16 7. y � �4x � 5

x

y5

–5

–5 5

x

y8

–2

2

4

–5 42

x

y5

–5

–5 5

¿Listo para seguir? Prueba 5A

SECCIÓN

x

y98

6

4

–1 84 62


Nombre Fecha Clase

5-3 Tasa de cambio y pendiente

8. En la tabla se da la cantidad de personas que asisten a un parque de diversiones en diversos momentos del día. Representa gráficamente los datos e indica las tasas de cambio.

Tasas de cambio: 2; 3 __ 2 ; 0; �1 ___

2

5-4 La fórmula de la pendienteHalla la pendiente de cada línea. Luego indica qué representa la pendiente.

9.

4 751 100 2 863

(7, 16.5)

(3, 7)

9

2018161412108642

Carne molida (lb)

Costo de la carne molida

Co

sto

($)

10.

4 751 100 2 863

(3, 21)

(7, 9)

9

30272421181512963

Tiempo (min)

Profundidad bajo el nivel del mar

Pro

fun

did

ad b

ajo

el

niv

el d

el m

ar (

m)

11.

4 751 100 2 863

(3, 45)

(2, 30)

9

5045403530252015105

Tiempo (h)

Distancia recorrida por el ciclista

Dis

tan

cia

(mi)

m � 19 ___ 8 ; 1 lb por $2.38

m � �3; �3 m por min

m � 15; 15 mi/h

5-5 Variación directaIndica si cada relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación.

12. x 4 8 16 28 13. x �8 �4 �2 0

y 1 2 4 7 y 16 20 22 24

Sí; k � 1 __ 4

No

14. El valor de y varía directamente con x, e y � 28 cuando x � 8.

Halla x cuando y � 21. x � 6

¿Listo para seguir? Prueba, (continuación)

5ASECCIÓN

Asistencia al parque de diversiones

Horas transcurridas después de la apertura del parque

0 2 4 6 8

Personas (en miles)

1 5 8 8 7

x

y

8

6

4

2

–1 8642


Nombre Fecha Clase

Funciones sobreyectivasUna relación es una función si por cada número en el dominio, hay uno y sólo un número en el rango. Otra forma de describir una función es determinando si es sobreyectiva. Una función es sobreyectiva si y sólo si todos los números del rango forman un par con todos los números del dominio.

Por ejemplo, la función de la Tabla 1 se describe como sobreyectiva porque cada número del rango tiene un número asignado en el dominio.

La función de la tabla 2 no es sobreyectiva porque el número 7 del rango no tiene un número asignado en el dominio.

Determina si cada función se puede describir como sobreyectiva.

1. no sobreyectiva 2. sobreyectiva

3. sobreyectiva 4. no sobreyectiva

¿Listo para seguir? Enriquecimiento5A

SECCIÓN

Dominio

Rango 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5

Dominio

Rango 6 7 8 9 11

1 2 3 4 5

Dominio

Rango 0 2 4 6 8

2 4 6 8 10 Dominio

Rango 1 2

1 2 4 8

0 3 6 9 12

Dominio

Rango 6 7 8 9 10

5 10 15 20 25 Dominio

Rango 3 4 5 6 7

1 3 5 7 9

Tabla 1

Tabla 2


Nombre Fecha Clase

Representar gráficamente usando pendiente e intersección con el eje yRepresenta gráficamente la línea dada una pendiente de 2 __

5 y una

intersección con el eje y de �2.

PASO 1: La intersección con el eje y es �2 , por lo tanto, la línea

contiene el punto ( 0 , �2).

Marca la intersección con el eje y: ( 0 , �2).

PASO 2: Pendiente � � 2 __ 5

Cuenta 2 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia la derecha

desde (0, �2) y marca otro punto.

PASO 3: Conecta estos dos puntos con una línea recta.

Escribir ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersecciónEscribe la ecuación �2x � y � 1 en forma de pendiente-intersección y luego represéntala gráficamente.

Para escribir una ecuación en forma de pendiente-intersección, despeja la variable, y .

�2x � y � 1

� 2x � 2x Suma 2x a ambos lados.

y � 1 � 2x Halla y.

Determina la pendiente y la intersección con el eje y. Recuerda que y � mx � b.

m � 2 b � 1

PASO 1: La intersección con el eje y es 1 , por lo tanto, la línea

contiene el punto ( 0 , 1).

Marca la intersección con el eje y: ( 0 , 1).

PASO 2: Pendiente �

� 2 __ 1

Cuenta 2 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha desde (0, 1) y marca otro punto.


¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-6 Forma de pendiente-intersección5B

SECCIÓN

x

y

3

–7

–5 5

x

y

5

–5

–5 5

cambio en ycambio en x



Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas5-6 Forma de pendiente-intersección5B

SECCIÓN

Se puede escribir una ecuación lineal en forma de pendiente-intersección, y � mx � b, donde m repite la pendiente y b repite la intersección con el eje y.

En el festival de la fresa, a cada persona se le cobra una entrada de $4.00 más $1.50 por cada libra de fresas que recojan. En la gráfica se muestra el costo total por persona como función de la cantidad de libras de fresas recogidas.

a. Escribe una ecuación que represente el costo total por persona como función de la cantidad de libras de fresas recogidas.

b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y y describe el significado de cada una en esta situación.


1. ¿Cuánto cuesta entrar al festival de la fresa? $4.00

2. ¿Cuánto cuesta cada libra de fresas? $1.50

Haz un plan

3. Sea y el costo total y x la cantidad de libras de fresas. Completa la ecuación: el costo es igual a una entrada de $4.00 más $1.50 por libra.

y � 4 � 1.5 � x

4. En forma de pendiente-intersección, y � mx � b, m � pendiente

y b � intersección con el eje y .

Resuelve

5. ¿Cuál es la pendiente de la ecuación del Ejercicio 3? 1.5 Usa el Ejercicio 2 y explica lo que significa la pendiente de esta ecuación.

El precio que se paga por cada libra de fresas.

6. ¿Cuál es la intersección con el eje y de la ecuación del Ejercicio 3? 4 Usa el Ejercicio 1 y explica lo que significa la intersección con el eje y de esta ecuación.

el costo de la entrada al festival

Repasa

7. Sustituye la x por 0 en la ecuación del Ejercicio 3.

y � 4 � 1.5( 0 ) y � 4

¿El resultado es el mismo que la intersección con el eje y? Sí

4 10 0 2 8 6 3 9 1 7 5

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

Fresas (lb)

Festival de la fresa

Co

sto

($)


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-7 Forma de punto y pendiente5B

SECCIÓN

Usar la pendiente y un punto para representar gráficamenteRepresenta gráficamente la línea con una pendiente de �3 que contiene el punto (�2, 4).

PASO 1: El punto dado es ( �2 , 4). Marca este punto en la gráfica.

PASO 2: Usa la pendiente para moverte de ( �2 , 4) a otro punto.

Pendiente �

� �3 ___ 1

Cuenta 3 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha desde (�2, 4) y marca otro punto.


Usar dos puntos para escribir una ecuaciónEscribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los puntos (�6, �6) y (2, 10).

Para escribir una ecuación en forma de pendiente-intersección debes conocer el

valor de la pendiente y la intersección con el eje y.

PASO 1: Halla la pendiente. Sea (�6, �6 ) (x1, y1) y sea (2, 10 ) (x2, y2).

Pendiente � m � y2 � y1

______ x2 � x1 �

10 � ( �6 ) ___________

2 � (�6) � 16

_____ 8 � 2

PASO 2: Elige uno de los puntos (�6, �6) ó (2, 10). Si no quieres usar

coordenadas negativas, elige el punto ( 2 , 10 ).

Sustituye (x1, y1) y la pendiente del PASO 1 por este punto en la

fórmula de punto y pendiente: y � y1 � m (x � x1).

m � 2 x1 � 2 y1 � 10

y � 10 � 2 � x � 2 �

PASO 3: Halla y en esta ecuación para escribirla y � 10 � 2 � x � 2 �

y � 10 � 2x � 4

� 10 � 10

y � 2x � 6

en forma de punto y pendiente.

x

y

5

–5

–5 5



Nombre Fecha Clase

Identificar líneas paralelasIdentifica qué líneas son paralelas.

y � � 1 __ 2 x; y � 1 __ 2 x � 3;

y � 1 __ 2 x; y � 5 � 1 __ 2 (x � 8)

Completa la tabla.

Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.

¿Cuántas ecuaciones tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones

con el eje y? 3

¿Qué ecuaciones son paralelas?

y � 1 __ 2x � 3; y � 1 __

2x ; y � 5 � 1 __

2(x � 8)

Identificar líneas perpendicularesIdentifica qué líneas son perpendiculares.

y � �5x � 1; y � 1 __ 5 x; y � 5x � 9; x � �5

Completa la tabla.

El producto de las pendientes de líneas

perpendiculares es �1 .

¿Cuál es el producto de �5 y 1 __ 5 ?

�1

¿Cuál es el producto de 5 y 1 __ 5 ?

1

¿Las pendientes de qué dos ecuaciones tienen un producto de �1?

y � �5x � 1; y � 1 __ 5

x

Por lo tanto, ¿cuáles son las dos ecuaciones perpendiculares?

y � �5x � 1; y � 1 __ 5

x

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas5-8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares 5B

SECCIÓN

Ecuación Pendiente � m Intersección con el eje y � b

y � �1 __ 2 x �

1 __ 2

0

y � 1 __ 2

x � 3 1 __ 2

3

y � 1 __ 2

x 1 __ 2

0

y � 5 � 1 __ 2 (x � 8)

y � 5 � 1 __ 2 x � 4

y � 1 __ 2 x � 9

1 __ 2

9

Ecuación Pendiente � m Intersección con el eje y � b

y � �5x � 1 �5 �1

y � 1 __ 5

x 1 __ 5

0

y � 5x � 9 5 �9

x � �5 indefinida �5


Nombre Fecha Clase

Trasladar funciones lineales

Representa gráficamente f (x ) � 1 __ 4 x � 4 y g (x ) � 1 __

4 x � 3. Luego describe la

transformación a partir de la gráfica de f (x ) a g (x ).

PASO 1: Representa gráficamente f (x ) � 1 __ 4 x � 4.

La pendiente de esta función lineal es 1 __ 4

.

La intersección con el eje y es �4 . Desde

(0, �4) mueve 1 unidad hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha.

PASO 2: Representa gráficamente g (x ) � 1 __ 4 x � 3.

La pendiente de esta función lineal es 1 __ 4

. La

intersección con el eje y es 3 . Desde (0, 3)

mueve 1 unidad hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha.

PASO 3: Representa gráficamente ambas líneas.

PASO 4: Describe la transformación. La gráfica de g (x ) � 1 __

4 x � 3 es el resultado de

trasladar la gráfica de

f (x ) � 1 __ 4 x � 4 7 unidades

hacia arriba .

Reflejar funciones linealesRepresenta gráficamente f (x ) � 3x y g (x ) � �3x. Luego describe la transformación desde la gráfica de f (x ) a g (x ).

PASO 1: Representa gráficamente f (x ) � 3x.

La pendiente de esta función lineal es 3 . La


mueve 3 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha.

PASO 2: Representa gráficamente g (x ) � �3x.

La pendiente de esta función lineal es �3 . La


mueve 3 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha.

PASO 3: Representa gráficamente ambas líneas.

PASO 4: Describe la transformación. La gráfica de g (x ) � �3x es el resultado de

reflejar la gráfica de f (x ) � 3x

sobre el eje y .

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas 5-9 Transformación de funciones lineales5B

SECCIÓN

x

y

5

–5

–5 5

x

y

5

–5

–5 5


Nombre Fecha Clase

Cada función lineal es una transformación de la función f (x ) � x.

Un colegio preescolar cobra una matrícula única de $180 por materiales y luego $275 por mes. La cuenta total del colegio después de enseñar a un niño durante x meses es f (x ) � 275x � 180. ¿Cómo cambiará la gráfica de esta función si la matrícula por materiales aumenta a $250? ¿Y si la cuota mensual disminuye a $200?


1. ¿Cuánto cuestan los materiales? $180

2. ¿Cuánto cuesta que un niño concurra a este colegio preescolar por mes? $275

Haz un plan

3. ¿Cuál es la pendiente de (x ) � 275x � 180? 275 Esto representa el costo por

mes . ¿Cuál es la intersección con el eje y? 180 Esto representa la

matrícula por materiales.

Resuelve

4. Si una ecuación lineal se traslada , la intersección con el eje y aumenta o disminuye.

5. Si la matrícula por suministros aumenta a $250, la gráfica de la función se

traslada 70 unidades hacia arriba.

6. Si se rota una ecuación lineal, la pendiente de la ecuación cambia.

7. Si la cuota mensual disminuye a $200, la gráfica de la función se rota

alrededor del punto (0, 180) . ¿La gráfica de la función con una matrícula mensual de $200 será menos o más pronunciada que la función original?

menos pronunciada

Repasa

8. Compara las funciones f (x ) � 275x � 180 y f (x ) � 275x � 250. Si las trazas en una cuadrícula de coordenadas, ¿qué función tiene la mayor intersección con el eje y?

f (x ) � 275x � 250

9. Compara las pendientes de las funciones f (x ) � 275x � 180 y f (x ) � 200x � 180.

¿Cuál tiene la menor pendiente? f (x ) � 200x � 180

¿Cuál tiene la línea más inclinada? f (x ) � 275x � 180

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas5-9 Transformación de funciones lineales5B

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase

5-6 Forma de pendiente-intersecciónRepresenta gráficamente cada línea dadas la pendiente y la intersección con el eje y.

1. pendiente � 1 __ 3 ; 2. pendiente � �2; 3. pendiente � 1;

intersección con el eje y � 1 intersección con el eje y � 4 intersección con el eje y � �4

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección y luego representa gráficamente.

4. 4x � y � 6 5. 3x � 12y � 24 6. 5x � y � 5x � 4

y � �4x � 6y � 1 __

4 x � 2

y � �4

7. Un pintor cobra una tarifa fija de $35 y luego $25 por cada galón de pintura que usó. En la gráfica se muestra el costo total por galón como función de la cantidad de galones de pintura usados.

a. Escribe una ecuación para representar la situación.

f (x ) � 25x � 35

b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y y describe el significado de cada una.

intersección con el eje y: costará $35 si no se

usa pintura; pendiente: $25/galón

5-7 Forma de punto y pendienteRepresenta gráficamente la línea con la pendiente dada que contiene el punto dado.

8. pendiente � 4; (0, 2) 9. pendiente � �2 __ 5 ; (�2, 4) 10. pendiente � 1; (�4, �2)

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

¿Listo para seguir? Prueba5B

SECCIÓN

4 7 5 1 10 0 2 8 6 3 9

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

Cantidad de pintura (gal)

Costo del pintorC

ost

o (

$)

x

yy8888

–22255–55 55

–2

88

55 55

x

yy5555

–555

55–55 55

–5

55

55 55x

yy5555

–555

55–55 55

–5

55

55 55


Nombre Fecha Clase

Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los dos puntos.

11. (2, 2) y (5, 11) 12. (�6, �7) y (2, 9) 13. (�1, 2) y (�3, 10)

y � 3x � 4 y � 2x � 5 y � �4x � 2

5-8 Pendientes de líneas paralelas y perpendicularesIdentifica qué líneas son paralelas.

14. y � �3x ; y � 3x � 2; 15. y � 1 __ 4 x � 3; y � � 1 __

4 x � 5;

y � 3x ; y � 4 � 3(x � 6) y � �4x ; y � 3 � � 1 __

4 (x � 6)

y � 3x � 2; y � 3x ; y � 4 � 3(x � 6) y � � 1 _ 4 x � 5; y � 3 � � 1 _ 4 (x � 6)

Identifica qué líneas son perpendiculares.

16. y � �6x � 2; y � 1 __ 6 x; 17. y � � 2 __ 3 x; y � 2 __ 3 x � 1;

y � 4x � 3; x � �6 y � 3 __ 2 x; y � 3; x � 2

y � �6x � 2; y � 1 __

6 x

y � � 2 _ 3 x y y � 3 _ 2 x ; y � 3 y x � 2

18. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (5, 6) y es paralela a la línea descrita por 4x � 5y � 20.

y � 4 __

5x � 2

5-9 Transformación de funciones linealesRepresenta gráficamente f (x ) y g (x ). Luego describe la/s transformación/es de la gráfica de f (x ) a la gráfica de g (x ).

20. f (x ) � 2x ; g (x ) � �2x 21. f (x ) � 1 __ 3 x � 2; g (x ) � 1 __

3 x � 5

reflexión sobre traslación de 7

el eje y unidades hacia arriba

¿Listo para seguir? Prueba, (continuación)

5BSECCIÓN

x

y5

–5

–5 5x

y5

–5

–5 5

19. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (10, 3) y es perpendicular a la

línea descrita por y � � 5 __ 2 x � 3.

y � 2 __ 5x � 1


Nombre Fecha Clase

La función madre de las funciones cuadráticasUna función cuadrática es una función descrita por una ecuación expresada como y � ax 2 � bx � c, donde a � 0. La función madre de todas las funciones cuadráticas es y � x 2. La gráfica y la tabla de esta función se muestran a la derecha. Al igual que la familia de funciones lineales, también se pueden hacer transformaciones en las funciones cuadráticas.

La gráfica de f (x ) � x 2 está dibujada en cada cuadrícula de coordenadas. Representa gráficamente la función g (x ) completando la tabla de valores y marcando los puntos. Luego describe la transformación de la gráfica de f (x ) a g (x ).

1. g (x ) � x 2 � 3 2. g (x ) � 1 __ 2 x 2

x �2 �1 0 1 2

y 1 �2 �3 �2 1

La gráfica se traslada 3

unidades hacia abajo.

La forma de la gráfica se ensancha.

3. g (x ) � �x 2 4. g (x ) � 2x 2

x �2 �1 0 1 2

y �4 �1 0 �1 �4

La gráfica se refleja sobre

el eje x.

La forma de la gráfica se angosta.

¿Listo para seguir? Enriquecimiento5B

SECCIÓN

x �2 �1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

x

y

5

–5

–5 5

x �2 �1 0 1 2

y 2 1 __ 2 0 1 __

2 2

x �2 �1 0 1 2

y 8 2 0 2 8

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

x

y5

–5

–5 5

secciÓn ¿listo para seguir? intervención de … · nombre fecha clase las intersecciones de la...

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