las cónicas
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LAS CÓNICAS• LA PARABOLA• LA HIPERBOLE• LA ELIPSE• LA CIRCUNFERENCIA
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INTRODUCCIÓN
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola.
Un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.
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INTRODUCCIÓN Se estudiar las cónicas en términos de
intersecciones del cono con planos. Se pueden estudiar como casos
particulares de ecuaciones de segundo grado con variables x e y.
Es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen con cierta propiedad geométrica.
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LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x,y) que equidista de un punto fijo C llamado (centro).
d(P,C)=cte = Radio
Sea P(x,y) un punto cualquiera verificando d (P,C)= r, siendo r el radio de C()el centro. De fórmula de la distancia de 2 puntos se tiene.
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LA CIRCUNFERENCIA Esta representa la ecuación de la
circunferencia fuera del origen.
La circunferencia que tiene centro en el origen esta dada por:
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LA CIRCUNFERENCIA
Luego el centro es C(2,3) y el radio r=5.Ejercicios:Hallar el centro y el radio de las circunferencias.
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LA CIRCUNFERENCIA Escribir la ecuación de las cirunferencias
De centro C(1,1) y radio r=3 De centro C (0, 0) y radio r=2
Recta Tangente a una circunferenciaSi desde un punto P(x,y) trazamos una recta t, será tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro de la recta coincida con el radio.
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LA CIRCUNFERENCIA La recta es tangente si: d(C,t)=radio La recta se llama exterior si:
d(C,r)>radio La recta se llama secante si: d(C,s)<
radio la intersecan dos puntos A y B.
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LA CIRCUNFERENCIA - ejercicios Comprobar que la recta s= , es tangente
a la circunferencia:
Distancia entre un punto y una recta. D(C;s)= D(C;s)=
(𝑥−2)2+(𝑦−3)3=1
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LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P
(x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.
Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.
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ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE. La Ecuación de una Elipse cuando los focos
están situados en el eje Ox y =2a corresponde a:
a corresponde al semieje mayor. B corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’
En el gráfico se tiene:BF=aOB=b OF=cLuego por pitágoras
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ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.
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Elipse - ejemplos Halla el eje mayor, el eje menor, los
vértices y los focos de la Elipse.
Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y
B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(3,0) F’(-3,0)
o Hallar los ejes mayor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse.
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Elipse - excentricidad Llamamos excentricidad de una elipse al
cociente entre la distancia focal y el eje real.
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Elipse - excentricidad
Mide el grado de achatamiento de la elipse:
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Elipse – cambio de centro La ecuación de la Elipse cuando el
centro esta fuera del origen viene definida por O(u,v) así:
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La Hiperbole Una hiperbole es el lugar geométrico de
los P(x,y), cuya diferencias de distancia a dos puntos fijos F y F’ (focos ) es constante.
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Ecuación reducida de la Hipérbole La ecuación reducida de una hipérbole cuando
los focos están situados en el Ox y =±2a corresponde a:
a corresponde al semieje mayor. b corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’
B y B’ son los cortes de la circunferencia con centro en A y radio c.
Obteniéndose la relación
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Ecuación reducida de la Hipérbole
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La Hipérbole - ejemploHallar el eje mayor, el eje menor, los vértices, y los focos de la hipérbola.
Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y
B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(,0) F’(-,0)
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La hipérbole - excentricidad Llamamos excentricidad de una
hipérbole al cociente entre la distancia focal y el eje real.
En estas hipérboles se ha dejado fijo el foco y cambiado el valor del semieje real a, el valor de la excentricidad e aumenta.
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La hipérbole cambio de centro La ecuación de la hipérbole cuando el
centro esta definido por el punto O (u,v)
(𝑥−𝑢)2
𝑎2−
(𝑦−𝑣)2
𝑏2=1
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La Parábola Una parábola es el lugar geométrico de
los P(x,y) que equidistan de una recta fija δ (directriz)y de un punto fijo F (foco).
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Ecuación reducida de una parábola. La ecuación reducida de una parábola
cuando el foco esta en el eje Ox y Directriz δ=x=- corresponde a:
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Ecuación de la Parábola fuera del origen Si trasladamos una parábola al vértice
V(u,v) su ecuación es: