s4 td2 statistique 2

7/30/2019 s4 Td2 Statistique 2

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Universit Med I-FPNDpartement: Eco-gestionAnne universitaire: 2010/2011

l "

Module: M16lment: Statistique IDTD2

Exercice 1. - Soient Xt, ..,' Xn n variables alatoires indpendantes suivant la mloi N(m,o).Montrer que ~ E7=tX i converge en probabilit vers m. -,--.-'" ------'-

'_.

Exercice 2. - Soient les variables alatoiresit1dpendantes Y '\MN(m,a) et Zn telle que E(Zn) =0

et V(Zn) = ~ . On dfinit la suite de v.a. {Y n} telles que Yn = y+Zn ' En utilisant l'ingalit deChebychev, montrer que Yn~ Y.

Exercice 3. - En utilisant l'ingalit de Chebychev, montrer que si X est une v.a. relle d'esprance'mathmatique m et de variance 02,alors P(lX - ml O . '

- - - - - - - ._' Exercice 4. - Soient Xl, ..., Xn n variables alatoires i.i.d. Monter que S2 = n:tE7=t(Xi - 3 0 2 est

/_// un estimateur non biais de a2, o a2 = V(Xt).

Exercice 5. - Soient S i , . . . , S ; les k variances~chantillons obtenues partir, dkchantillons~_" ,-f." simples indpendants letailles respdivs nt; ... , nk.

1 U nIS~+ +nkS~ il' b' . d 2 ?. = n l+ + n k est- un estimateur non laIS e a .

2. Si ce n'est pas le cas, comment le biais peut-il tre enlev?Exercice 6. - Considrons une population distribue selon une loi de Poisson de paramtreA >O . On extrait de cette population une observation Xl' Si notre but est d'estimer e-3A, que

pouvez-vous dire de la statistique(-2)X1 ? ..

Exercice 7. - Les lments d'une population possdent un caractre X qui suit une loi deprobabilit dont la densit est

{

48-4x3 sife (x ) = 0 sinon

O un calcul direct ..Soient les variables alatoires (Xl, ... ,Xn),i.i.d., valeurs dans N et dont la distribution de

"probabilit est donne par P(Xi = k) = 8(1 - 8)k, o kEN et 0 0sinon

8>0

Dterminez un estimateur efficace de 8, calculez sa variance et l'information de Fisher.

t ,'\

/'""'.

/

/"

..\ J , "


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. - . . . - - -

//

i,

; -

/ j/\ -~-~_. /1 \. /:

Exercice 11. - Soit X une variable de Bernoulli de paramtre p inconnue. Utiliser la mthode du

maximum de vraissemblance pour donner une estimation de p.

Exer9f~.12. - La variable alatoire X reprsente le nonlbre de fois, par an, qu'un photocopieur

a;e certaine marque peut tomber en panne. On suppose que X ~ P(A).On observe 12 appareils, pendant un an, on relve les nombres de pannes suivants: 2,3, 1,3, l, 4,

/.( ' 2, 1} '3, 4, 2, 4.- -

., .t'. 1. Donner l'estimation du paramtre Apar la mthode du maximumdevraissemblance.

(f\ 2!. Donner la valeur de la borne x sachant que P(X > x) = 0.04.,.~ 1

l " \Ex~~13. - Une machine automatique remplit des paquets, les poids en grammes sur unh" ~Chantillon de 10 paquets sont: 297; 300; 295; 297; 300; 310; 300; 295; 310; 300.

1. Calculer le poids moyen de cet chantillon et son cart-type.

2. Donner une estimation de l'cart-type de la population.

Exercice 14. - D'un contrle journalier effectu la sortie d'une chane de fabrication de billes

en acier, sur un chantillon de 900 billes, il ressort que leUr poids suit une loi N(m = 62.33mg, a =

6.54mg).

1. Estimer l'cart-type thorique de la production journalire.

2. Estimer le poids moyen journalir au sein de la production par un intervalle de confiance

au niveau de 95%.

3. Quel devrait tre la taille de l'chantillon pour situer le poids moyen journalier de la

production dans un intervalle symtrique de :f:4mg avec une scurit de 95 %.

4. Si on veut situer le poids moyen de la production journalire avec un mme niveau de

confiance dans un intervalle symtrique deux fois plus petit, dans quelle proportion doit

voluer l'chantillon pris.

5. On dispose d'un lot de 10 billes dont les poids sont respectivement en mg 70; 61; 69; 67;

60; 63; 63; 66; 64; 73.

Peut-on considrer ce lot comme extrait au hasard de la production journalire de l'usineavec un niveau de confiance de 95 %.

(.

t" f ~ /-.

. f

Exercice 15. - On se propose d'tudier un contrle de rception pour la livraison d'un grand

nombre de pices fabriques en sries. On dsigne par p la proportion des pices dfectueuses

dans la livraison et on envisage deux hypothses:

{H o : p = p o = 0;05

Hl : p = P l = 0.08

Si l'hypothse Ho se rvle exacte, l'acheteur accepte la livraison. Si, au contraire, l'hypothse Hl

.est vraie, la livraison est refuse. On dcide d'examiner 400 pices et de fixer une valeur critique

c = 0.05 tel que, si f dsigne la frquence des pices dfectueuses dans l'chantillon:- on accepte la livraison si f ::;c- on refuse la livraison si f>c1. Calculer les deux espces de risques correspondants la rgle de dcision prcdente.

2. Calculer la puissance du test.

Exercice 16. - Un procd de production fonction gnralement avec les paramtres suivants:

p = 30 e t ci =3. Un chantillon alatoire de taille n = 9 donne les rsultats suivants: 30.432.731.829.63031.629.828.5 32.8. Prouver, l'aide de ces rsultats, que la procd est toujours centr sur

f I = 30. On prendra a = 0.05 et on supposera que la population est de distribution normale.

. , -


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\1\. . . - _L_ XYI.

V\ - 1

W \ 1 < z J = i(-L~ X ' '' '- - ~ (.L)

= : (-~f-


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~~t,~.'S. :t:' - e . - -

'a V ' )kvL -t ..E{~ ~ ~~r Sl\ - = - * - [C/l-X~f/I.. 4.. l S~=. il -1 (j.fJ t1 d~(-2 )

Y1

:t.. . S_ n:L Si of' '! . 2 5~.\ ...1'"~


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2 2. Calcul de l'information de nsher par calcul direct: ..

n

=

Solution exercice 9'.Xl,"" X

ni.i.d. avec DXi = N et pour kEN: P(Xi = k) = B(l - B)k .

Calcul de L e ( X ] , . .. , Xn)n

Le(X], , , , 1X,,) = T I 8(1- B)x i;=]

Alors ln(Le(X1/

.. ' 1 Xn)) = nln( 8) +ln(l - B ) L :'::l Xi, et par suite

ln(Le(X]"", X,,))':!. _ I ,7 = 1 X i8 1- 8

_71 ( x _ ~ )8- 1 n 8

= a (B ) (T n ) - g(8) ) 1

donc TJ = Xn

est un estimateur efficace de g(e) = l e avec V (X n) = ~ = ~~et In(8) = g' (B)a(8) = e2(~-e)"

Solution de l'exercice la

Pour Xl,'" 1Xn E R~ On a

et par suite

" ;,l;tXi - Bl= ; 2 ( X n - B )= a(8) (T~n) - g(8)) 1

donc T(2f .n) = Xn

est un estimateur efficace de g(B) = e avec In(8) = g'(8)a(8) = i - et V(X n) =~ = ~ .


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Solution exercice 8. X l,"" X n i.i.d "'" P() .

.Calcul de L),(X), ... , Xn)

1

alors

=ln(L),(X1, ... , Xn))'

n n

:= -nA +ln(A) lXi - ln(TI Xi!)i=l i=)

I.~=1Xi:=-n+--

:= ~ ( X n - ):= a(A) ( T n ) - g (A )) ,

v(x ):= g,(A) :=~n a(A) n

doncT e K n )

:=Xn

est un estimateur efficace de g() :=k

oVariance de Xli :

oInformation de Fisher: nIn ( ) = g'()a(A) := ;;:

Solution de l'exercice 9X l,"" Xli i.i.d. --M N(fJ, 0), avec a connu.

1. Dtermination d'un estimateur efficace de pO Calcul de LI,(X), ... ,Xli)

li ,

T I

1 -(X;-,,)--e ,;;r

i=l 00

. Calcul de ln(Lp(X1, ... , Xli))' :

Tout d'abord

et par suite

1n

:= "2 L ( X i-jl)o i=l= :' (tX; - n~]:= ; 1 2 (X li - p )

:= a(p) ( T - l I ) - g(/ l)) ,

donc T e K J :=Xn

est un estimateur efficace de g(jl) :=jl, et

V(X) = 8'(") = ~li n(I') li '

l ll (f l) =a(f')gJ(p) =~xl =~.

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