Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniera

Clculo 1, Mdulo Bsico Ingeniera

Guillermo Acua - Cristin Burgos.

Anlisis de Funciones, optimizacin, razn de cambio.

I. Anlisis de funciones:

Ejercicios Resueltos:

1. Analice completamente y graque f(x) =(x+ 1)2

x2 + 1

Solucin:

Indicador de evaluacin: Dada una funcin f traza su grca a partir del anlisis de monoto-

na, puntos crticos, concavidad, puntos de inexin, asntotas, etc.(Ejercicio similar en la pgina

208 del texto gua)

Para esta funcin Dom(f) = R el nico cero que posee esta funcin es x = 1, note que estafuncin es positiva para todo x en su dominio

Para las asntotas:

Verticales: no tiene como consecuencia de su dominio

Horizontales: analizamos el

limx

(x+ 1)2

x2 + 1= 1

, por lo tanto,

y = 1

es asntota horizontal. Dado que existe asntota horizontal... no existe asntota oblicua.

Anlisis de la primera derivada:

f (x) =2(x+ 1)(x2 + 1) (x+ 1)22x

(x2 + 1)2

f (x) =2(1 x2)(x2 + 1)2

1

Puntos crticos:

{x = 1

x = 1

Anlisis del crecimiento y decrecimiento de la funcin:

f(x) es creciente si: x ] 1, 1[

f(x) es decreciente si x ],1[]1,[

Anlisis de la segunda derivada:

f (x) = 2[2x(x2 + 1)2 (1 x2)(x2 + 1)4x

(x2 + 1)4

]f (x) = 4x

[x2 1 2 + 2x2(x2 + 1)3

]f (x) =

4x(x2 3)(x2 + 1)3

Puntos de Inexin: f (x) = 0 si y solo si x(x 3)(x + 3) = 0, lo cual nos conduce a tres

puntos de inexin:

x = 0

x =

3

x = 3Anlisis de la curvatura: realizamos el anlisis de la segunda derivada

f (x) < 0 si

4x(x2 3)(x2 + 1)3

< 0

x ],

3[]0,

3[

f (x) > 0 si

4x(x2 3)(x2 + 1)3

> 0

x ]

3, 0[]

3,[

Con toda esta informacin podemos gracar la funcin

2

Figure 0.1: Graco de f(x) = (x1)2

x2+1

2. Considere la funcin f(x) = xex2

a) Determine dominio, ceros y signo.

b) Determine si posee asntotas.

c) Determine puntos crticos, analice crecimiento y decrecimiento.

d) Estudie concavidad, determine puntos de inexin.

e) Graque.

Solucin:

Indicador de evaluacin: Dada una funcin f traza su grca a partir del anlisis de

monotona, puntos crticos, concavidad, puntos de inexin, asntotas, etc.

Para la funcin f(x) = xex2, se tiene:

a) Dominio:R , ceros: f(x) = 0 si x = 0 , para el signo, notemos que eh(x) > 0 para todox Dom(f) , luego:

f(x) > 0 x > 0f(x) < 0 x < 0

b) Para el caso de las asntotas, vemos que como el dominio es todos los reales, no posee asntotas

verticales. Para las asntotas horizontales:

lmx

f(x) = lmx

x

ex2

= 0

De modo que y = 0 es asntota horizontal. De aqu es posible desprender que f no posee

asntotas oblcuas.

3

c) Clculo de f (x)

f (x) = ex2

+ x (2xex2)= ex

2

(1 2x2)

Para los puntos crticos, se resuelve la ecuacin f (x) = 0 ,

ex2

(1 2x2) = 0(1 x

2)(1 + x

2) = 0

x1 = 12x2 = 12El signo de la primera derivada, se ve notando que eh(x) > 0 , entonces:

f (x) > 0 (1 x

2)(1 + x

2) > 0

x ] 1

2,

12

[El intervalo sealado anteriormente corresponde al sitio donde f crece. Adems:

f (x) < 0 (1 x

2)(1 + x

2) < 0

x ], 1

2

[]

12,+

[Aqu, f decrece.

d) Calculando la segunda derivada:

f (x) = 4xex2 + (1 2x2) (2xex2)= 2xex2(3 2x2)

Para el anlisis de punto de inexin, considerando que eh(x) > 0 , se tiene que:

f (x) = 0 x(

3 x

2)(

3 + x

2) = 0

x1 = 0

x2 =

32

x3 =

32

4

En el anlisis de concavidad, en primer lugar se tiene que para que sea convexa:

f (x) > 0 x(

3 x

2)(

3 + x

2) < 0

Y para que sea cncava:

f (x) < 0 x(

3 x

2)(

3 + x

2) > 0

Realizando un anlisis de signo para resolver ambas inecuaciones anteriormente mencionadas,

y en virtud del mtodo reducido se encuentra:

],

23[ ]

23, 0[ ]0,

23[ ]

23,+[

x + +2 x3 + + + 2 + x

3 + + +

R(x) + +

De modo que podemos concluir lo siguiente:

La funcin ser convexa(f (x) > 0) si x ]

23, 0[]

23,+[ , por otro lado, f sercncava(f (x) < 0) si x ],

23[]

23,+[e) Para el grco:

Figura 0.2: Grco de f(x) = xex2

Ejercicios Propuestos:

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1. Considere la funcin

f(x) =(x+ 1)3

(x 1)2

a) Analice su dominio, ceros, signo y asntotas.

b) Encuentre la primera derivada, encuentre puntos crticos y monotonia.

c) Encuentre la segunda derivada, sus puntos de inexin, su curvatura y graque.

2. Sea f(x) = xex

a) Determine su dominio, ceros y signo

b) Analice la existencia de asntotas horizontales y verticales

c) Analice la existencia de puntos crticos y estudie su crecimiento

d) Analice la existencia de puntos de inexin y estudie concavidad

e) Graque

3. Dada f(x) = ln

(x2 49 x2

)a) Determine su dominio, ceros y signo

b) Analice la existencia de asntotas horizontales y verticales

c) Analice la existencia de puntos crticos y estudie su crecimiento

d) Analice la existencia de puntos de inexin y estudie concavidad

e) Graque

4. Sea f una funcin contnua con segunda derivada contnua en R tal que f(x) > 0 y f (x) = xf(x), x R . Encontrar:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Intvalos de concavidad y convexidad

c) Puntos de Inexin

II. Optimizacin

Ejercicios Resueltos.

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1. Se dispone de un alambre con el cual se desea formar un trapecio issceles, con tres lados iguales

a a y la base ms grande de largo x de modo de maximizar el rea. Determine el valor de x que

cumple con esta condicin extremal. Justique su respuesta.

Solucin:

Indicador de evaluacin: Resolver problemas de optimizacin de inters en ingeniera aplican-

do las derivadas.

Se tiene que el rea del trapecio esta dada por

A =1

2(a+ x)h

Donde h es la altura del trapecio. Se puede apreciar (hacer la gura) que la base del tringulo

rectngulo formado por la altura h y el lado a vale xa2, luego, se cumple la relacin

a2 = h2 +

(x a

2

)2h =

a2

(x a

2

)2=

1

2

2ax x2 + 3a2

Luego

A(x) =1

4(a+ x)

2ax x2 + 3a2

Derivando

A(x) =1

4

(2ax x2 + 3a2 + (a+ x) 2a 2x

2

2ax x2 + 3a2)

=1

4

2ax x2 + 3a2(2ax x2 + 3a2 + a2 x2)

=ax x2 + 2a2

4

2ax x2 + 3a2

Luego A(x) = 0 si

ax x2 + 2a2 = 0(a+ x)(2a x) = 0

Como x > 0, la nica solucin factible de esta ecuacin es x = 2a, la cual es nuestro candidato

a mximo. Notese que el signo de la primera derivada slo depende del factor (2a x), donde

7

A(x) < 0 para x > 2a y A(x) > 0 para x < 2a lo que conrma el hecho de que x = 2a es un

mximo.

2. Considere una caja de base cuadrada de lado a y altura h. Un insecto est localizado en el vrtice

A y debe llegar al vrtice B caminando en lnea recta desde A hasta P y de igual forma desde

P hasta B. Determinar la posicin del punto P de manera de minimizar la distancia total de la

gura. Justique su respuesta.

Figura 0.3: Ruta de la hormiga

Solucin:

Indicador de evaluacin: Resolver problemas de optimizacin de inters en ingeniera aplicando

las derivadas.

Sea x la distancia de vertice superior a B hasta P entonces, el segmento restante mide a x .Luego, en la tapa superior, se forma un tringulo rectngulo, por lo tanto es vlida la relacin

AP =a2 + (a x)2

En la cara frontal, tambin se forma un tringulo rectngulo, entonces

PB =h2 + x2

Luego la distancia L(x) es

L = AP + PB

L(x) =a2 + (a x)2 +

h2 + x2

Derivando

L(x) =(a x)a2 + (a x)2 +

xh2 + x2

8

Luego, L(x) = 0, entonces

xh2 + x2

=(a x)

a2 + (a x)2x2

h2 + x2=

(a x)2a2 + (a x)2

x2a2 + x2(a x)2 = h2(a x)2 + x2(a x)2

a2x2 = h2(a x)2

ax = h(a x)

Como x < a , entonces

ax = h(a x)x =

ah

a+ h

Este punto es el buscado, la comprobacin del mnimo se obtiene derivando denuevo, luego

L(x) =

(a x)2 + a2 (a x) ax

(ax)2+a2

(a x)2 + a2 +x2 + h2 x2

x2+h2

x2 + h2

=(a x)2 + a2 (a x)2

((a x)2 + a2) 32+x2 + h2 x2(x2 + h2)

32

=a2

((a x)2 + a2) 32+

h2

(x2 + h2)32

Como L(x) > 0 , se comprueba que el punto obtenido, es un mnimo.

Ejercicios Propuestos.

1. Hallar las dimensiones del cono recto circular de mximo volumen, que puede ser inscrito en una

esfera de radio a (Ejercicios similares en la pgina 220 del texto gua).

2. Hallar la altura y el radio de la base de un cono recto circular, de volumen mnimo, que se

circunscribe una esfera de radio r. Cul es este volumen mnimo? (Indicacin: Utilice conve-

nientemente la semejanza de tringulos que se produce all)

3. Un alambre de longitud L se corta en dos partes, una se dobla para que forme un crculo y la

otra para que forme un cuadrado. Cmo se debe cortar el alambre para que la suma de las reas

encerradas por las dos partes sea mxima?

4. Una estatua est colocada sobre un pedestal, como se muestra en la gura.A qu distancia del

pedestal debe pararse la persona para maximizar el ngulo visual ? (indicacin: recuerde la

identidad tan(2 1) . Tambin es suciente maximizar tan en vez de por qu? )

9

Figure 0.4: Esttua

III. Razn de cambio.

Ejercicios Resueltos.

1. Una barra de metal tiene forma de cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L y

su radio R aumentan a razn de 0, 005[cm/min] y 0, 002[cm/min] respectivamente. A qu razn

aumenta el volumen de la barra en el momento que el largo mide 40[cm] y su radio mide 1, 5[cm]

?

Solucin:

Indicador de evaluacin: Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relacio-

nadas.

Los datos del problema son los siguientes

dL

dt= 0, 005[cm/min]

dr

dt= 0, 002[cm/min]

Sabemos que el volumen del cilindro est dado por:

V = pir2h

Derivando:

dV

dt= pi

(2rL

dr

dt+ r2

dL

dt

)Como L = 40[cm] y r = 1, 5[cm] reemplazando todos los datos:

dV

dt= pi

(2 1, 5 40 0, 002 + 1, 52 0, 005)

10

2. Una cmara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de

acuerdo con la ecuacin s = 50t2(s es la altura medida desde el suelo en metros y t es el tiempo en

segundos). La cmara est a 2000m del lugar de despegue. Halle cmo vara el ngulo de elevacin

de la cmara despus de 10s del despegue del cohete.

Solucin:

Indicador de evaluacin: Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relacio-

nadas(Ejercicios similares en la pgina 162 del texto gua)

Figura del problema

Figure 0.5: Diagrama del problema

Solucin: De la gura, es posible deducir que

tan =s

2000

sec2 d

dt=

1

2000

ds

dtd

dt=

cos2

2000

ds

dt

Adems cos =2000

s2 + 20002, s = 50t2 ds

dt= 100t , reemplazando

d

dt=

2000

(50t2)2 + 20002 100t

Reemplazando en t = 10[s]

d

dt

t=10[s]

=2000

(50(10)2)2 + 20002 100 10

[rad

s

]La reduccin de esto se deja a cargo del lector.

3. Un canal vacio empieza a llenarse a razn de 14[m3/min] . El canal mide 50 metros de largo y su

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seccin transversal es un trapecio issceles con altura 1 metro y las dimensiones dadas de la gura.

Figure 0.6: Seccin transversal del canal

Determine la rapidez con que crece la altura del agua transcurridos 3 minutos.

Solucin:

Indicador de evaluacin: Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relaciona-

das

Sean h y x la altura y el ancho del agua acumulada despus de t minutos. En el instante t , el

volumen es

V =1

2 50 h (4 + x)

= 25h(4 + x)

De semejanza de tringulos, se tiene que

h12(x 4) =

112(6 4)

2h

x 4 = 1x = 4 + 2h

Reemplazando

V = 50h(4 + h)

= 50h2 + 200h

12

Derivando y usando que

dV

dt= 14 , se tiene que

dV

dt= 50

(dh

dt(4 + h) + h

dh

dt

)14 = 50(2h+ 4)

dh

dtdh

dt=

7

25(2h+ 4)

Para calcular h , usamos los datos del problema, luego

V (3) = 42

V = 50h+ 200h2

Igualando

42 = 50h+ 200h2

Ecuacin cuya solucin vlida es

h = 0, 2

Reemplazando en la expresin para la variacin de altura se obtiene lo pedido. (se deja al lector).

Ejercicios Propuestos.

1. ean dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo. De acuerdo con esto, la resistencia equivalente

corrresponde a

1

R=

1

R1+

1

R2

Si R1 y R2 aumentan a una razn de 0, 01 y 0, 02 (/s) respectivamente. En cunto vara la

resistencia equivalente cuando R1 = 30[] y R2 = 90[] ? (Ejercicio 109 de la pgina 178 del texto

gua)

2. Una persona de 2(m) de altura camina a una rapidez constante de ,3(m/s) alejndose de un

poste de alumbrado de 6(m) de altura. Con qu rapidez se alarga la longitud de la sombra?

(Indicacin: Utilice la semejanza de tringulos)

3. Dos barcos, A y B, parten del mismo punto O segn drecciones que forman un ngulo de 120. El

barco A navega a 20(km/h) y el barco B a 30(km/h). Con qu rapidez est variando la distancia

entre ellos en el instante que OA = 8(km) y OB = 6(km) ? (Indicacin: ver gura)

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Figure 0.7: Esquema del problema

4. Un depsito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vrtice hacia abajo. Su altura

es de 10(m) y el radio de la base es de 15(m). Al mismo tiempo, se vierte agua en el depsito a

una razn de A(m3/s) y el agua sale por el fondo a una razn de 1(m3/s). Calcule el valor de A

de modo que el nivel de agua ascienda a una razn de 4(m3/s) en el instante que el agua alcanza

una altura de 8(m) (Ejercicio resuelto similar en la pgina 156 del texto gua)

Ejercicios Adicionales de Aplicaciones de la Derivada.

1. Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como indica la

gura adjunta. Un mvil recorre el segmento BC con movimiento rectilneo uniforme de velocidad

u, mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un movimiento circular de

velocidad v. En un instante t cualquiera el mvil se encuentra en un punto P , siendo x la distancia

BP y s la longitud de arco BS.

Figura 0.8: Descripcin geomtrica del problema

a) Hallar la relacin entre y y calcule en trminos de x (Indicacin: Use propiedades de

ngulos en la circunferencia)

b) Encuentre la expresin de v en trminos de x

c) Tomando t = 0 cuando el mvil pasa por el punto B , determine en que posiciones del mvil

la velocidad de la sombra es mxima y mnima para x [0, 2R]

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d) Calcule la velocidad de la sombra cuando el mvil pasa por el punto medio del segmento BO

e indique cul es el porcentaje de esa velocidad con respecto a la velocidad mxima.

2. En la gura hay una varilla de largo L ja en el punto B, en el aro de la rueda de radio r, el

otro extremo de la varilla (en el punto A), se mueve de forma horizontal. La rueda rota ja en su

centro O en contra de las manecillas del reloj a 3 revoluciones por segundo.

Figure 0.9: Rueda

Demuestre que

dx

dt=

3rx(t) sin((t))

r cos((t)) x(t) (Indicacin: note que OB no siempre es perpendiculara AB de moso que el tringulo no siempre es rectngulo. Use las propiedads de un tringulo

cualquiera y observe cuidadosamente la gura.)

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