Razn de cambio

Direccin de Formacin Bsica.

Razn de cambio

Competencias a desarrollar

Al terminar la presente sesin usted estar en la capacidad de:

(1) Calcular e interpretar la razn de cambio promedio, razn de cambio instantneo y la razn de cambio relativa de una funcin.

(2) Calcular e interpretar el ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal.

Razn de cambio

Problema motivador

Un comerciante estima que su ingreso mensual por laventa de un artculo es = 30 0,022, para 0 1500. Si el costo de adquisicin es de 10 dlares porcada artculo. Encuentre la utilidad marginal si seproducen y venden 200 unidades e interprete suresultado.

Variacin o incremento

En adelante, consideraremos funciones definidas sobre intervalos de la recta y laletra denotar a un intervalo cualquiera.

Definicin.Sea : con 0, , = (), la variacin de es

= 0La variacin de a funcin entre 0 y o variacin de es

= 0 = 0

Variacin o incremento

Ejemplo.

Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar unidades de cierto artculoes = 32 + 5 + 10. Si el nivel de produccin es de 40 unidades, calcule lavariacin del costo si se producen 40,5 unidades.

Resolucin

Vemos que = 40 y = 0,5

Entonces, la variacin del costo entre 40 y 40,5 unidades es

= + ()

= 40,5 (40)

= 5 133,25 5 010

= 123,25

Es decir, la variacin del costo entre 40 y 40,5 unidades es $123,25.

Razones de cambio

Definicin

Sea : , 0, . La razn de cambio promedio (R.C.P) de entre 0 y es el nmero

= (0)

0La razn de cambio instantnea (R.C.I.) o derivada de en el punto 0, es el lmite (si existe)

0 = lim0

0 0

= lim0

0 + 0

Razones de cambio

Ejemplo. Para cierto fabricante, la utilidad (en dlares) que se obtiene con la venta de unidades de su producto est dada por:

= 10 0,012

a) Determine y explique el significado de la razn de cambio promedio de la utilidad, cuando las ventas pasen de 400 a 450 unidades.

b) Calcule y explique la razn de cambio instantnea cuando se venden 400 unidades:

Resolucin

Parte a) R.C.P es igual a

= 450 (400)

450 400

=2475 2400

50

= 1,5Se concluye entonces que la R.C.Pde la utilidad, cuando las ventaspasen de 400 a 450 unidades es de$1,5.

Parte b) R.C.I para cualquier valor de q es

= 10 0,02

Si = 400

(400) = 2,0

Se concluye entonces que la R.C.I de la utilidad, cuando se venden 400 unidades es de $2,0.

Razones de cambio

La cantidad()

()

tambin es usada para comparar la razn de cambio de

una cantidad con respecto a ella misma.()

es conocida

como la razn de cambio relativo.

Razones de cambio

La razn de cambio nos da una medida de como cambiauna magnitud frente a otra. Pero este cambio depende dela situacin en que estemos. No es lo mismo que en unao una poblacin cambie en 100 000 habitantes si lapoblacin es de 10 000 000 que si es de 500 000. La raznde cambio porcentual (RC%) para una cantidad permitecalibrar mejor estas situaciones, la cual es definida por:

RC% =()

() 100%

El cambio porcentual para la poblacin de 10 000 000 esde 1%. El cambio porcentual para la poblacin de 500 000es de 20%.

Razones de cambio

Ejemplo. El PBI de cierto pas es aproximado por la funcin = 2 + 4 + 150

mil millones de dlares aos despus del 2003.

a) Estime la razn de cambio al comienzo del 2005.

b) Estime la razn de cambio porcentual del PBI al comienzo del 2005.

Resolucin

Parte a)

Como han pasado 2 aos despus del 2003 se tiene que calcular (2).

= 2 + 4

Parte b)

La razn de cambio porcentual para el 2005 es estimada en

% =(2)

(2) 100%

por ao.

Primero se calcula la funcin derivada

La razn de cambio para comienzos del 2005 es

2 = 2 2 + 4 = 8

mil millones de dlares.

% =8

162 100%

% = 4,93%

Marginalidad

Anlisis marginal

En economa el concepto marginal se refiere al cambioinstantneo de una cantidad con respecto a otra. Esto esla derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremosa continuacin el concepto y la interpretacin de variascantidades marginales de uso frecuente en economa.

Marginalidad

Costo marginal

Definicin. Si = () es la funcin de costo total de unfabricante (el costo de producir y comercializar unidadesde un producto), el costo marginal () se define como larazn de cambio del costo total con respecto al nmerototal de unidades vendidas, esto es

() =

Se interpreta como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Marginalidad

Ejemplo. Un fabricante estima que cuando producen unidades de cierto

artculo, el costo total es =1

82 + 3 + 98 dlares.

Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la novena utilidad.

Resolucin

El costo marginal es =

=1

4 + 3

Si = 9 entonces =1

4(9) + 3

= 5,25

Significa que, el costo aproximado de producir una unidad adicional a la novena es 5,25 dlares.

Marginalidad

Ingreso marginal

Definicin. Si = () es la funcin de ingreso de unfabricante (el ingreso de vender unidades de unproducto), el ingreso marginal () se define como larazn de cambio del ingreso con respecto al nmero totalde unidades vendidas, esto es

() =

Se interpreta como el ingreso aproximado de una unidad adicional vendida.

Marginalidad

Ejemplo. El precio (en dlares) y la demanda de un radio particular estnrelacionados por la ecuacin = 100 0,025 .

Encuentre el ingreso marginal cuando = 1 600. Interprete.

Resolucin

El ingreso marginal es =

= 0,05 + 100

Si = 1 600 entonces = 0,05(1 600) +100

= 20

Significa que, el ingreso aproximado por la venta de la unidad 1601 es 20 dlares.

La funcin de ingreso es =

= 100 0,025

= 0,0252 + 100

Marginalidad

Utilidad marginal

Definicin. Si = () es la funcin de utilidad de unfabricante (la utilidad de producir y vender unidades deun producto), la utilidad marginal (UM) se define como laderivada de la funcin utilidad con respecto a la cantidad, esto es

UM() =

Se interpreta como la utilidad aproximada de producir y vender una unidad adicional.

Marginalidad

Ejemplo. Un comerciante estima que su ingreso mensual por la venta de unartculo sea = 30 0,022, para 0 1500. Si el costo de adquisicines de 10 dlares por cada artculo. Encuentre la utilidad marginal si se producen yvenden 200 unidades e interprete su resultado.

Resolucin

La utilidad marginal es =

= 0,04 + 20

Si = 200 entonces = 0,04(200) +20

= 8 + 20

Significa que, la utilidad aproximada por la produccin y venta de la unidad 201 es12 dlares.

La funcin de utilidad es

= = (30 0,022) 10 = 0,022 + 20

= 12

Razn de cambio.

Bibliografa

[1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemtica aplicada a la Administracin. Ed 5. Mxico, D.F. Pearson.

[2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemtica para Administracin y Economa. Ed 12. Pearson Educacin.