qué exactamente el azar
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Introducción
En este trabajo estudiaremos la naturaleza de los fenómenos aleatoreos que son aquellos que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado). Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Con ello y su avance se lograra el análisis de todos los elementos que permiten un desarrollo adecuado da los temas tales como las distintas formas de distribución en forma general.
¿Qué exactamente el azar?
El azar es una cualidad presente en diversos fenómenos que se caracterizan por no mostrar una causa, orden o finalidad aparente.
En matemáticas, puede darse una serie de números con la propiedad de que dicha serie no puede obtenerse por un algoritmo más corto que la serie misma. Es lo que se conoce como aleatoriedad. La rama de las matemáticas que estudia este tipo objetos es la teoría de la probabilidad. Cuando esta teoría se aplica a fenómenos reales se prefiere hablar de estadística.
¿Qué es una variable aleatoria?
La definición formal de variable aleatoria requiere ciertos conocimientos profundos de matemática (en concreto de teoría de la medida). Es la siguiente:3 4
Dado un espacio de probabilidad y un espacio medible (también denominado a veces espacio de Borel) (S,Σ), una aplicación es una variable aleatoria si es una aplicación -medible.
En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de ), quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad una variable aleatoria real es cualquier función
-medible donde es la σ-algebra boreliana.
Ejemplo
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
Ω = {cc, cx, xc, xx},
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
dada por
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto
RX = {0, 1, 2}
Variables aleatorias discretas y continuas
Variable aleatoria continua.
Sea X una v.a. diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso de los intervalos de R o todo R.
Ejemplos:
Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define la v.a. X="duración de una bombilla" . La v.a. así definida es una variable co continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 0.
Una empresa dedicada a la confección de pantalones de caballero ha determinado que la cintura de los varones en una determinada localidad oscila entre 70 cm y 130 cm La v.a. X= "medida de la cintura de un varón" puede tomar cualquier valor comprendidio entre 70 y 130 cm. Toma por tanto un número infinito no numerable ce valores, X es una v.a. continua.
Variable aleatoria discontinua o discreta.
Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.
En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.
Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen
representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número “2”.
La variable aleatoria será: X = (1,2).
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.
Dist. De probabilidad para una variable aleatoria discreta(VAD)
Distribuciones de variable discreta
Distribución binomial.
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:
Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor x.
Distribuciones de variable discreta más importantes
Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:
Distribución binomial Distribución binomial negativa Distribución Poisson Distribución geométrica Distribución hipergeométrica Distribución de Bernoulli Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad 1 / 2 y el valor -1
con probabilidad 1 / 2. Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son
equiprobables.
Valor esperado de una VAD(Esperanza matematica)
la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media
poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:
Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos
los valores y la función de densidad :
La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:
La esperanza también se suele simbolizar con
Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más
importantes son los momentos centrados .
No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.
Propiedades
La esperanza es un operador lineal, ya que:
Combinando estas propiedades, podemos ver que -
donde e son variables aleatorias y y dos constantes cualesquiera.
Varianza y desviación estándar (o típica)
Al igual que para las variables estadísticas la esperanza mide, en cierto sentido, el “valor promedio”de X. El concepto siguiente, el de la varianza, va a medir la dispersión o distanciamiento de X, respecto de la media.Definición 5. Sea X una variable discreta que toma los valores, x1, x2, ......xn con función de probabilidad f. Se llama varianza de X y se designa por var(X) a:
=E(X2)-E(X)2
Es decir, la media de la variable al cuadrado menos el cuadrado de la media.La desviación estándar o típica se define como la raíz cuadrada de la varianza.Ejemplo 9. Consideremos la variable X que asigna la suma de dos números que se muestran en un par de dados. La distribución de X es:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
xi f(xi) xif(xi) xi
2 xi2f(xi)
2 1/36 2/36 4 4/363 2/36 6/36 9 18/364 3/36 12/36 16 48/365 4/36 20/36 25 100/366 5/36 30/36 36 180/367 6/36 42/36 49 294/368 5/36 40/36 64 320/369 4/36 36/36 81 324/3610 3/36 30/36 100 300/3611 2/36 22/36 121 242/3612 1/36 12/36 144 144/36
1 7 1974/36
La varianza, Var (X)= E(X2)-E(X)2= = =54,83-49=5,83
La desviación típica
Valor monetario Esperado
El valor monetario esperado es justamente la suma de los resultados finales de la alternativa, es decir, cada ponderado por la probabilidad de que ocurra un resultado final.
EMV (ALTERNATIVA i )
=
Resultado final del primer estado de Naturaleza.
*
( Probabilidad del primer estado de naturaleza ).
+
( Resultado final del segundo estado denaturaleza ).
*
( Probabilidad del segundo estado de naturaleza ).
+
. . . + ( Resultado final del último estado de naturaleza ).
*
( Probabilidad del último estado de naturaleza).
Ejemplo. Suponga que la Cafetera ahora cree que la probabilidad de un mercado favorable es exactamente la misma, como la probabilidad de un mercado no favorable, que es cada estado de naturaleza con una
oportunidad de 0.50.
ESTADO DE NATURALEZA
0MERCADO FAVORABLE
MERCADO NO FAVORABLE
EMV CALCULADO
ALTERNATIVAS
($) ($) ($)
-------------------------
--------------- ------------ --------------
AMPLIA FACILIDAD
200.000 -180.000 10.000
PEQUEÑA FACILIDAD
100.000 -20.000 40.000
SIN FACILIDAD 0 0 0
-------------------------
----------------
------------ --------------
PROBABILIDADES
.50 .50 0
-------------------------
----------------
------------- --------------
Los calculos son:
EMV (Amplia facilidad)
=(.50) ($200.000) + (.50) (-$180.000)= $10.000
EMV (Pequeña facilidad)
= (.50) ($100.000) + (.50) (-$20.000)= $40.000
EMV (sin facilidades)
= (.50) ($0) + (.50) ($0)= $ 0
La más larga supone el valor de los resultados de la segunda alternativa, edificando una pequeña factoría. De esta manera, la Cafetera podrá avanzar con el proyecto y poner sobre la pequeña planta de manufacturas el almacenamiento de los despojos.
El valor monetario esperado para la planta grande y para no hacerlo son de $10.000 y $0 respectivamente.
La distribución binomial
Sea n un número entero positivo, y sea p un número real comprendido entre 0 y 1. Sea Sj la variable aleatoria que cuenta el número, j , de éxitos en un proceso de Bernouilli de n pruebas y probabilidad de éxito p. Entonces la distribución b(n,p,j) de Sj se dice que es una distribución binomial.
Si representamos en un sistema de referencia, en el eje XX los valores de Sj y en el eje YY los valores b(n,p,j) , para distintos n y p=0,5, tenemos:
Observar como la probabilidad más alta, corresponde al valor de Sj más esperado, es decir, la media μ.
Distribución geométrica o de pascal
La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
Proceso experimental del que se puede hacer derivar
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características
· El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1).
Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .
· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.
Obtención de la función de cuantía
De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución del primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; í 1,2,………ý
La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:
dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades
luego la función de cuantía quedaría
Algunos autores consideran la aleatorización como "número de pruebas anteriores al primer éxito". De esta manera el conseguir el éxito a la primera sería X=0 . En la siguiente representación gráfica de la función de cuantía de la geométrica puede apreciarse este tipo de
aleatorización , sin embargo nosotros preferimos , por razones prácticas, utilizar la aleatorización antes comentada
Función de distribución En base a la función de cuantía se puede expresar la función de distribución de la siguiente manera.
desarrollando la expresión tendríamos
de donde
La Función Generatriz de Momentos (F.G.M.) quedaría:
por lo que queda establecida que la F.G.M. tiene la expresión
En base a la FGM podemos obtener la media y varianza:
Así
Haciendo t =0 tendríamos que
La varianza sería
Haciendo t =0 tendríamos que
De esta manera
Luego
La moda es el valor de la variable que tiene asociada mayor
Distribución hipergeométrica
Función de distribución de probabilidad
Parámetros
Dominio
Función de probabilidad (fp)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica
probabilidad el valor de su función de cuantía es el mayor. Es fácil comprobar (véase
simplemente la representación gráfica anterior) que .Por lo tanto la media de la distribución geométrica es siempre 1.
En cuanto a la mediana Me será aquel valor de la variable en el cual la función de distribución toma el valor 0,5. Así
por lo que
-Distribución hipèrgeometrica
La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (
) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el
número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es
y su varianza,
En la fórmula anterior, definiendo
y
se obtiene
La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
Distribucion de poison
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
La función de densidad de la distribución de Poisson es
donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte
entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
Parámetros
Dominio
Función de probabilidad (fp)
Función de distribución (cdf)
(dónde Γ(x,y) es la Función gamma incompleta)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica