capitulo 05 intersecciones

GEOMETRA

DESCRIPTIVA

Tercera Edicin

Geometra

Descriptiva

Autor:

Dr. Vctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniera

CAPTULO

2015 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

5 INTERSECCIONES

Rectas y Planos


GEOMETRA DESCRIPTIVA

Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 2

5.1 INTERSECCIN DE RECTA CON PLANO.

Una recta interseca a un plano en un punto, que denominaremos Punto de Interseccin .

En la figura siguiente se muestra a la recta MN que interseca al plano ABC en un punto de interseccin I.

Existen dos mtodos para

determinar el Punto de

Interseccin:

Mtodo de la vista de Canto.

Mtodo del Plano Cortante.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 3

5.1.1 MTODO DE LA VISTA DE CANTO.

El Punto de Interseccin se localiza en la interseccin

de la Recta con la vista de Canto del Plano dado.

Existen dos casos:

Cuando se conoce la vista de Canto

Cuando no se conoce la vista de Canto.

1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO

La Interseccin de la vista de Canto del Plano dado

con la Recta dada determinan el punto de

Interseccin.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 4

1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.

En la figura se

muestra las proyecciones

horizontal y frontal de la

Recta oblicua MN y al

Plano vertical ABC. Hallar

el Punto de Interseccin

entre la Recta MN y el

Plano ABC



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 5


En la figura mostrada

y en la proyeccin

horizontal, la Recta

oblicua MN se corta con

la vista de canto del

Plano vertical ABC;

siendo P el Punto de

Interseccin entre la

Recta MN y el Plano

ABC .



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 6


Visibilidad: en la

proyeccin frontal, cruce

de las rectas AC y MP, en

la vista horizontal AC se

encuentra delante de MP;

por lo tanto en el plano

frontal la recta AC es

visible y MP es visible

hasta que encuentre a la

recta AC, pasa por debajo

del Plano ABC, y sale

visible a partir del Punto

de Interseccin P.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 7

2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO

Para determinar el Punto de

Interseccin entre una Recta y un

Plano, debemos proyectar al Plano

dado de Canto; en este plano de

proyeccin el plano de filo se corta

con la Recta dada; siendo el punto de

corte el Punto de Interseccin.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 8


En la figura mostrada se presenta

las proyecciones

horizontal y frontal de

la Recta oblicua MN y

del Plano vertical ABC;

Hallar el Punto de


Recta MN y el Plano

ABC



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 9


Trazar en el plano ABC la

recta horizontal

AQ, tal como se

observa en la

figura

mostrada.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 10


Trazar el plano de elevacin H1 perpendicular

a la recta horizontal AQ del

Plano ABC; en este plano

de proyeccin el plano dado

se proyecta de canto.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 11


En el plano de elevacin H1 la recta MN

y el Plano de canto ABC,

se cortan en el punto P;

siendo este punto el

punto de interseccin

buscado, la que

proyectamos a sus planos

principales.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 12


Proyectar el punto de interseccin P al plano

horizontal hasta cortar a

la recta MN; desde este

punto trazar su lnea de

referencia hacia el plano

frontal hasta encontrar el

punto P en la recta MN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 13


Visibilidad: En H: cruce de las rectas AB y

MP, en el plano frontal

observamos a MP arriba

de AB, luego MP es visible

en el plano horizontal. En

F: cruce de las rectas BC y

NP, en el plano horizontal

encontramos a NP delante

de BC, luego NP es visible

en el plano frontal.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 14

5.1.2 MTODO DEL PLANO CORTANTE.

El Punto de Interseccin entre una Recta y un Plano esta situado

sobre la recta de interseccin del

Plano dado y un Plano Cortante que

contenga a dicha Recta.

El Plano Cortante se traza en el plano Horizontal o Frontal.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 15


En la figura mostrada se dan las

proyecciones horizontal

y frontal de la recta

oblicua MN y del Plano

ABC. Hallar el Punto de


Recta MN y el Plano

ABC .



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 16


En el plano horizontal trazar

el plano cortante

PC de canto y que

contenga a la

Recta oblicua MN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 17


El plano cortante de canto

PC corta a las

aristas AB y AC del

Plano ABC, en los

puntos D y E

respectivamente.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 18


Los puntos D y E la proyectamos al

plano frontal y en sus

aristas

correspondientes;

unimos estos puntos, y

esta recta se corta con

la recta MN en el

punto de interseccin

P.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 19


Proyectar al punto de

interseccin P,

desde el plano

frontal hacia el

plano horizontal,

hasta encontrar a la

recta MN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 20




Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 21




Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 22




Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 23

5.2 INTERSECCIN DE PLANOS.

La Interseccin de dos Planos que no son paralelos, es una Lnea recta llamada

Recta de Interseccin , que contiene todos

los puntos comunes entre los dos Planos.

Se presentan dos tipos de intersecciones:



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 24

1. POR PENETRACIN



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 25

2. POR MORDEDURA



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 26

MTODOS

Existen tres mtodos para determinar la Recta de Interseccin.

Mtodo de la Vista de Canto.

Mtodo de los Puntos de Penetracin.

Mtodo del Plano Cortante.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 27

5.2.1 MTODO DE LA VISTA DE CANTO.

Este mtodo se usa para Planos Limitados y se conoce como el mtodo del

Plano Auxiliar.

Existen dos Casos. Cuando se conoce la Vista de Canto

Cuando No se conoce la Vista de Canto.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 28


En la figura mostrada se presenta las

proyecciones horizontal

y frontal del Plano

vertical ABCD y el

Plano oblicuo RST,

Hallar la Recta de

Interseccin PQ entre el

Plano vertical ABCD y

el Plano oblicuo RST.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 29




Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 30




Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 31

F

F

F

F

H

H

H

H

H

Q

H

Q

Q

H

H

P

P

P

A

B

C

P

A

B

C

P

A

B

C

1

H

H

F

1

R

T

R

S

T

R

S

T

1

1

1

11

1

1

1

1

F

FF

F

5.2.2 CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.

Para determinar la recta de interseccin entre dos

planos oblicuos debemos

trazar un plano auxiliar que

muestre ambos planos, uno

de ellos de canto; luego

este plano de canto corta al

otro plano en dos puntos,

determinando as la recta

de interseccin.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 32

Se determina el punto de perforacin donde una recta de uno

de los planos atraviesa al otro plano. Usando el mismo mtodo

hallamos un segundo punto de perforacin. Al unir estos dos

puntos de penetracin determinan la recta de interseccin entre

los dos planos.

B

C

RS

T

Y

U

V

1

2

2

3

4

4 PC-I

PC-II

3

1

5.2.3 MTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 33

Se determina el punto de

perforacin donde una

recta de uno de los

planos atraviesa al otro

plano. Usando el mismo

mtodo hallamos un

segundo punto de

perforacin. Al unir estos

dos puntos de

penetracin determinan la

recta de interseccin

entre los dos planos.

B

C

RS

T

Y

U

V

1

2

2

3

4

4 PC-I

PC-II

3

1

5.2.3 MTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 34

1A

B

C R

S

T1

23

P

1A

B

C R

S

T

1

23

A

B

C

R

S

T2

3

45

6

PC-I

PC-II

456

F

H

P

Q

P

Q

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

Plano cortante

Dos planos oblicuos son cortados por un plano cortante segn una

lnea recta, que se intersecan en un punto comn a ambos planos.

Similarmente un segundo plano cortante localiza otro punto comn a

ambos planos. Estos dos puntos comunes al unirse por una recta,

determina la recta de interseccin de los dos planos.

5.2.3 MTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 35

1A

B

C R

S

T1

23

P

1A

B

C R

S

T

1

23

A

B

C

R

S

T2

3

45

6

PC-I

PC-II

456

F

H

P

Q

P

Q

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

Plano cortante

Dos planos oblicuos son

cortados por un plano

cortante segn una lnea

recta, que se intersecan

en un punto comn a

ambos planos.

Similarmente un

segundo plano cortante

localiza otro punto

comn a ambos planos.

Estos dos puntos

comunes al unirse por

una recta, determina la

recta de interseccin de

los dos planos.

5.2.3 MTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 36

Hallar la interseccin de la recta LM con el plano TBCE, sin

utilizar planos auxiliares. Mostrar la visibilidad.

L(6,3,16) , M(6,9,12) ,

T(2,8,15) , B(8,8,15) , C(8,4,11) , E(2,4,11)

PROBLEMA 5.1.

1) Graficar los puntos dados segn sus coordenadas indicadas.

2) Completar la proyeccin horizontal del rectngulo horizontal

ABCD; trazando AD paralelo a BC, y DC paralelo a AB.

Procedimiento:



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 37

PROBLEMA 5.1: PROCEDIMIENTO

1) Trazar el plano cortante PC-I, y que pase por la recta MN

proyectada de punta en el plano horizontal; este plano cortante

corta al plano ABCD en los AD y BC, siendo los puntos de corte 1

y 2 respectivamente; las cuales la proyectamos al plano frontal,

unimos estos puntos y se cortan con la recta MN en el punto de

interseccin I.

2) En el plano frontal y desde el punto B trazamos el plano cortante

PC-II, tal que pase por la recta PQ proyectada de punta; este

plano cortante corta al plano horizontal ABCD en B y 3, estos

puntos la proyectamos al plano horizontal y al unir B y 3, corta a

la recta PQ en el punto de interseccin Y.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 38

PROCEDIMIENTO

5) Visibilidad en H; el cruce de

las rectas de las rectas PY y BC

en el plano frontal, BC est

arriba y PY est debajo; por lo

tanto es visible BC en el plano

horizontal.

6) Visibilidad en F: el cruce de

las rectas MI con BC, en el

plano horizontal MI esta

delante y BC est detrs; por lo

tanto es visible MI en el plano

frontal.

H

F

AH

BH

AF DF

NF

CF

MF

BF

CH

PH

MH

NH

DH

QH

QF

PF

PC-I

1

2

PC-II 3

3

1

2

IF

IH

YF

YH



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 39

EH

EF

LF

CF

TF

MF

BF

CH MH

BH TH

LH Procedimiento

6) Visibilidad en F: el cruce

de las rectas TB y EM; desde

punto de cruce trazamos una

perpendicular hacia el plano

horizontal y encontramos

primero a EM; por lo tanto es

visible EM en el plano

frontal; luego ML es visible

hasta el punto de interseccin

I, como MI despus sigue

invisible y sale visible cuando

pasa la recta EC.

PC I

1

2

3

4

H

F

1

2

3

4

PF

PH IH

IF

1, 2

2

1



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 40

Se dan las proyecciones principales de la recta MN y el

plano oblicuo ABC. Hallar el punto de interseccin. M(4, 7.5, 15.), N(4, 2, 9)

A(2, 6, 9), B(4, 3, 14), C(8, 7.5, 13)

PROBLEMA 5.2.

H

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 41

Problema 5.2: H

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 42

SOLUCION.- CON VISTA AUXILIAR

MH

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14C1

1

C1

M

M

1

1

I1

IH

IF

H

F

H

1

SOLUCION



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 43

SOLUCION.- SIN VISTA AUXILIAR

MH

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14

IH

IF

H

F

SOLUCION

SIN VISTA

AUXILIAR

1

1

2

3

4

4

3

2

PC



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 44

Hallar la interseccin de la recta MN con el

plano ABC. Mostrar la visibilidad. M(2.5, 5 , 12), N(6.5, 2.5, 8.5).

A(1, 3 , 8), B(7, 4, 10). C(5, 15, 11).

PROBLEMA 5.3:

HF

2.5

5

HA

5

A

FC

2.5

12

FM

MH

6.5

8.5

FN

NH

AH

AF

8

3

1

10

4

7

B H

BF

1.5

11 HC

FC

GRAFICO DE

LOS PUNTOS



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 45

PASO 1

HF

2.5

5

HA

5

A

FC

2.5

12

FM

MH

6.5

8.5

FN

NH

AH

AF

8

3

1

10

4

7

B H

BF

1.5

11 HC

FC

GRAFICO DE

LOS PUNTOS



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 46

PASO 2

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

1

10

4

7

1.5

11

PASAMOS UN

PLANO

VERTICAL POR

LA RECTA MN

QUE CORTA AL

PLANO ABC EN

X e Y



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 47

PASO 3

FM

MH

FN

NH

AH

AF

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

2.5

5

5

9

12

6.5

8.5

8

3

10

4

7

1.5

11

2.51

UNIMOS X e Y.

DONDE CORTA

A LA RECTA MN

ESTA EL PUNTO

DE

INTERSECCION.

I.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 48

PASO 4

FM

MH

FN

NH

AH

AF

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

3

1

10

4

7

1.5

11

SE LLEVA EL

PUNTO I DE

INTERSECCION

AL PLANO

HORIZONTAL Y

SOBRE LA

RECTA MN.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 49

PASO 5

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

1

10

7

1.5

11

MN ARRIBA VIS EN H.

AC DEBAJO INV EN H.

VISIBILIDAD EN EL PLANO

HORIZONTAL

CRUCE DE LA RECTA AC Y MN

4



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 50

PASO 7-SOLUCION FINAL

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

CF

NF

AF

HA

H

MF

FI

FB

NH

HM

C

I

H

HB

2.5

5

5

9

12

6.5

8.5

8

1

10

4

1.5

11

2.5

SOLUCION COMPLETA

SOLUCION

SOMBREADA

7



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.4.

Hallar la interseccin de la recta MN y el plano ABCD .



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: PASO 1.-

DE LOS EXTREMOS DE LA

RECTA MN. SE FORMA UN

PLANO CON CUALQUIER

VERTICE DEL PLANO,

FORMAR EL PLANO MND, Y

,TRAZAR EL PLANO

CORTANTE . QUE CORTA AL

PLANO ABCD, EN 1 Y 4, Y AL

PLANO MND EN 2 Y 3.

PROYECTAR AL PLANO

FRONTAL,Y UNIR 1,4 Y 2,3 ,

POR EL PUNTO DE CORTE Y

DESDE EL VERTICE D, SE

PROYECTA LA RECTA HASTA

CORTAR A LA RECTA MN EN

EL PUNTO I, PEDIDO.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 2.-

DESDE EL

VERTICE D. SE

TRAZA UNA

RECTA QUE

PASE POR EL

CORTE DE LA

RECTAS 1,4 Y

2,3. HASTA LA

RECTA MN EN I

, LUEGO SE

PROYECTA AL

PLANO

HORIZONTAL

EN MN.

Se llevan los

puntos a la vista

frontal y se unen

1,4 con 2,3

cortndose en

un punto desde

donde se pasa

una recta desde

el vrtice hasta

que corte ala

recta MN en I.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

VISIBILIDAD EN EL PLANO HORIZONTAL.

SE TOMA EL CRUCE

ENTRE LA RECTA 1,4

CON MI, SE OBSERVA

QUE MI ESTA DEBAJO ,

Y 1,4. ARRIBA

ENTONCES DE M

HASTA I ES INVISIBLE

EN EL PLANO

HORIZONTAL.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

VISIVILIDAD EN EL PLANO FRONTAL.

SE TOMA UN CRUCE

DE LA RECTA 1,4 Y MI

EN EL PLANO

FRONTAL.

DENOTANDO QUE 1,4

ESTA DELANTE Y MI

DETRAS. ENTONCES,

MI ES INVISIBLE EN EL

PLANO FRONTAL.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

Solucin completa



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 57

Se dan las proyecciones principales de los planos

ABCD y PQR . Hallar la interseccin y mostrar la

visibilidad.

A(9, 2.5, 16), B(9, 7 , 12), C(2, 9.5, 14.5), D(2, 5 , 18.5)

P(2, 2.5, 12), Q(4.5, 9.5, 18), R(11, 6, 15).

PROBLEMA 5.5:

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

GRAFICO DE LOS

PUNTOS



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 58

PASO 1

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

GRAFICO DE LOS

PUNTOS



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 59

PASO 2

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

UNIR LOS

PUNTOS PARA

FORMAR LOS

PLANOS ABC. Y

PQR



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 60

PASO 3

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

i

i

PC-1

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SE TRAZA EL

PLANO

CORTANTE 1

PARA OBTENER

EL PRIMER

PUNTO DE PASO

DE LA RECTA DE

INTERSECCION



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 61

PASO 4

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SE TRAZA EL

PLANO

CORTANTE 2

PARA OBTENER

EL SEGUNDO

PUNTO DE PASO

DE LA RECTA DE

INTERSECCION



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 62

PASO 5

6

BF

FC

CH

AH

FA

7

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

2

9.5

14.5

18.518

15

5

SE UNEN LOS

PUNTOS DE PASO

Y SE OBTIENE LA

RECTA DE

INTERSECCION II'



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 63

PASO 6

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

CRUCE DE PR y BC

BC ARRIBA VIS EN H

PR DEBAJO INV EN H

VISIBILIDAD EN

EL PLANO

HORIZONTAL



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 64

PASO 7

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

CRUCE DE PR y AD

AD DETRAS INV EN F

PR DELANTE VIS EN F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

VISIBILIDAD EN

EL PLANO

FRONTAL



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 65

PASO 8

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SOLUCION

COMPLETA



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

4 - 66

PASO 9.-SOLUCION FINAL

PF

F

DF

AF

F

RF

BF

P H

CF

HC

H

DH

HR

Q F

H

B H

QH

AH

D

C

C

P

D

FP

R

AF

F

F

F

FB

F

H

QF F

H

H

B H

H

H

HQ

A

H

RH

PF

AF

DF

F

F

BF

C

FC FQ

P H

H

B H

H

HDHQ

H

AH

FR

RH

SOLUCIONES SOMBREADAS



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

Determinar la interseccin de los planos ABCD-

PQR. Mostrar la visibilidad del conjunto.

A(9, 2.5, 16), B(9, 7, 12), C(2, 9.5, 14), D(2, 5, 18)

P(4.5, 9.5, 19), Q(4.5, 2.5, 12), R(12, 6, 15).

PROBLEMA 5.6:

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

18

19

16

6

4 - 67



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION. GRAFICO DE LAS COORDENADAS

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

18

19

16

6

4 - 68



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION.

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

PC

-1

PC

-21

2

3

4

13

4

2

5

6

7

8

58

6

7

IFFI

IH

HI

18

19

16

6

4 - 69



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.7:

Hallar la interseccin entre los cuadrilteros TBCE

y PQRS, sin utilizar vistas auxiliares.

4 - 70



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION. Paso 1.- Se trazan planos cortantes

SE TRAZA DOS PLANOS CORTANTES,

CADA UNO DE ELLOS NOS DA UN

PUNTO DE PASO DE LA RECTA DE

INTERSECCION.

PLANO CORTANTE 1 .

CORTA AL PLANO TBCE.

EN EL PUNTO 1 Y 4 .

Y AL PLANO PQRS. EN LOS

PUNTOS , 2 Y 3.

EL PLANO CORTANTE 2, CORTA AL

PLANO TBCE. EN 5 Y 8, Y AL PLANO

PQRS EN 6 Y 7.

4 - 71



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO.-2

SE UNEN LOS PUNTOS 2 Y 3 DEL

PLANO PQRS. Y LOS PUNTOS 1 Y 4 DEL

PLANO TBCE. DEL MISMO MODO 5 Y 8

DEL PLANO TBCE. Y LOS PUNTOS 6 Y 7

DEL PLANO PQRS.

SE UNEN Y SE PROYECTAN LOS

CRUCES DE LAS RECTAS 1,4 Y 2,3

CON EL CRUCE DE 6,7 Y 5,8 EN

CONTRANDO LA RECTA DE

INTERSECCION DE LOS PLANOS

4 - 72



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 3.-Tenemos la recta de interseccin

PARA HALLAR LA RECTA DE

INTERSECCION EN EL PLANO

HORIZONTAL SE LLEVA LOS

PUNTOS , i . DE CORTE A SU

PLANO CORTANTE,

PROYECTANDO LA RECTA DE

INTERSECCION EN EL PLANO

HORIZONTAL.

4 - 73



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 4. Visibilidad en el plano horizontal

TOMAMOS EN EL

PLANO HORIZONTAL

EL CRUCE ENTRE LA

RECTA 1,4. CON PQ. Y

PROYECTAMOS AL

PLANO FRONTAL

NOTAMOS QUE PQ

,ESTA DEBAJO Y 1,4

ESTA ARRIBA ,

ENTONCES PQ ES

INVISIBLE EN EL

PLANO HORIZONTAL.

TOMAMOS EN EL

PLANO FRONTAL EL

CRUCE ENTRE LAS

RECTAS SR, CON

5,8., SE PROYECTA

AL PLANO

HORIZONTAL I

NOTAMOS QUE SR.

ESTA DELANTE,

ENTOCES SR , ES

VISIBLE EN EL

PLANO FRONTAL.

4 - 74



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 5.-Visibilidad.

SOLUCION

COMPLETA. POR

PENETRACION.

4 - 75



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION FINAL SOMBREADA.

4 - 76



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.8:

Determinar la interseccin de los planos ABCD y

PQR. Mostrar la visibilidad de la interseccin.

4 - 77



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.8: SOLUCION

PASO 1.- Trazamos planos cortantes como el caso anterior

4 - 78



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 2.-Unimos los puntos y trazamos la recta de interseccin

4 - 79



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 3.- Analizamos la visibilidad . En el plano horizontal

4 - 80



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 4.- Analizamos la visibilidad en el plano horizontal

RESULTADO

4 - 81



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO. 5.-Analisamos la visibilidad en el plano frontal.

PARA LA

VISIBILIDAD EN EL

PLANO FRONTAL

ESCOJEMOS UN

CRUCE DE UNA

RECTA DE CADA

PLANO. EN PLANO

FRONTAL

4 - 82



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO. 6.-

SOLUCION FINAL.

4 - 83



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 7.-

SOLUCION SOMBREADA.

4 - 84



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 8.-

SOLUCION SOMBREADA.

SOMBREADO FINAL

CASO POR MORDEDURA POR

ESTAR LOS PUNTOS DE

INTERSECCION UNO EN CADA

PLANO.

4 - 85



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.9:

4 - 86

Hallar la interseccin y visibilidad entre los planos ABC y PQR.



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION.- PASO1

METODO DEL PUNTO

DE PENETRACION. SE BUSCA UNA RECTA DE UNO DE LOS PLANOS

QUE PENETRE AL OTRO

PLANO. DEL MISMO

MODO SE BUSCA EL

OTRO PUNTO,

ENCONTRANDO LA

RECTA DE

INTERSECION.

LA BUSQUEDA ES POR

INSPECCION. NOTAMOS

AB, CORTA AL PLANO

ESTAS EN EL PLANO

FRONTAL NO CORTA A LA

RECTA AB. PASAMOS A

BUSCAR OTRA RECTA.

4 - 87



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 2.-

POR INSPECCION

TOMAMOS LA

RECTA PQ , DEL

PLANO PQR. QUE

CORTA AL PLANO

ABC. EN XY,

LUEGO SE

PROYECTA AL

PLANO FRONTAL Y

SE UNEN,

NOTAMOS QUE LA

UNION XY, CORTA

A LA RECTA PQ EN

I ENCONTRANDO

EL PUNTO DE

INTERSECCION.

4 - 88



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 3.-

DEL MISMO MODO

TOMAMOS LA

RECTA BC. QUE

CORTA AL PLANO

PQR. EN WZ. SE

PROYECTA AL

PLANO FRONTAL, Y

LA UNION DE WZ,

CORTA A LA RECTA

BC, EN I ,

ENCONTRANDO EL

OTRO PUNTO DE

INTERSECCION. LA

UNION DE ESTOS

NOS DA LA RECTA

DE INTERSECCION.

4 - 89



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 4.-

TENEMOS LA

RECTA II DE

INTERSECCION.

HALLAMOS LA

VISIBILIDAD.

4 - 90



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO.5.-

SE TOMA UN

CRUCE ENTRE

LAS RECTAS

AC-QR. DE CADA

PLANO, SE

PROYECTA UNA

RECTA AL PLANO

HORIZONTAL

ENCONTRANDO

PRIMERO LA

RECTA QR. QUE

SERA VISIBLE EN

EL PLANO

HORIZONTAL.

4 - 91



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 6.-

EN PLANO

FRONTAL , SE

TOMA EL CRUCE

ENTRE QR-BC. SE

LLEVA UNA RECTA

AL PLANO

HORIZONTAL Y SE

NOTA QUE QR

ESTA DELANTE

ENTONCES SERA

VISIBLE QR, EN EL

PLANO FRONTAL Y

BC ES INVISIBLE.

4 - 92



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 7.- SOLUCION POR MORDEDURA

4 - 93



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.10.-

4 - 94



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION.- PASO 1.- EL METODO DE LA VISTA AUXILIAR

COMO LOS PLANOS ESTAN

FORMADOS POR RECTAS

ORTOPERFIL , YA ESTAN EN

V.M. EN PLANO HORIZONTAL

Y FRONTAL , SE PUEDE

LLEVAR DE CANTO LOS DOS

PLANOS , TRAZANDO EL

PLANO H1 PERPENDICULAR

A ESTAS RECTAS.

LA RECTA DE

INTERSECCION

SE UBICA EN

EL CORTE DE

LOS PLANOS

DE FILO

4 - 95



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 2.-

SE PROYECTA LA RECTA DE

INTERSECCION AL PLANO

HORIZONTAL CAENDO LOS

PUNTOS DE INTERSECCION

SOBRE LAS RECTAS , PS. y BC.

QUE EN EL PLANO FRONTAL SE

SE UBICAN CON LAS COTAS.

4 - 96



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 3.-

NOTAMOS QUE LAS RECTAS AB, EN

VISTA 1. DEL PLANO ABCD, ESTA MAS

CERCA AL PLANO H1. ENTONCES

SERA VISIBLE EN EL PLANO

HORIZONTAL, DEL MISMO MODO

PODEMOS DECIR DE LA RECTA RS

DEL PLANO PQRS , TAMBIEN SERA

VISIBLE POR ESTAR MAS CERCA AL

PLANO H1.

4 - 97



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO.4.-

DELANTE

DELANTE

LAS RECTAS RS Y CD

ESTAN DELANTE ,

OBSERVADAS EN VISTA 1,

POR LO TANTO SERAN

VISIBLES EN EL PLANO

FRONTAL .

4 - 98



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 5.-

SOLUCION FINAL POR

MORDEDURA

SOLUCION SOMBREADA

4 - 99



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 5.11.

4 - 100

Hallar la interseccin del plano JKL con el plano ABCD y

mostrar su visibilidad ; sabiendo que le plano JKL tiene

una orientacin N34E y pendiente del 85%NO, y el plano

ABCD tiene una orientacin S70O y pendiente del

110%SE. Resolver con vistas auxiliares.

J(7,4,10), K(8.5,1,-), (12,6,-);

A(13,3,13.5), B(9.5,7,-), C(6.5,5.5,-), D(10,1.5,-)



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 1.-



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 2.-



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 3.-



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 4.-



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

PASO 5.-



Te

rce

ra

Ed

ici

n

Vctor Vidal Barrena

Solucin sombreada por mordedura.-

capitulo 05 intersecciones

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