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PROPORCIONES EN LAS CNICAS DE APOLONIO

Presentado por:

NANCY EDITH TOVAR OJEDA

EDUARDO ALEXANDER UMBARILA FORERO

Asesor:

Edgar Alberto Guacaneme Surez

UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

BOGOT D.C.

2014

PROPORCIONES EN LAS CNICAS DE APOLONIO

Presentado por:

NANCY EDITH TOVAR OJEDA

CD. 2007140059

C.C. 1070596993

EDUARDO ALEXANDER UMBARILA FORERO

CD. 2007240069

C.C. 80098802

Trabajo de grado presentado como requisito para optar por el ttulo de

Licenciado en Matemticas

Asesor: Edgar Alberto Guacaneme Surez

UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

BOGOT D.C.

2014

FORMATO

RESUMEN ANALTICO EN EDUCACIN - RAE

Cdigo: FOR020GIB Versin: 01

Fecha de Aprobacin: 10-10-2012 Pgina i de 117

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1. Informacin General

Tipo de documento Trabajo de grado

Acceso al documento Universidad Pedaggica Nacional. Biblioteca Central

Ttulo del documento PROPORCIONES EN LAS CNICAS DE APOLONIO

Autor(es) TOVAR OJEDA, Nancy Edith; UMBARILA FORERO,

Eduardo Alexander

Director GUACANEME SUREZ, Edgar Alberto

Publicacin Bogot. Universidad Pedaggica Nacional, 2014. P. 117

Unidad Patrocinante Bogot. Universidad Pedaggica Nacional

Palabras Claves

Seccin Cnica, Crculo, Subcontraria, Parbola, Hiprbola,

Elipse, Historia de las Matemticas, Conocimiento del profesor

de Matemticas.

2. Descripcin

Los propsitos del presente trabajo de grado, es el estudio y la descripcin de cmo las

proporciones son utilizadas para definir y caracterizar las secciones cnicas, para esto se

traduce y se estudia el captulo The cone del documento Apollonius of Perga: Treatise on

Conic Sections; a partir de este se describe en el presente documento, el cono, las secciones

cnicas y los elementos de estas secciones. Teniendo presente constestar las siguientes

preguntas de Cmo define Apolonio, a travs de proporciones, la parbola, la elipse y la

hiprbola?, Qu papel tienen las proporciones en estas definiciones? y la utilidad de este

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estudio, en el conocimiento del docente en formacin de Matemticas.

3. Fuentes

Las principales referencias bibliogrficas son:

1. Heath, T. L. (1896). Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections. Cambrige:

University Press.

2. Guacaneme, E. (Junio, 2011). La Historia de las Matemticas en la educacin de un

Profesor: razones e intenciones. En A. Ruiz (Presidencia). XIII CIAEM - IACME,

Recife, Brazil.

3. Arbelez, Arce, Guacaneme, y Snchez. (1999). Anlisis de Textos Escolares de

Matemticas. Cali: Universidad del Valle.

4. Contenidos

El documento se desarrolla a travs de cinco captulos, a saber:

1. Preliminares. En este captulo se realiza una descripcin del problema y se establecen los

objetivos del estudio.

2. Contextualizacin. Se presentan un marco histrico sobre el desarrollo de las cnicas,

hasta Apolonio y dos lneas del tiempo:

a. Lnea del tiempo, personajes que desarrollaron las proporciones. En la cual se presenta los

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aportes y aplicaciones de diversos matemticos antes de Apolonio.

b. Lnea del tiempo, tres problemas clsicos. Donde se enuncian algunos mtodos para la

solucin de los tres problemas griegos (cuadratura, triseccin y duplicacin.

3. Interpretacin de la teora de Apolonio sobre las cnicas a travs de Heath, es el resultado

del estudio en la cual se presentan las observaciones y componentes de aplicacin de las

construcciones de las secciones cnicas (Applet).

4. Las ventajas que se obtienen del estudio de las definiciones de las cnicas de Apolonio

para el conocimiento del docente de matemticas. Son los aportes y reflexiones a nivel

personal en la formacin de docentes de Matemticas.

5. Conclusiones. Se exponen los resultados ms relevantes encontrados en el estudio, no solo

a nivel acadmico, sino tambin a nivel personal.

5. Metodologa

Para el desarrollo del Trabajo de grado primero se hizo un estudio del documento Heath

(1896), el cual implic no solo la traduccin sino adems, identificar y estudiar fuentes

adicionales en las que se especificaran algunos conceptos matemticos que ameritaban un

estudio ms profundo y comprensivo. Tambin, utilizando el software de geometra Cabri

3D para la realizacin y comprensin de las construcciones, permitiendo que el documento

digital, del presente trabajo de grado, contenga Applets que son componentes de la

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aplicacin Cabri 3D y que se ejecuta en el contexto de Word dando como agregado una

mejor interpretacin y exploracin de las construcciones al lector. Algunas de las ideas y

comprensiones que fueron surgiendo se constituyeron en las ideas principales de una

ponencia presentada en el XXXIII Jornada del Educador Matemtico en la Universidad

Pedaggica Nacional de Colombia, por ltimo el artculo: Monogamia o poligamia entre

definiciones y objetos matemticos? publicado en la Revista Ejes de la Universidad del

Tolima. Para la contextualizacin se presenta un apartado sobre los antecedentes de las

cnicas de Apolonio complementado con dos lneas del tiempo que pueden ser consultadas

por medio de sus vnculos en la internet y descritas en el presente trabajo que permiten, de

una forma breve, conocer algunas caractersticas del desarrollo de las proporciones antes de

Apolonio y los mtodos de solucin de los tres problemas clsicos (duplicacin del cubo,

triseccin de un ngulo y la cuadratura del crculo). Se analizaron los aportes que este

estudio genera a la formacin de futuros docentes de Matemticas, al realizar un ejercicio de

reflexin sobre el proceso y los resultados.

6. Conclusiones

Retomando las antiguas definiciones y proporciones dadas por Apolonio se reconoce la

importancia de estas como un lenguaje para comunicar las relaciones de las magnitudes de

los segmentos y de su uso como herramienta para la teorizacin de las secciones cnicas.

Tambin, se reconoce y se describe el conocimiento adquirido en el estudio realizado, su

utilidad para el docente de matemticas y la necesidad de este de modificar su visin de la

actividad matemtica y sus objetos, al estudiar y comprender la historia de las matemticas;

lo que transforma su manera de ensear y utilizar los recursos para este fin, adems de

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brindarle nuevas competencias y fortalecer las que posee.

Elaborado por: TOVAR OJEDA, Nancy Edith; UMBARILA FORERO, Eduardo

Alexander

Revisado por: GUACANEME SUREZ, Edgar Alberto

Fecha de elaboracin del

Resumen: 6 11 2014

i

Tabla de contenido

INTRODUCCIN .................................................................................................................. 1

1 PRELIMINARES ............................................................................................................ 3

1.1 DESCRIPCIN DEL PROBLEMA ........................................................................ 3

1.2 JUSTIFICACIN .................................................................................................... 3

1.3 OBJETIVOS ............................................................................................................ 4

1.3.1 Objetivo general ............................................................................................... 4

1.3.2 Objetivos especficos ........................................................................................ 4

2 CONTEXTUALIZACIN.............................................................................................. 6

2.1 ALGUNOS ANTECEDENTES A LAS CNICAS DE APOLONIO.................... 6

2.1.1 Apolonio y su obra ........................................................................................... 8

2.2 Lnea del tiempo personajes que desarrollaron las proporciones .......................... 10

2.2.1 Cnon de proporciones (2800 a.C.) ................................................................ 12

2.2.2 Tales de Mileto (640 a.C.- 550 a.C.) .............................................................. 12

2.2.3 Pitgoras de Samos (569 a.C. - 475 a.C.) ....................................................... 13

2.2.4 Los pitagricos siglo V a. C ........................................................................... 13

2.2.5 Hipcrates de Quos (470 a.C. 410 a.C.) ..................................................... 14

2.2.6 Arquitas de