TASAS DE VARIACIONRELACIONADAS ENTRE SI

gag

Solución de problemas sobre tasas de variación relacionadas entre síSolución de variantes de estos problemasTres pasos importantes que se deben recordar

El p¡esente capitulo le enseñará al esrudianre a resolver p.oblemas sobrelasas de variación rclacionadas €ntre si. Dichos problenas examinan las tasasde va¡iación de diferentes cantidades.

10-1. Solución de problemas sobre tasas de variaciónrelacionadas entre sí

A, iBúsqueda de una ecuación que relaciore las cantidades!En un problema básico sobre tasas de variación relacionadas enrre si. scle pedirá al estudiante quc halle la iasa de variación de una canridad queestá \,inculadá a la rasa de variación de alguna orfa canrid¿d. La relaciónenlre estas dos canlidades puede expresarse mediánre una ccuación. Puederesultar útil hacer un dibujo de la situación v desarrolla. lucso una ecua-cion que reldciol.e ld, d.men,rore. Je orDUjo

B. ;Diferenciación de la ecuación!Para obtener una ecuación que relacione las tasas de variación (derivadatde las cantidades, debe diferenciarse la ecuación con respecro al tienpo. Se

usará la diferenciación implicita. así que debe aplicarse cuidadosamente laregla de la cadena. La nuevá ecuación puede conleñer también las varia,bles orlginales. Podrán entonces susrituirse en la ecuación los valo¡es da-dos en el proble¡na v encont.ar la iolución para l¡ tasa de variacjón queresponda a la pregunta planteada orieinalmenre.

EJEMPLO r0-r: Una bola de nieve se está derritiendo a razón de 2 pies'porhora. Si mantiene su foma €sférica, ¿a qué tasa está variando el |adio cuandoéste nide 20 pulsadas? (l pie = 12 pulgadas).

S¿tu¿iád Primero se identifican las dos cantidades cuyas tas¿s de vari¡ciónestén ¡elacionadas. En ere caso, se le pide al esrudianre que d€termine la ra-zón de cambio del radio, ¡. y se le da la tasa de variación del voiumen, I/ (ob-serve que I¿s unidades. pies' por hora, expresan que ésra es la rasa de va¡iacióndel volumen). Ahora se debefá obtener una ecuación que f€lacione esras can-lidades. Debido a que s€ tra|a de las dimensiones de una €sfera. se sabe que

, =:rr'224

Tasos de eaiación rclaciotta.los ¿nt. sl 22!i

(ver fisura l0-l). Al derivar la ecuación tela€iona¡do t/ y ¡. resulúrá una

nueva ecuación que relaciona sus tasas de vaiación. Derivando con respecto

ai tiempo. s€ obtiene:

lY . tLr

,t, "n''' l,

Habrá qu€ determinar el valor de dri d/ cuando r = 20 puls (5/3 piet. Para

hallar este valor, se resuelve la ecuació¡ para d/idl cuando r = 5/l y

dvldt =-2 (se r€quiere el signo menos porqüe el volurnen está disminu-

'dt(consran¡e) x r-.t

Las unidades de r: son pies:. y las unidades de drrdl son pieslh. Asi. veriñ-

pies' . Dies

r' = r*'- h=

/sY dl'\3/ d¡

9

d¡

El radio está canbiando a una tasa de -9/(50Í) pies por hora.

Antes de dejar este ejempio. es bueno concentrarse en él nuevarnente fiján-dose en las unidades. En la ecuación inicial

I/=(constant€)xr'3

y las unidades debe¡ ser claras:

Pre\' Pie'-

Debe recordarse que al derilar se está dividiendo po. ^t

(una medida de tiem-po) y tomando un límite cuando

^, tiende a 0. lo cual significa qu€ lasunidades

se han conveftido en pies'i h en el lado izquierdo ¿Qué pasa entonces en el

lado derecho? Se tiene que

Figum l0-lEjemplo 10-1

Figor¡ l0-2Ejemplo 10-2

d/ piesr

¿th

pies'

h

Tantos detalles no son necesa¡ios en cada problema, pefo los ejemplos po-

drán ent€ndefie meior si se tienen en cuenta las unidades.

EIEMPLO 10-2: Un niño est.á de pie eñ un sitio fijo elevando una coneta La

comeia se mantiene a una altura de 30 pies po¡ encima de las manos del niño,

a medida que se desplaza pa¡alelarnente al terreno a razón de l0 pi€lseg.Cu¿ndo la cometa se halla a 50 p'es de distancia del niño, ¿con qué rapidez

suelta éste la cuerda de 1¿ cometa?

Solución El ejemplo pide que se halle la velocidad a la cual el niño está sol-

tando la cuerda d€ la cometa y da la v€locidad lateral de Ia cometa. Primero,

s€ hace un dibu.jo (ver figura l0-2) EI lado marcado "v" no debe indicárse

con ei número 50, ya que en caso contrario, Ío se trataría de variables. En

ef€cto, €l ejemplo pide qüe se halle d/i d/ cuando -t' : 50. Observe que la ta-

sa de variación de x es la velocidad lateral de la cometa (10 pies/s€g) y que la

tasa d€ variación de v es la tasa a la cual el niño €stá soltando la cuerda de la

226 Cólculo

i{'z+900:}''¿

Diferencia¡do con respecto al riempo I se obriene

Seglrn €1 reorema de Pitágoras, s. puede escribifi

^¿y

Ahora sustitui¡¡osl

,,4I-" .lt

dy

Resolvemos esta ecuación para dlld/r conocemos ,y (50 pies)y drldr (10 piesiseg), y el valor de ¡ puede obtenerse de ia ecuación originali

.r'+9oo=50,r?:1600¡:40

(40)(l0l = 50 :¿

El niño es¡á soltando Ia cuerda de La coúeta a razón de 8 piesi seg. Es precisoverificar las unidades.

l0-2. Solución de va¡iantes de estos problemasLa mayoria de los problenas sot're tasas d€ variación relacionadas entre sison más complicados que los que se vieron en la sección t0-l; pero veremosque todos tienen en común lo siguienre:

(t) Se pueden esc.ibir una o más ecuaciones relacionando Ias cantidades.(2) Se puede usar la diferencjación para hallar ias relaciones enrre las tasas de

variación de 1as cantidades.

A. Cantidades relacionadas por más de una ecuaciónPresentaremos problemas en los cual€s ias cantidades están relacionadaspor varras ecuaciones. Posiblemenre el esrudianre será capaz de tratarestas ecuaciones para obtener una sola ecuación. pero a menudo esro no esnecesario. Debe¡ derivarse todas las ecuaciones y luego resotve¡las parahallar la cantidad buscada.

EIEMPLO l0-3: Un cubo de hielo se esrá der¡itiendo. Cu¿ndo su volumenes de 8 cm', el cubo se está de¡ritiendo a razón de 4 cmrr seg. Hallar la tasa de\¿flación del ;rea de la 'Jperlicie del cubo en e.e in.ranre.

Solución: En esle ejenplo se da la tasa de variación del volunen del cubo yse pide que se obtenga la razón de cambio del área de la supe¡ficie. Por con-siguient€, se deben buscar €cuaciones que relacionen el área del cubo con suvolumen. El volumen r de un cubo cuyos lados tienen una longitud .r, es ¡r.Debido a qu€ el cubo tiene seis lados, cada uno con un área de .rr, et áre¿ delcubo es .l : 6irr. E¡ lugar de tratar de r€solver mediante una sola ecuación

Tasas de t'aiación rclacioñadas entrc sl 227

que relacione S y ,/ por medio de la eliminación de la variable r, se derivananbas ecuaciones con respecto al tiempo:

dS .^ l-rtlt 4t

Cuando el volunen del cubo es 8 cmj. ¡ debe ser 2 cm Deberá hallarse enio¡-ces dsid¡ cuando i = 2, dado que df rlt = -l en ese tiempo. Asi,

-1 = 3(2)2

(.r"ndo ' - ), d, d! -l I De e.re modo.

.,q

^ = ,c,(,:)

B. Problemas que contienen más de dos cantidades

relacionadas entre sí

La tasa de variación que se busca puede depender de las lasas de variación

de diferenres cantidades. Como en los c¿sos anteriores, se debe hallaf la

ecuación (o ecuaciones) que relacionen estas cantidades y diferencias

EJEMPLO 10-4: Un auronóvil está 30 millas al norte de la ciudad y se dirFge hacia el norte a razón de 25 millas por hora AL rnismo tienpo, un camión

está 40 millas al este de la ciudad y se desplaza hacia el este a razón de 50 mi'llas por hora. ¿Cuál €s la rasa de variación de la d¡tancia entre los dos vehicu-

Soluciót': Debe comenzárse por dibuiar un diasrana (\'er fisura 10-3) Por

el reofe.na de Pirágor¿...e.¿be qJ(

Diferenciando con respecto al tiempo,

... dr ...r1 .- 1.

o simplemenie t1t ¡1t a¡

'Jt Jt JI

Se quiere halla¡ d.zrdl cuando ¡ = 40. ! = 30, dxi dt = 50 y dy dt = 25

- t'lu- 30 -5n

la ecu"ción que 'elaciun¿

1". Ias". de \arraLrón e'

(40)(50) + (30)(25) : (50)¿:

de rnodo que ¿zr dl = 5 5. I-os vehiculos están separándose a razón de 55 millasi h

Figüra 10-3Ejernplo 10-4

228 Cálculo

I

I

10-3. Tres pasos importantes que se deben recordarA. ¡Elaborar el dibujo cuidadosamente!

Al hacer el dibujo correspondie¡re, se debe tener la seguridad de inciuirrodas las variables que intervienen en el problema.

B, iNo deben marcarse las variables como consiantes!Algunas de las dinensiones que se dan en el probtema pernanecen fijasa nedida que t¡anscurre el riempo_ Esras dinensjonesconstantes en el diagrama. Cualquier¡ olra información define el insranteen el cual se debe calcular la tasa de variación; esras dimensjones no de-ben marcane como conraDtes, va que varian con el tiempo.

C, ¡Convertir la in{ormación en un problema matemático!Una vez dibujado el diasrama. se tr¿slada la info¡mació¡ que se da en elproblcma a modelos matemáricos sobre las variables conrenidas en el dia-grama. L¿ pregunta del problema se plantea cono una pregun¡a acerca delas lariablcs o de sus tasas de variación.

D. :Dererm¡nar dónde debe evaluar\e la ecuac¡ónque relaciona las tasas de vari¡ciónlSe debe examinar cuidadosamente Ia ecuación antes de decidir en dóndeha de ev:rluarse.

EJEMPLO l0-5: lln obrero sostiene un errremo de una cuefda de 36 pies delargo y aL otro extrcno hay un peso. La cuerda pasa por una polea que está a20 pies de al¡ura directamente sobre ln mano del obrero. Si ésre se áleja de lapolea a razón de 5 piesr seg. ¿a qué velocidad se eieva el peso cuando esrá t0pies por encima de la posición original?

Solución: Ptin¡,erc se hace el dibujo (ver ñgura l0-4). Se quie¡e haltar ¿zid¡,dado que lri ¿, = 5. Según el diagratna. puede observarse que

'!']+ '1oo: l'

Como se busca una ecuación que relacione r y z. se puede hallar una ecüa-ción que ¡elacione dx ¿t y ¿zi¡lt. Puesto que lá cue¡da tiene una longiindde 3ó pies. _f + z : 36. De modo que

¡"'z + 400 = 136 :1']

Figura 10.4Ejemplo 10-5

Derivando,

,,40, - 2lló :)l

136 4:

Aho.a, deberá hallarse dzidt cüúdo z es l0 pies más corta de Io que fue ini-cialmeñte, es decir, cuando : = ó. En ese instante.

x'z+100:(36-6)l

Tasas de vatia.ión rctacionadas ente Nt 22g

,t' qr.":.500. Finalmenre..e r"ila J d¡cu¿ndo /_ ó) - \.00

,r¡*ol = -f,u of,

-3

El peso se levanra a razón de (jv6)/3 piesr ses

l. En un problema básjco sobre tasas de va¡iación relacionadas enrre sí, se lepjde al esrudianre que halle ta tasa de variación de una cantidad, d;da latasa de variación de una caniidad ¡elacion¡da con elta.

2. L" relacron enr.e t". canrid¿de. pLede e\orr.rr, Er¿\ ecu¿crone\ se deriv"n re,prcto "t rieflpo pa,¿ naita, ta retac.ó1 enlre

ras rasas de cambio de las cantidades.4. Se resuelven la o las ecuaciones para con¡efar ta pregun!a. puede ser nece_<aÍo retenr\e ¿- ta ecLraL.or or,g rdt p" a ho, c. td. ,r.rrtJ, rone. \ofiert¿\

en ta ecuacron irnal5. Es indispensable dibujar un diagrama para obiener las ecuacion€s co¡rec¡as.

PROBLEMAS RESAELTOSPROBLE-I4A 10n CLrando Ia profundid¿d det.tíquido contenido en un recipienre delermF:idg,esdelci,er \orum€nder iq u,do e\ de ¡r cn,. cuando ¿ : 3 ;;, l;';;;i;;d,;;o oo¡rqurso en er rec prerre e\r' ¿umenr¿.do a ¡dlón de 2 Lm nrn. Ha ar r¿ rasa d ra cu"resrá en_trando el Iiquido en el recipienre en ese momenro.

Solución: Dado qüe dhi.tt = 2, debe ha[ane drr¿i cuando , = 3. Se obliene la ecuacronque relacion¿ h con y(V : rr) y se derjva con respec¡o ar tr€mDo ¡i

rlV

3(3r .2 = s4

Cuando , = 3, el líquido está en!¡ando en el recipiente a razón de 54 cmrlmin.

Lver sección t0-t.l

PROBLEMA.l0-2 Un automó\it !a por una auroprsta hacia el oeste.90 metros al norte cleera esra esracronada una parrulla de Ia poticia vial. El patrullero observa el radar y ve que el au_

,*#

dv

2i0 Cálctlo

tomóvil está a 150 metros de distancia de la pairulla y que la distancia que los separa esrá au-mentando a razón de 72 metrosr seg. Hallar la velocidad del auromóvil en ese instante.

Sotación: Primerc se dibuja el diagrama (ver figura l0-5). EI problema dice que cuando .r =150, ¿xidt : 72; se busca d]rd¡. Po¡ el Teorema de Pitágoras,

l'1+90'z:x'

Derivando con respecro al tiempo /:

^dt -d\'dl dl

dy dxdt ¡1t

Cuando r = 150,

Fieura l0-5

t'z+ 901 :150,

a.i que ! 120. Debe hall¡.,e ¡1) dr cJandor: 150, ] = 120 \ dx dt = 72. Al hacerlas sustituciones en la segunda ecuación, se

r20*: r.ori2)

Cuando .! = l5O, dr dl = 90 metrosrseg.

PROBLENIA l0-3 Si ] = r' y dx¡ttt =,1 durante todo el tiempo ¡, hallar ¡l! ut !d:1rdlrcuandor=2Sor¡c¡dt. Se derila Ia ccuación que relaciona ) y r con respeclo al tiempoi

h ^ tLx

ttr " ¿t

Debido a que djlld¡ : 4 duranre todo el tiempo l,

¿)

;= 2-r'1: 8r

Cuando -y = 2, tllt¿t : 16. Diferenciando nuevamente con respecto al riempo. se obtiene

,l't ., d-\

,t¿-: B¿i =_8.4:_12 [v., scc.ió. r0-2.]

PROBLEMA 10-1 Un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a ra-zón de 7 piesr scg. El fafol del poste está a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se mueve elextremo de la sombra del hombre cuando éste se encuentra a 8 pies del poste.

Solución: Se dibuja el diagrama (ver figura l0 6). En términos de r. _r y z, el problena diceqú. d\idt = 7 y pide hallar dz ¡lr. La ecuación que relaciona I J, I proviene d€ la geomerríade triángulos s€meianles. El t¡iángulo cuyos vértices están en la cabeza. los pies y el extremo de

Tasas de vorioción relacionadas entrc sí 231

la sombra de la persona. es semejante al triángulo cüyos \,értices esián en cada uno de los ex-

tremos del poste y en el extreno de Ia sornb¡a. De modo que,

.t20 : (z - x)15

Asi que 3z : 4x y 3(dztdt) = 4(dxidr).S€ sabe que dii d¡ : 7, en consecuencia,

"dz

v drid¡ : 28i 3 piesrseg. tv*scción l0 r.l

i<-:__-_---Figu¡a 10-6Problema 10-4

PROBLEMA 10-5 Cada uño de los lados de un estadio de béisbol mide 90 pies. Si la pe

lota se batea por la linea hacia la te¡cera base con una velocidad de 100 pies por segundo. ¿conqué ¡apidez está cambiando la distancia entre la pelota y la primera base cuando la pelola sc

halla a mitad dei camino haci¿ la tercera base?

Soluciótt: El diagrama de la figura l0-7 ilüs-rru J .rurc ón. I I problema d.ce qJe d' ¿ -100 \ prdc halLr dr d/ cu¿ndo r ¿5. Según

el teurem" de Pir;eor¿.. .r \ I e.rr- elaLiu-

xz +902 -yz

fnroncc' .e deri\d con re'pccro al t.empo ¡

^dx ^JYdt dt

Cuardo y ¿5.,15) - 90) - r'). a'i que . -4J !/r. En ese punro:

- l,)2(4s){l00t :2(45J5r;

Cuando x = 45, ¿)y'd¡ : 20Vt piesr seg.

I

Figum l0-7

PROBLtrMA l0{ La velocidad de üna partícula que s€ desplaza a lo largo deleje r está dadapor la ecuación ,/ = 6ir"'. Halla¡ la aceleración de la particula cuando está e¡ ir = 27.

Sr¡¡ciórr Se desea hallar la aceleración de la particula, es decir, la derivada de su velocidad coü

respecto al liempo: ú = !|vidt. Deri\ando la ecuación de la velocidad co¡ respecto al iiem-

dv .(l). " #: .. .#

232 Cólctio

Dado que dridr es la lasa de variación de la posición, o velocidad, puede sustituirse la expre-sión original pafa r en la segunda ecuación;

PROBLEMA l0-7 Un aviso rectangular, que tiene 24 m de ancho y una profundidad no per-tinenle. da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro, a razón de 5 revoluciones porminuto. Una persona que obserua a distanci¡ €l aviso lo ve como un rectángulo de ¡ncho va-riable. ¿Con qué ¡apidez está carnbiando el ancho aparente del aviso cuando éste liene 12 mde ancho. según lo ve el observado¡, y su ancho €stá aumentandol

Solución: Se dibuja un dias¡ama del aviso como si se le efuviera viendo desde arriba (ver fi-Sura l0-8). Según el diagrama. w es el ancho aparenie del aviso. El problema dice que el a\ isogna a nzón de 5 revoluciones por minuto. Por consiguiente, d0id¡ = l0r¡ radianesrmin. Se

busca la relación entre w y á. Según la trigonometría.

Asi. cuando r = 27, dyidt = 24127)t ! : 72.

Figur¡ 10-9Problema 10-8

dvdr

: 4x- |3y : 4x r,3(6r?¡) = 24,11'3

¡ = 24send

Derivando con respecto al ticmpo ¡.

dlr -. ne_:l4co(r,._

Cuando ,r = 12. sen á = j. Dado que el an-cho del aviso está aumentando, d debe estarenr¡e 7rl2 y 0. asj qu€ 0 - r¡i6. En consecuen-

120r15 mr min.

fver sección l0-2.1

$ = "(*f)r'*r:PROBLEMA 10-8 Se está vaciando arena sobre un nontón de forma cónica a razón de20 m', min. La ahura del nontón es sienpre igual al radio de su base. Cuando el montón trene3 melros de altura, ¿con qué rapid€z esrá aumentando su alrural

S¿/¡r¿¡¡irr Se hace el dibujo (v€r figura 10-9). El voiunen del coño €s j?¡l¡. Dado que r = l',

f = iÍh,h = :rh]

Luego se diferencia para hallar:

El problema dice qlle dV dt = 20. Cuando

dh 20

lv{ $cción l0_l l

Figura 10-8

Tosas d¿ 'aiacióñ

rclacio^ada! e tft sl 233

PROBLEMA 10-9 Considere un rriángulo rectángulo variable en un sistema de coorde-

nadas rectangulares. El vérlice ,.1 es el origen, el áñgulo recto está en el vértice A sobre el ele ¡y el vértice C está sobre la panibola y : ll tqx1 + 1. Si el punio , comienza en (0. l) y se

mueve hacia arriba a una tasa constante de 2 unidades/seg, ¿con qué rapidez está aumentandoel área del triángulo cuando ¡ = 7/2 scgündosl

S¿r¡¡c¡ó Primero se dibuja un diasr¿ma (ver ligura 10-10). Cuando B está en (0, r,). C debe

estar en €l punto (.x, l), en donde (?r4)r: + I : ),. Es decir,

El área del triángulo es

f4 I t/2

': Lrtl 't

1t4r = a tl -\!-

,jr e.f¿. I r, rf4 ]r'¡-, .-l-'8-l,l ,2r',1,'8-lrl r2lUL,LI].L'j

: 2217 unidadesi ses

',l '

Derivando con respecto al tiemPo /,

Debido a que B conienza en (0, l) y se nuevehacia arriba a una tasa consiante de 2 unida-des .eg ldl, ¡|t - 2t. cuando t - 7 2. )| + (7i2J2 = 8. En ese instante,

Asi que d//dr = d.v d/ cuando 2r = I Esro sucede si x: i; es Aeci¡' en (j.i)lver scción l0-21

#:t,*11,, ,1" r [i,, ',]"' "a(1,)(iX#). [;,' ',]'(r(#)

)ti[i"" "]"'#

= i"i[i'' "] ''

:i[i,, "]

"'1o

Figura l0-10Problema 10-9

PROBLEMA 10-10 Una p¿rricula se nueve a lo largo de la parábola l' = r'). ¿En qué punto

de su recorrido están la abscisa y la ordenada de la partícula cambiando a Ia misna veloci'ladl

Solucíó : Debe set dx dt: dlldt. Dilerenciando la ec¡ración que rel¿ciona a -L con r:

234 Cdlculo

PROBLEMA 10-11 Considere una arandela de caucho que esrá siendo comprimida. En undeterminado momento, se obri€nen las siguienles medidas: el diánetro exrerno de la arañoe¡aes de 3 crn; su diámetro interno es de I cmi el grosor de la a¡andela disrninuye a una tasa de l cm/min; y el diámetro externo es!á aumentando a una tasa de + cmr min. Si el volumen de la arande-la se mantiene en r cmr en ¡odo momen!o. ¿a qué rasa está cambiando eldiárnetro in¡erno en elinstante en que se toman las medidas?

So/rrc¡lr. Podemos observar la arandela en la figura 10-11. El volumen Z, el grosor c, el diá-melro inierno H y eldiámerro externo , de la a¡andela esrán relacionados po¡i

' ="["(f'-'tt)']: !o'- u't

Difefenciando con respecto al tiempo I,

#4 ". *r" n,¡,|t,. -n,¡.f:14.-# ,,ff'),io' -n'¡!

L. Es necesario

; c(3' - l')

En el tiempo que interesa,dDdt=:, D=3, H=halLar G en ese momento. asi

"= v =ic1o' n'¡:

de modo quec = jDebido a que el !'olumeD es siempre r.dy .]t = 0. En el instante e¡ cuestión,

0=

y lflld¡ = -i c]Tlin1in.

",( l)

Figura 11-l I

Cuando r = 6, ¿'1idt = \2n cm'1icm.(b) Se sabe que 2r = D, así que

PROBLEMA 10-12 Sean ,4. D. a y ¡ el área, el diánetro, la circunferencia y el ¡adio de un

chculo. respectivamente. En un deterninado inrante, / = 6 y drid¡ = 3 crnr seg. Hallarla tasa de \'ariación con ,.1 respecto a: (q) r, (b) r, (c) C y (d) ¡.

Solación: A ,\ r erán relacionados por ¡rz.

(a) Dil¡renciando con respecto a /.

;(:)[',,(j) -,t,¡#f . Ip'

i? ,#) ;

^ = "(',f :1""

fr-)"u=)"r't=*

tb : 2Ír

|--D-'-'''--.-.'.'}]

Tasas de ratiación rclacionadas entrc sí 235

(c) S€ sabe que 2,rr = C, asi que hay que derivar tanto esta ecuación como ,4 = nr¿ respecrode C:

,"r#

- dc.

De modo qu€dC

Cuando ¡ = 6, dAi dC = 6 cm'iün.(4) Difefenciando ,4 = Í/'z respecto del tiempo ¡,

dA : ,",Ldt "'' nCua¡do ¡ = 6 .\ dr dt = 3, d,4rd¡: 36zcn-rsec.

22:3y-\

Derivando y sustiluyendo las cantidadesconocidas se obtiene

^dz .dt dx-dt -dr dt

2l l0): 312$ :'dl

l]5

Así que la sombra se

135 mi seg.

dC

,^r(:\ =,

PROBLEMA 10'13 Dos motociclelas que viajan de noche en dirección opüesta por una ca-

rret€ra recta de doble via están aproximándose la una a la otra. Cada mo¡o va por ei centro desu ¡espectivo carril y los centros de los dos cairiles es!án a l0 metros de djslancra uno del otro.La motocicleta que viaja hacia el oeste esrá desplazándose a razón de 25 mi s€g. I"a morociclelaque viaja hacia ei este se desplaza a razón de l0 ni ses, y la luz de su faro troyecta la sombra de

la ot¡a motocicleta sobre la ce¡ca que bordea l¡ carretera. a 20 mctros del centro del carril con-

trario. ¿Con qué rapidez se mueve la sombra que proyecra sob.e la cerca la notocicleta que \ia-ja en dirección oeste?

Solución: La fieura 10-12 ilustra lá sitüación. un buen dibujo es la clave para solucionar sa-

tisfacto¡iamente este problema. Se trata de hallar d.ri dl. Sin algo de investigaciós, eL hecho de

que d¡i d¡ sea independiente del tiempo no parece claro. El problena drce que !/-z'dl = lü y

.tidt = 25. Por la geometria de los triángulos semejantes, renemos que

30 20

Figura l0-12Prob ema 10 13

PROBLEMA 10-1,1 Un farol d€ aLumbrado público tiene 20 pies de altura y está a 5 pies de la

acera. Si un policía que mide 6 pies de esratura camina sobre laacera a razón de 4piesr seg,¿con

qué rapidez está cambiando ia longit¡id de su sombra cuando él está a 13 pies de distancia de lab¿se del ooste de alumbrado?

236 Cólculo

Solució Se dibuja el diasrama cuidadosamente (ver fisura i0-13). Se quiere hallar ¿zld¿cuando r = 13. El problena dice que dt, ¿¡ = 4. Se verifica que )r y: eslén relacionadaspor dos ecuaciones, la prim€ra de las cr¡ales es un resultado del teorema de Piiágoras:

tz+25:x2

y la segunda un resultado d€ triángulos s€mejant€s:

12:3x

Se combinan entonces estas dos ecuaciones para obrenerl

"dJ 98 dz

"¡h 9'd!

Es nec€sario hallar ]r y z cuando.r= 13:

Jrz+25=131

7z:3(13)

l9'7

Finalmenie, s€ usa ] = 12. z: 39i 7

0! ¡4,¡?l/r )r¿r: :.: ,::91dl

lv{ fcción r0,2.1

Ejercicios complementarios

l0-15 suponga que ra alrJ-a de Ln Jererrilado arbol e,40/, pulg. donde D es el diáme.tro del tronco del árbol. Si el diámetro del lronro aumenta a irna tasa (onstante de i puLg poraño. la qué rasa está canbiando la altura del á¡bol cuando su diámetro es de 4 pulg?

10-16 Un pescador atrapa un pez con su caña de pescar. El pez se desplaza en dir€cción es1€-

oesie a lo largo de una recla situada 30 netros al no(e dcl pescador. Siel s€dal esrá desenrolián-dose a razón de ó n/seg cuando el p€z se halla a 50 rn€tros del pescador, ¿con qué rapidez está

desDlazándose el Dezl

Figrra l0-13

Tosss de wiací6n rclaciona,los eltte sl 237

10-17 Un bo¡e es tirado hacia un mu€lle por un cable renso. Si elbote está 20 pies más bajo queel nivel del muelle y el cable se tira a razón de 36 piesi rnin. ¿con qué rapidez se está moviendo elbote cuando se encuentra a 48 pies de distancia de la base d€l muell€?

10-18 Un automóül que viaja a 40 m/ seg cruza un pue¡te sobre un canal l0 seg antes de queun bote que viaja a m rni seg pas€ por debajo del puente. Tanto €l canal como la carrelera sonrecios y fbrman un ángulo recto. ¿Cuál es la tasa a la que se están separando el automóvil y elbote l0 seg después de que el bote pasa por debajo del puente?

10-19 Un determinado árbol de pino mantiene la lorma de un cono. Cuando la base del árboltiene 28 pi¿s de diámetro, esta m€dida aum€nta a razón de 2 piesr año. Al mismo tiernpo, el ár,bol mide 60 pies de aho y su altura está aumentando a rarón de 4 piesi año. ¿A qué tasa esrácambiando el volumen delárbol en ese tiempo? (El voiumen ,/ de un cono con radio / y ahu¡ah,es y:!trzh.)

lF20 Un globo de forma esférica está siendo inflado a Ézón de 4 piessi min. ¿Cuál es el volu-n1en del globo cuando su radio está aumentando a razón de 6 pulgtminl

10-21 Al caer uDa piedra en un estanque de aguas tranquilas forma una onda circular cuvoradio aumenta a una tasa constante de I miseg. r:A qué rasa está aumentando el área encerra-da por l¿ onda 8 segundos después de haber caido Ia piedra en el estanque?

10-22 Una escal€ra qu€ mide 15 pies de largo está apoyada contra una pared v€rtical;la parteinferior de la escalera está a 5 pies de distancia de la pared sobre un piso horizontal. Si en €se

instame el extremo inferior de la escale¡a esiá siendo sepa¡ado de la pared a razón de 2 piesi seg.

¿a qué tasa se estará resbalando por la pared el ext¡emo superior de la escaleral

10-23 Una escalera está apoyada contra una pared vertical y su extremo inferior está a 8 pies

de distancia de la pared sobre u¡ piso horizonr¿I. En ese instante el extremo i¡ferior de la es-

calera está siendo apartado dela pared a una tasa de 3 piesi seg y el extremo superior esta reFbalando por la pared a razón de 4 piesi seg. ¿Cuál es la longitud de Ia escaleral

10-24 El radio de un cilindro aumenta a una tasa constante. Su altura es una fu¡ción lineal de

su radio y aumenta tres veces más rápido que el radio. Cuando el ¡adio €s de un m€t¡o, la alturaes de 6 merros- Cuando el radio es de 6 netros, el volunen está aumentando a razón de I m'rseg. Hallar la ta$a a la cual está aumentaDdo el lolumen cuando el radio es de 36 melros.

l0-25 Un satélite se es!á moviendo €n una órbita elíptica alrededo¡ de un planeta. La ecuaciónde su órbita plana esjr' + ¿l' : :0. Si la velocidad del satélite en la dirección ] es 10 cuan,do la coo¡denada / del sarélite €s 2, ¿cuál es la velocidad en la dnección r en ese instante?

10-2ó Un tanque cilíndrico que tiene un radio de 5 me¡ros y una altura de 20 metros se lienacon un determinado líquido quimico. Se perfora un agujero en €l fondo del tanque. En ese mo-mento el llquido qulmico sale del ranque a razón de 2 m' r¡rn. ¿A que rasa está cambrando laaltura del líquido en €l tanque?

10-27 Un punio se desplaza sobre la gráfica de I : xr - n de modo que, cuando el puntoestá en (x, jr' - .r), la iasa de variación de x con respecto al tiempo es lr jr. Hallar la tasa devarjación de ], con respec¡o al ti€mpo cuando l = 6.

10-28 Los barcos ,4 y 3 salen del mismo puerto. El barco ,! navega hacia el oeste a razónde 20 nudos (millas náu¡icas por hora) y el barco B navega hacia el sur a l5 nudos. ¿A qué rasa

esta cambiando la distancia entre los dos barcos a las 2 p.m., si:

(a)(b)

,.1 y , salen ambos a las 12 del díal,{ sal€ a las 12 del dí¿ y , sale a la I p.m.?

238 Cólcalo

10-29 Un globo se eleva ver¡icalmente a razón de l0 miseg. Una persona lo observa desde

la rierra a 100 merros de distancia del sitio donde aquél se es¡á el€vando. ¿A qué tasa cambia la

distancia entre el globo y el observador cuando el globo está a 100 metros sobre el terrero?

10-30 Un slobo se eleva verricalmenie a razón de l0 Inrseg Una persona lo obse¡va en un

punto sobre la 1i€rra a 100 metros de distancia del srtio que es1á direcram€nte debajo del globoque se eleva. i,A qué tasa (radianes/seg) están moviéndose hacia arriba los oios del observador

para seguir el novimiento del globo, cuando el globo está 50 metros por encima del nivel de Ióq

ojos del obs€rvador'?

10-31 Un globo se elev¿ ve¡ticalmente a razón de l0 n1i seg. Un poste de luz está a 20 metros

de distancia del sitio que está debajo del globo El farol del poste está a 25 metros de altura- ¿Aqué tasa se mueve la sombra del globo cuando el globo está l5 ¡letros porencima del tereno?

10-32 Un giobo se eleva verticalmente a razón de l0 mi seg. Un poste de luz se halla a 20 me

tros del silio que cslá debajo del globo qüe se eleva El farol del poste está a 25 melros de altura.

Al otro lado del globo hay una pared vertical. que está a l0 metros de distancia del globo (30 rne-

tros de distancia del post€ de la luz). ilA qué tasa se mueve la sombra sobre la pared cuando el

slobo está l5 metros oor encima del terreno?

Soluciones a los(l0ls) 30 pulg,¿ño

(10'16) l5i2merros,seg

(10-U) 39 piesi m'¡

180.,¡1t(r0-r8) ; úises

(10-19) 2.164nr3 piesrl

ejercicios complementarios

(r0-20) !i¡

(r0-2r)

(r0-22)

(r0-23)

00-21)

(10_25)

(10-2ó)

00-271

1,t0,,-1:

2i25¡ ñlnjn

lli 2

(10-28) (a) 25 nudos

{bl ' nudós

(to-us) :,/2 -i*e(r0-30) 2i25 radiancsrsc8

(10-31) 50 niseg

(10-32) 1s ni ses

EXAMEN 4 (CAPITULOS 9 y 10)

l. Hailar los valores náxirno y minimo de cada una de las siguientes funciones sobre el intef

Yr+Y+4(¡r ,,\r ' , ¡-, en I0.2i (b)./1., - en t2, 51.

4.

2.

3.

5.

Hallar el área del r€ctángulo de mayor área que pueda dibuiarse con su base en el eje ir y condos vértices en la gráfica de ) : 8/(r' + a).

Sea ,/, el volumen d€ un cilindro circular recto de á¡ea la¡eral fija en 1r m'. S€a I/: el vo-lumen de un hemisferio cuyo radio es igual al de dicho cilind¡o. Hallar las dimensioncs del

cilindro que maximiarán ,/r t/j.

En un determinado insiante, la longitud de un rectángulo es de 3 cm y está aumentando a

razón de I cmimin¡ su ancho está disminuyendo ¿ razón de lr2 cmrmin. En ese instan¡e

¿el área aumenta o disminuye? ¿A qué tasa?

Un punto P(i, ],) se desplaza a lo largo de la mitad superior de la rama d€recha de la hipér'boia;' - ¡,' = l.Sean,4(0.r))B(r,0)lasproyeccionesdePsobrelosejeslyr,tes-pectivamente. Si ir está cambiando ¡ razón de 2 cmr scg cuando I : !'tl cnr, halla¡ ]a lasa

a la cual está cambiando la longitud de ,4' .

SOLUCIONES AL EXAMEN 4

1. Se hallan los pumos críticos y se exaninan los valores de la función en eros punlos ! cn lós

trnros eitrcmo. del 'nle v"lo d¿do.

(ir + 1){2j( + 1) (:r'¿+ ¡ +4)(¡, J'(¡) :

.l t\) -

x? + 21 3 (r + 3)(-r 1)

(r + 1)' (r + l)'

Debido a que -3 no está €n [0,2], se examlnan:

"r(0) :4 /(1): l lr:l : ]!

En el intervalo [0, 2]. / tiene un valor máximo de 4 en ] = 0 I un valor minimo de 3 en

. r. - s121 1:-1:1:, :. - stI{r) =- -tx

2(3r - 5) 3)r

l-r \ 5l' '3x-10

e'(r) : o

sQ)=a

(b)

(r + 1)l

0 pamr:-3 ypa¡¿r = I

{:3

10

/10\llt"- t: u(5) : v/i¡239

240 Cálculo

- 16¡4:¿\j-- 2r

De.ivando:

., ,.rr - 4rló Io\r2jr ó¿ Ió..: lb,,a \),rY: , 4rr -

^r ¿l- - lJ- ,/,

Asi que ,.1'(.r): 0 cuando r = 2. Si 0 < r<2, entonces /'(r) >0.Si x > 2, entonces ,4'(x) < 0. Así, por la prueba de ia primera derivada,,r(i) es un máxi¡1¡o cuando ir = 2 y

32-412\-

^ , -- ¿ Jnrdades'

3. El área de la superficie lateral de un cilindro es ,{ : 2,¡¡l; el volumen de un cilindro es I/1 =rrzlr y el volumen de un hemisferio es v, : (2i3),¡rr El problema dice que ,1 = 2n 1 = 4r.Asíque¡¡=2,oh=21r.

En el intervalo [2,5], É' tiene un valor máximo de 4 en .x : 2 y ün valor mínimo de 4J5lJen r = 10/314.//5/3

^, 2,98 < 1,16 ! vt¡).

2. sea (r, )) un punto sobre } = 8/(x'?+ 4)con x > 0y sean (r,Jr),(i,0).( r, 0) y (-i, l') los vértices del ¡ectángulo, según se muesrra en la figu-ra. El área del rectángulo es

v) = 1t(2 It'z)

|/\

*,,,-

v,: *zh - i-,- "(,,-;.J

!j=,1 ll*,,,r:ltlt \ tl

Pero r < O ¡o tiene sentido, de inodo que d€b€ examinarse , = t, !V, 4) >0para

0 </ < ly;(y, 4) < 0 para r > l. De esta manera 11 I/2 esunmáximocuan-dh-

cuando r = I (ycuando / = 1, h = 2).

4. Sean r la longitud y ), el ancho del rectángulo. Enlonces ,4 = jr],, y

Sustituyendo x=3,d\ldt = l,r:2,drldt= -1t2:

El área está aumentando a razón de lr2 cml/min.

Exanen I 241

5. La distancia 18-: r eslá dadr por

s - !.r- + l._ : \,\_ + \- L

debido a que ¡: = r' L Derivando:

' ;r I

l 1 .,. ¿ ¡ ¿.¡.1,,,.'l'/J\-