dominio e intersecciones

5/26/2018 Dominio e Intersecciones

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1.1. RELACIONES1.1.1.-Definicin y ejemplos. Dominio y contradominio1.1..-Relaciones so!re "n mismo conj"nto. #ropiedades$ relacin refle%i&a' sim(trica'antisim(trica' transiti&a.1.1.).- relacin in&ersa1.1.*.- +atri, de adyacencia' rafo de "na relacin

Clase #1UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES.

1.1. RELACIONES:Primero que nada es necesario especificar que conceptos como conjunto y funcin sonmencionados implcita o explcitamente en muchas ramas de las Matemticas y al igual que en laGeometra donde algunos conceptos no estn bien definidos punto! lnea y superficie" pero queson elementales para la construccin de todas la figuras y cuerpos geom#tricos$ dentro de la teorade conjuntos podemos considerar tres elementos bsicos%

Elemento

Conjunto Relacin

Ejemplo Bsico:&elaciona! puede ser por medio de una grfica! los conjuntos 'ariables" queinter(ienen en el siguiente problema% )ales de tu casa! camino a la escuela a cierta distancia teacuerdas que se te ol(ido el libro de matemticas y regresas a tu casa! para (ol(er despu#s a laescuela*

Definicin 1:Por conjunto podemos entender intuiti(amente como una coleccin o clase de objetos biendefinidos! objetos que podemos interpretar como%Personas! animales! cosas materiales! cosas no materiales como entesbien precisos tales comon+meros! ideas! etc*,

-omo ejemplos de conjuntos se pueden considerar algunos casos particulares%a" .as (ocales del alfabeto a !b! c ! , / "b" 0l n+mero de pantalones de Pedro*c" .os primeros die/ n+meros naturales 1 !2 !3 !4 ! 5 ! 6 , ! 17 "d" .os miembros de un equipo de f+tbol

Definicin 2:.os objetos que comprenden la coleccin del conjunto reciben el nombre de miembros oelementos* 8e aqu que dependiendo de la cantidad de elementos que tenga un conjunto seconsiderar como conjunto finito o infinito.

Por ejemplo%9n el conjunto de todos los alumno del saln de clases! puede considerarse como un conjunto

finito! mientras que el conjunto de todos los nmeros naturalesse considera un conjuntoinfinito*

NOTC!"N DE CON#$NTO%:

Generalmente es usual representar a los conjuntos mediante letras may+sculas como% :! ;! ,!< *.os elementos de un conjunto suelen representarse mediante letras min+sculas a! b! ,/*

Para definir un conjunto mediante los elementos que contiene! por ejemplo el conjunto : queconsta de las primeras cuatro letras del alfabeto se escribe%


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: = >a ! b ! c ! d ? separando los elementos por comas y encerrndolos entre lla(es > ? * 0sta formarecibe nombre de forma tabular de un conjunto*

Pero si se define un conjunto enunciando las propiedades que deben de tener sus elementos seescribe de la siguiente manera%Por ejemplo el conjunto ; que consta de todos lo n+meros pares se escribe%

B & ' ( ) ( es par *

)e lee ; es el conjunto de los n+meros x tales que x es par : esta forma de expresin se le llama por comprensin o constructivade un conjunto* .a barra(ertical @ se lee tales que *

Atro ejemplo puede ser % - = > a @ a es un estudiante de segundo aBo ?Ab(iamente este conjunto es un conjunto finito donde a puede ser Cuan ! Corge ! -armen ! etc*

CON#$NTO E%PEC!+E%:8entro de los conjuntos se consideran dos conjuntos especiales%

a" 0l conjunto uni(erso $ "! 0l conjunto (aco "

a, CON#$NTO $N!-ER%O:Para poder describir el conjunto uni(erso es necesario introducir la siguiente definicin

Definicin :9n conjunto : se dice subconjuntode un conjunto ; ! si todos los elementos que pertenecenal conjunto ! tambi#n pertenecen al conjunto B *

-omo ejemplos%

0l conjunto de todos los alumnos del grupo de segundo aBo de cierta preparatoria! es unsubconjunto del conjunto de todos los alumnos de segundo aBo de la preparatoria! los cualespodran estar distribuidos en tres grupo !! /!!B 0 !!C ,*

0l subconjunto de los n+meros naturales pares > 2 ! 4 ! 6 ! ,? es un subconjunto de los n+merosnaturales D = > 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! ,*?

: menudo es posible considerar un conjunto contenido dentro de uno mayor que generalmenterecibe el nombre de conjunto universo $ ,*0n el primer ejemplo el conjunto uni(erso se puede considerar el conjunto de todos los alumnos dela preparatoria*0n el segundo ejemplo! el uni(erso se puede considerar en conjunto de todos los n+meros &eales R"

, CON#$NTO -C!"

: menudo dentro de la teora de conjuntos es muy con(eniente la construccin de un conjuntoespecial el cual se considera sin elementos el cual recibe el nombre de conjunto 3ac4o "*REPRE%ENTC!"N 5R6!C DE $N CON#$NTO Para ilustrar de manera sencilla e instructi(a las relacionesentre conjuntos es com+n utili/arfiguras geom#tricas! tales como crculos ! rectngulos ! (alos ! etc*


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0l conjunto : consta de cuatro elementos! los cuales corresponden a las primeras letras delalfabeto! el conjunto ; consta de los primeros tres enteros positi(os! mientras que el conjunto -est compuesto por dos conjuntos : y ;*

RE+C!"N ENTRE CON#$NTO%

0l concepto de relacin dentro de la teora de conjuntos es muy importante! ya que a partir de #l sepueden definir otros conceptos centrales en las Matemticas tal como el propio concepto defuncinque es el que nos interesa que le quede claro al alumno*

:unque desde el punto de (ista estricto de las Matemticas! el concepto de relacinpuede serms complejo para un estudiante! lo podemos interpretar de manera sencilla! basndonos en laidea que se tiene com+nmente de los significados relacionar una cosa con otra$ as ! podemosconsiderar nuestra definicin como sigue %

Definicin 7:

0n el lenguaje com+n! una relacin se da cuando se hace correspon8er un objeto con otro! ocuando hay alguna conexin! de cualquier tipo! entre personas! o entre personas y objetos!etc#tera* :unque en el sentido matemtico! el t#rmino relacin precisa la idea de conectarobjetos de un conjunto con objetos de otro conjunto*

Eomemos como ejemplo los conjuntos : y ; %


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)i pedimos al alumno que relacionelas palabras del conjunto : haci#ndolas corresponder con laspalabras del conjunto ; mediante lneas! es posible que el alumno los relaciones de la siguientemanera*

Figura a Figura b

Generalmente la mayora lo relacionar tal y como se muestra en la fi9ura a* .a cual la podemosrepresentar como un conjunto de parejas%' apato / calcet4n, / 9ato / ratn , / #uan / ta;uero ,/ tornillo / auto , *

Atro buscarn ms relaciones entre ellas podemos describir las de la fi9ura y construir elconjunto > /apato ! calcetn"! /apato ! Eaquero"!gato! ratn"!gato! auto"! Cuan! taquero"! Cuan !auto "! tornillo ! auto "! Cuan ! calcetn" ?

-omo podemos obser(ar! el conjunto que representa la relacin dada en la fi9ura a! es unsubconjunto de la relacin dada en la figura b*

1.1.1.-Definicin y ejeml!s. D!mini! y c!n"a$!mini!

: partir de aqu podemos definir nuestro concepto de funcin

Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de algn modo un elementonico de un conjunto B, se dice que esa correspondencia es una funcin. Denotando esacorrespondencia por f , se escribe :

f : A B que se lee funcin de A en B . El conjunto A es llamado dominio de la funcin f, y B

se llama contradominio.

En general si a es un elemento de A, el elemento de B que le corresponde a a se llama imagende a y se denota por fa! y se lee f de a .

Atra definicin equi(alente del concepto de funcin! se puede describir como sigue%

9na funcin f es el conjunto de parejas x ! y " donde no puede haber dos parejas con el mismo(alor x* siendo ( un elemento de un conjunto < llamado dominio y 0 un elemento de un conjunto

= llamado contradominio* :l elemento (le corresponde de alguna manera un elemento 0*

Generalmente las funciones se definen a partir de conjuntos de n+meros! de tal forma que esposible iniciar con algunos ejemplos sencillos! donde el alumno pueda deducir la regla decorrespondencia e interpretarla como una forma de representacin de una funcin*


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Por ejemplo% )i se obser(a la relacin que existe entre los elementos del conjunto y loselementos del conjunto H *

)e puede obser(ar que la regla de correspondencia estdada por la expresin%

y = 2x

es decir si se toma un (alor de (& ! su imagen bajo lafuncin! en este caso fx" = f3" = 6*'isto de otra manera como y = fx"! entonces la funcin f% H

0star representada por fx" = 2x*

: partir de otros ejemplos! se pueden mencionar algunasotras propiedades o tipos de funciones tales como el casode las funciones in0ecti3as o las funciones polinomiales ! trigonom#tricas! etc*

1.1.%.-Relaci!nes s!&e 'n mism! c!nj'n"!. (!ie$a$es: elacinefle)i*a+ sim,"ica+ an"isim,"ica+ "ansi"i*a.

(!ie$a$es $e las elaci!nes

Definicin/#ropiedades de las relaciones Sea "na relacin !inaria so!re "nconj"nto . Diremos 0"e es$

Reflexiva9na relacin es reflexiva si para cualquier elemento se cumple que dicho elemento estrelacionado consigo mismo*

1. Reflexivaso!re si $ .

. Irreflexivaso!re si $ .

Simtrica

9na relacin es sim#trica si siempre que un elemento a est relacionado con un elemento b! secumple que el elemento b est relacionado con a*

). Simtricasi $ .


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*. Asimtricasi $ .

Antisimtrica.a idea de una relacin antisim#trica es que! al contrario de lo que ocurre en las relacionessim#tricas! nunca se puede in(ertir el orden de los elementos que inter(ienen en la relacin* 0stopodra formularse diciendo que una relacin es antisim#trica si siempre que un elemento a estrelacionado con un elemento b! se cumple que el elemento b DA est relacionado con a*

. Antisimtricasi $ .

Transitiva9na relacin es transiti(a si siempre que a est relacionado con b y b est relacionado con c! se

cumple que a est relacionado con c* c a c b b a A c b a R R y R 0"e c"mple se ' ' ' todo#ara . ..a propiedad transiti(a es fundamental por que permite relacionar dos objetos entre s!indirectamente! a tra(#s de un tercero* )on transiti(as las relaciones tener el mismo color! tener

ms edad que o haber nacido en el mismo pais que*

2. Transitivasi $ .

Tipos de relaciones0xisten en matemticas dos grandes clases de relaciones% las de e;ui3alenciay las deor8en*8entro de las relaciones de orden hay cuatro clases distintas* 'amos a estudiarqu# propiedadescaracteri/an cada tipo de relacin poniendo ejemplos de cada una de ellas*

Relaciones de equivalencia)on relaciones de equi(alencia las que cumplen las propiedades%&eflexi(a! sim#trica y transiti(a*

Por ejemplo! la relacin nacer en la misma pro(incia que es una relacin de equi(alencia*

Relaciones de ordena" )on relaciones de or8en estrictolas que cumplen las propiedades%

:ntireflexi(a! antisim#trica y transiti(a*Por ejemplo! si consideramos el conjunto formado por los 5 primeros n+meros naturales y larelacin de ser mayor queb" )on relaciones de or8en NO estrictolas que cumplen las propiedades%&eflexi(a! antisim#trica y transiti(a*-omo ejemplo de relacin de orden amplio podemos poner los n+meros racionales con larelacin de ser menor o igual que*

1.1./.- Relacin in*esa

Dada "na relacin ' definimos s" in&ersa'$ $

Definicin0/Relacin in&ersa Dada "na relacin' s" inversaes la relacin

. En otras pala!ras' si y slo si .


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#or ejemplo' la relacin in&ersa de la relacin padre es la relacin 3ijo' y la relacin in&ersade la relacin 3ermano es ella misma. La relacin in&ersa de divideesser mltiplo.

1.1..- 2a"i3 $e a$yacencia+ 4af! $e 'na elacin.

Reesen"acin $e 4af!s. 2a"i3 $e inci$encia. 2a"i3 $e a$yacencia.

5is"!ia

El tra!ajo de Leon3ard E"ler' en 14)2'so!re elpro!lema de los p"entes de 56nis!eresconsiderado como "no de los primeros res"ltados de la teor7a de rafos. 8am!i(n seconsidera "no de los primeros res"ltados topolicos en eometr7a /0"e no depende denin"na medida. Este ejemplo il"stra la prof"nda relacin entre la teor7a de rafos y latopolo7a.

En 19*:"sta& 5irc33offp"!lic s"s leyes de los circ"itos para calc"lar el &oltaje y lacorriente en los circ"itos el(ctricos.

En 19;rancis :"t3rieplante elpro!lema de los c"atro colores0"e plantea si es posi!le'"tili,ando solamente c"atro colores' colorear c"al0"ier mapa de pa7ses de tal forma 0"e dospa7ses &ecinos n"nca tenan el mismo color. Este pro!lema' 0"e no f"e res"elto 3asta "nsilo desp"(s por 5ennet3 Appel y en' p"ede ser considerado como elnacimiento de la teor7a de rafos. Al tratar de resol&erlo' los matem?ticos definieront(rminos y conceptos tericos f"ndamentales de los rafos.

Definici!nes

6af!

En la fi"ra' @ B a' !' c' d' e' f ' y A B a!' ac' ae' !c' !d' df' ef .

n rafo es "na pareja 6 7 89+ A' donde 9es "n conj"nto de p"ntos' llamados &(rtices' y

Aes "n conj"nto de pares de &(rtices' llamadas aristas. #ara simplificar' notaremos la aristaBa' ! como a!.

En teor7a de rafos' slo 0"eda lo esencial del di!"jo$ la forma de las aristas no sonrele&antes' slo importa a 0"( &(rtices est?n "nidas. La posicin de los &(rtices tampocoimporta' y se p"ede &ariar para o!tener "n rafo m?s claro. :eneralmente' se considera 0"ecolocar los &(rtices en forma de pol7ono re"lar da rafos m"y lei!les.
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/1736http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/1845http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoffhttp://es.wikipedia.org/wiki/1852http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Francis_Guthrie&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_coloreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Appelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfgang_Haken&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Grafo_ejemplo_1isom.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/1736http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/1845http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoffhttp://es.wikipedia.org/wiki/1852http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Francis_Guthrie&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_coloreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Appelhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfgang_Haken&action=edit


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#r?cticamente c"al0"ier red p"ede ser modelada con "n rafo$ "na red de carreteras 0"econecta ci"dades' "na red el(ctrica o "n alcantarillado.

Ais"as $ii4i$as y n! $ii4i$as

En al"nos casos es necesario asinar "n sentido a las aristas' por ejemplo' si se 0"iererepresentar la red de las calles de "na ci"dad con s"s ine&ita!les direcciones nicas. Elconj"nto de aristas ser? a3ora "n s"!conj"nto de todos los posi!les pares ordenados de&(rtices' con /a' ! F /!' a. Los rafos 0"e contienen aristas diriidas se denominan 4af!s!ien"a$!s' como el si"iente$

Las aristas no orientadas se consideran !idireccionales para efectos pr?cticos /e0"i&ale adecir 0"e e%isten dos aristas orientadas entre los nodos' cada "na en "n sentido.

En el rafo anterior se 3a "tili,ado "na arista 0"e tiene s"s dos e%tremos id(nticos$ es "nla,o /o !"cle' y aparece tam!i(n "na arista !idireccional' y corresponde a dos aristasorientadas.

A0"7 @ B a' !' c' d' e ' y A B 8a+ c' /d' a' /d' e' /a' e' /!' e' 8c+ a' 8c+ c' /d' ! .

Se considera la caracter7stica de GradoG /positi&o o neati&o de "n &(rtice v/y se indicacomo /v' como la cantidad de aristas 0"e llean o salen de (lH para el caso de rafos noorientados' el rado de "n &(rtice es simplemente la cantidad de aristas 0"e tocan este&(rtice. #or ejemplo' el rado positi&o /salidas de des )' mientras 0"e el rado neati&o/lleadas de bes 1.

Sen la terminolo7a se"ida en al"nos pro!lemas cl?sicos de In&estiacin Operati&a/p.ej.$ el #ro!lema del fl"jo m?%imo' a "n &(rtice del 0"e slo salen aristas se le denominafuente /en el ejemplo anterior' el &(rtice dH tiene rado neati&o . #or el contrario' aa0"ellos en los 0"e slo entran aristas se les denominapozoosumidero/en el caso anterior'el &(rtice eH tiene rado positi&o .

Definicin: Dado "n rafo G = (V !" con n &(rtices #v$ %%% vn& s" ma"i3 $ea$yacenciaes la matri, de orden n n'A(G"=(ai'" donde ai' es el nmero de aristas 0"e"nen los &(rticesvi y v'.

Ejeml! 1..%.
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_Operativahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_del_flujo_m%C3%A1ximo&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Grafo_ejemplo_2.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_Operativahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_del_flujo_m%C3%A1ximo&action=edit


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La matri, de adyacencia de "n rafo es sim(trica. Si "n &(rtice es aislado entonces la

correspondiente fila /col"mna esta comp"esta slo por ceros. Si el rafo es simpleentonces la matri, de adyacencia contiene solo ceros y "nos /matri, !inaria y la diaonalesta comp"esta slo por ceros.Definicin 1../. Dado "n rafo simple G = (V !" con n=V &(rtices #v$ %%% vn& y m=!aristas #e$ %%% em& s" ma"i3 $e inci$encia es la matri, de orden nxm' )(G"=(bi'"' dondebi'=$ si vi es incidente con e' y bi'=* en caso contrario.


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La matri, de incidencia slo contiene ceros y "nos /matri, !inaria. Como cada aristaincide e%actamente en dos &(rtices' cada col"mna tiene e%actamente dos "nos. El nmerode "nos 0"e aparece en cada fila es i"al al rado del &(rtice correspondiente. na filacomp"esta slo por ceros corresponde a "n &(rtice aislado.Definicin 1..0. Dado "n rafo diriido o d7rafo+ = (V !" con n &(rtices #v$ %%% vn& s"ma"i3 $e a$yacencia es la matri, de orden n n'A(+"=(ai'" donde ai' es el nmerode arcos0"e tienen a vi como e%tremo inicial y a v' como e%tremo final.

Ejeml! 1..;.

La matri, de adyacencia de "n d7rafo no es sim(trica. Es "na matri, !inaria. El nmero de"nos 0"e aparecen en "na fila es i"al al rado de salida del correspondiente &(rtice y elnmero de "nos 0"e aparecen en "na determinada col"mna es i"al al rado de entrada delcorrespondiente &(rtice.


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1.%.- FUNCIONES

1.%.1.- Sis"ema $e C!!$ena$as Ca"esianas

Sis"ema $e c!!$ena$as en la ec"a

Sistema de coordenadas en la recta

Corresponde a la dimensin "no' y 0"e representaremos con el eje %' en este eje 3ay "ncentro de coordenadas' 0"e representaremos con la letra O/de Orien' y "n &ector "nitario

en el sentido positi&o de las %$ .

n p"nto c"al0"iera de la recta p"ede representarse con "n nmero real' positi&o si est?sit"ado a la derec3a de O' y neati&o si esta a la i,0"ierda. El centro de coordenadasO/letra O corresponde al &alor /cero.

Este sistema de coordenadas es "n espacio &ectorialde dimensin "no' y p"ede aplicarsetodas las operaciones correspondientes a espacios &ectoriales' en ocasiones tam!i(n sellama ec"a eal.

n p"nto$

tam!i(n p"ede representarse$

La distancia entre dos p"nto Ay


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Sistema de coordenadas cartesianas

Las ec'aci!nesde los ejes % e y son respecti&amente y y %' rectas0"e se cortan en elorien c"yas coordenadas son' o!&iamente' /'. Se denomina tam!i(n a!scisa al eje % yordenada al eje y. Los ejes di&iden el espacio en c"atro c"adrantes en los 0"e los sinos delas coordenadas alternan de positi&o a neati&oH as7 por ejemplo las coordenadas del p"ntoA ser?n am!as positi&as' mientras 0"e las del p"nto J ser?n am!as neati&as.

Las coordenadas de "n p"nto c"al0"iera &endr?n dadas por lasproyeccionesdel sementoentre el orien y el p"nto so!re cada "no de los ejes.

So!re cada "no de los ejes se definen *ec"!es 'ni"ai!s/iyj como a0"ellos paralelos alos ejes y de md"lo/lonit"d la "nidad. En forma &ectorial' la posicin del p"nto A sedefine respecto del orien con las componentes del &ector OA.

La posicin del p"nto Aser?$

Ntese 0"e la lista de coordenadas p"ede e%presar tanto la posicin de "n p"nto como las

componentes de "n &ector en notacin matricial.

La distancia entre dos p"ntos c"ales0"iera &endr? dada por la e%presin$

Aplicacin del teorema de #it?orasal tri?n"lorect?n"lo AJC.
http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Coordenadas_cartesianas.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo


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n &ector c"al0"iera A


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El semento A


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Definicin $e f'ncin &i'n=*!ca

na f"ncinfcon dominioD y contradominioR es f"ncin !i"n7&oca si se satisface al"nade las condiciones e0"i&alentes 0"e si"en$

81Siempre 0"e abenD+entoncesf(a"f(b"enR.

8% Siempre 0"ef(a"f(b"enR+entonces a = benD.

Con el diarama de flec3as de la fi"ra

se il"stra "na f"ncin !i"n7&oca. Ntese 0"e cada &alor de f"ncin en el contradominio Rcorresponde a e%actamente "n elemento en el dominioD.La f"ncin 0"e se &e en la fi"rasi"iente no es !i"n7&oca' ya 0"ef(,"f(z"' pero ,z.

('e&a $e la ec"a >!i3!n"al

na f"ncinf es !i"n7&oca si y slo si toda recta 3ori,ontal intercepta la r?fica de f c"andom"c3o en "n p"nto.

Como toda f"ncin creciente o decreciente pasa la pr"e!a de la recta 3ori,ontal' se llea alsi"iente res"ltadoH 8eorema de las f"nciones crecientes o decrecientes son !i"n7&ocas.

?e!ema: Las f'nci!nes cecien"es ! $ececien"es s!n

&i'n=*!cas
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35203.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35203.htm


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Como toda f"ncin creciente o decreciente pasa la pr"e!a de la recta 3ori,ontal' se llea alsi"iente res"ltado.

81na f"ncin 0"e es creciente en s" dominio es !i"n7&oca.

8%na f"ncin 0"e es decreciente en s" dominio es !i"n7&oca.

Seaf "na f"ncin !i"n7&oca con dominioD y contradominioR.As7' para cada nmero y enR+3ay e%actamente "n$ nmerox enD+tal 0"e- f(x"' como se &e en la flec3a de la ;i.).41/a. #or consi"iente' se p"ede definir "na f"ncin . de R a D+ mediante la relasi"iente$

x .(-"

Como en la fi"ra'. in&ierte la correspondencia especificada porf%A. se le llama f"ncinin&ersa defcomo se aprecia en la si"iente definicin.

Relaci!nes in*esas

Dada "na relacin ' definimos s" in&ersa' $

Definicin0/Relacin in&ersa Dada "na relacin' s" inversaes la relacin

. En otras pala!ras' si y slo si .

#or ejemplo' la relacin in&ersa de la relacin padre es la relacin 3ijo' y la relacin in&ersade la relacin 3ermano es ella misma. La relacin in&ersa de divideesser mltiplo.

Definicin $e f'ncin in*esaSeaf "na f"ncin !i"n7&oca con dominioD y contradominioR.na f"ncin ' con dominioR y contradominioD+es la f"ncin in&ersa defsiempre y c"ando se c"mpla la si"ientecondicin para todax enD y toda y en R$

-f(x"si y slo six = .(-".


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Rec"erde 0"e para 0"e est( definida la in&ersa de "na f"ncinfes a!sol"tamente esencial0"e f sea !i"n7&oca. El teorema para f"nciones in&ersas/en"nciado sin demostracin' estil para &erificar 0"e "na f"ncin. es la in&ersa def%

F'nci!nes in*esas

na f"ncin f p"ede tener el mismo &alor para distintos nmeros de s" dominio. #orejemplo' si f(x" x' entoncesf/ * yf/ * pero . #ara definir la in&ersa de"na f"ncin' es esencial 0"e nmeros diferentes en el dominio prod",can siempre &aloresdistintos def%A esas f"nciones se les llamaf"nciones !i"n7&ocas.

?e!ema aa f'nci!nes in*esas

Seaf "na f"ncin !i"n7&oca con dominioD y contradominioR.Si. es f"ncin con dominioR y contradominioD+entonces es la f"ncin in&ersa def si y slo si se c"mplen las doscondiciones si"ientes$

81.(f(x""xpara todax enD.

8%f(.(-""-para toda-enR.

En la fi"ra /a y /!' respecti&amente' se m"estran las condiciones 81y 8%del teoremaanterior' y en ellas la flec3a s"perior indica 0"e f es "na f"ncin de D a R+y la flec3ainferior indica 0"e. es "na f"ncin deR aD.

8a 8&

Ntese 0"e en la fi"ra 8aprimero se aplicaf al nmerox enD+para o!tener el &alor de laf"ncinf(x" enR y' desp"(s' se aplica . a f(x"' para o!tener el nmero /f(x" enD.Lac!n$icin 81 $el "e!ema dice 0"e .(f(x"" x para toda xH esto es' . in&ierte lacorrespondencia e%presada porf%

En la fi"ra 8&' se aplica el orden op"esto para las f"nciones. #rimero se aplica . alnmero y enR+para o!tener el &alor de la f"ncin.(-"enD+y desp"(s se aplicafa.(-"'para encontrar el nmero f(.(-""enR. La c!n$icin8%$el "e!emadice 0"ef(.(-""-para toda-H es decir'f in&ierte la correspondencia dada por.%
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35205.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35201.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35205.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35201.htm


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Si "na f"ncinf tiene "na f"ncin in&ersa.' con frec"encia se representa a. mediantef 1.El 1 0"e se "sa en esta notacin no se de!e conf"ndir con "n e%ponenteH esto es f 1/yno 0"iere decir lPQf(-". El rec7proco lPQf(-" se p"ede representar con Qf(-"1Es importanterecordar los p"ntos m?s imortantes acerca del dominio y el contradominio def y

f 1

1.%./.- 6fica $e 'na f'ncin. D!mini!+ c!n"a$!mini! e ima4en $e 'na f'ncin

D!mini!+ c!nj'n"! $e lle4a$a y c!nj'n"! ima4en

D!mini! y c!n"a$!mini! $e f y f B 1

El dominiode "na f"ncin es el conj"nto de e%istencia de la misma' o sea los&alores para los c"ales la f"ncin est? definida. Entonces' el dominio de "na f"ncin

f es el conj"nto de todos los o!jetos 0"e p"ede transformar. Se denota Dom f o Df.

O!s(r&ese 0"e la condicin de e%istencia de la definicin de f"ncin aranti,a 0"e'

si es "na f"ncin' entonces+fA

El c!n"a$!mini!de "na f"ncin es el conj"nto .

O!s(r&ese 0"e al"nos elementos del codominio p"eden no ser imaen de ninn

elemento del dominio. #"ede 3a!er aln

tal 0"e El conj"nto imaen' tam!i(n llamado ec!i$!o an4!' est? formado por los

&alores 0"e alcan,a la f"ncin. Entonces' la imaen de "na f"ncin f es el conj"ntode todos los &alores 0"e toma la &aria!le dependiente. Se denota Im f o If.

#or ejemplo' la f"ncin f/% % 1 tiene como dominio e imaen todos los nmeros reales'pero "na f"ncin /% %T' si !ien tendr? como dominio a todos los reales' slo tendr?como imaen los &alores comprendidos entre y U0"e sean el c"adrado de "n nmeroreal /de 3ec3o' todos lo son.

Siempre es posi!le restrinir tanto el conj"nto dominioe imaen de "na f"ncin con"n propsito determinado. #or ejemplo' si se 0"iere restrinir f/% %T para 0"e sea!iyecti&a' es posi!le tomar "na sola de las ramas de modo 0"e el dominiorestrinido y el conj"nto imaen tomen &alores del inter&aloQ'U.

dominio def1 contradominio def
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagenhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35206.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagenhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo


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contradominio def 1 dominio def

C"ando se est"dian las f"nciones' con frec"encia decimos 0"e x representa "n nmeroar!itrario en el dominio. As7' para la f"ncin in&ersaf 1se p"ede desear tener af 1/x'dondex est? en el dominioR def 1En este caso' las dos condiciones en el teorema so!ref"nciones in&ersas se escri!en como si"e$

81f1(f(x""xpara todax en el dominio def

8%f(f1(x""xpara todax en el dominio def1

Las fi"ras si"ientes /son las mismas del 8eorema para f"nciones in&ersas

8a 8&

dan "na pista para determinar la in&ersa de "na f"ncin !i"n7&oca en al"nos casos$ Si esposi!le' se despejax de la ec"acin-f(x"en t(rminos de-' para o!tener "na ec"acin dela formax .(-". Si son &?lidas las dos condiciones'.(f(x""x yf(.(x""xpara todax enlos dominios def y.' respecti&amente' entonces. es la f"ncin in&ersa necesaria'f1.Las

si"ientes relas res"men este procedimiento.En la rela 'antes de determinarf 1' seescri!e$x f1/- en l"ar dex .(-".

Lineamien"!s aa $e"emina f - 1en cas!s sencill!s

l.Compro!ar 0"ef es f"ncin !i"n7&oca en s" dominio.

%. Despejar x de la ec"acin- f(x"en t(rminos de-' para o!tener "na ec"acin de laformaxf1/-.

/.Compro!ar las dos condiciones si"ientes$

a.f1(f(x""xpara todax en el dominio def

&.f(f1(x""xpara todaxen el dominio def1
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Doshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Dos


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Los res"ltados satisfactorios de este m(todo dependen de la nat"rale,a de la ec"acin -f(x"' ya 0"e se de!e poder despejarx en t(rminos de-. #or esta ra,n' aparece la frase encasos sencillos' en el enca!e,ado de las relas. Se si"en las relas dadas en los ejemplosdedeterminacin de la in&ersa de "na f"nciny al relacin entre r?ficas de

fy

f 1.

De"eminacin $e la in*esa $e 'na f'ncin

Seaf(x" )x-. Determinar la f"ncin in&ersa def%

S!l'cin

Re4la 1.La r?fica de la f"ncin linealf es "na recta de pendiente ) y' por consi"iente'fes creciente enR.Entonces'f es !i"n7&oca' y e%iste la f"ncin in&ersa'f1. Adem?s' comoel dominio y el contradominio def esR+lo mismo es &?lido paraf1.

Re4la %.Despejarx de la ec"acin-f(x"$

-

)x sea-f(x"

x

se despejaxen t(rminos de-

A3ora' se 3ace 0"ex f 1/-' es decir'

fl/-

Como no importa el s7m!olo 0"e se "se para la &aria!le' tam!i(n se p"ede escri!ir

)

./1 +=

x

xf

Dondex est? en el dominio def1.

Re4la /. Como el dominio y el contradominio tanto de f como de

f1

esR+se de!en compro!ar las condiciones /a y /! para todo nmero realx%Se procedecomo si"e$

/a

f1(f(x"" f1/)x definicin def
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351b.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Unohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Doshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Treshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351b.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni351d.htmhttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Unohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Doshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Tres


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definicin def 1

x se simplifica

/!

f(f1(x"" definicin def 1

definicin def

x se simplifica

Estas compro!aciones dem"estran 0"e la f"ncin in&ersa def es

f1(x"

Relacin en"e las 4ficas $e fy f 1

Seaf(x" x). Determinar la f"ncin in&ersaf1de fy tra,ar las r?ficas def yf1en elmismo plano de coordenadas.

S!l'cin

En la fi"ra de la i,0"ierda se presenta la r?fica def%Ntese 0"ef es "na f"ncin impar y' por consi"iente' la r?fica es sim(tricacon respecto al orien.

Re4la 1.Comof es creciente en s" dominioR+es !i"n7&oca' y en consec"encia tiene "naf"ncin in&ersaf1.

Re4la %. Se tiene la ec"acin

-x)

y se despejax sacando ra7, c!ica de cada lado' con lo 0"e se tiene
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Unohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Unohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Doshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Doshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Unohttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Dos


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.

A3ora se 3ace 0"e

f1

(-" o' lo 0"e es lo mismo'f1

(x"

Re4la /.Se compr"e!an las condiciones /a y /!$

f1(f(x""f1(x)"=

xpara todaxenR

f(f1(x"" xpara todaxen R

La r?fica def1/es decir' la r?fica de la ec"acin- se p"ede o!tener reflejando la

r?fica de la fi"ra anterior en la l7nea- x como se &e en la si"iente fi"ra. 8res p"ntos de la r?fica def1son /' ' /1' 1 y /9' .

Ejeml!

De"emina si 'na f'ncin es &i'n=*!ca ! n!

8aSif(x" )x' pr"e!e 0"ef es !i"n7&oca.

8&Si.(x"x* x' dem"estre 0"e. no es !i"n7&oca.

S!l'cin

8a Se "sa la condicin / de la definicin anterior. As7' s"pnase 0"e f(a" f(b" paraciertos nmeros ay ben el dominio def%Con ello se o!tiene

)a )b definicin def(x"
http://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Treshttp://cead2002.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_03/uni35207.htm#Tres


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)a )b se resta

a b se di&ide entre )

#or lo tanto'f es !i"n7&oca.

?aea: Ejecici!s $e F'nci!nes in*esas

Estos son los pro!lemas$ 1' 14' 4 y )' 0"e p"edes encontrar en el li!ro Ale!ra y8rionometr7a con :eometr7a Anal7tica /8ercera edicin de SVo>oVs>i y Cole' iniciandoen la p?ina 1.

1.- Con el teorema so!re f"nciones in&ersas' dem"estre 0"e fy .son f"nciones in&ersas

entre s7' y raf70"elas en el mismo plano coordenado.

.- Determine la f"ncin in&ersa def.

f(x")x

).- Determine la f"ncin in&ersa def.

*.- Se m"estra la r?fica de "na f"ncin f!i"n7&oca. 8aEmplee la propiedad de refle%inpara raficar f 1. 8&Determine el dominio Dy el contradominio Rde la f"ncinf% 8cDetermine el dominio D1y el contradominio R1de la f"ncin in&ersaf1.

1.%..- F'nci!nes inyec"i*as+ s!&eyec"i*as .


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F'nci!nes inyec"i*as+ s!&eyec"i*as y &iyec"i*as

;"ncin inyecti&a$ Si cada elemento del conj"nto J es imaen de "n nico elemento

del dominio. es inyecti&a

H o lo 0"e es lo mismo$

;"ncin so!reyecti&a$ es so!reyecti&a si el conj"nto imaen coincide

con el conj"nto J /conj"nto de lleada o codominio. es so!reyecti&a

;"ncin !iyecti&a$ es !iyecti&a si es inyecti&a y so!reyecti&a.

So!reyecti&a' no inyecti&a Inyecti&a' no so!reyecti&a

Jiyecti&a No so!reyecti&a' no inyecti&a

Ejeml!s $e $ifeen"es "i!s $e f'ncin:

N! inyec"i*a y n! s!&eyec"i*a

La f"ncin y %' como p"ede o!ser&arse )$ y ypero la imaen de esta f"ncin es"n s"!conj"nto del contradominio Y por0"e los nmeros reales a!arcan desde menos
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Total_function.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Bijection.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Injection.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Surjection.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva


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infinito 3asta m?s infinito mientras 0"e la imaen de esta f"ncin solo a!arca los nmeropositi&os de los reales.

y = x2

7

1

2

3

4

5

I2*7 I1*5 I1*7 I7*5 7*7 7*5 1*7 1*5 2*7

Inyec"i*a y n! s!&eyec"i*a

Si consideramos a3ora la misma f"ncin y%pero a3ora en el domino de los nmeronat"rales {'1'')W.. o!ser&amos 0"e el contradominio de la f"ncin /y el conj"ntode los nat"rales no coincide con la imaen /I de la f"ncin 0"e en este caso ser7aIB'1'*'X'12WW. por lo tanto la f"ncin no es so!reyecti&a. Si em!aro es inyecti&apor0"e a cada elemento del contradominio le corresponde "n nico elemento del dominio.

y = x2

7

5

17

15

27

25

37

35

47

7 1 2 3 4 5 6 J

Inyec"i*a y s!&eyec"i*a

Las f"nciones lineales c"mplen con las condiciones de ser inyecti&as y so!reyecti&a por lotanto son !iyecti&as' ejemplo la f"ncin y)%


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I15

I17

I5

7

5

17

15

27

25

I5 I4 I3 I2 I1 7 1 2 3 4 5

y = 3x K 5

Como se o!ser&a en la rafica e%iste para cada elemento del contradominio "n nico

elemento del dominio y adem?s 3ay coincidencia entre el conj"nto de la imaen y elcontradominio para este caso el conj"nto de los nmeros reales.

N! inyec"i*a y s!&eyec"i*a

Las f"nciones polinmicas c!icas tienen estas caracter7sticas como se m"estra en lar?fica si"iente$

I27

I15

I17

I5

7

5

17

15

27

I3 I2 I1 7 1 2 3 4 5

y = x3I2x

2I5xK6

O!ser&e 0"e los &alores seleccionado de )de la ta!la si"iente tienen el mismo &alor de yen la f"ncin y 7 )/-%)%-0);+ esto implica 0"e no es "na f"ncin !iyecti&a pero s"imaen es todo el conj"nto de los nmeros reales y por tanto coincide la imaen con elcontradominio.

x y

I1*L 2*J7

7*6 2*J7


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3*2 2*J7

1.%.0.- C!m!sicin $e f'nci!nes s!&e c!nj'n"!s $isce"!s y c!n"in'!s.

La pala!ra $isce"!pro&iene del lat7ndiscretus0"e sinificaseparado. 8iene sinificadosdiferentes dependiendo del conte%to en 0"e se enc"entre$

1. En el conte%to inform?tico'+iscretose refiere a la forma partic"lar de codificacin0"e toma "n s7m!olo o "n pa0"ete de informacin. #or ejemplo' el &alor discreto en!inario para el car?cter ASCII A' es 11.

. En matem?ticasyf7sica' "na f"ncin' &aria!le o sistema es discreto' encontraposicin a contin"o' si es di&isi!le"n nmero finito de &eces. As7' el conj"ntode los nmeros nat"raleses "n conj"nto discreto' as7 como la ener7a de los estadosc"?nticos.

Entre cada "no de los miem!ros del conj"nto nop"ede 3a!er m?s t(rminos. Como se &e en los nat"rales se p"ede llear a "nas"cesinindi&isi!lede nmeros

F'nci!nes eales y f'nci!nes $isce"as

Si el dominio de "na f"ncin es "n inter&alo de la recta real la f"ncin sedenominar? real. En cam!io' si la f"ncin est? definida para los nmeros enterossedenominar? funci/n discreta. n ejemplo de "na funci/n discreta son las

s"cesiones.

na s'cesin ma"em"ica es "na aplicacin definida so!re los enteros nat"rales. Escost"m!re emplear las letras "' &' V... para desinarlas' en &e, de f' ' 3... 0"e sir&en paralas f"nciones. Del mismo modo' la &aria!le se nota "s"almente n/por natural en &e, dex'3a!it"al para las &aria!les reales.

#or con&encin' se escri!e "nen &e, de "/n la imaen de n por la s"cesin "' o sea elt(rmino nmero n1 de la s"cesin " /el primer t(rmino es 3a!it"almente ".
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.

1.) ;NCIONES JYSICAS

1.).1 #ropiedades de las f"nciones$ despla,amientos &erticales y 3ori,ontales' f"ncin par e impar.

F'nci!nes aes e imaes

Sea f"na f"ncin tal 0"e sixest? en el dominio def' -xtam!i(n lo est?$

/i f es "na f"ncinparsif/0x f /x' para todaxen el dom f. esto es si$

x 1 x(xA 0 xAf(x" = f(0x""

La r?fica de "na f"ncinpares sim(trica con respecto al eje-

/ii fes "na f"ncin imparsif/0x f /x' para todaxen el dom f. esto es si$

La r?fica de "na f"ncin impares sim(trica con respecto al orien de coordenadas.

Ejemplos il"strati&os$

Una f'ncin 'e n! esen"a sime"=a a n! "iene necesaiamen"e sime"=a ima.

Al4'nas f'nci!nes n! esen"an nin4'n! $e l!s $!s "i!s $e sime"=a ! &ien la
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Sucesi%C3%B3n_definida_expl%C3%ADcitamente.png


29/66

esen"an fen"e a f!c!s ! ejes $is"in"!s $el !i4en $e c!!$ena$as ! el eje $e

!$ena$as 8! eje Y

?emin!l!4=a

Definicin Dem!s"acin Sime"=a

$e 4fica

f es 'na

f"ncin par

( ) ( )xfxf =

aa "!$a ) $el

$!mini!

( ) xxf- ==

eje y

f es 'na

f"ncin impar

( ) ( )xfxf =

aa "!$a ) $el

$!mini!

( ) )xxf- ==

elori9en

Ejeml! $e f'nci!nes

En este apartado &amos a est"diar al"nos ejemplos de f"nciones partic"lares$ f"ncindefinida por partes' f"ncin sino' f"ncin &alor a!sol"to' f"ncin mayor entero' etc.


30/66

Ejecici!s es'el"!s

En cada ejercicio' determine el dominio y el dominio de im?enes /codominiocontradominio" de la f"ncin' y trace la r?fica correspondiente$


31/66

S ! l ' c i ! n e s

8a!la de &alores

x * 9

y * *

8a!la de &alores

x -* *

y *
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#6%236http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#5%235http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#4%234http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#3%233http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#2%232http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id435_m.htm#1%231


32/66

8a!la de &alores

x *

y 2 2

8a!la de &alores

x - 1 )

y 1 1


33/66

8a!la de &alores

x y

-

-*

-)

-

-1

1

8a!la de &alores

x

y x


34/66

1.). ;"nciones polinmicas.Lo 0"e si"e' como lo anterior' referente a la representacin r?fica de f"nciones slo es

"na introd"ccin al tema. La r?fica de al"nas f"nciones presenta caracter7sticasespeciales 0"e para s" est"dio se re0"iere del C?lc"lo. 8ales caracter7sticas son' porejemplo' las as7ntotas 3ori,ontales y &erticales /se ded"cen a partir de l2mites' as7ntotaso!lic"asH determinar los inter&alos donde la r?fica de la f"ncin es decreciente y donde escreciente /c?lc"lo diferencialH precisar en 0"( inter&alos la r?fica es cnca&a 3acia arri!ay dnde lo es 3acia a!ajo' 3allar los p"ntos de infle%in /p"ntos donde oc"rre el cam!io deconca&idad /c?lc"lo diferencialH m?%imos y m7nimosH etc. El est"dio de estos temas est?nincl"idos en esta p?ina' C?lc"lo1.

F'nci!nes al4e&aicas:

Las f"nciones ale!raicas son a0"ellas constr"idas por "n nmero finito de

operaciones ale!raicas /s"ma' resta' m"ltiplicacin' di&isin' potenciacin y radicacinaplicadas a la f"ncin identidad' f/x x' y a la f"ncin constante' f/x 3.

En eneral' las f"nciones ale!raicas a!arcan a las f"nciones polinomiales' racionales y lasllamadas ale!raicas e%pl7citas.

F'ncin !lin!mial:

El dominio de la f"ncin polinomial es el conj"nto de los nmeros reales.

Ejemplos partic"lares de la f"ncin polinomial son' la f"ncin lineal /f"ncin polinomial derado "no' la f"ncin c"adr?tica /f"ncin polinomial de se"ndo rado' f"ncin c!ica/f"ncin polinomial de tercer rado.

F'ncin lineal:

La f"ncin lineal /f"ncin polinomial de primer rado es de la forma - = f (x" = ax4 bH ay bson nmeros dadosH el dominio y contradominio es el conj"nto de todos los

nmeros reales.La r?fica de c"al0"ier f"ncin lineal es "na l7nea recta. La arepresenta lapendientede larecta y b' el intercepto con el eje y/" ordenada en el orien. Como por dos p"ntosdiferentes' en el plano cartesiano' se p"ede tra,ar "na sla l7nea recta' !asta con calc"lar lascoordenadas de dos de los p"ntos para tra,ar la r?fica de "na f"ncin linealH escon&eniente 0"e dic3os p"ntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como yamencionamos antes' el intercepto con el eje y' es bH para 3allar el intercepto con el eje x/oabscisaen el orien' se i"ala la ec"acin de la f"ncin a y se despeja el &alorrespecti&o parax.


35/66

Reesen"acin 4fica $e la f'ncin lineal $e ime 4a$!

( ! c e $ i m i e n " !

1. Se despeja la f"ncin

%. Se constr"ye "na ta!la de &alores /!asta con dos pares/. Se "!ican dic3os p"ntos en el plano cartesiano /tomando los &alorescorrespondientes a la &aria!le independientexcomo a!scisas y a los de laf"ncin-como ordenadas. Se "nen los p"ntos por "na l7nea recta' prolon?ndola de tal modo 0"e est(representada en todo el plano

Representar r?ficamente las f"nciones$

1.- = x.S o l " c i n $

x -

y -

2.- = 05xS o l " c i n $

x -1 1

y -

.- = x 4 5S o l " c i n $


36/66

x -

y

Es aconseja!le 3allar los interceptos conlos ejes.

.- = x 0 6S o l " c i n $

x )

y -)


>.x 4 7S o l " c i n $

x -* y *


?.- = 6x 4 6S o l " c i n $


37/66

x -1

y )


Las escalas para los ejes p"eden serdiferentes /con el o!jeto de 0"e la r?fica0"ede !ien distri!"ida en el plano

@.- = 5x 0 7S o l " c i n $

x

y -*


A.- = 6x 4 8S o l " c i n $

x - y 2


.- = 7x 4 9S o l " c i n $


38/66

x -

y -)

1. - = 05x 4 7S o l " c i n $

x

y *

Es importante 3allar los interceptos conlos ejes.

11.- = 05x 0 7S o l " c i n $

x - y -*


12.- = x 0 6S o l " c i n $


39/66

x -

y -*


1.- = : 0 6xS o l " c i n $

x -

y -*


x -* *

y -


40/66

x -2

y )


x X

y -) XEs importante 3allar los interceptos conlos ejes.

x

y - )



41/66

x -9

y *


Representar r?ficamente las si"ientes f"nciones siendo y la &aria!le dependiente

1. x 4 - = *S o l " c i n $

x -

y -

2. 5x =6-S o l " c i n $

x -) )

y -

21.5x 4 - = $*S o l " c i n $


42/66

x

y 1

22. )- = *x 4 S o l " c i n $

x 1

y P) )

2. 7x 4 - = :S o l " c i n $

x

y 9

27.- 4 9 = xS o l " c i n $


43/66

x

y -

2>. x-- S o l " c i n $

x 1y - )

2?. x--1S o l " c i n $

x -1

y -1 1

F'ncin c!ns"an"e:

Se p"ede considerar a la f"ncin constante como "n caso partic"lar de la f"ncinlineal c"ando se 3acex . La f"ncin constante se define como$

El dominio de la f"ncin constante es el conj"nto de los nmeros reales y el codominio es3.


44/66

La r?fica de la f"ncin constante es "na l7nea recta paralela al eje x' y corta al eje-en-3.

F'ncin i$en"i$a$:

La f"ncin identidad es "na

f"ncin lineal con a 1 y b . Laf"ncin lineal se define por$

El dominio y el codominio de la f"ncinidentidad es el conj"nto de los nmerosreales.La f"ncin identidad !iseca losc"adrantes I y III.O!ser&e s" r?fica a la derec3a

F'ncin c'a$"ica:

#ara tra,ar la r?fica de "na f"ncin c"adr?tica es con&eniente constr"ir "na ta!la de&alores' con por lo menos c"atro &alores' "no para el &(rtice' dos para los interceptos con elejexy "n c"arto para el intercepto con el eje-.

1.).) ;"nciones racionales.

na f"ncin racional es a0"ella 0"e p"ede e%presarse como el cociente de dos f"ncionespolinomiales. Esto es' "na f"ncin racional es de la forma


45/66

El dominio de la f"ncin racional consiste de todos los nmeros reales' a e%cepcin dea0"ellos para los c"ales ;/x .

Ejecici!s es'el"!s

5alle el dominio y el codominio' y rafi0"e las si"ientes f"nciones $

S ! l ' c i ! n e s
http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#17%2317http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#16%2316http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#15%2315http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#14%2314http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#13%2313http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#12%2312http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#11%2311http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#10%2310http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#9%239http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#8%238http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#7%237http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#6%236http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#5%235http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#4%234http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#3%233http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#2%232http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm#1%231


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8a!la de &alores

x -.*1 1 .*1y -1 -


47/66

8a!la de &aloresx -1 .4 1.

y - 1.1 -

8a!la de &alores) -1 1

y * *


48/66

8a!la de &alores

) -* *

y * *

8a!la de &alores)

y


49/66

8a!la de &alores

)

y -)

8a!la de &alores

)

y *


50/66

8a!la de &alores

x -1 1

y X 9 4

8a!la de &alores

x -1 1

y - -1 4


51/66

8a!la de &alores

x -* -1

y )'*2 '*

8a!la de &alores

x -) -1 1 )

y '9) ) '9)


52/66

8a!la de &alores

x -* -1 * 4

y *'X *'X

8a!la de &alores

x

y -


53/66

Nota$ para 3allar el &alor m7nimode la f"ncin se de!e aplicar elc?lc"lo diferencial /consltese laseccin G+?%imos y m7nimosG

8a!la de &alores

x -1 1 ) *

y 99.* 1 -'4 .1 4.9


54/66


55/66

1.).* ;"nciones e%ponenciales

INTRODUCCIN

Eneste captulo, se presentan dos funciones de gran importancia en la matemtica, comoson: la funcin exponencial y la funcin logartmica.

Histricamente, los exponentes fueron introducidos en matemticas para dar un mtodocorto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propsito, solo seconsideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de ase realser dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un n!mero entero,racional o, en general, un n!mero real .

2.1 LA FUNCIN EXPONENCIAL

Definicin.

"ea un n!mero real positivo. #a funcin que a cada n!mero realxle $ace corresponder

la potencia se llama funcin exponencial e !a"e a # exponen$ex.

%omo para todo ,la funcin exponencial es una funcin de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades ms importantes de la funcin

exponencial.

2.1.1 Teo%e&a 'Le#e" e lo" Exponen$e"(

"ean a y b reales positivos yx- ,entonces:


56/66

&.

'.

(.

).

*. .

+ .

%uando a & ,six < y,entonces, .Es decir, cuando la ase a es mayor que &,lafuncin exponencialde ase a es estrictamente creciente en su dominio.

%uando - a


57/66

demostracin utili0a la definicin y el teorema '. /ara el caso general, es decir, cuandoxeyson reales, la demostracin utili0a elementos del anlisis real.

2.1.2 )%*fica e la Funcin Exponencial

En relacin con las propiedades 1 y 2, enunciadas en el teorema, es conveniente $aceralgunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras & y ', aparecen las grficas de algunas funcionesexponenciales de ase a & 3fig. &4 y de ase a & 3fig. '4.

5ote que cuando la ase aes mayor que &,la funcin exponencial 3fig.&4 no est

acotada superiormente. Es decir , crece sin lmite al aumentar la varialex. 6dems,

sta funcin tiene al cero como extremo inferior. Esto es , tiende a cero3-4, cuandox


58/66

toma valores grandes pero negativos.

7gualmente, cuando la ase a &, la funcin exponencial 3fig.'4 no est acotadasuperiormente, pero su comportamiento para valores grandes dex, en valor asoluto, es

diferente. 6s, crece sin lmite, al tomarxvalores grandes, pero negativos y tiende acero, cuando la varialextoma valores grandes positivos.

El $ec$o de ser la funcin exponencial con a &, estrictamente creciente 3estrictamentedecreciente cuando - a &4, significa que la funcin exponencial es inyectiva en su

dominio.Este $ec$o y la continuidad de la funcin son las condiciones que se exigen paragaranti0ar la existencia de la funcin inversa 3 funcin logartmica4, que se presentan en la

prxima seccin.

En relacin con la propiedad 8, en un sentido, se deduce fcilmente de la definicin defuncin9 y, en otro, del $ec$o de ser la funcin exponencial inyectiva.

O!"e%+acin.

%uando a = e,donde ees el n!mero irracional cuya representacin decimal con sus

primeras cifras decimales, es e '.1&2'2&2'2);.,la funcin exponencial ,se llama:

funcin exponencial e !a"eey, frecuentemente, se denota por Exp'x ( , .

1./.0 F'nci!nes l!4a="micas

%on el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicacin, divisin, elevacin a potenciasy extraccin de races entre n!meros reales pueden simplificarse notoriamente.

El proceso de multiplicacin es reempla0ado por una suma9 la divisin, por una sustraccin9la elevacin a potencias, por una simple multiplicacin, y la extraccin de races, por unadivisin.


59/66

#o anterior da lugar a la siguiente definicin:Definicin.

"ea a un real positivo fijo, y seax cualquier real positivo, entonces:

#a funcin que $ace corresponder a cada n!mero real positivo su logaritmo en ase ,

=enotada por ,se llama:funcin lo-a%$&ica de !a"e a, y, el n!merose llama lo-a%i$&o exen la !a"e a.

#a definicin anterior, muc$as veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un n!mero,en una ase dada, es el exponen$e al cual se dee elevar la !a"epara otener eln!mero.

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades ms importantes de los logaritmos.

2.2.1 Teo%e&a ' P%opieae" e lo" lo-a%i$&o" (

"i a -, y bes cualquier real positivo,x e y reales positivos, entonces :

.

.

%uando a & , si - x y ,entonces, .Es decir ,la funcin logartmica dease a & es estrictamente creciente en su dominio.

%uando - a &, si - x y, entonces, .Esto es la funcin logartmicade ase entre - y &9 es estrictamente decreciente en su dominio.

/ara todo n!mero real , existe un !nico n!mero real tal que . Esta


60/66

propiedad indica que la funcin logartmica es soreyectiva .

.

"i , y, > - , entonces, . 37nvarian0a4

De&o"$%acin.

/ara demostrar las propiedades de los logaritmos, se $ace uso de la definicin y de laspropiedades de la funcin exponencial, presentadas en la seccin anterior.

6 manera de ilustracin, se demuestran las propiedades &,) y 1. "e dejan las restantescomo ejercicio para el lector.

"ea .=e acuerdo a la definicin de logaritmo y de la propiedad 8 del teorema( ,se tiene :

.

Esto es , 3 & 4

En segundo lugar , nuevamente por la definicin , .

Es decir , 3 ' 4.

=e 3 & 4 y 3 ' 4, se concluye que .

"ea y , entonces :

3 & 4.

3 ' 4.

=e 3& 4 y 3 ' 4, se sigue que: .


61/66

Es decir, .

1."e supone que a & y -x y."ean : y ."e pruea que

.

En efecto ,si ,y como a >& ,se tendra por la propiedad 1 del teorema (

que , es decir , en contradiccin con la $iptesis.

6nlogamente, se ra0ona para el caso - a &.

O!"e%+acione".

i 4 #a igualdad , dada en la propiedad &, es tamin vlida para b - .

ii4 #as propiedades 1 y 2 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 1 y 2 de losexponentes, ponen

de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales ylogartmicas en una misma

ase .Es decir, si una de ellas es continua y creciente 3 continua y decreciente 4 , la otratamin lo es.

iii4 #a ase ms frecuentemente utili0ada para las funciones exponenciales y logartmicas esel llamado n/&e%o

e3n!mero de E?#E@ 4.#os logaritmos de !a"e eson llamados lo-a%i$&o" Na$u%ale" oNepe%iano"y se

denotan por Ln."in emargo ,los que ms a menudo se encuentran taulados y que seutili0an en la practica son

los correspondientes a la ase &- ,los cuales son llamados logaritmos eci&ale" o+ul-a%e" y se denotan

por o, simplemente, #ogx.

2.2.2. )%*fica e La Funcin Lo-a%$&ica

En las figuras ( y ) , aparecen las grficas de las funciones e , enconcordancia con las propiedades estalecidas en el teorema inmediatamente anterior.

En la figura *, se $an tra0ado conjuntamente las curvas e .6ll puedenvisuali0arse los comentarios $ec$os en la oservacin ii4. /uede notarse, adems, que lascurvas son simtricas con respecto a la recta yx.


62/66

fi )

fi *

fig.*2.0.1 Ee%cicio" Re"uel$o" o!%e la Funcin Exponencial

1."implifique totalmente la siguiente expresin:..

OLUCIN


63/66

'-'* .

2./ruee que..

OLUCIN"implifique inicialmente el numerador y el denominador de la fraccin

.6s:

Aamin ,

En consecuencia , .

1./ruee que si a - , a yx - ,entonces, ...

OLUCIN

"uponga que 3&4. Esto significa, de acuerdo a la definicin, que


64/66

3'4.

=e 3'4, se deduce que . /ero, 3(4.

=e 3&4 y 3(4, se concluye que :

2.

"ea a - ,x - y, adems , .=etermine el valor dex.

..OLUCIN

"i , entonces, . Aomando logaritmo en ase a,en amos miemros de la !ltima igualdad ,se otiene :

. B Equivalentemente ,

=espejando y simplificando , se otiene :

En

consecuencia, .

0.=etermine los valores dex e y que satisfacen simultneamente las ecuaciones :

3 & 4 3 ' 4..

OLUCIN=e la ecuacin 3'4 ,se sigue quex e y son reales positivos. 6dems, s puede deducirque :


65/66

3 ( 4. =e donde , 3 ) 4.

%omox, y son reales positivos, se sigue de 3 & 4 que 3 * 4.

=e 3 ) 4 y 3 * 4, se deduce que :

.

=e donde, .

"ustituyendo el valor de yen la ecuacin 3 & 4 ,se otiene

3.Enla escala de @ic$ter, la intensidad < de un terremoto, se relaciona con su energa E3en Ergios 4 por medio de la frmula:

"i un terremoto tiene &--- veces ms energa que otro, Ccuntas veces mayor es su ndicede @ic$ter


66/66

3+4.

=ividiendo miemro a miemro las igualdades 3*4 y 3+4, se

otiene:

C%mo interpreta usted este resultadoD

dominio e intersecciones

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