td2-tema07 karnaugh

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9. 9. Simplificaci Simplificación de funciones l n de funciones lógicas gicas con el m con el mé todo de todo de Karnaugh Karnaugh Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso 2006 – 2007 Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 2 Introducci Introducción

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9.

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Oliverio J. Santana JariaSistemas Digitales Ingeniera Tcnica en Informtica de Sistemas Curso 2006 2007

Introduccin

La efectividad de la simplificacin booleana no debe depender de nuestra habilidad usando leyes y reglas Es necesaria la utilizacin de una metodologa sistemtica para simplificar las funciones booleanas Los objetivos de este tema son:Describir el mtodo de Karnaugh para la simplificacin de funciones lgicas en forma de suma de productos y de producto de sumas Definir el concepto de funcin incompletamente especificada Introducir la necesidad de minimizar de forma conjunta las funciones correspondientes a circuitos con salida mltiple2

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Estructura del tema

Introduccin Mtodo de simplificacin de KarnaughSimplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumas

Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida mltiple Funciones con ms de cuatro variables Resumen y bibliografaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 3

Mtodo de Karnaugh

El mtodo de Karnaugh proporciona una forma sistemtica para simplificar funciones booleanas La clave para realizar este proceso consiste en representar la funcin que se desea simplificar usando lo que se conoce como mapa de Karnaugh Si se aplica adecuadamente, este mtodo genera las expresiones ms simples posibles, tanto en forma de suma de productos como de producto de sumasSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 4

2

Mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de la salida para cada combinacin posible de las entradas En lugar de organizarse en filas y columnas, un mapa de Karnaugh es un conjunto de celdas en el que cada celda representa un valor binario de las entradas Las celdas se distribuyen de manera que simplificar una determinada expresin consiste en agrupar adecuadamente algunas de las de celdasSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 5

Mapas de Karnaugh

El nmero de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al nmero total de posibles combinaciones de los valores de las variables de entrada Por ejemplo, un mapa de Karnaugh de 3 variables tendra un total de 23 = 8 celdas y uno de 4 variables tendra 24 = 16 celdasAB C 0 1 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 106

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Adyacencia de celdas

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que entre dos celdas adyacentes slo cambie el valor de una nica variable (slo cambia 1 bit) Fsicamente, cada celda es adyacente a las que estn situadas inmediatamente junto a cualquiera de sus cuatro lados Una celda no es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinasSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 7

Adyacencia de celdas

Adems existe adyacencia cclica

Podemos pensar que el mapa de Karnaugh se dobla como si fuera un cilindro, de manera que se toquen los extremos inferior-superior o izquierda-derecha

Las celdas de la fila inferior son adyacentes a la superior Las celdas de la columna izquierda son adyacentes a la derecha

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

8

4

Estructura del tema

Introduccin Mtodo de simplificacin de KarnaughSimplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumas

Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida mltiple Funciones con ms de cuatro variables Resumen y bibliografaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 9

Minimizacin de la suma de productos

Una expresin suma de productos minimizada por el mtodo de Karnaugh estar formada por el mnimo nmero de trminos producto posible Adems, cada trmino producto de una expresin minimizada estar compuesto por el mnimo nmero posible de variables Esta simplificacin dar lugar a una expresin que, en general, podr ser implementada usando menos puertas lgicas de las que necesitara su forma cannicaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 10

5

Generaci Generacin del mapa de la suma de productos

Lo ms conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresin suma de productos es que la expresin est en forma cannica El primer paso de este proceso es colocar un 1 en la celda correspondiente a cada combinacin de valores de las variables que hagan valer 1 a algn trmino producto Cuando se haya terminado, el mapa tendr tantas celdas con un 1 como trminos producto haya en la expresin Las celdas vacas son aquellas para las que la expresin vale 0, aunque no es necesario escribirlosSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 11

Generaci Generacin del mapa de la suma de productos

Ejemplo:C AB 00 01 11 10 1 1 0 1 1 1

ABC + ABC + ABC + ABC 000 001 110 100

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Generaci Generacin del mapa de la suma de productos

Ejemplo:AB 00 01 11 10 C 0 1 1 1 1 1

ABC + ABC + ABC + ABC 001 010 110 111

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Generaci Generacin del mapa de la suma de productos

Ejemplo:AB CD 00

ABCD + ABCD + ABCD + ABCD 0001 0011 0100 1111 01 11 10 1 1

00 01 11 10 1

1

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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7

Simplificacin de la suma de productos

La minimizacin de una suma de productos comienza agrupando los 1 que estn situados en celdas adyacentes del mapaUn grupo debe contener el mayor nmero posible de celdas Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo El nmero de celdas de cada grupo debe ser potencia de dos

Cada 1 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 1 puede estar incluido en varios grupos solapados

Puede haber varias agrupaciones vlidas posibles, pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo final de este proceso es maximizar el tamao de los grupos al mismo tiempo que se trata de minimizar el nmero de gruposSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 15

Simplificacin de la suma de productos

Ejemplos:C AB 00 01 11 10 1 0 1 1 1 1 C AB 00 01 11 10 1 0 1 1 1 116

1 1

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Simplificacin de la suma de productos

Cada grupo de celdas da lugar a un trmino producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un nico valor Las variables que aparecen con dos valores distintos en un grupo no se tienen en cuenta La expresin mnima en forma de suma de productos se obtiene sumando todos los trminos producto obtenidos a partir de los grupos del mapaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 17

Simplificacin de la suma de productos

Ejemplo:C AB 00 01 11 10Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 18

0 1

1 ABC 1 BC AB AB + BC + ABC

1

1

9

Simplificacin de la suma de productos

Ejemplo:AB 00 01 11 10 1 C 0 1 1 1 119

1 1 B AC AC B + AC + AC

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin de la suma de productos

Ejemplo:AB CD 00 1 1 1 1 1 1 1 01 11 10 1 1 1 1 ABC20

ABC + BC + D D BC

00 01 11 10

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Obtencin a partir de la tabla de verdad

Los 1 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaugh Por ejemplo: F(A,B,C) = (0,4,6,7)A 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) B C

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1

AB ABC

C

0

1

00 01

1

ABC

11ABC ABC

1 1

1

10

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

21

Obtencin a partir de la tabla de verdad

El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la funcinAB C

0

1

00 01 11 10

1

BCForma minimizada: AB + BC

1 1

1

ABForma cannica: ABC + ABC + ABC + ABC

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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11

Estructura del tema

Introduccin Mtodo de simplificacin de KarnaughSimplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumas

Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida mltiple Funciones con ms de cuatro variables Resumen y bibliografaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 23

Minimizacin del producto de sumas

Una expresin producto de sumas minimizada por el mtodo de Karnaugh estar formada por el mnimo nmero de trminos suma posible Adems, cada trmino suma de una expresin minimizada estar compuesto por el mnimo nmero posible de variables Esta simplificacin dar lugar a una expresin que, en general, podr ser implementada usando menos puertas lgicas de las que necesitara su forma cannicaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 24

12

Generaci Generacin del mapa del producto de sumas

Lo ms conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresin producto de sumas es que la expresin est en forma cannica El primer paso de este proceso es colocar un 0 en la celda correspondiente a cada combinacin de valores de las variables que hagan valer 0 a algn trmino suma Cuando se haya terminado, el mapa tendr tantas celdas con un 0 como trminos suma haya en la expresin Las celdas vacas son aquellas para las que la expresin vale 1, aunque no es necesario escribirlosSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 25

Generaci Generacin del mapa del producto de sumas

Ejemplo:C AB 00 01 11 10 0 0 0 0

(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 000 010 110 101 1

026

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Generaci Generacin del mapa del producto de sumas

Ejemplo:AB CD 00

(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D) 0011 0101 1111 01 11 10 0 0 0

00 01 11 10

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Simplificacin del producto de sumas

La minimizacin de un producto de sumas comienza agrupando los 0 que estn situados en celdas adyacentes del mapaUn grupo debe contener el mayor nmero posible de celdas Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo El nmero de celdas de cada grupo debe ser potencia de dos

Cada 0 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 0 puede estar incluido en varios grupos solapados

Puede haber varias agrupaciones vlidas posibles, pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo final de este proceso es maximizar el tamao de los grupos al mismo tiempo que se trata de minimizar el nmero de gruposSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 28

14

Simplificacin del producto de sumas

Ejemplos:AB 00 01 11 10 C 0 0 0 0 0 1 0 AB 00 01 11 10 029

C

0 0

1 0 0

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin del producto de sumas

Cada grupo de celdas da lugar a un trmino suma compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un nico valor Las variables que aparecen con dos valores distintos en un grupo no se tienen en cuenta La expresin mnima en forma de producto de sumas se obtiene multiplicando todos los trminos suma obtenidos a partir de los grupos del mapaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 30

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Simplificacin del producto de sumas

Ejemplo:C AB 00 01 11 10 0 0 0 0 031

1 0 A+B A+C A+C (A+B)(A+C)(A+C)

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin del producto de sumas

Ejemplo:C AB 00 01 11 10 0 B+C32

0 0

1 0 0 A+C (A+C)(B+C)

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Simplificacin del producto de sumas

Ejemplo:AB CD 00 0 0 0 0 01 0 0 0 033

11

10 C 0 0 B+D C(B+D)

00 01 11 10

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Obtencin a partir de la tabla de verdad

Los 0 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaugh Por ejemplo: F(A,B,C) = (1,2,3,5)A 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) B C

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1

AB A+B+C A+B+C A+B+C

C

0

1

00 01 11 10

0 0 0

A+B+C

034

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

17

Obtencin a partir de la tabla de verdad

El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la funcinAB C

0

1

00 01 11 10

0 0 0

B+C A+B

Forma minimizada: (A+B)(B+C)

Forma cannica:

0

(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Conversin entre formas estndar

La conversin entre suma de productos y producto de sumas es sencilla utilizando un mapa de Karnaugh, ya que donde no hay un 1 hay un 0 y viceversaA 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) B CAB C

0

1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1

00 1 01

F(A,B,C) = (0,4,6,7)

11 1 10 1C

1

AB

0

1

F(A,B,C) = (1,2,3,5)

00 01 0 11 10

0 0 036

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

18

Estructura del temaIntroduccin

Mtodo de simplificacin de Karnaugh

Simplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumasFunciones incompletamente especificadas

Circuitos con salida mltiple

Funciones con ms de cuatro variables

Resumen y bibliografa

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Funciones incompletamente especificadasEn algunas situaciones hay combinaciones de las variables de entrada que no estn permitidas

Dado que estas combinaciones no ocurren nunca, se las puede considerar como trminos indiferentes a efectos de calcular el valor de la salida

Esto significa que a la celda del mapa de Karnaugh correspondiente a un trmino indiferente le podemos asignar tanto un 0 como un 1, segn convenga

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

38

19

Indiferencias en la suma de productosLos trminos indiferentes se representan con una X, por ejemplo:

F(A,B,C,D) = (7,8,9) + x(0,10,11,12,13,14,15)

A B C D 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 0 0 0 0 0 1 1 1 X X X X X X

CD AB 00 01 11 10 x 1 x 1 00 x 1 x x x x 01 11 10

ABC + ABCD39

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Indiferencias en la suma de productosLos trminos indiferentes pueden aprovecharse para simplificar la funcin si suponemos que valen 1

A B C D 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 0 0 0 0 0 1 1 1 X X X X X X

CD AB 00 01 11 10 x 1 x 1 00 x 1 x x x x 01 11 10

A + BCD40

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Indiferencias en el producto de sumasEn un producto de sumas tambin puede haber trminos indiferentes:

F(A,B,C,D) = (6,7,8,9) + x(0,10,11,12,13,14,15)

A B C D 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 1 1 1 1 1 0 0 0 0 X X X X X X

CD AB 00 01 11 10 x 0 x 0 00 x 0 x x 0 x x 01 11 10

(A+B+C)(A+B+C)41

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Indiferencias en el producto de sumasLos trminos indiferentes pueden aprovecharse para simplificar la funcin si suponemos que valen 0

A B C D 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 1 1 1 1 1 0 0 0 0 X X X X X X

CD AB 00 01 11 10 x 0 x 0 00 x 0 x x 0 x x 01 11 10

A (B+C)42

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

21

Estructura del temaIntroduccin

Mtodo de simplificacin de Karnaugh

Simplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumasFunciones incompletamente especificadas

Circuitos con salida mltiple

Funciones con ms de cuatro variables

Resumen y bibliografa

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Circuitos con salida mltipleCon frecuencia, los circuitos digitales tienen mltiples salidas, cada una representada por funciones lgicas diferentes pero que dependen de las mismas entradas

Si se simplificaran las funciones por separado no se tendra la seguridad de obtener el circuito mnimo, ya que puede que varias funciones se solapen

Por lo tanto hay que simplificar las funciones de forma conjunta, intentando buscar trminos comunes a las funciones para minimizar el circuito total

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

44

22

Mtodo de Karnaugh para multimulti-funcionesLa minimizacin de multifunciones usando el mtodo de Karnaugh puede realizarse generando los mapas para cada funcin individual y para combinaciones de ellas

Por ejemplo, un circuito con tres salidas puede simplificarse dando los siguientes pasos:

Buscar los trminos que sean comunes a las tres funciones Buscar los trminos que sean comunes a dos de las funciones y que no estn cubiertos en el paso anterior Buscar los trminos que aparecen nicamente en una funcin y que no estn cubiertos en el paso anterior

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

45

Simplificacin de multi-funcionesAqu podemos ver un ejemplo de 3 funciones:CD AB 00 01 11 10

F1(A,B,C,D) = (5,6,9,12,13,14,15)

F1

00 01 1 1 11 1 1 1 1 1 10CD AB 00 01 11 10

F2(A,B,C,D) = (0,4,8,9,11,12,13,15)

F2

00 01 11 10

1 1 1 1 1 1 1 1

CD AB 00 01 11 10

F3(A,B,C,D) = (3,5,6,7,13,14,15)Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

F3

00 01 11 10

1

1 1 1 1 1 1

46

23

Simplificacin de multi-funcionesSe calculan los productos posibles de las funcionesCD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10

F1

00 1 1 01 11 1 1 1 1 1 10CD AB 00 01 11 10

00

En cada producto hay que detectar las combinaciones que no se cubren en productos superiores

F1F2

01 11 1 1 1 1 10CD AB 00 01 11 10

F2

00 1 01 1 11 1 1 1 10 1 1 1CD AB 00 01 11 10

F1F3

00 01 11 10

1 1 1 1 1

que los incluyan

F3

00 01 11 10

1

CD AB 00 01 11 10

CD AB 00 01 11 10

1 1 1 1 1 1

F2F3

00 01 11 10

1 1

F1F2F3

00 01 11 10

1 1

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

47

Simplificacin de multi-funcionesLa funcin F1 no tiene ningn trmino que slo aparezca en ella

CD AB 00 F1 01 11 10 1 1 1 148

00

01

11 10

1 1 1

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

24

Simplificacin de multi-funcionesEn la funcin F2 existen trminos que slo aparecen en ella, por lo que debemos cubrirlos obteniendo la mnima expresin posible

CD AB 00 F2 01 11 10 00 1 1 1 1 1 1 1 149

01

11 10

CD + AD

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin de multi-funcionesEn la funcin F3 existen trminos que slo aparecen en ella, por lo que debemos cubrirlos obteniendo la mnima expresin posible

CD AB 00 F3 01 11 10Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 50

00

01

11 10 1

1 1

1 1

1 1

ACD

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Simplificacin de multi-funcionesEl producto de funciones F1 F2 tiene trminos comunes a las dos funciones pero que no aparecen en las tres, as que se cubren obteniendo la mnima expresin posible

CD AB 00 F1 F2 01 11 10 1 1 151

00

01

11 10

1

ACD + ABC

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin de multi-funcionesEl producto de funciones F1 F3 tiene trminos comunes a las dos funciones pero que no aparecen en las tres, as que se cubren obteniendo la mnima expresin posible

CD AB 00 F1 F3 01 11 10Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 52

00

01

11 10

1 1 1

1 1

BCD + BCD

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Simplificacin de multi-funcionesEl producto de funciones F2 F3 no tiene trminos que sean comunes a las dos funciones pero que no aparezcan en las tres

CD AB 00 F2F3 01 11 10Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 53

00

01

11 10

1

1

Simplificacin de multi-funcionesEl producto de funciones F1 F2 F3 tiene trminos comunes a las tres funciones, por lo que hay que cubrirlos obteniendo la mnima expresin posible

CD AB 00 F1F2F3 01 11 10Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 54

00

01

11 10

1

1

ABD

27

Simplificacin de multi-funcionesA partir de los mapas anteriores podemos obtener las expresiones de las tres funciones

F1 = ACD + ABC + BCD+ BCD + ABDF1F2 F1F3 F1F2F3

F2 = CD + AD + ACD+ ABC + ABDF2 F1F2 F1F2F3

F3 = ACD + BCD+ BCD + ABDF3 F1F3 F1F2F355 Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin de multi-funcionesTodos los trminos de la expresin obtenida para la funcin F1 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el nico que cubre al menos una de las combinaciones

F1(A,B,C,D) = (5,6,9,12,13,14,15) F1 = ACD + ABC + BCD+ BCD + ABD ACD ABC 9,13 12,13 BCD BCD 5,13 6,1456

ABD

13,15

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

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Simplificacin de multi-funcionesLos dos primeros trminos de la funcin F1 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el nico que cubre al menos una de las combinaciones Estos dos trminos son suficientes para cubrir todas las combinaciones, por lo que los dems no son necesarios

F2(A,B,C,D) = (0,4,8,9,11,12,13,15) F2 = CD + AD + ACD+ ABC + ABD CD AD 0,4,8,12 ACD 9,13 ABD 12,1357

13,15

9,11,13,15 ABC

Simplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh

Simplificacin de multi-funcionesTodos los trminos de la expresin obtenida para la funcin F3 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el nico que cubre al menos una de las combinaciones Tres de los trminos coinciden con los de la funcin F1, por lo que no se necesitarn puertas lgicas adicionales

F3(A,B,C,D) = (3,5,6,7,13,14,15) F3 = ACD + BCD+ BCD + ABD ACD BCD 3,7 5,13

BCD ABD

6,14

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13,15

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Estructura del temaIntroduccin

Mtodo de simplificacin de Karnaugh

Simplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumas

Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida mltiple Funciones con ms de cuatro variables Resumen y bibliografaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 59

Funciones con ms de cuatro variables

Las funciones booleanas de cinco variables pueden simplificarse usando un mapa de Karnaugh de 32 celdas Para poder mantener la adyacencia ser necesario representar este mapa de 32 celdas usando dos mapas de 16 celdas cada unoBC DE A=0 00 01 11 10 BC DE A=1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 1060

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Funciones con ms de cuatro variables

La mejor manera de visualizar la adyacencia entre los dos mapas es imaginar que el mapa para A = 0 est situado encima del mapa para A = 1BC DE 00 01 11 10 A=0 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 BC BCD ACDE BCE ADE DE 00 01 11 10 1 A=1 00 01 11 10 1 1 1 1

Obviamente, este procedimiento complica mucho la simplificacin, a parte de que sera todava ms difcil simplificar funciones con ms de cinco variablesSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 61

Estructura del tema

Introduccin Mtodo de simplificacin de KarnaughSimplificacin de una suma de productos Simplificacin de un producto de sumas

Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida mltiple Funciones con ms de cuatro variables Resumen y bibliografaSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 62

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Resumen

La expresin minimizada de un circuito ser aquella que requiera un menor nmero de puertas y, por tanto, requerir un menor coste de implementacin, sufrir un retardo menor y consumir menos energa El mtodo de Karnaugh permite obtener, de forma sistemtica, la funcin lgica mnima que representa un circuito digital Este mtodo permite trabajar con funciones incompletamente especificadas y con funciones de salida mltiple, aprovechando sus caractersticas particulares para minimizar an ms las funcionesSimplificacin de funciones lgicas con el mtodo de Karnaugh 63

BibliografaFundamentos de Sistemas Digitales (7 edicin)Captulo 4 Thomas L. Floyd Prentice Hall, 2000

Principios de Diseo Digital

Captulo 4 Daniel D. Gajski Prentice Hall, 1997 Captulo 3 Enrique Mandado Marcombo, 1991

Sistemas Electrnicos Digitales

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