UNIVERSITETI I PRISHTINES

FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE NATYRORE

DEPARTAMENTI I MATEMATIKES

PROGRAMIMI MATEMATIKOR

(Ligjeratat)

Viti akademik 2007/2008

Arsimtaret e lendes:Mr.sc Menderes Gashi

Ass. Faton Merovci

PROGRAMIMI MATEMATIKË

Përmbajtja

- HYRJE

I.ELEMENTE NGA TEORIA E BASHKËSIVE KONVEKSE 1. Bashkësia konvekse 2. Koni konveks. Poliedri konveks.

II.PROGRAMIMI LINEAR ( 1. Vetitë e detyrës në PL ; 2. Trajtat e detyrës në PL ; 3. Metodat e detyrës në PL 3.1. Metoda grafike 3.2. Metoda simplekse 3.3. Metoda e bazës artificiale 3.4. Metoda duale simplekse - Detyra për ushtrime

III. PROGRAMIMI DUAL LINEAR 1. Çifti dual 2. Formimi i çiftit dual 3. Teorema e dualitetit 4. Lidhëshmëria e ndryshoreve në çiftin dual - Detyra për ushtrime

IV. PROGRAMIMI LINEAR ME VLERA TË PLOTA ( PLP ) Metoda e Gomory - s - Detyra për ushtrime.

V. MODELI I ‘TRANSPORTIT’ SIPAS KRITERIT TË VLERAVE 1. Formulimi dhe modeli matematikë 2. Zgjidhja optimale. Metoda e potencialeve 2.1. Zgjidhja fillestare me rregullën e këndit veri – perëndimor. 2.2. Metoda e potencialeve.

HYRJE

Në shumë lëmi teknike, ekonomike, agroekonomike etj., paraqiten probleme, në të cilat nevojitet të caktohet vlera më e vogël ( e madhe ) e ndonjë objekti me kushte të caktuara të kufizushmërisë.Bazat teorike dhe metodat e zgjidhjeve të detyrave të këtyre tipave i përkasin lëmisë matematikore: Programimi matematik ( PM ). Lloji i programimit mund të jetë: linear, jo-linear, konveks, kuadratik, dinamik etj.Në PM, modeli i problemit është si vijon:Le të jenë dhënë madhësitë ( ndryshoret )

që plotësojnë kushtet e kufizueshmërisë – jo ( barazimet)

................... ( A )

Le të jetë - funksion sipas

Problemi:

F-oni quhet objektiv.

................. (*)

1

Për n- shen e renditur themi se është Zgjidhje optimale , nëse Le të jetë K-zona e përcaktuar me kushtet e kufizushmërisë ( A ). Meqë

nuk anulohen në brendinë e zonës K, pra, nuk ekzistojnë ekstremumet

në K. Por, mund të ekzistojë në kufirin e K. Kështu, pikërisht, për të caktuar të objektivit F ( që është f-on linear sipas ) zbatohen metodat e programimit linear ( PL ).Vërejtje: Nëse objektivi F është linear, dhe sistemi i kufizushmërisë ( A ) është sistem i ( jo ) barazive lineare, atëherë kemi të bëjmë me programimin linear ( PL ).

2

I. ELEMENTE NGA TEORIA E BASHKËSIVE KONVEKSE

1. Bashkësia konvekse

Le të jetë - hapësirë n-dimensionale

Me konsiderojmë pikën në , kurse - vektorin (përkatës) në .

Në veçanti, për : , - drejtëza ( numerike)

, - rrafshi :

Vektorët njësi janë , ,

Qartë :

, - hapësira :

Vektorët njësi : , ,

Qartë : , ku

- vektorë shtyllë.

Shënim

3

4

Në :

Në :

Pika :

Shembull a) Parqitni në pikat : , , , ,

, , , ;

, , ; , , , ,

b) Në cilin oktant ndodhen c) Ku ndodhen d) Shkruani vektorët njësi në : .

Le të jenë - vektorë nga .

Kuadr. I II III IV

+ - - +

+ + - -

Oktanti I II III IV V VI VII VIII

+ - - + + - - +

+ + - - + + - -

+ + + + - - - -

5

Përkufizim 1 Kombinim linera i vektorëve quhet vektori .

Përkufizim 2 Bashkësia quhet konvekse, nëse

Në :

Bashkësi konvekse janë : çdo segment, (gjysmë)rrafshi, (gjysmë)hapësira.Poashtu, në : çdo trekëndësh, rreth, elips është konveks.Poashtu, në : çdo tetraedër, rruzull, elipsoid është konveks.

- Për çfarëdo bashkësi , quajmë mbështjellës konveks të -së, prerjen e të gjitha bashkësive konvekse , që përmbajnë , dhe shënohet simbolikisht .

Pra, ( - konvekse )

Qartë, për çfarëdo bashkësie konvekse :

6

Vlen kyPohim Prerja e bashkësive konvekse është konvekse.Përkufizim 3 Për bashkesinë konvekse , pika quhet pikë ekstreme (kufitare, këndore) nëse nuk mund të paraqitet se kombinimi linear i çfarëdo dy pikave

.

Në bazë të përkufizimit konstatojmë :- skajet e segmentit janë pika ekstreme të tij ;- kulmet e shumëkëndëshit konveks janë pika ekstreme ;- çdo pikë e vijës rrethore është pikë ekstreme ;- Pika fillestare e gjysëmdrejtëzës është pikë ekstreme .

Përkufizim 4 Bashkësia e të gjitha pikave ekstreme të bashkësisë konvekse quhet profil i -së, dhe shënohet .Vlen kjoTeoremë : Pohimet i) – iv) janë ekuivalente i) - konvekse ; ii) ; iii) ; iv) Nëse është e kufizuar dhe e mbyllur, atëherë .

Shembull

7

a) Të shënohen bashkësitë konvekse në , përkatësisht : , ,

. b) Të caktohet dhe të konstatohet se çka paraqet

Zgjidhje

8

a)

b)

: faqet e tetraedit në oktantin e parë :

9

2. Koni konveks. Poliedri konveks.

Le te jetë , - konvekse.

Përkufizim 5 quhet kon konveks, nëse

Pra, koni përmban edhe gjysmëdrejtëzën me fillim në origjinën koordinative dhe që kalon nëpër pikën

Shembull Të ndërtohet koni (konveks), nëse kulmet e bazës së tij janë :

Zgjidhje Paraqesim pikat në (në oktantin e parë):

n

Le të jenë dhe - kombinim linear i (ku

).

Përkufizim 6 Poliedër konveks quhet mbështjellësi konveks i bashkësisë

Shembull

Të provohet se :

është poliedër konveks, dhe atë .

Zgjidhje Le të jenë , , , . Të konstatojmë se pika nuk ështëpikë ekstreme :

10