(rangka batang kuliah 3) b

5/23/2018 (Rangka Batang Kuliah 3) b

1/104

RANGKA BIDANG

IDEALISASI


2/104

Koordinat lokal adalah xy dan koordinat global adalah XYUntuk setiap elemen memiliki empat derajat kebebasan , yaitu arah

,,,211

UVU dan 2V

Taransformasi dari sistem lokal ke global sebagai berikut :

sinc os

sinc os

222

111

VUu

VUu


3/104

1

y

Y

x

X

Gambar 2.2 sistem koordinat lokal dan global

2,2 VfY

2,2 ufX

2,2 UfX

1,1 VfY1,1

ufX

1,1 UfX


4/104

Koordinat lokal adalah xy dan koordinat global adalah XY

Untuk setiap elemen memiliki empat derajat kebebasan , yaitu arah

,,,211

UVU dan 2V


sinc os

sinc os

222

111

VUu

VUu


5/104

Jika kita menggunakan simbul-simbul :

sin

c os

S

C

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut :

global

lokal

VU

V

U

SC

SC

u

u

2

2

1

1

2

1

00

00

atau secara simbolik :

globalnlokaln uTu


6/104

Koordinat lokal adalah xy dan koordinat global adalah XY

Untuk setiap elemen memiliki empat derajat kebebasan , yaitu arah

,,,211

UVU dan 2V


sinc os

sinc os

222

111

VUu

VUu


7/104

dimana:

T

.

Hubungan gaya nodal koordinat lokal dan global dengan menggunakan

matrik transformasi :

globalnlokaln fTf

kemudian hubungan antara gaya nodal global dengan peralihan nodal global

adalah ;

globalnglobalglobaln

ukf

adalah matrik transformasi


8/104

Matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat global adalah :

2

2

2

2

2

2

2

2

][

S

CS

S

CS

CS

C

CS

C

S

CS

S

CS

CS

C

CS

C

L

EATkTk lokal

T

global

Dengan demikian persamaan kekakuan elemen dalam sistemkoordinat global adalah :

2

2

1

1

Y

X

Y

X

f

ff

f

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

V

UV

U

S

CSS

CS

CS

CCS

C

S

CSS

CS

CS

CCS

C

LEA


9/104

Matrik kekakuan elemen ini memiliki pola yang mudah diingat, yaitu :

00

00

TT

TT

L

EA

k global

dimana :

2

2

0SCS

CSCT

Dimana :

E adalah modulus elastisitas

A adalah luas penampang

L adalah panjang batang

globalnf = gaya nodal elemen batang dalam sistem koordinatglobal

globaln

u= adalah derajat kebebasan (dk) dalam sistem

kooardinat global

globalk = matrik kekakuan elemen dalam sistem koordinat global


10/104

Pada kasus uniaksial persamaan tegangan dapat ditulis

Dengan merubah regangan konstan menjadi deformasi per satuan panjang

Dalam bentuk vektor dapat ditulis

TEGANGAN BATANG


11/104

Dari pembahasan sebelumnya deformasi dalam sumbu lokal dan sumbu global

ditentukan

qsc

sc

L

E

00

0011


12/104

PERSAMAAN GAYA DALAM AKSIAL

Jika kita sudah mengetahui peralihan nodal untuk elemen rangka baik

diketahui maupun dihitung, gaya dalam aksial adalah konstan sepanjang

elemen, dan dapat diperoleh secara langsung.

2

2

1

1

VU

V

U

SCSC

L

EAN


13/104

Koordinat titik nodal

Titik nodal pembatas elemen


14/104

Kekakuan elemen

Kekakuan elemen 1 (k1) = 0


15/104


16/104


17/104

KEKAKUAN STRUKTUR


18/104

Karena simpul 1, 4 sendi dan 2 rol, maka dof yang tersisa adalah 3, 5

dan 6 Sehingga persamaan menjadi


19/104

Menghitungtegangan


20/104

Dengan menggunakan cara yang sama kita peroleh

Menghitung reaksi


21/104

Tabel Cosinus, sinus, panjang, dan luas penampang tiap-tiap elemen

2C 2S A)( 2m

ElemenC S CS L(m)

1-4

2-4

3-4

30o

0

-45o

0.866

1

0.707

0.5

0

-0.707

0.75

1

0.5

0.25

0

0.5

0.433

0

-0.5

3.464

3

4.243

0.015

0.020

0.030

Persamaan kekakuan elemen :

Elemen 1-4

4

4

1

1

6

217.0375.0217.0375.0

375.0650.0375.0650.0

217.0375.0217.0375.0

375.0650.0375.0650.0

10

2

2

1

1

V

U

V

U

m

kN

f

ff

f

Y

X

Y

X


22/104

4

1

2

3

3m

1.732m

3m

RX3

RY3

RY2

RX2

RX1

RY1

4

3

2

1

FX3,U3

FY3,V3

FX3,U3

FY2,V2

FY1,V1

FX1,U1

FX4,U4

FY4,V4

E=2x108kN/m

2

100 kN

-200 kN


23/104

Elemen 2-4

4

4

2

2

62

0000

0333.10333.10000

0333.10333.1

10

2

2

1

2

V

U

V

U

mkN

f

ff

f

Y

X

X

Elemen 3-4

4

4

3

3

6

707.0707.0707.0707.0

707.0707.0707.0707.0

707.0707.0707.0707.0

707.0707.0707.0707.0

10

2

2

3

3

V

U

V

U

m

kN

f

f

f

f

Y

X

Y

X


24/104

Persamaan kekakuan struktur diperoleh dari gabungan persamaan

kekakuan elemen :

4

4

3

3

2

2

1

1

6

924.0332.0707.0707.000217.0650.0

332.0690.2707.0707.00333.1375.0650.0

707.0707.0707.0707.00000

707.0707.0707.0707.00000

00000000

0333.1000333.100

217.0375.00000217.0375.0

375.0650.00000375.0650.0

10

4

4

3

3

2

2

1

1

V

U

V

U

V

U

V

U

m

kN

F

F

F

F

F

F

F

F

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Dengan mempertimbangkan kondisi batas :

0332211 VUVUVU


25/104

Persamaan kekakuan struktur dengan urutan d.k. nol dibawah ini :

0

0

0

0

0

0

707.07070000707.0707.0707.0707.00000707.0707.0

00000000

000333.1000333.0

0000217.0375.0217.0375.0

0000375.0650.0375.0650.0

707.0707.000217.0375.0924.0332.0

707.0707.00333.1375.0650.0332.0690.2

10

200

100

3

3

2

2

1

1

4

4

6

33

33

22

22

11

11

4

4

VU

V

U

V

U

V

U

L

kN

RFRF

RF

RF

RF

RF

kNF

kNF

YY

XX

YY

XX

YY

XX

Y

X

solusi persamaan di atas adalah :

4

46

924.0332.0332.0690.210

200100

VU

mkN

kNkN


26/104

relasi Invers memberikan nilai peralihan nodal :

m

kN

kN

m

kN

V

U36

4

410

213.0

011.0

200

100

133.1140.0

140.0389.010

Gaya dalam elemen :

kNm

m

kNN 869.8310

213.0

011.05.0866.010.866.0 3641

kNmm

kNN

kNmm

kNN

54.22310213.0

011.0707.0707.010.414.1

568.1410213.0

011.00110.333.1

36

43

36

42


27/104

Reaksi perletakan :

kNmm

kN

R

R

RR

R

R

Y

X

Y

X

Y

X

065.158

065.158

0

568.14

935.41

633.72

10213.0

011.0

707.0707.0

707.0707.0

00

0333.1

217.0375.0

375.0650.0

10 36

3

3

2

2

1

1


28/104

2 3

41

500kN

RY1 RY4

RX4 4

3

1

2

FX1,U1 FX4,

FX2,U2FX3,

FY3,V3

FY4,V4

FY1,V1

FY2,V2

E=2x106kN/m

2

Contoh 2


29/104

Tabel Cosinus, sinus, panjang, dan luas penampang tiap-tiap elemen

2

C

2S

A)( 2m

o90

o0

o95

o87.36

o13.323

Elemen

C S CS L(m)

1-2

2-3

3-4

1-3

2-4

0

1

0

0.8

0.8

1

0

-1

0.6

-0.6

0

1

0

0.64

0.64

1

0

1

0.36

0.36

0

0

0

0.48

-0.48

6

8

6

10

10

0.02

0.03

0.02

0.04

0.08


30/104

Persamaan kekakuan elemen :

Elemen 1-2

2

2

1

1

4

667.00667.00

0000

667.00667.00

0000

10

2

2

1

1

V

U

V

U

m

kN

f

f

f

f

Y

X

Y

X

Elemen 2-3

3

3

2

2

4

0000

075.0075.0

0000

075.0075.0

10

3

3

2

2

V

U

V

U

m

kN

f

f

f

f

Y

X

Y

X

Elemen 3-4

4

4

3

3

4

667.00667.00

0000

667.00667.00

0000

10

4

4

3

3

V

U

V

U

m

kN

f

f

ff

Y

X

Y

X

Elemen 1-3

3

3

1

1

4

288.0384.0288.0384.0

384.0512.0384.0512.0

288.0384.0288.0384.0

384.0512.0384.0512.0

10

3

3

1

V

U

V

U

m

kN

f

f

f

f

Y

X

Y

X

Elemen 2-4

4

4

2

2

4

576.0768.0576.0768.0

768.0024.1768.0024.1

576.0768.0576.0768.0

768.0024.1768.0024.1

10

4

4

2

2

V

U

V

U

m

kN

f

f

f

f

Y

X

Y

X


31/104

Persamaan kekakuan struktur diperoleh dari gabungan persamaan

kekakuan elemen :

4

4

3

3

2

2

1

1

4

243.1768.0667.00576.0768.000

768.0024.100768.0024.100

667.00955.0384.000288.0384.0

00384.0262.10750.0384.0512.0

576.0768.000243.1768.0667.00

768.0024.10750.0768.0774.100

00288.0384.0667.00955.0384.0

00384.0512.000384.0512.0

10

4

4

3

3

2

2

1

1

V

U

V

U

V

U

V

U

m

kN

F

F

F

F

F

F

F

F

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


32/104

Dengan memperhatikan kondisi batas :

04411 VUVU

0

0

0

0

243.1768.000667.00576.0768.0

768.0024.10000768.0024.1

00955.0384.0288.0384.0667.00

00384.0512.0384.0512.000

667.00288.0384.0955.0384.000

00384.0512.0384.0262.10750.0

576.0768.0667.0000243.1768.0

768.0024.1000750.0768.0774.1

100

500

0

0

4

4

1

1

3

3

2

2

4

44

44

12

11

3

3

2

2

V

U

V

U

V

U

V

U

m

kN

RF

RF

RF

RF

F

kNF

F

F

YY

XX

YY

XX

Y

X

Y

X


33/104

Solusi persamaan di atas adalah :

3

3

2

2

4

955.0384.000

384.0262.10750.0

00243.1768.0

0750.0768.0774.1

10

0

500

0

0

V

U

V

U

m

kN

kN

Relasi invers memberikan peralihan nodal sbb:

mk Nk N

m

V

U

V

U

14

3

3

2

2

10

298.0

741.0

264.0

428.0

0

500

0

0

287.1596,0213.0344.0

596.0482.1529.0856.0

213.0529.0287.1781.0

344.0856.0781.0263.1

10


34/104

Gaya dalam elemen :

kNmm

kN

N 258.17610264.0

428.0

1010.667.0 14

21

kNmm

kNN 011.23510

298.0

741.0

264.0

428.0

010110.57.0 14

32

kNmm

kNN 742.19810

298.0

741.01010.667.0 1443

kNmm

kNN 236.33110

298.0

741.06.08.010.8.0 1431

kNm

m

kNN 764.29310

264.0

428.06.08.010.6.1 1442


35/104

Reaksi perletakan :

kNmm

kN

R

R

R

R

Y

X

Y

X

375

011.235

375

989.264

10

298.0

741.0

264.0

428.0

667.00576.0768.0

00768.0024.1

288.0384.0667.00

384.0512.000

10 14

4

4

1

1

Contoh Kasus


36/104

Elemen Cos Sin

Cos2

Sin2

Cos Sin

L (m)

1-5, 5-3

2-5, 5-4

2-3

1-2, 4-3

37

-37

0

90

4/5

4/5

1

0

3/5

-3/5

0

1

16/25

16/25

1

0

9/25

9/25

0

1

12/25

-12/25

0

0

5

5

8

6

Contoh Kasus


37/104

Persamaan Kekakuan Elemen

2 21 1

2 21 1

2 22 2

2 22 2

Persamaan Umum

Fx UC CS C CS

Fy VCS S CS S EAK

Fx UL C CS C CS

Fy VCS S CS S

Elemen 1Elemen 1 Elemen 2

Elemen 2


38/104

Persamaan Kekakuan Elemen 1-5 dan

5-3

1 1

1 1

5 5

5 5

1 516 1612 12

25 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

16 165 12 1225 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

elemen

Fx U

Fy VEAK

Fx U

Fy V

5 5

5 5

3 3

3 3

5 3

16 1612 1225 25 25 25

9 912 12

25 25 25 2516 165 12 12

25 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

elemen

Fx U

Fy VEAKFx U

Fy V


39/104


5-4

2 2

2 2

5 5

5 5

2 516 1612 12

25 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

16 165 12 1225 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

elemen

Fx U

Fy VEAK

Fx U

Fy V

5 5

5 5

4 4

4 4

5 4

16 1612 1225 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

16 165 12 1225 25 25 25

9 912 1225 25 25 25

elemen

Fx U

Fy VEAKFx U

Fy V


40/104

Persamaan Kekakuan Elemen 2-3

2 2

2 2

3 3

3 3

2 3

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 05

0 0 0 0

elemen

Fx U

Fy VEAK

Fx U

Fy V


41/104


4-3

1 1

1 1

2 2

2 2

1 2

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 05

0 1 0 1

elemen

Fx U

Fy VEAK

Fx U

Fy V

4 4

4 4

3 3

3 3

4 3

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 05

0 1 0 1

elemen

Fx U

Fy VEAK

Fx U

Fy V

P K k k


42/104

Persamaan Kekakuan

GabunganDalam hal ini, U

1

= V1

= U4

= V4

=0

2

2

3

3

5

5

0.253 0.096 0.125 0 0.128 0.096

0.096 0.239 0 0 0.096 0.072

0.125 0 0.253 0.096 0.128 0.096

0 0 0.096 0.239 0.096 0.072

0.128 0.096 0.128 0.096 0.512 0

0.096 0.072 0.096 0

Fx

Fy

Fx EA

K Fy L

Fx

Fy

2

2

3

3

5

5.072 0 0.288

U

V

U

V

U

V


43/104

Relasi Invers

2

2

3

3

5

5

11.149 2.636 7.845 1.855 3.906 0.9062.636 5.549 1.855 0.439 0 1.017

7.845 1.855 11.149 2.636 3.906 0.9061

1.855 0.439 2.636 5.549 0 1.017

3.906 0 3.906 0 3.906 0

0.906 1.017 0.906 1.017 0 4

UV

U

V EA

U

V

2

2

3

3

5

5

00

500

0

0

.585 0

0.001961

0.000464

0.002787

0.000659

0.000977

0.000227

U

V

U

V

U

V


44/104

Gaya Dalam pada Masing- Masing Elemen

1

1

2

2

U

VEAN C S C S

UL

V


45/104

Gaya Dalam pada Masing- Masing

Elemen

6

1 2

0.0019612 10 10 1 154.667 ( )

0.0004646

xN kN tarik

6

2 3

0.001961

0.0004642 10 1 1 0 1 0 206.5 ( )

0.0027878

0.000659

xN kN tarik

6

4 3

0.0027872 10 1

0 1 219.667 ( )0.0006596

x

N kN tekan

6

1 5

0.0009772 10 10.8 0.6 367.12 ( )

0.0002275

xN kN tarik


46/104

Gaya Dalam pada Masing- Masing

Elemen

6

2 5

0.001961

0.0004642 10 10.8 0.6 0.8 0.6 258 ( )

0.0009775

0.000227

xN kN tekan

6

5 3

0.000977

0.0002272 10 10.8 0.6 0.8 0.6 366.56 ( )

0.0027875

0.000659

xN kN tarik

6

5 4

0.0009772 10 10.8 0.6 258.16 ( )

0.0002275

xN kN tekan


47/104

Keseimbangan di Tiap Titik Simpul

2 3 5 3

5 3 4 3

0

cos37 500 0

206.5 (366.56 0.798) 500 0.98 0

0

sin 37 0(366.67 0.602) 219.667 1 0

Fx

N N

OK

Fy

N NOK

2 3 2 5

2 5 2 1

0

cos37 0206.5 (258 0.798) 0.45 0

0

sin 37 0

(258 0.602) 154.667 0.6 0

Fx

N NOK

Fy

N N

OK


48/104


5 3 2 5 5 4 1 5

5 3 2 5 5 4 1 5

0

cos37 cos37 cos37 cos37 0

(366.56 0.798) (258 0.798) (258.16 0.798) (367.12 0.798) 0.57 0

0

sin 37 sin 37 sin 37 sin 37 0

(366.56 0.602) (258 0.602) (258.16 0.602)

Fx

N N N N

OK

Fy

N N N N

(367.12 0.602) 0.24 0 OK


49/104


1 1 5

1 1 5

1

1 1 2 1 5

1 1 2 1 5

1

0

cos 37 0

cos 37

293.195

0

sin 37 0

sin 37

375.605

Fx

Rx N

Rx N

Rx kN

Fy

Ry N NRy N N

Ry kN

4 5 4

4 5 4

4

4 5 4

4 5 4

4

0

cos 37 0

cos 37

206.176

0

sin 37 0

sin 37

155.365

Fx

Rx N

Rx NRx kN

Fy

Ry N

Ry N

Ry kN


50/104


51/104

Soal.3

Rangka Batang


52/104


53/104

Koordinat Titik Nodal

Elemen Dari Nodal Ke Nodal

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 6

5 5 6

6 1 5

7 2 5

82 6

9 3 5

10 3 6


54/104

Kekakuan Elemen

Rumus:

22

22

22

22

][

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

L

EAk

Keterangan:

c = cosinus

cs = (cos).(sin)

S = sinus

Dengan sudut yang digunakan adalah besarnya sumbu lokal terhadap

global yaitu


55/104

Kekakuan Elemen

Elemen Nodal cos sin cos^2/L sin^2/L (Cos)(sin)/L L A

1 1-2 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

2 2-3 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

3 3-4 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

4 4-6 143.130 -0.800 0.600 0.128 0.072 -0.096 5.000 1.000

5 5-6 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

6 1-5 36.870 0.800 0.600 0.128 0.072 0.096 5.000 1.000

7 2-5 90.000 0.000 1.000 0.000 0.333 0.000 3.000 1.000

8 2-6 36.870 0.800 0.600 0.128 0.072 0.096 5.000 1.000

9 3-5 143.130 -0.800 0.600 0.128 0.072 -0.096 5.000 1.000

10 3-6 90.000 0.000 1.000 0.000 0.333 0.000 3.000 1.000


56/104

Kekakuan Elemen 1

1

1

2

2

1

61

2

2

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

1

1

2

2

1

6 1

2

2

0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

2 10 0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

xf U

Vf


57/104

Kekakuan Elemen 2

3

3

2 2

62 2

3

3

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

3

3

2 2

62 2

3

3

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 040 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f Uf V


58/104

Kekakuan Elemen 3

4

4

3 3

63 3

4

4

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

4

4

3 3

3 6 3

4

4

0.25 0 0.25 0

0 0 0 02 10

0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f Vf U

f V


59/104

Kekakuan Elemen 4

4

4

6

6

4

64

6

6

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf

4

4

6

6

4

46

6

6

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

2 10 0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf


60/104

Kekakuan Elemen 5

6

5 5

65 5

6 6

6

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

6

5 5

5 6 5

6 6

6

0.25 0 0.25 0

0 0 0 02 10

0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V


61/104

Kekakuan Elemen 6

5

5

1 1

61 1

5

5

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

5

5

1 1

1 6 1

5

5

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

2 10 0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V


62/104

Kekakuan Elemen 7

2

2

5

5

2

62

5

5

0 0 0 0

0 1 0 12 10

0 0 0 04

0 1 0 1

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

2

2

5

5

2

6 2

5

5

0 0 0 0

0 0.333 0 0.3332 100 0 0 0

0 0.333 0 0.333

X

Y

X

Y

f U

fV

f U

Vf


63/104

Kekakuan Elemen 8

2

2

6

6

2

62

6

6

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf

2

2

6

6

2

26

6

6

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.0722 100.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf


64/104

Kekakuan Elemen 9

3

3

5

5

3

63

5

5

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

3

3

5

5

3

6 3

5

5

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.0722 10

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf


65/104

Kekakuan Elemen 10

6

3 3

63 3

6 6

6

0 0 0 0

0 1 0 12 10

0 0 0 03

0 1 0 1

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

6

3 3

3 6 3

6 6

6

0 0 0 0

0 0.333 0 0.3332 100 0 0 0

0 0.333 0 0.333

X

Y

X

Y

f U

f Vf U

f V


66/104

Kekakuan Struktur

Kekakuan struktur diperoleh dengan

menjumlah seluruh matriks-matriks elemen

yang memiliki baris dan kolom matriks yang

sama.Sehingga akan dihasilkan kekakuan

struktur sbb:

P k k k t kt di l h d i


67/104

Persamaan kekakuan struktur diperoleh dari

gabungan persamaan kekakuan elemen :

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

6

0.378 0.096 0.25 0 0 0 0 0 0.128 0.096 0 0

0.096 0.072 0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0

0.25 0 0.628 0.096 0.25 0 0 0 0 0 0.128 0.096

0 0 0.096 0.405 0

2 10

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

F

F

F

F

F

Fx

F

F

F

F

F

F

0 0 0 0 0.333 0.096 0.072

0 0 0.25 0 0.628 0.096 0.25 0 0.128 0.096 0 0

0 0 0 0 0.096 0.405 0 0 0.096 0.072 0 0.333

0 0 0 0 0.25 0 0.378 0.096 0 0 0.128 0.096

0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072

0.128 0.096 0 0 0.128 0.096 0 0 0.506 0 0.25 0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

.096 0.072 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0.477 0 0

0 0 0.128 0.096 0 0 0.128 0.096 0.25 0 0.506 0

0 0 0.096 0.072 0 0.333 0.096 0.096 0 0 0 0.477

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V



68/104


04411 VUVUPersamaan kekakuan struktur dengan urutan d.k. nol dibawah ini :

2

2

3

3

5

5

6

6

1

1

4

4

6

0.628 0.096 0.25 0 0 0 0.128 0.096 0.25 0 0 0

0.096 0.405 0 0 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0

0.25 0 0.628 0.096 0.128 0.096 0 0 0 0 0.25 0

0 0 0.

2 10

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

F

F

F

F

F

F

xF

F

F

F

F

F

096 0.405 0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0

0 0 0.128 0.096 0.506 0 0.25 0 0.128 0.096 0 0

0 0.333 0.096 0.072 0 0.477 0 0 0.096 0.072 0 0

0.128 0.096 0 0 0.25 0 0.506 0 0 0 0.128 0.096

0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0.477 0 0 0.096 0.096

0.25 0 0 0 0.1

2

2

3

3

5

5

6

6

1

1

4

4

028 0.096 0 0 0.378 0.096 0 0

00 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072 0 0

00 0 0.25 0 0 0 0.128 0.096 0 0 0.378 0.096

00 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V



69/104


6

0 0.628 0.096 0.25 0 0 0 0.128 0.096

0 0.096 0.405 0 0 0 0.333 0.096 0.072

0 0.25 0 0.628 0.096 0.128 0.096 0 0

0 0 0 0.096 0.405 0.096 0.072 0 0.333=2 10

50 0 0 0.128 0.096 0.506 0 0.25 0

500 0

100

500

x

2

2

3

3

5

5

5

6

0.333 0.096 0.072 0 0.477 0 0

0.128 0.096 0 0 0.25 0 0.506 0

0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0.477

U

V

U

V

U

V

U

V

Relasi invers memberikan peralihan nodal sbb:2

2

3

3 -6

5

5

5

6

2.5974 -0.8674 1.4026 0.9104 0.5628 -0.7504 0.7705 1.0274

-0.8674 12.8226 -0.9104 7.6114 -0.7684 10.2838 1.8337 7.0746

1.4026 -0.9104 2.5974 0.8674 0.7705 -1.0274 0.5628 0.7

=2 10

U

V

U

Vx

U

VU

V

504

0.9104 7.6114 0.8674 12.8226 -1.8337 7.0746 0.7684 10.2838

0.5628 -0.7684 0.7705 -1.8337 3.3304 -0.9683 1.6420 -1.2829

-0.7504 10.2838 -1.0274 7.0746 -0.9683 10.5503 1.2829 6.34010.7705 1.8337 0.5628 0.7684 1.6420 1.2829 3.3

-6

0 -89.6

0 -8457.4

0 156.3

0 -8510.6 = 2 10

50 1123.3

500 -8268.5304 0.9683 100 -874.6

1.0274 7.0746 0.7504 10.2838 -1.2829 6.3401 6.3401 10.5503 500 -8284.2

x


70/104

Persamaan Gaya Dalam AksialJika sudah mengetahui peralihan nodal untukelemen rangka baik diketahui maupun dihitung,gaya dalam aksial adalah konstan sepanjangelemen, dan dapat diperoleh secara langsung.

j

j

i

i

ji

V

U

VU

SCSCL

EAN


71/104

Maka,

66

1 2

6

2 3

0

02 10 11 0 1 0 2 10

89,64

8457, 4

22,489,6

8457, 42 10 11 0 1 0

156,34

8510,6

61, 475

x xN x

kN

x xN

kN


72/104

6

6

3 4

6

4 6

156,3

8510,62 10 11 0 1 0 2 10

04

0

39,075

0

02 10 10,8 0,6 0,8 0,6

874,65

8284,2854,168

x x

N x

kN

x xN

kN


73/104

6

5 6

6

1 5

1123,3

8268,52 10 1

1 0 1 0 874,64

8284,2

499,475

0

02 10 10,8 0,6 0,8 0,6

1123,35

8268,5

812,492

x x

N

kN

x xN

kN

89 6


74/104

6

2 5

6

2 6

89,6

8457,42 10 10 1 0 1

1123,33

8268,5

62,9667

89,6

8457,42 10 10,8 0,6 0,8 0,6

874,65

8284,2

104.816

x xN

kN

x xN

kN


75/104

6

3 5

6

3 6

156,3

8510,62 10 10,8 0,6 0,8 0,6

1123,35

8268,5

125,668

156,3

8510,62 10 10 1 0 1

874,63

8284,2

75, 4667

x x

N

kN

x xN

kN


76/104

Reaksi perletakan :

1

1

4

4

6 -6

-89.6

-8457.4

0.25 0 0 0 0.125 0.096 0 0 156.3

0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 -8510.6 2 10 2 100 0 0.25 0 0 0 0.128 0.096 1123.3

0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 -8268.5

-874.6

-8284.2

X

Y

X

Y

R

Rx x

R

R

672.3986487.5000

722.3986

512.5000

Sehingga didapatkan:

Rx1 = 672,3986 kN

Ry1 = 487,5 kNRx4 = -722,3986 kN

Ry4 = 512,5 kN


77/104

Kontrol Gaya

0

500 500 487.5 512.5 0

1000 1000 0

0 0 OK

V

0

100 50 722.3986 672.3986 0

50 50 0

0 0 OK

H


78/104


79/104

ANALISA STRUKTUR RANGKA

BATANG DENGAN METODE

MATRIKS

KELOMPOK 2:

1.FIRDAUSI HANDAYANI

2.FITRIYANI

3.GIOVANO MARTLAND4.INDAH PRASETYA RINI

S l


80/104

Soal

S l


81/104

Soal

K di t Titik N d l


82/104

Koordinat Titik Nodal

Elemen Dari Nodal Ke Nodal

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 65 5 6

6 1 5

7 2 5

8 2 6

9 3 5

10 5 6

1-2

2-3

3-4

4-6

5-6

1-5

2-5

2-6

3-5

3-6

K k k El


83/104

Kekakuan Elemen

Rumus:

22

22

22

22

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

L

EAk

Keterangan:

c = cosinus

cs = cos x sin

S = sinus

Dengan sudut yang digunakan adalah besarnya sumbu lokal terhadap

global yaitu

K k k El


84/104

Kekakuan Elemen

Elemen Nodal cos sin cos^2/L sin^2/L cossin/L L A

1 1-2 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

2 2-3 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

3 3-4 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

4 4-6 143.130 -0.800 0.600 0.128 0.072 -0.096 5.000 1.000

5 5-6 0.000 1.000 0.000 0.250 0.000 0.000 4.000 1.000

6 1-5 36.870 0.800 0.600 0.128 0.072 0.096 5.000 1.000

7 2-5 90.000 0.000 1.000 0.000 0.333 0.000 3.000 1.000

8 2-6 36.870 0.800 0.600 0.128 0.072 0.096 5.000 1.000

9 3-5 143.130 -0.800 0.600 0.128 0.072 -0.096 5.000 1.000

10 3-6 90.000 0.000 1.000 0.000 0.333 0.000 3.000 1.000

K k k El 1


85/104

Kekakuan Elemen 1

1

1

2

2

1

61

2

2

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

1

1

2

2

1

6 1

2

2

0.25 0 0.25 0

0 0 0 02 10

0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f Vx

f U

Vf

K k k El 2


86/104

Kekakuan Elemen 2

3

3

2 2

62 2

3

3

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f Uf V

f U

f V

3

3

2 2

62 2

3

3

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 040 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

fU

f V

K k k El 3


87/104

Kekakuan Elemen 3

4

4

3 3

63 3

4

4

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

4

4

3 3

3 6 3

4

4

0.25 0 0.25 0

0 0 0 02 100.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f Vf U

f V

K k k El 4


88/104

Kekakuan Elemen 4

4

4

6

6

4

64

6

6

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf

4

4

6

6

4

46

6

6

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

2 10 0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf

K k k El 5


89/104

Kekakuan Elemen 5

6

5 5

65 5

6 6

6

1 0 1 0

0 0 0 02 10

1 0 1 04

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

6

5 5

5 6 5

6 6

6

0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

2 10 0.25 0 0.25 0

0 0 0 0

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

K k k El 6


90/104

Kekakuan Elemen 6

5

5

1 1

61 1

5

5

0.639 0.48 0.639 0.480.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f Uf V

f U

f V

5

5

1 1

1 6 1

5

5

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

2 10 0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

Kekak an Elemen 7


91/104

Kekakuan Elemen 7

2

2

5

5

2

62

5

5

0 0 0 0

0 1 0 12 10

0 0 0 04

0 1 0 1

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

2

2

5

5

2

6 2

5

5

0 0 0 0

0 0.333 0 0.3332 10

0 0 0 0

0 0.333 0 0.333

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

Kekakuan Elemen 8


92/104

Kekakuan Elemen 8

2

2

6

6

2

62

6

6

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f U

f V

Uf

Vf

2

2

6

6

2

26

6

6

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.0722 100.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f VUf

Vf

Kekakuan Elemen 9


93/104

Kekakuan Elemen 9

3

3

5

5

3

63

5

5

0.639 0.48 0.639 0.48

0.48 0.36 0.48 0.362 10

0.639 0.48 0.639 0.485

0.48 0.36 0.48 0.36

X

Y

X

Y

f Uf V

f U

Vf

3

3

5

5

3

6 3

5

5

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.0722 10

0.128 0.096 0.128 0.096

0.096 0.072 0.096 0.072

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

Vf

Kekakuan Elemen 10


94/104

Kekakuan Elemen 10

6

3 3

63 3

6 6

6

0 0 0 0

0 1 0 12 10

0 0 0 03

0 1 0 1

X

Y

X

Y

f U

f V

f U

f V

6

3 3

3 6 3

6 6

6

0 0 0 0

0 0.333 0 0.3332 100 0 0 0

0 0.333 0 0.333

X

Y

X

Y

f U

f Vf U

f V

Kekakuan Struktur


95/104

Kekakuan Struktur

Kekakuan struktur diperoleh denganmenjumlah seluruh matriks-matriks elemen

yang memiliki baris dan kolom matriks yang

sama.Contoh: cell dengan matriks baris u1 dan

kolom u1 akan menghasilkan matriks

kekakuan

= 0,25 (kekakuan elemen 1) + 0,128

(kekakuan elemen 6) = 0,378;

Sehingga akan dihasilkan kekakuan struktur

Persamaan kekakuan struktur diperoleh dari


96/104

p

gabungan persamaan kekakuan elemen :

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

6

0.378 0.096 0.25 0 0 0 0 0 0.128 0.096 0 0

0.096 0.072 0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0

0.25 0 0.628 0.096 0.25 0 0 0 0 0 0.128 0.096

0 0 0.096 0.405 0

2 10

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

F

F

F

F

F

F

xF

F

F

F

F

F

0 0 0 0 0.333 0.096 0.072

0 0 0.25 0 0.628 0.096 0.25 0 0.128 0.096 0 0

0 0 0 0 0.096 0.405 0 0 0.096 0.072 0 0.333

0 0 0 0 0.25 0 0.378 0.096 0 0 0.128 0.096

0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072

0.128 0.096 0 0 0.128 0.096 0 0 0.506 0 0.25 0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

.096 0.072 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0.477 0 0

0 0 0.128 0.096 0 0 0.128 0.096 0.25 0 0.506 0

0 0 0.096 0.072 0 0.333 0.096 0.096 0 0 0 0.477

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V



97/104

04411 VUVU

Persamaan kekakuan struktur dengan urutan d.k. nol dibawah ini :

2

2

3

3

5

5

6

6

1

1

4

4

6

0.628 0.096 0.25 0 0 0 0.128 0.096 0.25 0 0 0

0.096 0.405 0 0 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0

0.25 0 0.628 0.096 0.128 0.096 0 0 0 0 0.25 0

0 0 0.

2 10

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

F

F

F

F

F

F

xF

F

F

F

F

F

096 0.405 0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0

0 0 0.128 0.096 0.506 0 0.25 0 0.128 0.096 0 0

0 0.333 0.096 0.072 0 0.477 0 0 0.096 0.072 0 0

0.128 0.096 0 0 0.25 0 0.506 0 0 0 0.128 0.096

0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0.477 0 0 0.096 0.096

0.25 0 0 0 0.1

2

2

3

3

5

5

6

6

1

1

4

4

028 0.096 0 0 0.378 0.096 0 0

00 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072 0 0

00 0 0.25 0 0 0 0.128 0.096 0 0 0.378 0.096

00 0 0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0.096 0.072

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V

U

V



98/104

6

0 0.628 0.096 0.25 0 0 0 0.128 0.096

0 0.096 0.405 0 0 0 0.333 0.096 0.072

0 0.25 0 0.628 0.096 0.128 0.096 0 0

0 0 0 0.096 0.405 0.096 0.072 0 0.333=2 1050 0 0 0.128 0.096 0.506 0 0.25 0

500 0

100

500

x

2

2

3

3

5

5

5

6

0.333 0.096 0.072 0 0.477 0 0

0.128 0.096 0 0 0.25 0 0.506 0

0.096 0.072 0 0.333 0 0 0 0.477

U

V

U

V

U

V

U

V

Relasi invers memberikan peralihan nodal sbb:

6

0 2.5974 -0.8674 1.4026 0.9104 0.5628 -0.7504 0.7705 1.0274

0 -0.8674 12.8226 -0.9104 7.6114 -0.7684 10.2838 1.8337 7.0746

0 1.4026 -0.9104 2.5974 0.8674 0.7705 -1.0274 0.5628 0.

0 =2 1050

500

100

500

x

7504

0.9104 7.6114 0.8674 12.8226 -1.8337 7.0746 0.7684 10.28380.5628 -0.7684 0.7705 -1.8337 3.3304 -0.9683 1.6420 -1.2829

-0.7504 10.2838 -1.0274 7.0746 -0.9683 10.5503 1.2829 6.3401

0.7705 1.8337 0.5628 0.7684 1.6420 1.2829 3.

2

2

3

3

5

5

5

6

-89.6

-8457.4

156.3

-8510.6 =1123.3

-8268.5

3304 0.9683 -874.6

1.0274 7.0746 0.7504 10.2838 -1.2829 6.3401 6.3401 10.5503 -8284.2

U

V

U

V

U

V

U

V

Persamaan Gaya Dalam Aksial


99/104

Persamaan Gaya Dalam Aksial

Jika sudah mengetahui peralihan nodal

untuk elemen rangka baik diketahui maupun

dihitung, gaya dalam aksial adalah konstansepanjang elemen, dan dapat diperoleh

secara langsung.

j

j

i

i

ji

V

U

V

U

SCSCL

EAN

M k


100/104

Maka,

0

0

6,85103,156

01014

1102

6,8510

3,156

4,8457

6,89

01014

1102

4,8457

6,890

0

01014

1102

6

43

6

32

6

21

xxN

xxN

xxN

0


101/104

5,8268

3,1123

4,8457

6,89

10103

1102

5,8268

3,1123

0

0

6,08,06,08,05

1102

2,8284

6,874

5,8268

3,1123

01014

1102

2,8284

6,874

06,08,06,08,0

5

1102

6

52

6

51

6

65

6

64

xxN

xxN

xxN

xxN

6,89


102/104

2,8284

6,874

6,8510

3,156

10103

1102

5,8268

3,1123

6,8510

3,156

6,08,06,08,05

1102

2,8284

6,874

4,84576,08,06,08,0

5

1102

6

63

6

53

6

62

xxN

xx

N

xxN


103/104

Reaksi perletakan :

1

1

2

2

-89.6

-8457.4

0.25 0 0 0 0.125 0.096 0 0 156.3 672

0 0 0 0 0.096 0.072 0 0 -8510.6

0 0 0.25 0 0 0 0.128 0.096 1123.3

0 0 0 0 0 0 0.096 0.072 -8268.5

-874.6

-8284.2

X

Y

X

Y

R

R

R

R

.3986

487.5000

722.3986

512.5000

0

500 500 487.5 512.5 0

1000 1000 00 0 OK

V

0

100 50 722.3986 672.3986 0

50 50 0

0 0 OK

H


104/104

(rangka batang kuliah 3) b

Documents