buku ajar rangka batang

5/28/2018 Buku Ajar Rangka Batang

1/42

1

RANCANGAN BUKU AJAR

MATA KULIAH : ANALISA STRUKTUR 1

SKS : 3 SKS

BAHASAN : TINJAUAN MATA KULIAH

1. Deskripsi Singkat

Mata kuliah Analisa Struktur 1 merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa

program strata 1 Teknik Sipil di semester 3. Mata kuliah ini mencakup penjelasan

tentang cara menghitung gaya dalam, garis pengaruh gaya dalam dan lendutan

untuk balok dan rangka batang. Gaya dalam, lendutan merupakan fenomena umumkeseimbangan benda dalam merespon beban luar yang bekerja padanya. Teori

balok dan rangka batang merupakan teori struktur sederhana yang banyak

digunakan dalam perencanaan struktur bangunan teknik sipil, disamping merupakan

dasar teori mata kuliah analisa struktur selanjutannya maupun mata kuliah terapan

seperti struktur baja, beton bertulang dan kayu. Penguasaan mahasiswa pada mata

kuliah ini akan sangat membantu dalam penguasaan mata kuliah analisa struktur

lanjutan, mata kuliah yang berhubungan dan juga bermanfaat langsung saat terjun

kedunia pekerjaan kesipilan.

2. Relevansi (Kegunaan)

Dalam perencanaan struktur jembatan, struktur rangka atap, balok gedung

bertingkat, gaya dalam, lendutan merupakan hal yang menentukan dimensi struktur.

Dimensi terlalu kecil akan memberikan tegangan yang melampaui kemampuan

material dan lendutan melampaui lendutan batas peraturan. Dimensi terlalu besar

akan over design dan mahal. Penguasaan mahasiswa akan teori menghitung gaya

dalam, lendutan balok dan rangka batang akan sangat berguna bagi seorang teknik

sipil dalam merencana bangunan yang ekonomis dan kuat.

3. Standar Kopetensi

Mata kuliah ini mendukung pencapaian kompetensi lulusan dalam perencanaanstruktur rangka atap, struktur jembatan rangka dan struktur balok jembatan maupun

bangunan gedung. Dukungan menekankan pada perhitungan gaya dalam dan

deformasi struktur akibat beban-beban yang bergerak maupun tidak bergerak.

4. Kopetensi Dasar (Tujuan Instruksional Umum)

Setelah menempuh perkuliahan ini :


2/42

2

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya dalam

rangka batang dengan metoda Keseimbangan titik kumpul, Cremona, Ritter

dan Culman.

Mahasiswa mampu menghitung garis pengaruh gaya dalam balok dan rangka

batang akibat pengaruh beban berjalan.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung perpindahan

titik simpul rangka batang dengan cara Williot dan usaha virtuil.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung lendutan balok

dengan metoda analitis dan metoda luasan bidang momen.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori energi regangan batang tertarik, benda

tergeser, balok terlentur, benda dengan beban kejut, teorema Castigliano,

Teorema Betti dan teorema Maxwell dan dapat menghitung lendutan balok

maupun rangka batang dengan teorema Castigliano, Betti dan Maxwell.

5. Indikator

Indikator keberhasilan mahasiswa dalam setiap bahasan adalah mampu menghitung

benar untuk kasus-kasus yang diberikan dengan prosentase mahasiswa menghitung

benar mencapai 85 %. Indikator kemampauan meliputi :

Mampu menghitung gaya batang dengan cara keseimbangan titik kumpul,

Cremona, Ritter maupun Culman secara benar untuk persoalan atau kasus

yang diberikan.

Mampu menghitung secara benar garis pengaruh gaya dalam balok dan

rangka batang akibat beban berjalan dari kasus yang diberikan.

Mampu menghitung secara benar perpindahan titik simpul persoalan rangka

batang yang diberikan dengan cara Williot dan usaha virtuil.

Mampu menghitung secara benar lendutan balok tertumpu sederhana, balok

kantilever dan balok beroverstek dengan cara analitis maupun metoda luasan

bidang momen.

Mampu menghitung secara benar lendutan balok, portal sederhana, rangkabatang dengan menggunakan teorema Castigliano dan Maxwell dari kasus

yang diberikan.

POKOK BAHASAN I : Gaya dalam rangka batang

1.1 SUB POKOK BAHASAN : Keseimbangan titik kumpul


3/42

3

1.1.1 Pendahuluan

1.1.1.1 Deskripsi singkat

Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul, formulasi

indikator pembedaan jenis rangka batang statis tertentu dan tak tertentu.

1.1.1.2 Relevansi

Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam

perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.

1.1.1.3.1 Standar kompetensi

Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan keseimbangan benda dan

titik simpul rangka batang.

1.1.1.3.2 Kompetensi dasar

Mahasiswa menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya batang dengan cara

keseimbangan titik simpul.

1.1.2 Penyajian

1.1.2.1 Keseimbangan Titik Kumpul

PRINSIP KESEIMBANGAN

Dalam benda bidang, syarat seimbang adalah :

Kalau semua gaya yangbekerja pada benda baik bebanmaupun reaksi perletakanmelalui 1 titik syarat seimbangcukup :

o =0Kx o =0Ky (1)

Kalau gaya beban dan reaksiperletakan tidak melalui 1 titik

syarat seimbang :o =0Kx o =0Ky o =0Mz (2)

P1

P2

P3

Pi

Pn

R1

R2 R3

Gambar1:Bendabidangseimbang


4/42

4

RANGKA BATANG

Struktur rangka batang adalah struktur yang tersusun oleh kumpulan elemen batang

yang tersambung satu sama lain secara sendi. Gaya dalam yang ada hanya gaya

normal yaitu gaya yang tegak lurus penampang dan sejajar dengan sumbu batang.

Gaya-gaya batang dan beban luar yang bekerja pada 1 titik simpul dalam keadaan

seimbang. Persamaan keseimbangan yang dimiliki 1 titik kumpul ada 2. Kalau

jumlah titik simpul rangka batang K, jumlah persamaan keseimbangan yang dimiliki

adalah 2K. Jumlah anu yang dicari adalah gaya batang sebanyak batang S dan

reaksi perletakan sebanyak R. Kalau jumlah anu yang dicari sama dengan jumlah

persamaan keseimbangan yang ada dikatakan rangka batang adalah Rangka

Batang Statis Tertentu.

S + R = 2 K Rangka Batang Statis Tertentu

Kalau jumlah anu yang dicari lebih banyak dari jumlah persamaan keseimbangan

yang ada, dikatakan rangka batang adalah Rangka Batang Statis Tak Tertentu.

S + R > 2 K Rangka Batang Statis Tak Tertentu.

Terdapat beberapa cara untuk mencari gaya batang Rangka Stastis Tertentu :

Keseimbangan Titik Simpul Cara Cremona Cara Ritter Cara Culman

KESEIMBANGAN TITIK SIMPUL

Banyak persamaan keseimbangan yang dimiliki 1 titik simpul adalah 2. Maka banyakgaya batang yang akan dipecahkan maksimum harus 2. Dengan menguraikan gaya-

gaya batang baik yang sudah diketahui harganya atau yang belum dan gaya luar

yang bekerja menjadi 2 gaya yang sejajar sumbu X dan sumbu Y, akan diperoleh 2

persamaan dengan 2 anu gaya batang yang dicari. Dengan menggunakan eliminasi

Gauss kedua gaya batang akan didapat.

Contoh :

4M 4M 4M 4M

4M

20T

D

A

B

2

11

I

1 3

4 5 6 7

8 9 10 12 13 14 15

C E G

F H

RAV

RAH

RB

Gambar 2 : Rangka Batang Bidang


5/42

5

Mencari Reaksi Perletakan :

=0Ky RAV 20 = 0 RAV = 20 ton

=0MzA - RBx4 + 20x8 = 0 RB = 40 ton (3)

=0Kx RB RAH = 0 RAH = 40 tonDimulai dari titik simpul yang jumlah anu maksimum 2. Yang memenuhi titik simpul B

dan I. Dicoba dari titik simpul B :

=0Kx S4 + RB = 0 S4 = - 40 ton

=0Ky S8 + 0 = 0 S8 = 0 ton

Catatan : Permisalan semua gaya batang yang belum diketahui besar dan arah

adalah tarik, dengan arah meninggalkan titik simpul. Apabila dari hasil perhitungan

didapat harga negatip, berarti arah gaya batang yang bersangkutan berlawanandengan arah permisalan semula. Dengan demikian batang tersebut adalah tekan.

Simpul A :

=0Ky RAV - S8 - S9 sin = 0 20 - S9x 21 = 0 S9 = 20 2 ton

=0Kx - RAH + S1 + S9 cos = 0 S1 = 40 20 = 20 ton

Dengan cara yang sama diterapkan pada titik-titik simpul D, C, F, E, H, G dan I akan

didapat hasil analisis seperti tersebut pada tabel 1 :

Tabel 1 : Hasil Analisis Keseimbangan Titik Simpul

Batang Gaya Batang (ton) Batang Gaya Batang (ton)

S1 20 S9 20 2

S2 0 S10 - 20

S3 0 S11 20 2

S4 - 40 S12 0

S5 - 20 S13 0

S6 0 S14 0

S7 0 S15 0

S8 0


6/42

6

1.1.2.2 Latihan

Rangka batang pada gambar (2) : titik kerja gaya 20 ton berada di H

Tabel 2 : Gaya batang akibat beban 20 ton vertikal di H


S1 40 S9 20 2

S2 20 S10 - 20

S3 0 S11 20 2

S4 - 60 S12 - 20

S5 - 40 S13 20 2

S6 - 20 S14 0

S7 0 S15 0

S8 0

1.1.3. Penutup

1.1.3.1 Tes formatif

Tentukan gaya batang rangka batang gambar (2) ababila gaya 20 ton bekerja dititik I

dengan arah mendatar.

1.1.3.2 Umpan balik

Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua

titik simpul harus 0.

1.1.3.3 Tindak lanjut

Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang dengan

membuat soal latihan sendiri.

1.1.3.4 Rangkuman

Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan

keseimbangan dapat menghitung gaya dalam.


7/42

7

1.1.3.5 Kunci jawaban tes formatif

Tabel 3 : gaya batang akibat 20 ton horisontal di I


S1 0 S9 0

S2 0 S10 0

S3 0 S11 0

S4 20 S12 0

S5 20 S13 0

S6 20 S14 0

S7 20 S15 0

S8 0

1.2 SUB POKOK BAHASAN : Cara Cremona

1.2.1 Pendahuluan


Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul dengan cara

grafis pada rangka batang statis tertentu.

1.2.1.2 Relevansi

Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam

perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasahan keseimbangan benda dan titik

simpul rangka batang.


Mahasiswa mampu menghitung gaya batang dengan cara Cremona.

1.2.2 Penyajian

1.2.2.1 Cara Cremona


8/42

8

CREMONA

Cara Cremona adalah cara untuk menghitung reaksi perletakan dan gaya batang

secara grafis. Dalam mencari reaksi perletakan berpegang pada prinsip benda

seimbang bahwa resultante gaya luar dan reaksi perletakan harus sama dengan 0r

.

Sedang dalam mencari gaya batang berpegang pada prinsip titik simpul seimbangbahwa resultante gaya-gaya batang dan beban luar dititik simpul harus sama

dengan 0r

. Seluruh diagram keseimbangan vektor gaya dari reaksi perletakan,

beban luar hingga gaya-gaya batang di semua titik simpul dijadikan 1. Diagram

gabungan akan berupa 1 diagram gaya-gaya yang menutup. Analisis dapat

dilakukan dalam arah searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam.

Penataan arah reaksi perletakan juga harus sesuai dengan arah analisis yang

ditetapkan. Arah yang tidak konsisten akan menyebabkan diagram vektor tidak

menutup. Arah gaya reaksi yang sudah diketahui adalah RB. Ditentukan titik potong

RB dan beban 20 ton. Resultan RB dan gaya 20 ton akan melalui titik potong

4M 4M 4M 4M

4M

20T

D

A

B

2

11

I

1 3

4 5 6 7

8 9 10 12 13 14 15

C E G

F H

RAV

RAH

RB

4

+1

+910

5

+11

20T RB

RA

Gambar 3 : Rangka Batang Seimbang

(a) Garis-garis Kerja Gaya(b) Diagram Cremona

(a)

(b)


9/42

9

tersebut. Resultan antara resultan RB dan 20 ton dengan RA akan berupa vektor 0r

.

Hal ini hanya bisa dipenuhi apabila kedua vektor segaris kerja, sama besar dan

berlawanan arah. Dengan demikian arah gaya reaksi RA melalui A dan titik potong

RB dan 20 ton (F). Dengan mengambil arah searah jarum jam, diagram gaya reaksi

dan gaya-gaya batang disajikan dalam diagram Cremona berikut :

Gaya gaya batang yang tidak tersebut berharga 0. + menyatakan tarik dan

menyatakan tekan. Arah reaksi perletakan yang tergambar merupakan arah yang

benar.

Gaya-gaya batang dihitung berdasar besaran skala. Kalau disajikan dalam tabel

sesuai dengan tabel 1.

1.2.2.2 Latihan

Rangka batang pada gambar (2) : titik kerja gaya 20 ton berada di H Dikerjakan

secara grafis akan diperoleh gaya batang seperti pada tabel 2.

1.2.3. Penutup


Tentukan gaya batang rangka batang gambar (2) ababila gaya 20 ton bekerja dititik I

dengan arah mendatar dengan cara Cremona.

1.2.3.2 Umpan balik

Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua

titik simpul harus 0.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang cara Cremona

dengan membuat soal latihan sendiri.

1.2.3.4 Rangkuman

Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan

penerapan keseimbangan grafis dapat menghitung gaya dalam.


Hasil perhitungan dengancara Cremona sama seperti pada tabel 3.

2. POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh

2.1. SUB POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh Balok


10/42

10

2.1.1 Pendahuluan


Membahas gaya lintang dan momen suatu titik di balok yang besarnya dipengaruhi

oleh posisi beban berjalan.

2.1.1.2 Relevansi

Pengaruh beban berjalan pada gaya lintang dan momen pada balok merupakan

gambaran pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya lintang dan

momen jembatan balok.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban

bergerak pada jembatan balok.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya

lintang dan momen pada balok.

2.1.2. Penyajian

2.1.2.1. Garis Pengaruh Balok

Garis pengaruh gaya lintang dan

momen adalah grafik yangmenyajikan besar gaya lintang dan

momen suatu titik di balok akibat

pengaruh beban berjalan satu satuan

gaya.

Dengan menerapkan prinsip

keseimbangan balok atau bagian

balok, gaya lintang dan momen

suatu titik akan diperoleh.

Contoh : Menggambar garis

Pengaruh Gaya Lintang dan Momen

titik CGambar6:GarisPengaruhReaksiPerletakan

(a) Balokdenganbebanberjalan

(b) GarisPengaruhRA

(c) GarisPengaruhRB

(d) Potongankanan

0.6L

x

L

0.4LA

C

B

0.4LC

BDC

MC

0.6LA

MC

DC

1

1

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


11/42

11

=0MzB RAxL 1*(L - x) = 0 RA = 1 x/L

RA merupakan fungsi x pangkat 1, fungsi RA merupakan garis lurus seperti

tergambar (6.b)

=0MzA - RBxL + 1* x = 0 RB = x/L

RB juga merupakan fungsi x pangkat 1, fungsi RB merupakan garis lurus seperti

tergambar (6.c)

Kalau beban di kiri C, dikaji

keseimbangan potongan CB :

=0Ky DC= RB

Sesuai ketentuan gaya lintang

dinyatakan negatip. Dengan

demikian beban berjalan dari A

C, gaya lintang C = - RB.

=0MzB MC= RB*0.4 L

Sesuai ketentuan momen dinyata

kan positip.

Kalau beban dikanan C, dikaji keseimbangan potongan AC :

=0Ky DC= RA Sesuai ketentuan gaya lintang dinyatakan positip.

=0MzA MC= RA*0.6 L Sesuai ketentuan momen dinyata kan positip.

Gambar garis pengaruh gaya lintang dan momen di C dinyatakan dalam gambar (7).

2.1.2.2. Latihan

Garis pengaruh gaya lintang dan

momen untuk titik D ditengah

bentang disajikan pada gambar

(7.b).

0.6

0.4

_

+

+

0.24L

(a)

(b)

Gambar7a:GarisPengaruhGayaDalamdiC

(a) GarisPengaruhGayaLintang

(b) GarisPengaruhMomen

0.5

0.5

_

+

+

0.25L

(a)

(b)

Gambar7.b : Garis Pengaruh Gaya Dalam di D

(c) Garis Pengaruh Gaya Lintang(d) Garis Pengaruh Momen


12/42

12

2.1.3. Penutup


Tentukan garis pengaruh gaya lintang dan momen untuk titik E yang berjarak 0.2 L

dari tumpuan kiri balok gambar (6).

2.1.3.2 Umpan balik

Jumlah gaya lintang posistip dan negatip sama dengan 1. Besar momen ekstrim

sama dengan perkalian bentang kiri dan kanan dibagi bentang tottal.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis

pengaruh gaya lintang dan momen soal soal berikut :

Hitung dan gambar garis

pengaruh gaya lintang di C dan

D kedua balok berikut :

2.1.3.4 Rangkuman

Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya lintang dan momen akan

dapat digambar dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban.


0.6 L

x

L

0.4 LA

C

B

0.2 L

D

0.5 L

x

L

0.5 LA

C

B

0.2 L

D

02

0.8

_

+

+

0.16 L

(a)

(b)

(a) Garis Pengaruh Gaya Lintang(b) Garis Pengaruh Momen


13/42

13

2.2. SUB POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh Rangka Batang

Pendahuluan


Membahas gaya normal suatu batang pada rangka batang yang besarnyadipengaruhi oleh posisi beban berjalan.

2.2.1.2 Relevansi

Pengaruh beban berjalan pada gaya normal rangka batang merupakan gambaran

pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya dalam jembatan rangka

batang.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban

bergerak pada jembatan rangka batang.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya

normal pada rangka batang.

2.2.2. Penyajian

2.2.2.1. Garis Pengaruh Rangka Batang

Garis pengaruh pada rangka batang merupakan grafik yang menggambarkan besar

gaya normal suatu batang akibat pengaruh beban berjalan 1 satuan gaya. Untukmenghitung dan menggambar garis pengaruh gaya normal suatu batang

dipergunakan cara analisis Ritter.

2.2.2.2. Latihan

Sebagai contoh akan menghitung garis pengaruh gaya normal batang 2, 6 dan 12

rangka batang yang tercantum pada gambar (8), diambil potongan Ritter I I.

Untuk beban dikiri potongan, dikaji keseimbangan potongan kanan :

=0MzI - S2x4 RBx8 = 0 S2 = - 2 RB

=0MzD S6x4 RBx12 = 0 S6 = 3 RB

=0Ky S12xsin + RB = 0 S12 = -RB 2

Untuk beban dikanan potongan, dikaji keseimbangan potongan kiri :


14/42

14

=0MzI S2x4 + RAx8 = 0 S2 = - 2 RA

=0MzD - S6x4 + RAx4 = 0 S6 = RA

=0Ky - S12xsin + RA = 0 S12 = RA 2

(a)

4M 4M 4M 4M

4M

D

x

B

2

11

I

1 3

5 6 7 8

9 10 12 13 14

15

C E GF

HRA RB

I

I

Gambar8:PotonganRitterpadaRangkaBatang Bidang

(a)Rangkabatangdenganbebanberjalan

(b)GarisPengaruhRA

(c)GarisPengaruhRB

(d)Potongankiri

(e)Potongankanan

17

4

15 16

A J

(d)

4M 4M

HA

2

12

6

D

IRA

I

C

4M 4M

4M

J B

12

6

F

I

RB

(e)

E G2

6

(b)

(c)


15/42

15

Grafik garis pengaruh dinyatakan dalam gambar (9).

2.2.3. Penutup


Tentukan garis pengaruh gaya batang 3, 7, 14 rangka batang gambar (8).

2.2.3.2 Umpan balik

Garis pengaruh gaya batang atas umumnya negatip, gaya batang bawah umumnya

tarik dan gaya batang vertikal dan diagonal terjadi silang tanda.



pengaruh gaya batang soal soal berikut :

Hitung dan gambar garis pengaruh batang 10, 11 dan 13.

Hitung dan gambar garis pengaruh batang 1, 5 dan 10.

2.2.3.4 Rangkuman

Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya batang akan dapat digambar

dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban.


(a)

0.5V2

0.25V2

+

_

_

+

(b)

1

0.5

0.750.5

(c)

Gambar9:GarisPengaruhGayaNormalRangkaBatang

(a) GarisPengaruhS12

(b) GarisPengaruhS2

(c) GarisPengaruhS6


16/42

16

3. POKOK BAHASAN : Lendutan

3.1. SUB POKOK BAHASAN : Lendutan Rangka Batang

3.1.1. Pendahuluan


Membahas perpindahan titik-titik simpul rangka batang akibat beban luar yang

bekerja. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara analitis yaitu dengan usaha

virtuil atau dengan cara grafis yaitu cara Williot.

3.1.1.2 Relevansi

Lendutan rangka batang sesuai dengan lendutan rangka batang jembatan datu atap.

Lendutan yang besar akan dirasakan tidak aman oleh pemakai. Sehingga lendutan

terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. Materi ini akan diperlukan

bagi seorang sarjana teknik sipil dalam bertindak sebagai perencana struktur.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan rangka batang yang

berhubungan dengan beban, dimensi, bentang dan lendutan.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik lendutan rangka

batang.

(a)

0.5V2

0.25V2

+

_

_

+

(b)

1

0.5

0.750.5

(c)

Gambar9.b:GarisPengaruhGayaNormalRangkaBatang

(a)GarisPengaruhS14(b)GarisPengaruhS3

(c)GarisPengaruhS7


17/42

17

3.1.2. Penyajian

2.1.2.1. Lendutan Rangka batang

Ada beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya :

Cara Williot

Usaha Virtuil

Formulasi Castigliano

Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan Energi Regangan.

1.1 Cara Williot

Menggambarkan perpindahan suata titik pertemuan 2 buah batang, diawali dengan

menempatkan kedua batang pada posisi akhir yaitu batang mengikuti perpindahan

ujung yang lain. Dalam pergeseran batang tetap diposisikan sejajar arah semula.

Dengan demikian perpindahan ujung batang yang berhubungan dengan titik yang

akan digambarkan perpindahannya sama dengan perpindahan titik ujung yang lain.

Perubahan panjang digambarkan dengan arah sesuai arah batang. Kedua batang

yang ujung-ujung batangnya tidak bertemu dilingkarkan sampai kedua ujung

bertemu. Titik temu hdala posisi baru titik tersebut. Dalam batasan deformasi

Sangay kecil gerakan melingkar batang dapat didekati dengan gerakan tegak lurus.

Penggambaran diagram Williot hanya menampilkan perpindahan titik-titik

C

A B

C

+1 2

A

B

1

2

C

L1

L2

(a) (b) (c)

L1

L2

AC

BO

Gambar10:DiagramWilliot

(a) KondisiawalTitikC

(b) SketsaperpindahantitikC

(c) DiagramWilliotperpindahantitikC


18/42

18

sebelumnya, perubahan panjang dan gerakan tegak lurus. Semua perpindahan titik

simpul diukur dari titik awal O. Sketsa penggambaran perpindahan titik simpul dan

diagram Williot disajikan pada gambar (10).

Contoh 1 :

Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang pada

gambar (12) yang berbeban 20 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang tercantum

dalam gambar. Berdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang batang dihitung

dengan menggunakan humus Robert Hooke :

E= A

S=

L

L= dengan demikian

EA

SLL=

Dimana : L perubahan panjang batang

regangan normal

L panjang batang

S gaya batang (gaya normal penampang)

E modulus elastisitas

A luas penampang batang

Perhitungan perubahan panjang batang disajikan pada tebel 4.

Gambar11:PerpindahantitiksimpulRangkaBatangbeban20ton

(a) SketsaRangkaBatang

(b) DiagramWilliot

4M

D

A

B

2

1C

RAV

RAH

4M

3 4

5

RB

20t

20

20

20V20

0

O

D

C

L3

L4L1

B

(b)

(a)


19/42

19

Tabel 4 : Perubahan Panjang Batang

i Si (Kg) Li (cm) Ai (cm2) Li =EAi

SiLi(cm)

1 -20000 400 20 -0.2

2 0 400 20 0

3 20000V2 400V2 20 0.4

4 -20000 400 20 -0.2

5 0 400 20 0

Berdasar perubahan panjang batang yang dihasilkan dipergunakan untuk

menggambar diagram Williot seperti ditunjukkan pada gambar (11.b).

Contoh 2 :

Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang padagambar (12) yang berbeban beban 20 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang

tercantum dalam gambar. Berdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang

batang dihitung. Hasilnya disajikan pada tabel 5.

Gambar12:PerpindahantitiksimpulRangkaBatangbeban20ton

(a) RangkadanGayabatang

(b) DiagramWilliot

4M 4M

4M

20TDA B

21 3

4 5

C

RA RB

20

10V2 10V2

1010

(a)

O

D

C

B

D

B

C

L5

L31

L1

L2

L4

(b)


20/42

20

Tabel 5 : Perubahan Panjang Batang

i Si (Kg) Li (cm) Ai (cm2) Li =EAi

SiLi(cm)

1 -10000V2 400V2 20 -0.2

2 20000 400 20 0.2

3 -10000V2 400V2 20 -0.2

4 10000 400 20 0.1

5 10000 400 20 0.1

Persoalan berbeda dengan contoh 1 dimana titik kedua setelah titik sendi adalah titik

rol yang tidak mungkin pindah vertikal. Contoh 2 titik kedua adalah titik yang

dimungkinkan berpindah vertical. Untuk mengatasi kesulitan ini, titik kedua setelah

sendi dianggap tidak pindah vertical. Kemudian dilanjutkan penggambaran

perpindahan titik-titik yang lain. Setelah tergambar ternyata titik rol B pindah vertical.

Ini merupakan kesalahan akibat asums titik D tidak pindah vertical. Kesalahan harus

dikoreksi dengan cara rangka batang diputar secara kaku dengan titik pusat titik

sendi A. Besar pemutaran sebesar kesalahan yang terjadi. Hasil pemutaran kaku

akan memberikan perpindah titik kumpul tergambar sebagai (). Perpindahan yang

benar adalah dari () ke (). Dengan demikian titik rol B hanya perpindah horisontal

dari B ke B.

1.2 Usaha Virtuil

Benda yang seimbang kalau diberi beban/perpindahan maya, usaha yang dilakukan

oleh beban luar akan sama dengan energi regangan yang tersimpan dalam benda.

Rangka batang seperti pada gambar (13), diberi beban maya satu satuan gaya yang

sangat kecil di B dalam arah horisontal. Gaya ini akan menimbulkan gaya batang i.

Berdasar Hukum Usaha Virtuil akan diperoleh persamaan seperti berikut :

=

=n

i i

iii

BHEA

LS

1

*1

atau =

=n

i i

iii

BHEA

LS

1

Si adalah gaya batang yang ke i akibat beban luar

i adalah gaya batang yang ke i akibat beban satu satuan gaya di B dalam

arah horisontal.


21/42

21

Li adalah panjang batang yang ke i

Ai adalah luas penampang batang yang ke i

E adalah modulus elastisitas.

Tabel 6 : Perpindahan horizontal titik B BH

i Si (Kg) i Li (cm) Ai (cm2)EAi

iLiSi(cm)

1 -10000V2 0 400V2 20 0

2 20000 0 400 20 0

3 -10000V2 0 400V2 20 0

4 10000 1 400 20 0.1

5 10000 1 400 20 0.1

BH 0.2

Penempatan posisi dan arah beban maya disesuaikan dengan perpindahan titik dan

arah yang diinginkan. Apabila ternyata perpindahan yang dihitung berharga negatip

berarti arah perpindahan berlawanan denga arah beban maya.

3.1.3. Penutup


Tentukan perpindahan vertikal titik D rangka batang gambar (13).

0

4M 4M

4M

20TDA B

21 3

4 5

C

RA RB

20

10V2 10V2

1010

1

Gambar 13 : Beban maya di B dalam arah horisontal(a) Rangka, Gaya batang akibat beban luar.

(b) Gaya batang akibat beban satu satuan gaya di B arah horisontal

4M 4M

4M

DA B

21 3

4 5

C

RA RB

11

1

0 0

0

(a) (b)


22/42

22

3.1.3.2 Umpan balik

Pada rangka batang tertumpu sendi dan rol umumnya perpindahan vertikal titik-titik

simpul oleh beban gravitasi mempunyai arah kebawah, perpindahan horisontal titik-

titik simpul bawah mempunyai arah kekanan dan titik-titik simpul atas kekiri



pengaruh gaya batang soal soal berikut :

Hitung perpindahan vertikal titik C rangka batang gambar (13)

Hitung perpindahan horisontal titik D rangka batang gambar (11)

3.1.3.4 Rangkuman

Untuk menghitung perpindahan suatu titik lebih efisien mempergunakan cara uasah

virtuil dan kalau menghitung perpindahan seluruh titik simpul lebih cepatdipergunakan cara Williot.


Tabel 7 : Perpindahan vertikal titik D DV

i Si (Kg) i Li (cm) Ai (cm2)EAi

iLiSi(cm)

1 -10000V2 -0.5V2 400V2 20 0.1V2

2 20000 1 400 20 0.2

3 -10000V2 -0.5V2 400V2 20 0.1V2

4 10000 0.5 400 20 0.05

5 10000 0.5 400 20 0.05

DV 0.3 + 0.2V2

3.2. SUB POKOK BAHASAN : Lendutan Balok

3.2.1. Pendahuluan



23/42

23

Lendutan balok dapat dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda Luasan

Bidang Momen dan Teorema Castigliano. Cara analitis adalah cara yang

menggunakan integrasi persamaan diferensial turunan kedua lendutan. Metoda

Luasan Bidang momen mengembangkan persamaan turunan kedua lendutan

kearah lausan dan statis momen bidang momen. Dan Teorema Castigliano

merupakan hasil jabaran lanjut dari teori energi regangan beban satis.

3.2.1.2 Relevansi

Lendutan balok sesuai dengan lendutan balok jembatan, balok gedung bertingkat.

Lendutan terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. Lendutan yang

melampaui batas dapat dirasakan oleh pemakai, sehingga timbul kesan tidak aman.

Materi ini sangat diperlukan bagi seorang sarjana teknik sipil saat terjun dalam dunia

perencanaan struktur.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan balok yang berhubungandengan beban, dimensi , bentang dan lendutan.


Mahasiswa mampu menghitung lendutan balok statis tertentu.

3.2.2. Penyajian

3.2.2.1. Lendutan Balok

Ada beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya :

Cara Analitis Metoda Luasan Bidang Momen Formulasi Castigliano

Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan Beban Impact.

1 Cara Analitis

Untuk mencari lendutan balok dengan cara analitis, dilakukan integrasi persamaanhubungan lendutan dengan momen lapangan. Momen lapangan disesuaikan

momen lapangan balok yang dikaji yang sangat dipengaruhi oleh macam beban

yang bekerja. Integrasi turunan kedua fungsi lendutan akan terdapat 2 konstanta

integrasi untuk setiap momen lapangan. Dengan memanfaatkan harga batas,

konstanta integrasi akan dapat ditemukan.

C


24/42

24

1. Balok Dengan Beban Merata

Mx = RAx q x2

Mx = q L x q x2

z

x

EIMy ="

EIz y = - Mx

EIz y = q x2- q L x

EIz y = 1/6 q x3 qLx2+ C1

EIz y = 1/24 q x4

1/12 qLx3

+

C1x + C2

Dari lendutan yang terjadi terdapat 2 titik yang diketahui harganya, yaitu titik A dan B

:

x = 0 y = 0 memberikan harga C2= 0

x = L y = 0 memberikan harga C1=24

3qL

Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi :

EIz y =6

1q x3

4

1qLx2+

24

3qL

EIz y =24

1q x4

12

1qLx3+

24

3qL

x

Fungsi lendutan sudah definitip. Kalau harga E, Iz, q dan L diketahui fungsi lendutan

dan turunan dapat digambar. Dalam bangunan sipil lendutan umumnya sangat kecil

sehingga sudut yang dibentuk oleh garis singgung menyinggung balok melendut

dengan sumbu x juga sangat kecil. Tangen sudut yang sangat kecil akan sama

dengan sudutnya itu sendiri. Hanya sudut harus dalam radial.

A= sudut yang dibentuk oleh garis singgung di A terhadap sumbu x atau terhadap

arah sebelum dibebani. Ajuga menyatakan rotasi penampang atau titik di A.

L

X

Y

B

RA RB

q

A

x

A B

Gambar14:Balokdenganbebanmerata


25/42

25

A= y untuk x = 0z

AEI

qL

24

3

=

B= y untuk x = Lz

BEI

qL

24

3

=

Lendutan terbesar ymaxterjadi kalau y = 0 atau :

6

1q x3

4

1qLx2+

24

3qL= 0 ini merupakan polinom pangkat 3 yang

mempunyai akar x 3 buah. Karena kondisi simetris salah satu akar pasti x = L.

Kalau dimasukkan akan memenuhi persamaan. Harga lendutan didapat dengan

memasukkan x = L ke persamaan y :

zEI

qly

384

5 4

max =

2. Balok Dengan Beban Terpusat

L

PbRA =

L

PaRB =

Terdapat 2 momen lapangan :

Lapangan 1 : 0 < x < a

Mx = RAx = xL

Pb

EIz y = - Mx

EIz y = - xLPb

EIz y = - 2

2x

L

Pb+ C1

EIz y = - 3

6x

L

Pb+ C1x + C2

Lapangan 2 : a < x < L

Mx = xL

Pb- P (x-a)

EIz y = - Mx

EIz y = - xL

Pb+ P (x-a)

Gambar15:BalokdenganbebanterpusatL

X

Y

B

RA RB

P

A

x

ba

A B


26/42

26

EIz y = - 2

2x

L

Pb+ P (x-a)2+ C3

EIz y = - 3

6x

L

Pb+ + 1/6 P (x-a)3+ C3x + C4

Konstanta C1, C2, C3dan C4dapat dipecahkan dengan menggunakan 4 buah

persamaan harga batas :

x = 0 y = 0 (a)

x = a yL= yR (b)

yL = yR (c)

x = L y = 0 (d)

Dari harga batas (a) didapat C2 = 0

Dari harga batas (b) didapat C1 = C3

Dari harga batas (c) didapat C4= 0

Dari harga batas (d) didapat C3=L

bLPab

6

)( +

Dengan demikian fungsi turunan lendutan dan lendutan adalah :

Lapangan 1 : 0 < x < a

EIz y = - 2

2x

L

Pb+

L

bLPab

6

)( +

EIz y = -3

6 xL

Pb

+ L

bLPab

6

)( +x

Lapangan 2 : a < x < L

EIz y = - 2

2x

L

Pb+ P (x-a)2+

L

bLPab

6

)( +

EIz y = - 3

6x

L

Pb+ + 1/6 P (x-a)3+

L

bLPab

6

)( +x

Rotasi penampang di A dan B adalah :

A= y untuk x = 0

LEI

bLPab

z

A

6

)( +=

B= y untuk x = LLEI

aLPab

z

B6

)( +=

Lendutan terbesar untuk keadaan a = b = L akan terjadi di titik x = L :

zEI

PLy

48

3

max =


27/42

27

3. Balok Dengan Beban Momen diujung

L

MRA =

Mx = - x

L

M

EIz y = xL

M

EIz y = 2

2x

L

M+ C1

EIz y = 3

6x

L

M+ C1x + C2

Harga batas :

x = 0 y = 0 memberikan harga C2= 0

x = L y = 0 memberikan harga C1= -6

ML

Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi :

EIz y = 2

2x

L

M-

6

ML

EIz y = 3

6x

L

M-

6

MLx

Rotasi dan lendutan terbesar :

A= y untuk x = 0z

AEI

ML

6=

B= y untuk x = Lz

BEI

ML3

=

Ymax terjadi bila y = 0 atau :

2

2x

L

M-

6

ML= 0 didapat akar yang rasional x = 3

31 L

Y max = 2327

1ML

2 Metoda Luasan Bidang Momen

Akibat beban sebarang balok seperti pada gambar (17) melendut. Turunan keduafungsi lendutan adalah :

z

x

EI

My ="

Ditarik garis singgung melalui kedua ujung elemen sepanjang dx. Kedua garis

singgung akan membentuk sudut sebesar d dan akan memotong garis vertikal

Gambar16:BalokdenganbebanMomen

L

X

Y

B

RA RB

A

x

A BM


28/42

28

melalui B di 2 titik. Jarak kedua titik potong adalah df. Sudut yang dibentuk oleh garis

singgung dengan sumbu x dinyatakan oleh y. Selisih arah kedua garis singgung

atau sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung adalah dy. Dengan demikian :

dy' = y dx atau

dy =z

x

EI

M dx atau

d =z

x

EI

M dx

untuk perhitungan semi grafis

tanda minus tidak diperhatikan,

dengan demikian :

d =z

x

EI

Mdx

Kalau seluruh d dijumlah dari A

sampai B, maka hasil

penjumlahan akan sama dengan

sudut yang dibentuk oleh garis

singgung melalui A dan melalui B.

dxEI

MB

A z

x

AB =

Formulasi ini menyatakan bahwa sudut yang dibentuk oleh garis singgung memalui

A dan B sama dengan luas bidang momen dari A sampai B dibagi EIz.

Dengan mengacu pada asumsi bahwa lendutan sangat kecil, besar df = x datau :

df =z

x

EI

M x dx

Kalau seluruh df yang dihasilkan oleh garis singgung dari A sampai B dijumlah akan

sama dengan fB, yaitu panjang bagian garis vertical melalui B yang terpotong oleh

garis singgung melalui A dan melalui B :

xdxEI

Mf

B

A z

x

B =

Formulasi ini menyatakan bahwa fB sama dengan statis momen luasan bidangmomen antara A dan B terhadap B dibagi EIz.

Contoh 1 :

Balok dengan 2 buah beban terpusat dengan posisi simetris gambar (18). Reaksi di

A dan B sama dengan P. Momen di bawah beban sama dengan Pa. Bidang momen

berupa trapesium.

L

X

Y

B

q

A

xdx

Mx

df fB

BidangM

Gambar17:LendutandanBidangMomen


29/42

29

Menghitung rotasi penampang atau rotasi garis singgung di A dan B :

{ }LPaLaLEIz

fA 21

21 )2(

1+= )(

2aL

EIz

PaLfA =

L

fAB = )(

2aL

EIz

PaB = idem )(

2aL

EIz

PaA =

Menghitung Lendutan

maksimum :

Dikaji bagian A C. Berhubung

simetris titik tengah bentang C

mempunyai lendutan yang

maksimum.

ymaks= fA

sama dengan statis momen

luasan bidang momen antara A

C terhadap A dibagi EIz

)}

4

2)(2(

{1

21

322

21

aLaaLPa

aPaEIz

ymaks

+

+=

=

68

22 aL

EIz

Pay

maks

Luasan dan posisi titik berat bentuk-bentuk Bidang Momen :

1. Segi tiga

Gambar18:Balokdengan2bebanterpusat

(a)Bidangmomen

(b)Sketsalendutanditengahbentang

L

X

Y

B

fA fB

P

A

aa

A B

P

L2a

Pa Pa+Bid.M

ymax

ymax

C

fA

(a)

(b)A

*C

a b

)(31 aL+ )(

31 bL+

Luas= Lh21

h


30/42

30

2. Parabola 1

Luasan yang dinyatakan merupakan setengan bidang momen balok dengan

beban merata.

3. Parabola 2

Luasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan beban

merata.

4. Hiperbola

Luasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan bebanmerata.segitiga.

Contoh 2 :

Balok tertumpu sederhana sendi dan rol dengan beban merata segitiga seperti

gambar (19). Dengan menggunakan 3 persamaan keseimbangan diperoleh reaksi

perletakan :

RA = 1/6 qL RB = 1/3 qL.

*C

L

L85 L8

3

Luas= Lh32

h

q

h

L

*C

LL

Luas=1/3Lhq

h

L

*C

4/5L1/5L

Luas=1/4Lh

q


31/42

31

Dengan menggunakan perban

dingan seharga didapat :

qx= x/L qMx= 1/6 qL x 1/6 qx

3/L

Untuk mempermudah penyele

saian, bidang momen dipisah

menjadi 2 bentuk segitiga untuk RA

dan hiperbola untuk akibat q.

fB= (1/6 qL2L/2 1/3L 1/6 qL2L/4

1/5L)/EIz

fB=EIz

qL3607

4

dengan demikian A=EIz

qL

360

7 3

fA = (1/6 qL2L/2 2/3L 1/6 qL2L/4

4/5L)/EIz

fA=EIz

qL

360

8 4

B=EIz

qL

360

8 3

Posisi lendutan maksimum ymaks

berada dititik C yang ber garissinggung sejajar sumbu X. Misal posisi titik tersebut berjarak x dari titik A. Tentukan

M1 dan M2 dalam x :

M1 = 1/6 qL x

M2 = 1/6 qx3/L

Untuk seksi A C :

Sudut yang dibentuk garis singgung mealalui A dan C = A. Persamaan ini adalah :

1/6 qL x x 1/6 qx3/L x = 7/360 q L3 atau

x4 2 L2x2+ 7/15 L4= 0

x2 = L2 L2

15

71 x = 0.5193 L

ymaks= fA ymaks=

L

LqLLqLEIz

1)5193.0()5193.0(

1545

241

322

121

ymaks=EIz

qL4

00652.0

L

q

1/6qL2

1/6qL2

_

+M1

M2

fB

fA

ymaks

x(a)

(b)

(c)

Gambar19:Balokdenganbebanmeratasegitiga

(a)Sketsalendutan

(b)BidangmomenakibatRA

(c)Bidangmomenakibatq

A B


32/42

32

3. Teorema Castigliano

3.1. Energi Regangan dalam Tarikan

Btang ditarik secara statis artinya beban

berkembang secara bertahap tanpa

hentakan. Kondisi awal batang mempunyaipanjang L dan luas penampang A dengan

gaya tarik 0. Kondisi akhir panjang batang

berubah menjadi (L + ) dengan gaya tarik

P. Diamati kondisi antara :

Panjang batang (L+x) dengan beban Px.

Beban ditambar sebesar dPx dan batang

bertambah panjang sebesar dx. Dengan

adanya pertambahan panjang dx beban

bergerak dan melakukan usaha sebesar(Px+dPx)dx. dPx dan dx sangat

kecilmendekati 0, maka dPxdx diabaikan. Sehingga usaha saat penambahan beban

dPx adalah Pxdx. Atau :

dW = Pxdx. (4)

Material bersifat elastis linier, dengan mengacu rumus Robert Hooke :

x= E x padahal x= Px/A dan x= x/L, sehingga

Px = EAx/L (5)

Persamaan (5) masuk ke (4) diperoleh :

dW = EAx/L dx (6)

Kalau seluruh dU dari awal hingga akhir dijumlah, akan diperoleh total usaha :

xdxL

EAW =

0

atau 2

2

L

EAW=

Menurut Hukum Kekekalan Energi, usaha yang dilakukan beban akan berubah

menjadi Energi Regangan dalam benda. Energi regangan batang dinyatakandengan U, sehingg :

2

2

L

EAU= (7)

Formulasi energi regangan dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

L

x

dx

P

Px

dPx

Awal Antara Akhir

Gambar20:Batangditariksecarastatis


33/42

33

2

PU= dan

EA

LPU

2

2

= (8)

Energi regangan persatuan volume :

2

2

E

= 2

= dan E2

2

= (8)

3.2. Batang tertarik secara mendadak

Suatu beban berat W dijatuhkan setinggi h seperti gambar (21). Setelah menekan

platform, platform masih tersu turun hingga mencapai . Beban mealakukan usaha

sebesar : W(h+ ). Pada batang yang bertambah panjang tersimpan energi

regangan 2

2

L

EAU= . Menurut hukum kekekalan

energi usaha yang dilakukan beban sama dengan

energi yang tersimpan, sehingga diperoleh persamaan:

2

2

L

EA= W (h+ ) atau 2-

EA

WL2- h

EA

WL2= 0

MisalEA

WL dinyatakan sebagai St maka persamaan

menjadi

2- 2 St- 2 Sth = 0 diperoleh

= St+ hStSt 22+ (9)

Stadalah perubahan panjang kalau seandainya W bekerja secara statis.

Contoh : Memasukkan paku ke kayu dengan menggunakan Palu.

Paku diameter 4 mm panjang 5 cm dipukul dengan palu berat 0.30 Kg dengan tinngi

jatuh 30 cm. Berapa tegangan kerja paku?.

Jawab :

W = 0.30 Kg A = (0.4)2= 0.12566 cm2. L = 5 cm

E = 2.1 106Kg/cm2. h = 30 cm

St=EA

WL St= 5.684 10

-6 cm

L

h

Gambar21:Batangdengan

bebanimpact

W


34/42

34

= St+ hStSt 22+ = 0.01847 cm

= E /L = 7758.83 Kg/cm2. Ini merupakan tegangan yang terjadi akibat

beban impact palu. Bandingkan dengan tegangan yang terjadi kalau palu

dibebankan di pakau secara statis :

St=12566.0

3.0= 2.39 Kg/cm2.

Tegangan hancur kayu sekitar 4 kali tegangan ijin. Misal tegangan ijin kayu 150

Kg/cm2 maka tegangan hancur = 600 Kg/cm2. Kayu tidak kuat menahan tegangan

ujung paku sebesar 7758.83 Kg/cm2. Maka kayu akan hancur dan paku akan masuk

kedalam kayu.

3.3. Energi Regangan dalam Geseran

Benda seperti gambar (22) memikul gaya geser P secara statis. Pada kondisi beban

akhir benda berubah bentuk dengan kedua penampang bergeser relatip sebesar .

Analog penjabaran seperti pada pembebanan tarik statis, energi regangan pada

benda :

U =2

P (10)

Tinjau rumusan Robert Hooke untuk geser :

= G padahal =L

dan

A

P=

sehingga L

GAP= (11)

Persamaan (11) dimasukan ke persamaan (10) didapat energi regangan :

2

2

L

GAU= dan 2

2P

GA

LU= (12)

Kalau dibagi dengan volume AL akan diperoleh energi persatuan volume :

2

=

2

2

G= dan

G2

2= (13)

3.4 Energi Regangan Lentur

Berdasar metoda luasan bidang momen,

diperoleh :

LM

Gambar23:Kantileverdenganbeban

Momen

P

P

L

Gambar22:Bendadibebanigeser

secarastatis


35/42

35

EIz

ML=

Berdasar analogi pembebanan statis tarik, pada pembebanan statis momen

diperoleh energi regangan :

2MU= ,

EIzLMU

2

2= dan

LEIzU2

2= (14)

Dikaji balok melendut seprti gambar (24).

d= dy padahal dy = y dx, sehingga :

d= y dx atau d= dxEIz

Mx

Elemen dx yang semula lurus menjadi

melengkung dengan sudut lengkung kedua garis singgung ujung elemen = d.

Berdasar humus (13), energi remangan dalam eleven sepanjang dx adalah :

dU = dxEIz

Mx

2

2

Kalau energi regangan lentur seluruh elemen dijumlah, didapat :

=

=L

x

dxEIz

MxU

0

2

2 atau

=

=

L

x

dxdx

ydEIzU

0

2

2

2

2 (15)

Contoh : Lendutan oleh Momen Lentur dan Gaya Geser

Balok kantilever berpenampang empat

persegi panjang lebar b, tinggi h

dengan beban statis P diujung seperti

pada gambar (25). Dengan

menggunakan metoda luasan bidang

momen, lendutan ujung kantilever dapat

dihitung.

EIz

PL

3

3

= (16)

Persamaan (16) merupakan lendutan

hanya oleh momen lentur.

Untuk mendapatkan lendutan oleh gaya geser, dikaji elemen kecil panjang dx tinggi

dy dan lebar b. Energi yang tersimpan dalam elemen tersebut adalah dU :

x

Gambar24:BalokMelendut

dxd

L

P

P

(a)

(b)

(c)

PL

Gambar25:Kantileverdenganbebanterpusat

(a) Sketsabalokmelendut

(b) BidangGayaLintang

(c) BidangMomen


36/42

36

dU =G2

2b dx dy Distribusi tegangan geser pada lapis y : )

4(

2

22

yh

Iz

P=

Sehingga dU = bdxdyyh

GIz

P 222

2

2

)4

(8

. Persamaan ini menyatakan energi geser

yang tersimpan dalam elemen. Total energi regangan geser dalam balok adalah :

= bdxdyyh

GIz

PUG

222

2

2

)4

(8

didapatGIz

LhPUG

20

22

=

Kalau energi regangan momen lentur dan energi regangan geser dijumlah diadapat

Total energi regangan U :

GIz

LhP

EIz

LPU

206

2232

+= Untuk pembebanan statis U =2

P

Dengan demikian diperoleh persamaan :

2

P=

GIz

LhP

EIz

LP

206

2232

+ atau =GIz

PLh

EIz

PL

103

23

+ atau

=

+

G

E

L

h

EIz

PL2

23

10

31

3 Untuk

10

1

20

1

L

hdan = 0.25 diperoleh :

=

+ 5.2

100

1

10

31

3

3

EIz

PL= ( )0075.01

3

3

+EIz

PL

Karena lendutan akibat geser sangat kecil dibanding akibat momen lentur, untuk

perhitungan lendutan yang diperhitungkan hanya pengaruh momen lentur.

3.5. Beban Impact pada balok

Analogi pemecahan pembebanan impact gambar

(26) seperti pemecahan beban impact pada

batang tarik.

EIz

WLSt

48

3

=

St hdala lendutan dibawah beban seandai nya

beban bekerja secara status.

Persamaan energi adalah :

W(h+) = 2

3

24

L

EIz atau

L

P

Gambar26:BalokdibebaniP

(a)PembebananstatisP

(b)PembebananImpactW

L/2 L/2

h

W

(a)

(b)


37/42

37

02424

332 = h

EIz

WL

EIz

WL atau

0222 = hStSt

Merupakan persamaan kuadrat dalam dan mempunyai akar :

hStStSt 22++= sama seperti persamaan (9).

Contoh :

Pembebanan impact dengan h = 0.

Dengan menggunakan persamaan (9) didapat = 2 St. Difleksi sebesar ini

sepadan dengan pembebanan statis akibat P = StL

EIz2

483

atau P = 2 W.

3.6 . Persamaan Umum Energi Regangan

Benda memikul beban sebarang dalam

kondisi seimbang seperti gambar (27).

Benda mengalami deformasi dan titik-titik

dimana Pi bekerja mengalami perpin

dahan. Besarnya energi regangan tidak

terpengaruh oleh proses pembebanan

tetapi hanya tergantung pada kondisi akhir

pembebanan. Besar energi regangan :

U = P11+ P22+. + Pnn (17)

U merupakan fungsi P1, P2, . , Pn.

Untuk membuktikan energi regangan hanya

tergantung pada kondisi akhir pembebanan,

dikaji contoh seperti gambar (28) berikut :

Balok dengan beban P ditengah bentang

dan M di atas perletakan. Kalau dikaji

secara terpisah hanya akibat P seperti (b) :

EIz

PL

48

3

1 = EIz

PL

16

2

1 =

dan akibat M seperti (c) :

EIz

ML

16

2

2 = EIz

ML

32 =

L

P

Gambar28:BalokdibebaniP&M

(a)PembebananstatisBersamasama

(b)PembebananStatisP

(c)PembebananStatisM

L/2 L/2

1

(a)

(b)

M

P

1

L

2 (c)M

2

P1

P2

P3

P4

Pn1

2

34

n

Gambar27:Bendamemikulbeban


38/42

38

Kalau P dan M bekerja bersama secara statis seperti (a), energi regangan :

U = P (EIz

PL

48

3

+EIz

ML

16

2

) + M (EIz

PL

16

2

+EIz

ML

3)

U =EIz

LP

96

32

+EIz

PML

16

2

+EIz

LM

6

2

(18)

Dicoba M bekerja lebih dulu baru P bekerja kemudian :

Saat M bekerja U1= MEIz

ML

3=

EIz

LM

6

2

Saat P bekerja U2= MEIz

PL

16

2

+1/2 PEIz

PL

48

3

=EIz

PML

16

2

+EIz

LP

96

32

Sehingga total energi regangan : U =EIz

LM

6

2

+EIz

PML

16

2

+EIz

LP

96

32

sama seperti (18).

3.7. Teorema Castigliano Akibat penambahan beban sebesar dPn

energi remangan akan bertambah :

U + nn

dPP

U

(19)

Pembebanan dibalik dPnbekerja lebih dulu

baru P1, P2, . , Pnbekerja kemudian.

Energi regangan saat dPnbekerja :

dPndn. karena sangat kecil diabaikan.

Energi regangan saat P1, P2, . , Pnbekerja :

P11+ P22+. + Pnn+ dPnn

= U + dPnn (20)

Energi regangan tidak tergantung pada proses, dengan demikian persamaan (19)

sama dengan persamaan (20) dan diperoleh :

n

nP

U

= (21)

Rumusan ini menyatakan bahwa perpindahan suatu titik sama dengan turunan

parsial energi regangan ke gaya dititik itu bekerja.Rumusan tersebut ditemukan oleh seorang Italian

dari Torino yang bernama Castigliano (1875).

Contoh :

Balok kantilever dengan beban terpusat dan

momen diujung. Diminta menentukan dan

diujung kantilever.

P1

P2

P3

P4

Pn1

2

34

n

Gambar29:Bendamendapat

dPndn

L

P

M

Gambar30:Kantileverdenganbeban

terpusatdanmomen

x


39/42

39

Mx = - M P x

Menggunakan persamaan (14), energi regangan :

=L

dxEIz

MxU

0

2

2

dxxEIz

PxMdxP

Mx

EIz

Mx

P

U LL

=

=

=

00

)()(

EIz

ML

EIz

PL

23

23

+=

dxEIz

PxMdx

Mx

EIz

MxU LL

=

=

=

00

)1()(

EIz

ML

EIz

PL+=

2

2

3.8. Teorema Betti (1872)

Benda saat memikul beban P1

dan P2 mengalami deformasi.

Pada titik-titik terjadi

perpindahan 1, 2, 3, 4.

Pada saat memikul P3 dan

P4, pada titik-titik terjadi

perpindahan 1, 2, 3, 4.

Kalau P1, P2bekerja lebih dulu

baru P3, P4bekerja kemudian,

energi regang an :

U1= P11+ P22

U2= P11 + P22 + P33 + P44

Total energi regangan U = U1+ U2

U = P11+ P22+ P11 + P22 + P33 + P44 (22)

Kalau dibalik, P3, P4 bekerja lebih dulu baru P1, P2 bekerja kemudian, energi

regangan :

U1= P33 + P44

U2= P33+ P44+ P11+ P22

Total energi regangan U = U1+ U2

P1

P2

1

2

34

Gambar29:Bendamendapatmemikul2ragam

P3

P4

1

2

34


40/42

40

U = P33 + P44 + P33+ P44+ P11+ P22 (23)

Karena kondisi akhir sama, persamaan (22) sama dengan persamaan (23), didapat :

P11 + P22 = P33+ P44 (24)

Rumusan (23) dikenal sebagai teorema timbal balik (Reciprocal Theorem) dari Betti.

3.9. Teorema Maxwell

Langkah sama seperti pada pembahas

an teorema Betti, diperoleh rumusan :

P11 = P22

Untuk P1= P2diperoleh :

1 = 2 (25)

Contoh :

Dari perhitungan dengan menggunakan

metoda luasan bidang momen atau analitis,

akibat beban terpusat seperti gambar (31 a),

didapat :

EIz

PL

48

3

1 = EIz

PL

16

2

1 =

Dan akibat beban momen seperti gambar

(31 b) didapat :

EIz

ML

32 =

Dengan menggunakan teorema Maxwell

diperoleh persamaan :

P 2= M 1 atau

2= MEIz

PL

16

2

/P =EIz

ML

16

2

P1

1

2

Gambar30:Bendamendapatmemikul

P2

1

2

L

Gambar31:BalokdibebaniP&M

(a)PembebananStatisP

(b)PembebananStatisM

L/2 L/2

1 (a)

P

1

L

2 (b)M

2


41/42

41

3.2.3. Penutup


Tentukan perpindahan vertikal titik D balok pada gambar (31).

3.2.3.2 Umpan balik

Teorema Castigliano merupakan cara menghitung lendutan yang paling mudah

dibanding kedua cara yang lain.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung lendutan balok berikut :

Hitung perpindahan vertikal titik tengah bentang C balok gambar (31)

Hitung Rotasi titik-titk diatas perletakan dan ujung overstek balok gambar (31)

3.2.3.4 Rangkuman

Perhitungan lendutan yang dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda

luasan bidang momen dan teorema Castigliano akan memberikan hasil yang sama.

Untuk struktur yang relatip rumit teorema castigliano paling mudah untuk

diaplikasikan.


RA = P arah kebawah

Untuk sona 0 < x < L : Mx = - P x

U1 = dxEI

PxL

0

2

41

2

Untuk sona L < x < 5/4 L : Mx = - P x + 5/4 P (x-L)

P

L L/4

DEI

Gambar31:Balokdenganoverstek

C


42/42

42

U2 = dxEI

LxPPxL

0

2

45

41

2

)(

U = dxEI

PxL

0

2

41

2+ dx

EI

LxPPxL

0

2

45

41

2

)(

P

UD

= =

EI

PL3

48

5

buku ajar rangka batang

Documents