Matemática 2

Razón de Cambio

Contenidos:

Tasa de variación • Media

• Instantánea

Incrementos y diferenciales

Capacidad a logar:

• Diferencia entre tasa de variación media y tasa de variación instantánea.

• Resuelve problemas de razón de cambio en situaciones de ciencia y tecnología.

• Estima errores utilizando incrementos y diferenciales.

Introducción

A menudo nos preguntamos como cambia el valor de algunas magnitudes respecto a una variable de interés.

• La temperatura con del agua al ser calentada.

• La posición de un atleta con respecto al tiempo.

Introducción

Generalmente para responder estas preguntas lo que hacemos es comparar un valor con otro por medio de proporciones, es decir por medio de un cociente expresamos que tan grande es un valor con respecto a otro.

Razón de cambio media o tasa de variación media

Introducción

Esto se conoce como razón de cambio o tasa de variación media.

referenciadevariableladeCambio

variableunadeCambio

Formalmente:

Pero a veces necesitamos compara no solo el valor, sino que tanto cambia un valor cuando el valor de referencia cambia.

if

if

xx

yy

x

yr

La razón de cambio de la variable y con respecto a la variable x, siendo y = f(x), se expresa por medio

x

y

0 x

) ( 0 x f

) ( 0 h x f +

h x + 0

h

Interpretación geométrica:

h

xfhxfm

)()( 00 +

m: es la pendiente y representa la razón de cambio de una magnitud respecto de otra.

Aplicación de razón de cambio: VELOCIDAD MEDIA

0 x (m)

Es igual al cociente del desplazamiento entre el intervalo de tiempo en el que se produjo dicho desplazamiento.

x

mV

x1

t = t1

x2

t = t2

12

12

tt

xx

t

xvm

Interpretación gráfica de la velocidad media

x (m)

t (s) 0 t1

x1

x2

t2

Gráfica posición versus tiempo

x

t

“La pendiente de la línea que une los puntos (t1; x1) y (t2; x2) es igual a la velocidad media entre t1 y t2”

12

12

tt

xxPendiente

Razón de Cambio Instantánea o Tasa de variación instantánea

Introducción

0xxΔx if

Entonces lo que estamos analizando es una razón de cambio instantánea.

xd

fdrinst

if

if

0Δx0Δxinst

xx

yylim

Δx

Δylimr

Si los cambios en la variable de referencia son imperceptibles, es decir,

x

y

0 x

) ( 0 x f

) ( 0 h x f +

h x + 0

h 0

h

h x +

) ( 0 h x f +

Interpretación geométrica:

x

y

0 x

) ( 0 x f ) ( 0 x f

x 0

Tangente!!!

h

xfhxf

dx

dfr

hinst

)()(lim 00

0

+

Aplicación de razón de cambio:

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero.

Δ t

xΔ vΔ t

Lím

0

A la magnitud de la velocidad instantánea se le denomina rapidez instantánea o simplemente rapidez.

Interpretación gráfica de la velocidad instantánea

x (m)

t (s) 0 t1

x1

x2

t2

Gráfica posición versus tiempo La pendiente de L1 representa la velocidad media de la partícula entre los instantes t1 y t2.

La pendiente de L2 representa la velocidad instantánea de la partícula en el instante t1.

A

B L2 L1

Ejemplo: La gráfica mostrada representa la posición de una partícula que se mueve sobre el eje x en función del tiempo. Analizando la gráfica se puede afirmar.

x (m)

t (s) 0

Gráfica posición versus tiempo

La pendiente de L1

representa la velocidad instantánea en t1

La pendiente de L2 representa la velocidad instantánea en t2

t1

L1

L2

t2

La velocidad en t2 es mayor que en t1

El movimiento se realiza con velocidad creciente.

Aplicaciones

Problema 1

Un objeto se mueve a lo largo del eje x con la siguiente “ley de movimiento” :

a) ¿En qué instantes pasa por el origen?

b) Encuentre una expresión para su velocidad instantánea.

c) ¿En qué instantes se detiene?

d) ¿Cuál es la aceleración?

e) ¿En qué instantes se mueve hacia la derecha?

metros)34tt(x(t) 2 +

Problema 2

Un objeto se mueve a lo largo del eje x con la siguiente “velocidad instantánea” :

a) Encuentre una expresión para su aceleración instantánea.

b) ¿En qué instantes se detiene?

c) ¿En qué intervalos de tiempo se mueve hacia la derecha?

d) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es acelerado?

smtttv /)128()( 2 +

La fuerza de atracción gravitacional terrestre es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa el objeto (m) de la superficie de la Tierra. De acuerdo a la siguiente expresión.

Problema 3

2)(

r

mMGrF T

Encontrar: a) El cambio de la fuerza con

respecto a la distancia, cuando el objeto se encuentra a 2600 km.

b) La rapidez de cambio de la fuerza gravitacional en el instante que el astronauta se encuentra a 2600 km, alejándose con una rapidez de 100 m/s.

h

Una persona infla un globo perfectamente esférico, tal que su radio aumenta a razón constante de 3 cm/s. Encuentre la rapidez de con que varía el volumen en el instante que su radio es 5,0 cm.

Problema 4

Una escalera de 5 m de largo se encuentra apoyada en el suelo y en una pared. El pie resbala a una rapidez de 50 cm/s. Calcular la rapidez:

a)Con la que desciende el extremo superior de la escalera en el momento en el que el pie de la escalera dista 2 m de la pared.

b)Con que varía el ángulo formado por la escalera y la pared.

c)Con que cambia el área formado por la Escalera, la pared y el piso.

Problema 5

Un atún ha picado un anzuelo y huye con él en la boca, a una rapidez de 3 m/s en línea recta y a 4 m bajo la superficie del agua. ¿A qué velocidad se suelta el carrete en el instante en que el atún dista de 10 m del barco?

Problema 6

Incrementos y diferenciales

Ejercicio:

Sea: y = 3x2 - 5 Calcular el incremento de “y” cuando “x” aumenta de 2 hasta 2,1

Calculando el incremento ∆x

Calculando el incremento ∆y

1,00,21,212 xxx

23,1)0,2()1,2()()( 12 ffxfxfy

23,1y

Definición1:

Sea y = f(x), entonces el incremento de x se denota:

dicho incremento produce un incremento en y el que se denota:

sabemos que entonces cuando

o bien

)f(xΔx)f(x)f(x)f(xΔy 1112 +

12 xxΔx

(x)' fΔx

Δy 0,x

Definición 2:

Se llama diferencial de la variable x a dx = Δx

Se llama diferencial de la variable y a dy = f ’(x).Δx

, Δx

Δylim(x)' f

0Δx

Δx(x)' fy

Ejercicio:

Sea: y = 3x2 – 5, utilizar f ’(x).∆x para estimar ∆y cuando x cambia de 2

a 2,1.

Calculando el incremento ∆x

Calculando el incremento ∆y

1,00,21,212 xxx

xxxxfy )'53()(' 2

1,0)2(66 xxy

1,0x

2,1y

Ejercicio 5: El radio de un globo esférico mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0,15 cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera.

xxVV )('

15,0)304( 2 V

xxxxV )4()'3

4( 23

)30(medidovalor: cmxx

)15,0(máximoerror: cmxx

)3

4(globodelvolumen: 3xVV

globodelvolumenelenmaximoerror:V

1696V

Definición 2:

Sea x una medida con un error máximo Δx.

I. ERROR MEDIO =

II. ERROR PORCENTUAL= (ERROR MEDIO)X100%

x

x

Ejercicio 6: El radio de un globo esférico mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0,15 cm. Estimar el error medio y el error porcentual para el cálculo del volumen.

015,036000

540

V

VmedioError

1,5%

%100015,0

%100medioErrorporcentualError