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Progetto ArAl 1 U4. Matematòca & altri giochi Progetto SeT

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1. L’Unità

L’Unità si propone di fornire, attraverso delle attività legate al gioco, dei materiali che pongano gli alunni nella condizione di ri/visitare argomenti dell’aritmetica secondo una prospettiva che ne favorisca una visione algebrica. Allo stesso tempo, attraverso l’uso di opportuni mediatori didattici (macchie, nuvolette, foglietti, ecc.) i bambini si avvicinano al numero sconosciuto e alle sue possibilità di rappresentarlo. Man mano che i giochi procedono, i materiali che costituiscono il loro supporto concreto si modificano e le indicazioni scritte in linguaggio naturale lasciano il posto a semplici scritture in linguaggio algebrico nelle quali la lettera rappresenta il punteggio del dado usato nel gioco. 2. Aspetti didattici Le attività che compongono l’Unità sono due: il Gioco delle Mascherine e il Gioco della Matematòca. I due giochi sono indipendenti l’uno dall’altro, ma il primo può essere considerato propedeutico rispetto al secondo. Il Gioco delle Mascherine si sviluppa attorno ad un filo conduttore (una festa organizzata dai numeri) che può essere arricchito e personalizzato dall’insegnante; la Matematòca è un gioco ‘da tavolo’ e come tale ha delle semplici regole (spiegate all’inizio della Seconda Fase) che devono essere imparate e rispettate. L’ordine in cui le attività vengono presentate nell’Unità è quello ottimale, ma sarà l’insegnante a decidere le modalità della loro attuazione. In linea di massima in entrambi i casi si possono individuare tre tipi di situazioni strettamente connesse fra loro: (a) propedeutiche al gioco vero e proprio, (b) interne al gioco, (c) problemi che ampliano i concetti esplorati durante il gioco. Data l’età degli allievi ai quali l’Unità è dedicata e la delicatezza degli argomenti affrontati, si è ritenuto opportuno dedicare ampio spazio ad esempi concreti attraverso un grande numero di frammenti significativi dei Diari di classe (l’Unità ha infatti una lunghezza quasi doppia rispetto alle altre). Questo dovrebbe fornire agli insegnanti un supporto ampio e articolato per avviare le attività nelle loro classi. Sarebbe importante comunque che i temi affrontati trovassero una diffusione ampia e continuativa nella normale attività didattica e non rimanessero confinati all’interno di una pur stimolante esperienza isolata. 3. Obiettivi prioritari • Interpretare delle consegne espresse nel linguaggio naturale (v. parte iniziale dell’Unità ‘Brioshi’); • tradurre in linguaggio matematico consegne espresse in linguaggio naturale e viceversa; • abituare all’uso corretto e consapevole del linguaggio matematico; • introdurre l’uso delle parentesi e delle espressioni; • presentare l'uguaglianza come relazione di equivalenza (potrebbe risultare efficace sia per acquisire la

simmetria e la transitività della relazione, sia per favorire il superamento dello stereotipo che vuole l'operazione a sinistra dell'uguale ed il risultato a destra);

• favorire l’esercizio di calcolo mentale ; • introdurre l’uso della lettera in varie accezioni (costante, variabile, incognita). 4. Allegati Vengono allegati all’Unità due gruppi di tessere per il Gioco della Matematòca. Il primo è formato da 36 tessere contenenti delle consegne espresse in linguaggio naturale (vanno stampate su cartoncini colorati); il secondo è formato da altrettante tessere contenenti le traduzioni in linguaggio matematico delle consegne di quelle del primo gruppo (vanno stampate su cartoncini bianchi).


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5. Terminologia e simbologie

Fase Successione di situazioni di difficoltà crescente facenti riferimento allo stesso tema.

Situazione Problema attorno al quale si sviluppano attività di tipo individuale, di gruppo, di classe.

Espansione Ipotesi di lavoro su un possibile ampliamento dell’attività verso una direzione algebrica. La sua realizzazione dipende dalle condizioni ambientali e dagli obiettivi dell’insegnante.

Attività supplementare Allargamento verso argomenti correlati a quelli sviluppati nelle Situazioni precedenti

Nota Suggerimento per l’insegnante di carattere metodologico o operativo. Riquadro colorato contenente la descrizione di una situazione problematica. Il testo è indicativo; può essere anche presentato così com’è ma in genere la sua formulazione rappresenta il frutto di una mediazione sociale fra l’insegnante e la classe Riquadro contenente la traccia di una discussione tipo; possono comparire i seguenti simboli P Intervento dell’insegnante ] Intervento di un alunno ^ Compendio di alcuni interventi _ Risultato di una discussione collettiva (un principio, una regola, una conclusione,

un’osservazione, e così via) Rappresentazione Una parola in blu sottolineata evidenzia un collegamento attivo con un tema illustrato nella parte generale (all’occorrenza nel Glossario). Se l’unità viene visionata in rete, è sufficiente cliccare sopra la parola per attivare il collegamento; se viene stampata, il lettore sa che essa rimanda a delle spiegazioni che andranno cercate nella parte generale. 6. Fasi (F), situazioni (S) e argomenti FASI SITUAZIONI ARGOMENTI

Prima 1 - 6 Il Gioco delle Mascherine.

Seconda 7 - 8 Attività propedeutiche al Gioco della Matematòca; Regolamenti per le due versioni del gioco (seconda e terza elementare); consegne in linguaggio naturale e rappresentazioni sagittali; il gioco vero e proprio.

Terza 9 Attività propedeutiche al Gioco della Matematòca: le tessere in linguaggio naturale; avvio al gioco.

Quarta 10 - 11 Attività propedeutiche al Gioco della Matematòca: tessere in linguaggio algebrico; il Gioco completo.

Quinta 12 Situazioni problematiche.

7. Distribuzione delle situazioni in relazione all’età degli alunni

FASI E SITUAZIONI

I II III IV V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 6 ore 5 ore 4 ore el

3 4 ore 3 ore 3 ore 5 ore


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti

Prima fase Il Gioco delle Mascherine

Si preparano dei fogli di carta colorata da piegare in due.

Fig.1

Fig.2

Fig.3

8

8

3 + 5

Nella metà inferiore si scrive il numero in forma canonica (Fig.1) (che nel gioco sarà il misterioso ‘proprietario’ della mascherina). Poi si piega il foglio (Fig.2) e si disegna una mascherina all’interno della quale si scrive il numero in forma non canonica (Fig.3). Questa seconda metà nasconde quindi quella col numero scritto in forma canonica. Gli alunni devono individuare il numero nascosto; in pratica riconoscere l’equivalenza fra rappresentazioni differenti dello stesso numero 1

1 In questa fase di avvio al balbettio algebrico si può anche chiamare la forma canonica nome proprio del numero, e far riflettere sull’analogia con i nomi delle persone.

1. Si comincia a raccontare la storia.

I numeri decidono di fare una festa in maschera e ognuno di loro si nasconde dietro una mascherina per non farsi riconoscere.

Si mostrano una alla volta alcune mascherine e si chiede chi siano i loro proprietari 2

2 L’avvio dell’attività deve tener conto delle competenze di base degli alunni, delle difficoltà, legate soprattutto al calcolo mentale, e delle strategie attivate per superarle. Spesso i bambini più piccoli effettuano i calcoli aiutandosi con le mani e questo naturalmente fa procedere lentamente il lavoro. È in ogni caso consigliabile far verbalizzare la strategia seguita. Questo abitua gli alunni ad attribuire importanza al processo oltre che al prodotto

Diario (seconda elementare, novembre) v L’insegnante comincia a presentare delle mascherine. _ «8!» v ^ «11!» «12!» «13!» v Si invita a riflettere prima di rispondere. ] «13!» v Si chiede all’alunno di spiegare come ha fatto a trovare il numero 13. ] (alzando le dita) «Ho contato 6, 7, 8 fino a 13» v ] «Io vedo sotto 11» (il bambino crede di intravvedere il numero nella parte nascosta della mascherina e fa il furbo sparando a caso). ^ Viene individuato il numero 5.

12 - 7

3 + 5

5 + 8


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2. La storia prosegue.

La festa continua ed arrivano altri invitati. Come accade per le persone, alcuni di loro hanno lo stesso nome, e possono essere riconosciuti dalle loro mascherine.

Le mascherine vengono messe in mostra e si chiede ai bambini di riconoscere i numeri ‘proprietari’ con lo stesso nome (espressioni diverse di uno stesso numero) e poi di scrivere sul quaderno le uguaglianze individuate. Si può convenire di chiamare ‘frate lli’ i numeri uguali.

Diario (seconda elementare, novembre)

Sulla lavagna magnetica vengono posizionate queste mascherine:

v «Ci sono delle mascherine gemelle?» ] «5 + 3 e 11 – 3 nascondono 8!» v «Come possiamo fare per mostrare che queste due mascherine nascondono lo stesso numero?» ] «Facciamo un insieme che le mette insieme» ] «Facciamo una freccia così» l’alunno viene alla lavagna e scrive:

5 + 3 → 11 – 3 → 8 v «Cosa vuol dire per te la freccia?» ] «La freccia vuol dir sempre qualcosa 3» ] «Mettiamo l’uguale!» l’alunno viene alla lavagna e scrive:

5 + 3 11 – 3 = 8 v «Ma come facciamo a far capire che anche 5 + 3 è uguale a 8?» ] viene alla lavagna e scrive:

5 + 3 + 11 – 3 = 8 v «Ma sarà vero?» _ Gli alunni fanno la verifica e scoprono che

5 + 3 + 11 – 3 = 16. v «E allora: come possiamo far capire che anche 5 + 3 nasconde 8?» Gli alunni non sanno cosa rispondere. 4

3 La frase di questo bambino allude ad un significato implicitamente condiviso dalla classe che però rimane ‘sotterraneo’ 4 Questo diario e molti di quelli successivi mettono in evidenza con chiarezza l’ambiente didattico nel quale prende lentamente forma il balbettio algebrico e il contratto didattico ‘tollerante’ che lo supporta. In questo caso il concetto di uguaglianza nasce attraverso la metafora del ‘nascondere’, si sviluppa attraverso alcuni tentativi di rappresentazione (il riferimento agli insiemi e, con maggiore successo, alla rappresentazione sagittale) per avvicinarsi infine all’intuizione del simbolo ‘=’, vanificata però subito dopo da una osservazione fuorviante che blocca definitivamente il ragionamento collettivo portato avanti dalla classe con l’aiuto dell’insegnante.

4 + 9 11 - 3 7 + 4

6 - 4

12 - 7 9 - 4

6 + 4 14 - 3

5 + 3


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Nota L’introduzione del concetto di ‘nome del numero’ è molto importante nella costruzione del balbettio algebrico. Nel prossimo Diario si illustrano le modalità secondo le quali esso può essere introdotto e sviluppato in classe. Diario (seconda elementare, novembre)

v Ci rivolgiamo ad una bambina chiedendole di dirci il suo nome, quello di alcuni componenti della sua famiglia, l’indirizzo e così via. In breve alla lavagna compaiono queste scritture: • Viola • Sorella di Alessandro • Sorella di Veronica • Figlia di Gianfranco • Figlia di Francesca • La bambina che ha il numero di telefono 0437 888015 • L’unica bambina della seconda A che è nata il 24.4.1993 • La bambina che abita a S.Giustina a Villa di Pria al numero 41. v Chiediamo alla classe di dire cosa sono tutte queste frasi. Tra varie risposte una prevale sulle altre: ] «Sono modi di descrivere la Viola» v Scriviamo alla lavagna il numero 8 e chiediamo se sanno scriverlo in modi differenti. ] «5 + 3» ] «10 - 2» v «Sapreste scrivere 8 con più di due numeri?» La sfida entusiasma la classe. ] «1 + 1 + 1 + 1 + 4!» v «E sapreste scrivere 8 con più di due numeri e con operazioni diverse?» La classe è sempre più coinvolta. ] «11 – 1 – 1 – 1!» Compare una scrittura imp revista (siamo in una seconda) ] «2 × 4» E, sulla scia: ] «1 × 8» I bambini cominciano a comprendere la relazione fra Viola e il numero 8. ^ «Sono modi diversi di descrivere l’8» v Spieghiamo che come ‘Viola’ è il nome proprio della loro compagna, così possiamo considerare ‘8’ il nome proprio di questo numero. Visto che i bambini hanno preso gusto al gioco e chiedono di continuarlo, proponiamo di scrivere il 9 in forma non canonica usando tre numeri. ] «3 + 3 + 3» v «Usate numeri non uguali» ] «3 + 4 + 2» v «Ora un problema più difficile: scrivete il 10 usando tre numeri e due operazioni diverse» ] «5 + 5 = 10» ^ Rimostranze da parte della classe. ] «5 + 5 + 0» v «Bravo, ma è sempre la stessa operazione» ^ Seguono alcune proposte tutte con una sola operazione, e ogni volta i bambini sono delusi perché pensavano di aver trovato la soluzione. Il problema si rivela complesso ma stimolante; i bambini non si arrendono. ] «8 + 1 + 1» ] «8 + 2 + 0»


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] Una bambina si illumina:«8 + 2 – 0!» Con soddisfazione di tutti finalmente la situazione è sbloccata e le proposte sono numerose, anche se ripetit ive. ] «10 – 1 + 1» ] «10 - 2 + 2» ] «10 – 3 + 3» v «Provate ora ad usare quattro numeri» ] «10 – 4 + 1 + 3» Si ritorna subito dopo ad una proposta più ‘normale’ anche se tutt’altro che banale. ] «10 – 0 + 0» L’incontro si conclude con un imprevisto ‘ritorno alle origini” ] «8 + 2 = 10 5

5 Per molti alunni (forse per la maggioranza) l’incontro in prima elementare con le operazioni e i relativi risultati e le loro rappresentazioni determina uno stereotipo tendenzialmente molto forte che ostacola lo sviluppo corretto del pensiero matematico: (i)‘3 + 5’ o ’8 × 2 - 4’ sono ‘operazioni’ e quindi (ii) devono concludersi con un ‘uguale seguito da un numero’. Attività come quelle di questa Unità mirano ad evitare la formazione di questo stereotipo che blocca in seguito, per esempio, la possibilità di ‘vedere’ ‘a + b’ o ‘2x – y’ come numeri.

3. La storia prosegue Visto il successo della prima festa, i numeri ne organizzano un’altra più grande alla quale partecipano, come al solito, mascherati.

Se gli alunni – com’è probabile - hanno ormai capito la vera ragione del gioco, si può passare ad una consegna espressa con un linguaggio più preciso sul piano matematico: devono formare gruppi di mascherine ‘equivalenti’ scrivendo i numeri che vi figurano, man mano che li individuano, assieme ai ‘nomi’ dei rispettivi proprietari.

Diario (seconda elementare, novembre) All’inizio ci sono tre sole mascherine: v «Queste mascherine nascondono lo stesso numero?» _ «No!» Arriva un’altra mascherina: v «E adesso?» _ «Non ci sono mascherine uguali» Si aggiunge ancora un’altra mascherina: ] «Ora sì!» L’alunno viene alla lavagna e scrive:

3 + 9 14 - 2 Si continua aggiungendo e togliendo mascherine. v «Chi trova le mascherine che nascondono lo stesso numero le scriva sul suo quaderno» Alcune scritture: • 6 – 4 e 10 – 8 nascondono 2 • 6 – 4 e 10 – 8 nascondono 2 • 14 – 2 va col 12 • 15 – 5 e 1 + 9 • 5 + 7 è 12 6

6 L’uguale non è comparso. Si è preferito non forzare la sua introduzione e attendere che siano gli alunni a proporla.

6 - 4 10 + 1 9 - 4

14 - 2

3 + 9


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4. La storia :

Durante la festa viene organizzato un gioco: i numeri fratelli devono formare delle file. Chi sbaglia nel mettersi in fila perché non è capace di riconoscere i fratelli paga un pegno.


L’attività è frenetica. Alla fine alla lavagna magnetica le mascherine vengono poste in queste file: v «Come si può far capire che ogni fila nasconde lo stesso numero?» _ I bambini non riescono a trovare una risposta alla domanda. Qualcuno propone di usare gettoni magnetici dello stesso colore. v Si ricordano le attività con Brioshi e quindi si riformula il problema. Finalmente arriva la risposta tanto attesa. ] «Usiamo il segno ‘uguale’» Gli alunni indicano di mettere il segno dove ci sono solamente due mascherine, vale a dire:

1 + 19 = 14 + 6 10 – 8 = 6 – 4

Negli altri casi, quando ci sono più di due numeri, la classe mostra resistenza all’inserimento di più di un ‘=’ e si decide di non insistere. 7

7 Già le due uguaglianze proposte rompono lo stereotipo della rappresentazione dell’operazione che vorrebbe un solo numero a destra dell’uguale (v.nota 5). A questo livello una sequenza di uguaglianze è una concezione ancora troppo ‘ardita’.

3 + 2

1 + 9

9 - 4

5 + 7 14 - 2

12 - 7

6 + 6

15 - 5

3 + 9

8 + 2

10 + 1

1 + 19

13 - 3

14 + 6

6 - 4 10 - 8


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5. La storia continua :

Verso il termine della festa i numeri sono stanchi e alcuni si sono anche tolti le mascherine. Nel luogo della festa ci sono delle panche ognuna delle quali è assegnata a gruppi di fratelli. Ci sono dei numeri che si stanno riposando senza preoccuparsi di controllare se la panca sulla quale si sono seduti sia quella giusta.

I bambini devono aiutare i numeri sbadati a ritrovare il loro posto. Diario (seconda elementare, novembre)

Viene proposta questa situazione (la seconda panca è vuota e due numeri sono senza mascherina): 7 6 v «La regola che su una panca ci sono numeri uguali è rispettata?» ] «6 e 7 non sono uguali» ] «10 – 4 va con il 6» L’attività diventa sempre più concitata. Un gruppo di bambini si accalca davanti alla lavagna discutendo e spostando le mascherine. ] «1 + 5 va con il 6!» ] «8 - 1 lo mettiamo vicino al 7» ] «14 – 8 non fa sette!» ] «E allora che cosa c’è dietro a 14 – 8?» (allude al numero ‘proprietario’ della mascherina) ] «Fa 6 e allora lo mettiamo nello scaffale del 6!» ] «Non va bene! C’è un’altra mascherina da spostare!» ] «11 – 4 fa 7!» Infine le mascherine vengono sistemate correttamente sulle panche: 7 6

8 - 1 11 - 4 3 + 7

1 + 5 14 - 8

10 - 4

8 - 1 11 - 4

3 + 7

1 + 5 14 - 8 10 - 4


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La prosecuzione dell’attività prevede di invitare gli alunni a rappresentare sui quaderni il risultato del lavoro Possono ripresentarsi gli ostacoli già visti in precedenza. Ricordiamo che il contratto didattico deve essere molto tollerante. Nella prossima nota ci soffermiamo su questo aspetto di grande importanza.

Nota Anche quando il segno dell’uguale sembra appartenere ormai stabilmente – e solidamente - al patrimonio delle conoscenze condivise dalla classe, nuovi e inconsueti scenari didattici possono opacizzare il suo significato e porre di conseguenza gli alunni nella stimolante situazione di doverlo ‘riscoprire’. Il Diario che segue illustra il modo in cui gli alunni di una seconda costruiscono collettivamente la rappresentazione dell’equivalenza fra i numeri delle mascherine 8


8 Si è potuto verificare in numerose occasioni che una proposta di rappresentazione corretta dal punto di vista del linguaggio matematico, ma troppo anticipata, spesso disorienta la classe, impreparata ad accoglierla, e rimane senza seguito. Se invece è spontanea e ‘suggestiva’, anche se di basso contenuto matematico, finisce per indirizzare la classe verso il raggiungimento collettivo di conclusioni stimolanti e ricche di significato.

La classe è impegnata con l’equivalenza fra le mascherine 5 + 3 e 11 – 3. ] «Sono uguali perché hanno lo stesso risultato» ] Una bambina viene alla lavagna e scrive: 5 + 3 11 - 3 5 + 3 = 11 – 3 ] un altro apporta una modifica: 5 + 3 5 + 3 = 8 = 11 – 3 11 – 3 = 8 ] un terzo alunno viene a dire la sua: 5 + 3 8 11 – 3 ] un quarto disegna una mascherina e accanto scrive: 8 = 8 v «Ma non c’è un modo più semplice per scrivere l’uguaglianza?» ] Inaspettatamente un quinto alunno viene a scrivere:

11 – 3 = 5 + 3 La classe, dopo un attimo di stupore, approva l’ultima scrittura.


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6. Il Gioco della macchia Se il contesto lo consente, si può introdurre l’approccio all’incognita attraverso dei mediatori che suggeriscano in modo credibile e comprensibile anche ad alunni di sette anni qualcosa che sta ‘al posto di’ un numero che non si conosce. Un mediatore potente, il cui utilizzo verrà presentato attraverso alcuni Diari, è la macchia che nasconde un numero

Alla festa è stata trovata la mascherina perduta dal numero 13. È costituita dalla somma di quattro numeri, ma su uno di essi purtroppo è caduta una macchia:

3 + 5 + + 2

Si chiede di individuare il numero sotto la macchia. Diario (seconda elementare, novembre)

_ Gli alunni formulano alcune ipotesi sbaglia te. ] Un bambino propone «10». Una rapida verifica mostra che il valore non va bene perché la somma 2 + 5 + 10 + 2 non è uguale a 13. v «Come potremmo scrivere che la somma di quei numeri non è 13?» La classe non sa rispondere. v Scriviamo alla lavagna la frase sbagliata:

3 + 5 + 10 + 2 = 13 poi cancelliamo l’uguale:

3 + 5 + 10 + 2 13 e chiediamo che simbolo si potrebbe usare. La classe non sa cosa rispondere. v Si spiega che un matematico scriverebbe così: 3 + 5 + 10 + 2 ? 13 9

Gli alunni mostrano un grande interesse. Si propongono alcuni altri esempi ed è evidente che piace applicare la scoperta. La classe è molto impegnata con le disuguaglianze; la soluzione del problema iniziale viene rinviata.

9 È tipico che nel linguaggio gergale riferito alle operazioni si usi il verbo ‘fare’: ‘Quanto fa 16 diviso 2?’. Ricordiamo la valenza operativa del verbo, che opacizza il concetto di uguaglianza fra due numeri. Si ritiene che alcune situazioni favoriscano questo secondo punto di vista: • usare numeri scritti in forma non canonica, ad es: 6 – 2 = 12 : 3; • usare scritture formate da più numeri, ad es: 15 – 7 + 2 = 13 + 3 – 6 • scrivere il numero in forma canonica a sinistra dell’uguale, ad es: 9 = 15 – 2 – 4 • impostare ‘catene’ di uguaglianze: 3 + 9 = 6 × 2 = 10 + 5 – 3 • usare il simbolo ‘?’, ad es: 7 + 5 ? 3 + 10

Come si è visto nel diario precedente la macchia può essere introdotta attraverso la storia della festa in maschera. Può succedere anche che si possa presentare l’opportunità di introdurla in modo informale nel corso di una normale attività in classe su questi temi. Gli episodi descritti nei prossimi diari illustrano due occasioni di questo genere.


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La classe sta lavorando attorno all’uguaglianza di numeri espressi mediante rappresentazioni differenti. Alla lavagna si è costruita la sequenza:

6 – 2 = 4 = 1 + 3 = 10 – 6 A questo punto l’insegnante propone una sfida che è piaciuta molto in altre classi: scrivere numeri equivalenti a 4 usando più di due numeri. v «Adesso cercate un numero che cominci con 11» ] «11 + 5 - 6» v «Controllate il risultato» Tutti si immergono nei calcoli e scoprono che non va bene. v «Partiamo allora da qui: 11 + 5. E poi?» ] «11 + 5 fa 16. Se tolgo 6 fa 10 e allora …» v «Allora quanto devo togliere a 11 + 5 per arrivare a 4?» I bambini fanno fatica a rispondere. Si decide di ricorrere ad un mediatore che ha già avuto successo in altre situazioni. v «Immaginate che qualcuno abbia scritto questi numeri su un foglio di carta e che sull’ultimo sia caduta una macchia di gelato. Qual è il numero nascosto dalla macchia se tutto il numero vale 4?» L’ultimo numero viene coperto con una ‘macchia’ di cartone:

11 + 5 - ] «2!» v «11 + 5 – 2. Va bene?» ] «No… fa 14» v «Contate andando all’indietro» ^ «Bisogna togliere 12!» v «11 + 5 – 12. Bravi!»

Diario (due terze elementari unite, novembre)

Siamo alla conclusione del lavoro con le mascherine e gli alunni hanno acquisito una notevole confidenza con il confronto tra rappresentazioni differenti di uno stesso numero. Si decide di verificare l’atteggiamento della classe posta per la prima volta di fronte ad un problema impossibile. v Si propone questa situazione: trovare il numero che, aggiunto a 4, verifica l’uguaglianza fra i numeri:

0 + 1 e 4 + ] «Ci vorrebbe un meno» (l’alunno vorrebbe scrivere 4 – 3) ] «Non si mette l’’uguale’, si mette il ‘diverso’» (l’alunno allude al simbolo ‘?’ visto in un incontro precedente). ] «Per me è sbagliato!» v Si appoggia l’ipotesi del penultimo alunno, e si chiede di valutarla con attenzione. ] Un altro bambino scrive alla lavagna: 0 + 1 ? 4 + 10 Suona l’intervallo e l’incontro purtroppo deve concludersi in una fase delicata e stimolante. Si rimane d’accordo con le insegnanti che ogni bambino scriverà la sua soluzione. La consegna è la seguente: Sul secondo numero, dopo ‘4 +’, è caduta una macchia di cioccolata che impedisce di leggerlo; confrontalo con ‘0 + 1’ e spiega le tue conclusioni.

10 Una situazione come questa potrebbe costituire un momento interessante per introdurre la lettera al posto del numero che si deve trovare


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I protocolli degli alunni sono stati classificati e suddivisi in tre gruppi; ne riportiamo alcuni a titolo di esempio:

A. Gli autori di questo gruppo rimangono ad un livello cognitivo e individuano strategie che, in un modo o nell’altro, li portino alla soluzione del problema. (a) Togli la macchia di grasso a 4 + e se è 3 lo metterai nell’insieme del 7, e 0 + 1 nell’insieme dell’1. (b) 0 + 1 ? 4 + perché la macchia vale 0. (c) 0 + 1 = 4 + 2 – 5 = 1 11 (d) 0 + 1 ? 4 + non si può fare perché 0 + 1 fa 1 e 4 + 1 fa 5, si può fare solo con la meno. B. Gli autori analizzano la situazione da un punto di vista metacognitivo; si rendono conto che il problema non è risolvibile con una uguaglianza e argomentano la conclusione: (e) 0 + 1 < 4 + perché 0 + 1 è uguale a 1 e 4 + è più alto di 1. (f) Perché 4 è maggiore di 1 e sommando la macchia il risultato sarà sempre diverso da 1 + 0. (g) 0 + 1 ? 4 + perché 4 + è maggiore di 0 + 1 quindi non può dare lo stesso risultato. (h) 0 + 1 < 4 + ho messo il segno minore perché qualsiasi numero metta dopo il 4 + non farà mai lo stesso risultato di 0 + 1. C. Gli autori intuiscono la soluzione ma non la argomentano, oppure laargomentano in modo non chiaro (i) 0 + 1 ? 4 + perché non sono numeri uguali. (j) 0 + 1 ? 4 + perché 0 + 1 è disuguale di 4 + . (k) 0 + 1 ? 4 + ho scritto disuguale perché qualunque cosa non sarà mai uguale a 0 + 1.

11 L’autore di questo protocollo si rende conto dell’impossibilità di risolvere il quesito così com’è proposto e rompe la consegna tacita di esprimere 1 mediante una sola coppia additiva risolvendo il problema mediante due operazioni. Questa soluzione può diventare oggetto di riflessione con gli alunni mostrando come ci siano problemi impossibili da risolvere sotto determinate condizioni, ma risolubili rispetto ad altre attraverso, per dirla in termini gestaltici, una ristrutturazione del campo

Il Gioco della Matematòca

Nelle prossime pagine viene presentato il suo Regolamento in due versioni, rispettivamente per la seconda e per la terza elementare. La differenza fra le versioni dipende dalle tessere usate nel corso del gioco (allegate all’Unità): il primo gruppo di tessere contiene consegne scritte in linguaggio naturale e può essere usato sia in seconda che in terza; il secondo gruppo contiene consegne espresse in linguaggio algebrico e può essere usato solo in terza. L’insegnante può personalizzare i contenuti di entrambi i gruppi di tessere a seconda delle sue esigenze.


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REGOLAMENTO DEL GIOCO DELLA MATEMATÓCA VERSIONE PER LA CLASSE SECONDA

I materiali e il regolamento possono essere adattati alla classe in cui vengono usati. MATERIALI

• 34 tessere colorate con le consegne scritte in linguaggio naturale (in allegato all’Unità) • un dado • dei segnalini (uno per giocatore o gruppo di giocatori) • un foglietto per giocatore

REGOLAMENTO DEL GIOCO 1. Si dispongono sul tavolo le tessere colorate scoperte in modo da formare il contorno di un rettangolo; 2. Si sceglie una tessera d’angolo come casella di partenza;ogni giocatore (o squadra) a turno: 3. colloca il suo segnalino sulla tessera di partenza; 4. lancia il dado una volta; 5. sposta il suo segnalino seguendo la consegna scritta nella tessera sino ad una tessera di arrivo descrivendo l’operazione a voce alta; 6. traduce in linguaggio matematico sul suo foglietto il procedimento senza scrivere il risultato; 7. attende nuovamente il suo turno. 8. Se il risultato è 0 il giocatore rimane sulla stessa casella sino al turno successivo. 9. Il gioco termina quando un giocatore (o una squadra) ha percorso un prefissato numero di volte il giro. 10. Ogni giocatore somma i lanci che ha trascritto durante la partita sul suo foglietto; 11. si compila una graduatoria e si assegnano eventuali premi.

REGOLE GENERALI • Quand’è il turno di un giocatore tutti gli altri – anche i compagni di squadra – non devono aiutarlo. • Se un giocatore sbaglia ad interpretare la sua tessera i compagni di squadra possono aiutarlo; se non ne sono capaci, la mano passa alla squadra avversaria. Un esempio:

Lancio Consegna della tessera Punteggio del dado

Rappresentazione sul foglio

1 Aggiungi 3 al punteggio del dado

5 5 + 3

2 Togli 1 al punteggio del dado

1 1 - 1

3 Aumenta di 2 il punteggio del dado

6 6 + 2

4 Moltiplica per 3 il punteggio del dado

2 2 × 3

5 Somma il punteggio del dado a 4

2 2 + 4

Giunto al punto 9 i l giocatore scrive (le parentesi aiutano a riconoscere i vari punteggi): (5 + 3) + (1 - 1) + (6 + 2) + (2 × 3) + (2 + 4) = 8 + 0 + 8 + 6 + 6 = 28

Si possono porre in evidenza i lanci uguali: (5 + 3) + (1 - 1) + (6 + 2) + (2 × 3) + (2 + 4) = 8 + 0 + 8 + 6 + 6 = 28

e trascriverli sotto forma di uguaglianza: 2 × 3 = 2 + 4


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REGOLAMENTO DEL GIOCO DELLA MATEMATÓCA

VERSIONE PER LA CLASSE TERZA I materiali (in allegato all’Unità) e il regolamento possono essere adattati alla classe in cui vengono usati.

MATERIALI • 34 tessere colorate con le consegne scritte in linguaggio naturale (contengono solo addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni per 2) • 34 tessere bianche con le traduzioni in linguaggio algebrico delle consegne scritte nelle tessere colorate • un dado • dei segnalini (uno per giocatore o gruppo di giocatori) • un foglietto per giocatore

SUGGERIMENTO Conviene, prima di leggere il regolamento, stampare le tessere scritte in linguaggio naturale su cartoncini colorati e quelle scritte in linguaggio algebrico su cartoncini bianchi e usarle come supporto alla lettura.

REGOLAMENTO DEL GIOCO 1. Si dispongono sul tavolo le tessere colorate scoperte (suggeriamo di iniziare con 16 tessere) in modo da formare il contorno di un rettangolo; 2. si pone all’interno del rettangolo il mazzetto delle tessere bianche coperte; 3. si sceglie una tessera d’angolo del rettangolo come casella di partenza. Ogni giocatore (o squadra) a turno: 4. colloca il suo segnalino sulla tessera di partenza (ad es: Togli al doppio di 3 il punteggio del dado); 5. lancia il dado una volta; 6. sposta il suo segnalino seguendo la consegna scritta nella tessera sulla quale si trova sino ad una tessera di arrivo descrivendo l’operazione a voce alta 7. traduce in linguaggio matematico sul suo foglietto il calcolo senza scrivere il risultato (stesso es: 3 × 2 –d); 8. pesca una tessera bianca (ad es: (d – 0) × 4), 9. mentre gli altri partecipanti giocano a loro volta, cerca di individuare fra le tessere colorate del rettangolo quella corrispondente alla sua bianca, 10. quando ritorna il suo turno, se è riuscito ad individuare la tessera colorata la descrive ad alta voce (stesso es.: ‘Sottrai 0 al punteggio del dado e moltiplica per 4’) , la sostituisce con la bianca e pone davanti a sé la colorata, 11. continua il gioco lanciando il dado e così via (lo fa anche se non è riuscito ad individuare la tessera colorata). 12. Se il risultato è 0 il giocatore rimane sulla stessa casella sino al turno successivo. 13. Traduce a voce alta il suo contenuto in linguaggio naturale (ad es: ‘Aggiungi 7 al punteggio del dado e sottrai 7’) 14. tira il dado (ad es: 4), 15. esegue a voce alta la sostituzione e il calcolo e lo trascrive sul foglio (stesso es: 4 + 7 – 7), 16. si sposta delle caselle relative. Se sbaglia la traduzione o non sa farla, resta fermo un giro e l’avversario che la sa fare al suo posto prende il suo punteggio e sposta in modo corrispondente il suo segnalino. 17. Il gioco termina quando un primo giocatore ha percorso un prefissato numero di volte il giro.

CALCOLO DEI PUNTEGGI

Al termine della partita ogni giocatore: • traduce in linguaggio algebrico sul suo foglio la somma dei contenuti delle sue tessere colorate; • lancia il dado una volta • attribuisce alla lettera il valore del dado e riscrive la nuova somma, • trova il risultato (i punteggi più alti possono essere premiati).

Un esempio: Il giocatore traduce in linguaggio algebrico le sue tessere (le parentesi aiutano a riconoscere i punteggi):

(d + 3) + (d × 2 – 2) + (8 – d) Lancia il dado ed esce 5; sostituisce questo valore alla lettera d e trova il suo punteggio:

(5 + 3) + (5 x 2 – 2) + (8 – 5) = 8 + 8 + 3 = 19


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Seconda fase

Questa fase presenta delle attività propedeutiche al gioco vero e proprio, tendenzialmente utili anche indipendentemente dalla Matematòca. L’insegnante valuterà l’opportunità o meno di svolgerle tutte o meno e quando svolgerle. Lo spirito che anima queste situazioni, a cavallo fra gioco, esplorazione, scoperta, confronto collettivo, discussione, attira gli alunni e li rende disponibili ad una collaborazione molto attiva. Gli obiettivi didattici più significativi di questa fase sono: a) dal punto di vista linguistico:

• acquisire competenze nell’uso di terminologie specifiche del linguaggio matematico;

• tradurre da un linguaggio all’altro; gestire rappresentazioni canoniche e non canoniche;

• individuare le equivalenze fra parafrasi (in entrambi i linguaggi). b) dal punto di vista linguistico:

• favorire comprensione/approfondimento del concetto di operazione diretta / inversa attraverso l’uso dei grafi e un gioco metaforico, il Gioco del Viaggio;

• favorire il calcolo mentale inducendo una riflessione sulle strategie di calcolo e sulle proprietà delle operazioni e far rappresentare la strategia applicata.

Le attività sono presentate nelle tre prossime situazioni: 7. Traduzione di consegne dal linguaggio naturale a quello aritmetico e

viceversa (attività con tessere colorate) 8. Rappresentazione sagittale di operazioni (Il Gioco del Viaggio) 9. Strategie a supporto del calcolo mentale.


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7. Si presentano agli alunni delle tessere colorate - del tutto analoghe a quelle che verranno usate nel gioco vero e proprio – che riportano consegne in linguaggio naturale nelle quali non compare ancora l’incognita (il punteggio del dado). L’attività è riconducibile all’Unità 1 Progetto Brioshi.

Diario (seconda elementare, febbraio) (Tema: significato di ‘Aggiungere … a …’)

v Si chiede di tradurre per Brioshi la tessera ^ «6 + 1!» ^ «1 + 6!» v Si ragiona con un esempio: sul muro vediamo in fila 6 lumache e poi ne arriva una. Come rappresentate questa situazione? _ La risposta è immediata: «6 + 1». v Si chiede allora di modificare il problema delle lumache in modo che vada bene la scrittura 1 + 6. v La classe non ha difficoltà a rispondere: “Sul muro c’è una lumaca e poi ne arrivano altre sei”.

Diario (seconda elementare, febbraio)

v Si chiede di tradurre per Brioshi la tessera _ Si discute sulle traduzioni degli alunni. I commenti sono molto vari. ] «Se tu scrivi 19 + 1 e 1 + 19 sono la stessa cosa solo si cambia il posto» v Si fa rilevare che in alcune scritture compare l’uguale e in altre no. ] (parlando di ‘19 + 1 = ’) «È meglio mettere l’uguale perché non è un’operazione vera 12» ] (parla di ’19 + 1’) «Se non ci metti l’uguale non ci metti il totale… sembra che non sia finita l’operazione 13» ] «È come nel gioco delle maschere! Sotto la maschera si nascondeva un numero!» v Ci si complimenta con l’alunno e si propone di scrivere in modi differenti il numero 5. Vengono proposte queste scritture: 4 + 1; 3 + 2; 2 + 3. v Si chiede maggiore coraggio. I bambini propongono: 5 – 0; 11 – 6; 10 – 5; 100 – 95. v Si propone di inserire una moltiplicazione. ] «5 × 1». v Si propone di usare due operazioni. ] «3 + 8 + 5». _ I compagni evidenziano l’errore. ] «2 × 2 + 1». ] «3 × 2 – 1». v «E in tutti questi casi perché non avete mai fatto scrivere l’uguale?» ] «Se metti l’uguale si sa già cosa c’è sotto!»

12 Lo stereotipo dell’operazione ‘vera’ riconduce a quanto detto nella nota 5. 13 Alcuni ricercatori hanno introdotto per definire questa tendenza negli alunni ‘mancanza di chiusura’; l’assenza dell’uguale conferisce un che di incompleto alla scrittura .

Aggiungi 1 a 6

Aggiungi 19 a 1


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Si può passare all’attività inversa proponendo delle tessere scritte in linguaggio matematico da tradurre in linguaggio naturale, anticipando così le tessere successive con le consegne scritte in linguaggio algebrico. Nel prossimo diario si potrà notare come gli alunni passino da un disorientamento iniziale alla formulazione di una consegna corretta.

Diario (seconda elementare, gennaio)

chiede come si potrebbe tradurre in linguaggio naturale la tessera Di fronte alle perplessità degli alunni improvvisiamo un gioco. Invitiamo un’alunna ad uscire dalla classe e chiediamo ai compagni rimasti di proporre una consegna che faccia fare alla loro compagna l’operazione 5 + 3. ] Un alunno propone un generico «Scrivi l’operazione». Mancando altre idee, si decide di scrivere la consegna proposta su un foglietto e lo si porta alla compagna che, naturalmente, non sa cosa fare. La si fa uscire nuovamente e si chiede di elaborare una nuova consegna più precisa. ] «Scrivi 5 più 3» La proposta è considerata troppo facile. ^ «Scrivi il risultato» I bambini non sono molto convinti «È come ‘Scrivi l’operazione» ] «Aggiungi 3 a 5». _ La proposta viene accettata dalla classe. La bambina viene fatta rientrare, le si dà il messaggio e lei lo traduce correttamente alla lavagna

5 + 3

8. Il Gioco del Viaggio L’esplorazione dei concetti che emergono dal gioco della Matematòca comporta per l’insegnante l’individuazione di strategie adatte ad aiutare gli alunni a superare le difficoltà. Una strategia molto efficace è costituita dalla rappresentazione sagittale e dalla metafora che abbiamo chiamato ‘Gioco del viaggio’, che si sviluppa attorno al ruolo dinamico delle frecce per rappresentare le operazioni. In sintesi: (1) Le frecce del grafo rappresentano di volta in volta il ‘viaggio di andata’ e il ‘viaggio di ritorno; (2) si chiamano ‘stazione di partenza’ e ‘stazione di arrivo’ i numeri che compaiono alle estremità delle frecce; (3) si possono proporre anche dei viaggi con ‘stazioni intermedie’; (4) di alcune ‘stazioni’ si conosce il ‘nome’, di altre bisogna dedurlo dai nomi delle altre ‘stazioni’; (5) ogni ‘viaggio’ va raccontato. I Viaggi possibili sono molti; l’insegnante può decidere liberamente di introdurli al momento opportuno all’interno del gioco, o proporli come attività propedeutica ad esso. In ogni caso il ricorso alle frecce rappresenta un supporto molto produttivo per un approccio dolce all’incognita e all’equazione. Nei prossimi Diari diamo alcuni esempi di questa attività

6–1+6


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Diario (seconda elementare, gennaio) v Vengono dati la ‘partenza’ e l’’arrivo’ (il primo numero è minore del secondo); bisogna trovare gli operatori:

7 18 v «Come si fa a sapere se nel viaggio di andata si aggiunge o si toglie?»

] «Devo guardare i numeri: se il primo è più grande, tolgo, se è più piccolo, aggiungo».

14 Si vuole evitare che si costruiscano stereotipi del tipo: l’addizione è ‘sempre’ l’operazione diretta e la sottrazione la sua inversa.

Diario (seconda elementare, febbraio) v Vengono dati la partenza e l’arrivo (questa volta il primo numero è maggiore del secondo); bisogna trovare gli operatori 14

8 2 Le proposte degli alunni: (a) - 6; (b) + 8; (c) + 10; (d) + 9; (e) + 7. _ Si commentano le proposte e si sceglie la prima. ] L’autore di (b) non sa spiegarsi «8 va nel 2… » ] «Io avrei fatto più 6» ] «No… più 6 va sotto, al ritorno, perché per passare da 8 a 2 togli, da 2 a 8 aggiungi».

Diario (seconda elementare, febbraio) v Vengono dati l’’arrivo’ e gli operatori; bisogna trovare la partenza.

+4 20

- 4 _ I bambini rispondono piuttosto prontamente ‘16’; si chiede come hanno fatto.

] «Ho messo fuori 20 e ho tolto 4» (non sa spiegare perché ha usato le parole ”ho messo fuori”) v Si chiede all’autore della proposta e agli altri se sanno scrivere ‘i numeri dell’operazione’ 15 Ci vengono dettate le seguenti riposte: ] «20 – 4 = 16» ] «6 + 4 = 10 + una decina = 20 16» ] «Conviene fare 20 – 4 =»

15 In questo come in molti altri casi, con alunni così piccoli si ritiene opportuno – almeno nelle fasi iniziali - non insistere con consegne del tipo “rappresenta” o “scrivi in linguaggio matematico” ma adattarsi al ‘gergo’ della classe (‘scivi le operazioni’, ‘scrivi i numeri’, “scrivi i calcoli”) passando poi lentamente ad un progressivo affinamento del linguaggio.

16 In questo caso l’alunno usa spontaneamente l’uguale in senso procedurale o, meglio, come indicatore di un passo intermedio del processo. Evapora del tutto il concetto di equivalenza fra numeri.

Diario (seconda elementare, febbraio) v Vengono dati la partenza e l’operatore del viaggio di ritorno, bisogna trovare quello del viaggio di andata e l’arrivo. 25

4 v Si chiede di spiegare il grafo e di completarlo. ] «Qui c’è scritto ‘- 4’. Basta scrivere ‘+ 4’ e ti viene il risultato» ] «Se il viaggio di ritorno è ‘– 4’ il viaggio di andata è ‘+4’, perciò è 29» ^ Alcuni alunni non accettano però la soluzione «Non è 29, è 21 perché 25 meno 4 fa 21 e 21 più 4 fa 25!» _ Nella discussione che segue si fa notare che l’ultima proposta non tiene conto del verso della freccia .


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (seconda elementare, marzo)

v Si propone un viaggio più lungo dei precedenti: date le ‘stazioni’ di partenza, quella intermedia, e l’arrivo, trovare gli operatori. Si propone questo grafo: 2 13 9 ] Un bambino lo completa correttamente e descrive in un modo molto espressivo il suo lavoro: «2, per arrivare a 13… più 11. Invece di “più 11” posso dire “aggiungo 11”. Poi c’è un inganno: 9 è più basso di 13, perciò devo togliere. Io pensavo che nell’andata si aggiungesse sempre!17

17 Questa convinzione è molto diffusa anche fra gli insegnanti, e sottende il misconcetto che la sottrazione sia inversa dell’addizione e non anche viceversa. I grafi, se non sono oculatamente utilizzati, possono favorire questo stereotipo. Occorre pertanto presentare attività come questa per evitare la sua costituzione.

Conviene che anche con la rappresentazione sagittale si elaborino traduzioni nei due sensi: dal grafo all’espressione e dall’espressione al grafo. Quest’attività può aprire a prospettive didattiche stimolanti per quanto riguarda un approccio ingenuo alle incognite e quindi l’attivazione del balbettio algebrico.

Diario (seconda elementare, febbraio) v Si propone di rappresentare con le frecce questa scrittura: 9 + 3 – 2 = 10 ] Un bambino viene alla lavagna e con qualche piccolo aiuto disegna il grafo (tre bambini approvano; gli altri sono incerti): +3 -2 9 12 10 -3 +2 ] Un alunno osserva «In questo viaggio posso andare subito da 9 a 10» Con un po’ d’aiuto viene aiutato a rappresentare il suo punto di vista: + 1 9 10 - 1 _ Gli alunni giungono alla conclusione che il grafo non esprime fedelmente l’uguaglianza di partenza. v Per favorire la comprensione dell’ultima conclusione si sperimenta una strategia nuova: si attaccano alla lavagna dei foglietti di colore differentea seconda che vengano collocati al posto dei numeri mancanti o degli operatori e si chiede di copiare il grafo e di completarlo scrivendo i numeri sotto i foglie tti. -2 + 4 3 Molti bambini trovano da soli la soluzione. -2 + 4 3 1 5 +2 - 4


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti v Visto l’esito positivo, si continua con un viaggio ancora più lungo: + 5 7 3 6 8 alunni su 12 completano correttamente il grafo: - 4 + 5 - 2 7 3 8 6 + 4 - 5 + 2 v Si propone un grafo ancora più complesso perché l’incognita è alla partenza. +2 9 -3 Quasi tutti completano il grafo correttamente. +2 + 3 7 9 12 - 2 - 3

8. Strategie a supporto del calcolo mentale Diario (seconda elementare, febbraio)

Una parte della classe fa fatica ad effettuare i calcoli mentali. Si decide di proporre delle situazioni che favoriscano questa competenza. v Si propone il calcolo 34 + 10. ] «17» L’alunno viene invitato a spiegare il suo calcolo. Si capisce che ha confuso decine e unità e che in realtà ha eseguito la somma ‘3 + 4 + 10 = 17’. ] Spiega che lui prima pensa a 30 più 10 e poi aggiunge 4. v Si cerca di portare gli alunni a rappresentare il ragionamento del compagno. Si invita a ricordare i lavori fatti sulle forme canoniche e non canoniche dei numeri e li si fa riflettere sul fatto che il compagno che ha pensato di aggiungere prima 10 e poi 4, di fatto ha visto il 34 non più nella sua forma canonica, ma in una forma diversa. Tutti assieme si giunge a scrivere alla lavagna: 30 + 4 + 10 _ I bambini, di corsa, danno il risultato: «Fa 44!» v Cerchiamo di farli ‘rallentare’ e li facciamo riflettere sul primo calcolo che il compagno ha detto di voler fare (30 + 10). ] «Hai fatto scambio di numeri!» ] «Hai cambiato la forma canonica!» v D’accordo con l’insegnante della classe, si accenna alla proprietà commutativa; qualche bambino osserva che ‘mutare’ vuol dire ‘cambiare’. Tutti assieme si giunge alla seguente scrittura:


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_ 34 + 10 = 30 + 4 +10 = 30 + 10 + 4 = 44 18 ] Dopo un po’ di riflessione un alunno osserva «Ci sono tre forme non canoniche e una canonica!» ] «Si dice anche ‘mascherine’!» v Si propone un nuovo calcolo mentale: 25 + 9 ^ Alcuni alunni si organizzano secondo una strategia che viene poi rappresentata alla lavagna:

25 + 9 = 25 + 5 + 4 v Invitiamo a riflettere su un’altra strategia. _ L’attività collettiva e il ricorso alle dita conduce lentamente a queste equivalenze:

25 + 9 = 25 + 10 – 1 = 35 – 1 = 34

18 Spesso gli insegnanti preferiscono evitare la catena di uguaglianze, temendo che questo possa favorire, per estensione, l’uso errato dell’uguale nella nota ‘catena procedurale’, come ad esempio in: 36 – 8 = 28 : 2 = 4 × 5 = 20 (v. commento 17).Dal nostro punto di vista è invece importante ‘mettere il dito nella piaga’ stimolando la discussione ogni qual volta se ne presenti l’opportunità. È in questo modo che si costruisce un controllo più stabile sui significati e sull’esplicitazione dei processi. L’espansione collegata al prossimo diario presenta uno sviluppo interessante dei temi affrontati in questo commento.

Diario (seconda elementare, febbraio)

v Si propone un calcolo mentale relativo ad una sottrazione: 36 – 8. _ La riflessione è ricca anche se confusa. Gli alunni si aiutano con le dita. La maggior parte toglie inizia lmente sei dita e poi altre due 19 . Si giunge a questa scrittura alla lavagna.

19 Bisogna cercare di far spostare l’attenzione dell’alunno dal livello concreto-cognitivo – in cui esegue il calcolo alzando un dito e poi altri otto - a quello metacognitivo - in cui ‘metabolizza’ ciò che fa mentre lo fa (pensa al senso dei calcoli che esegue). Questo secondo livello è quello che consente di passare alla rappresentazione simbolica.

36 – 8 = 36 – 6 – 2 = 30 – 2 = 2 20 20 Vedi l’Espansione Si passa ad attività individuali; gli alunni devono cercare di trascrivere sui loro quaderni i calcoli scritti. v (a) 9 + 2 _ Scrittura collettiva alla lavagna nata dal confronto fra quelle personali: 9 + 1 + 1 = 10 + 1 = 11 v (b) 7 + 4 _ Scrittura degli alunni: 7 + 3 + 1 = 10 + 1 = 11 v (c) 22 - 3 _ Scrittura elaborata assieme alunni dopo una discussione collettiva accompagnata dalla riflessione su calcoli con le dita, dalla rappresentazione intermedia 3 = 2 + 1 e dalla scrittura definitiva (non facile):

22 – 3 = 22 – 2 – 1 = 20 – 1 = 19 21

21 L’aspetto più importante e delicato è quello di mantenere il contatto semantico fra la gestualità (alzo e abbasso le dita) e la sua rappresentazione.

v (d) 34 – 7 I bambini sono più disinvolti; preferiscono rappresentare separatamente i due calcoli: (i) 7 = 4 + 3 (ii) 34 – 7 = 34 – 4 – 3 = 27 v (e) 21 – 9

21 – 1 – 8 = 20 – 8 = 12


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Espansione Il frequente riferimento da parte dei bambini all’attività con le maschere suggerisce una strategia didattica interessante che potremmo chiamare ‘Dalla maschera alla parentesi’. La scrittura iniziale

36 - 8 riferendosi al Gioco delle Maschere può essere rappresentata in questo modo: 36 - Si può proporre quindi una diversa rappresentazione (da ‘grandi’) della maschera che conduce, di fatto, al distacco dalla sua concretezza e apre la strada ad una maggiore astrattezza:

36 – (6 + 2) Il passaggio successivo è:

36 – 6 – 2 La situazione proposta può non essere facile; gli insegnanti sono invitati comunque a sperimentarla, anche in più occasioni successive, ma a non insistere se la classe incontra difficoltà a riconoscere il senso del passaggio.

Terza fase

Si passa al gioco vero e proprio della Matematòca; si inizia con le tessere colorate contenenti le frasi scritte in linguaggio naturale.

Nota La Matematòca piace ma, come in tutti i giochi, è necessario appropriarsi delle Regole e superare la fase dell’avvio. Emergono notevoli differenze fra gli alunni delle seconde e quelli delle terze dal punto di vista: • psicologico (disorientamento di fronte a consegne inconsuete); • comportamentale (insofferenza verso i compagni più lenti, impazienza, perdita della concentrazione); • del metodo di lavoro (scarsa autonomia, impegno spesso caotico, bisogno di solleciti e suggerimenti, difficoltà nell’utilizzare le risposte corrette dei compagni di squadra, tendenza a dare la risposta e poi a distrarsi, mancato rispetto delle regole del gioco); • della lettura (spesso stentata); • del controllo del linguaggio (difficoltà nella comprensione del contenuto logico matematico delle consegne, conoscenza debole dei termini del linguaggio matematico, scarsa dimestichezza con le parafrasi delle operazioni, uso stereotipato dei nomi dei segni per definire le operazioni); • matematico (difficoltà nei calcoli mentali, incertezza nell’individuare le operazioni, dubbi con operazioni dirette e inverse, confusioni fra questioni concernenti concetti additivi e concetti moltiplicativi, dubbi su ‘doppio’ e ‘triplo’ 22 )

22 Le difficoltà in questo caso sono dovute probabilmente anche alla sovrapposizione delle concezioni additiva (es: 3 + 3) e moltiplicativa (3 x 2) che creano negli alunni una sorta di corto circuito, soprattutto nelle prime fasi di apprendimento della moltiplicazione. È sintomatico che in una seconda elementare, alla domanda «Cosa vuol dire raddoppia?» un alunno abbia risposto «Il segno ‘più’»; solo dopo diversi tentativi un altro ha spiegato il termine con «Metterlo due volte».

6 + 2


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Se, come spesso accade, nel corso del gioco l’insegnante tende a privilegiare la direzione operativa (dire il risultato del calcolo dopo aver lanciato il dado) allora l’aspetto procedurale prevale sulla riflessione linguistica e gli alunni tendono a concentrarsi sul prodotto trascurando l’esplicitazione del processo. È comprensibile la preoccupazione dei docenti – soprattutto nei primi anni della scuola elementare – di far comprendere gli algoritmi e di far acquisire i necessari automatismi, ma questo in molte occasioni avviene all’interno di un contratto didattico troppo ‘chiuso’. La conseguenza rischia di essere allora la dipendenza dall’insegnante all’interno di un gergo rassicurante (l’insegnante sa quello che ho in testa anche se non lo dico o lo dico male’) ma complessivamente povero. Ad esempio: due parafrasi della sottrazione esplicitate con le parole ‘togliere’ e con il classico ‘una meno’ possono essere accettate, ma vanno accompagnate da una riflessione che metta in evidenza la differenza di significato: il primo è un verbo che indica il processo, il secondo è semplicemente il nome del simbolo che la rappresenta. Alcune osservazioni sui Diari presentati nell’Unità La personalità di un gioco (e quindi anche della Matematòca) si manifesta durante il suo svolgimento e, legata com’è alla sua dinamica, è diffic ile da sintetizzare attraverso la descrizione di situazioni, come i diari, fissate nel tempo. L’unico modo per capire un gioco è, quindi, giocare. Naturalmente, nel nostro caso, la personalità si esprime soprattutto attraverso la ricchezza degli spunti matematici offerti dalla Matematòca e le attività che essi possono stimolare. I diari rappresentano quindi il tentativo di illustrare alcuni aspetti di questa personalità attraverso dei fotogrammi significativi che siano, allo stesso tempo, testimonianze di episodi avvenuti in classi reali durante il gioco e prototipi di dinamiche di classe e di atteggiamenti degli allievi. Essi registrano attività svolte in tre seconde e in quattro terze.

9. Il Gioco con le tessere colorate

Si avvia il gioco con le sole tessere colorate. Man mano che gli alunni prendono confidenza con le regole si cominciano ad introdurre (nelle terze) degli spunti di riflessione sulla traduzione dal linguaggio naturale a quello algebrico e viceversa, che preparino l’introduzione delle tessere bianche. Inizialmente conviene favorire l’attività collettiva.

Diario (seconda elementare, dicembre) segnaposto di un bambino si gennaio sulla tessera L’alunno lancia il dado ed esce il 5. v Si chiede di tradurre per Brioshi il contenuto della tessera dopo il lancio. _ Traduzioni: (a) 20 (b) 4 + 5 (c) 5 × 4. ] «20 è un numero intero, e invece 4 × 5 sono due numeri che se li metti insieme fanno 20» ] «4 × 5 è la maschera e 20 è il nome proprio» L’ultima osservazione recupera in modo inaspettato le attività svolte alcuni mesi prima con il ‘nome proprio’ di un numero e le maschere.

Moltiplica per 4 il

punteggio del dado


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Un altro segnaposto si trova sulla tessera Esce il numero 4. v Si chiede al solito la traduzione per Brioshi. ^ Traduzione corretta proposta da numerosi alunni: ‘4 + 3 = 7. Il giocatore successivo occupa questa tessera: Esce il 6. v Si chiede la traduzione ^. (d) 6 + 6 (‘evapora’ la sottrazione) (e) 6 – 1; (‘evapora’ l’addizione) (f) 6 – 1 + 6 (solo 2 alunni).

Diario (terza elementare, gennaio) Si sta giocando per la prima volta. L’attività è collettiva e i bambini partecipano con grande interesse. Non compaiono eccessive difficoltà. Un segnaposto si trova sulla tessera v «Come possiamo tradurre per Brioshi questa tessera? _ Traduzione scritta alla lavagna dopo il confronto: d – 8 23 v Si propone l’esercizio inverso: ‘Sottrai da 8 il punteggio del dado’. _ La discussione conduce alla traduzione corretta: 8 – d.

23 Si manifesta l’errore noto in letteratura col nome di ‘errore di inversione’ (reversal error), dovuto all’affidarsi, nella traduzione, all’ordine con cui i termini compaiono nel testo (in questo caso, ‘il punteggio del dado’ precede ‘8’).

Diario (due terze elementari riunite, febbraio) Un alunno si trova su una tessera un po’ particolare: v Si chiede di interpretarla e di tradurrla per Brioshi. ^ «d × 0» v «Se d è uguale a 1 di quanto ti muovi?» Gli alunni si rendono conto che resterebbero fermi.

Aggiungi 3 al

punteggio del dado

Sottrai 1 al punteggio del dado e aggiungi 6

Sottrai il punteggio del dado

da 8

Moltiplica per 0 il

punteggio del dado


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (due terze elementari riunite, febbraio) Può essere conveniente favorire la comprensione tramite la rappresentazione sagittale .

24 In alcune situazioni successive e nell’espansione di pagina 35 verranno proposti numerosi spunti problematici che possono arricchire lo sviluppo del gioco.

Una squadra si trova su questa tessera: v La si fa interpretare e tradurre. ^ (senza difficoltà molte mani si alzano) «d + 2» La squadra successiva ha il suo segnaposto sulla tessera: v Si chiede di tradurla in linguaggio matematico. ^ (senza difficoltà) «d + 2 - 1» v Si interrompe il gioco e si propone questo problema: Immaginate di lanciare il dado senza mostrare il punteggio. I vostri compagni vi vedono fare 5 passi. Come si può rappresentare in linguaggio matematico questa situazione in modo che Brioshi capisca quello che è successo? 24 ^ «d + 2 – 1 = 5» ] «d è 4 perché 2 - 1 è 1, e allora 5 – 1 fa 4» v Analogamente a quanto è stato fatto in altre classi si chiede di raccontare la storia con un grafo. Si propone la frase: “Moltiplica il punteggio del dado per 3 e togli 2”. Gli alunni propongono: ‘d × 3 – 2” v Si ripropone il gioco del bambino, che questa volta va avanti di 10 passi. Gli alunni propongono: (d) 4 × 3 – 2 = 10 (e) 3 × 4 – 2 = 10 (f) d × 3 – 2 = 10 Si costruiscono i due viaggi: × 3 - 2 d 21 92 : 3 + 2 Si trova che d è 4. v Nuovo gioco: il giocatore ha questa tessera: “ d × 7 – 5 = 37. ] Un alunno costruisce il seguente grafo: × 7 - 5 d 42 37 : 7 + 5 25 Si scopre il valore di d. v Si chiede di esplicitare a parole. ^ «Il punteggio del dado è 6»

25 Analogamente a quanto detto nella nota precedente, si può introdurre la divisione nel viaggio di andata per verificare se la moltiplicazione viene individuata con facilità o meno.

Aggiungi 2 al

punteggio del dado

Aggiungi 2 al punteggio

del dado e poi togli 1


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (seconda elementare, gennaio) Si stanno inventando nuove tessere per il gioco (Tema in discussione : significato di ‘raddoppiare’)

v Si propone di inventare nuove tessere per il Gioco della Matematòca. _ Le proposte sono molto incerte. v Si ricorda che in ogni tessera si faceva riferimento al numero del dado. _ Poco alla volta cominciano a comparire delle proposte. ] «Raddoppia di 1 il numero del dado» v Si chiede all’autore della frase il significato del termine ‘raddoppia’. ] «Faccio il doppio del numero del dado» ] «No! Raddoppia vuol dire aggiungi 1!» v Esprimiamo stupore «Secondo voi ‘raddoppia ’ e ‘aggiungi’ sono la stessa cosa? Se il dado dà 4, cosa significa fare il doppio di 4?» ] «4 per 2 più 1!» v «Allora quant’è il doppio di 3?» ] «Il doppio di 3 è 6» ] «No! È 3 per 3!» ] «No! 3 per 2 volte» v Si chiede di spiegare il significato di ‘doppio’, ‘triplo’, ‘quadruplo’ e si accenna al ‘quintuplo’, ‘sestuplo’ e così via. Si ritorna poi alla frase iniziale ‘raddoppia il numero del dado’ e si chiede cosa significhi. _ La risposta è corale “Moltiplica per 2 il punteggio del dado”. v Si fa una verifica «Di quanto si muove il segnaposto su questa tessera se lancio il dado e viene il numero 3?» ] «3 + 3» ] «3 x 2 = 6»

Diario (terza elementare, gennaio)

v Si spiega che alla fine del gioco ogni partecipante dovrà sommare i punteggi delle sue tessere. Se ne mostrano alcune e si chiede di tradurle in linguaggio matematico e di rappresentare la loro somma. ^ Gli alunni propongono questa scrittura:

d × 0 + 8 – d + d – 1 + d × 2 - 1 v Si suggerisce di introdurre delle parentesi per evidenziare i contenuti delle singole tessere. ^ Gli alunni modificano la scrittura precedente:

(d × 0) + (8 – d) + (d – 1) + (d × 2 – 1) v Si immagina ora di lanciare il dado e di ottenere 5. Si chiede di sostituire (substitute) a ‘d’ il valore 5 e di trovare il punteggio finale: ^ Gli alunni dettano:

(5 × 0) + (8 – 5) + (5 – 1) + (5 × 2 – 1) = 0 + 3 + 4 + 9 = 16

Moltiplica per 0 il

punteggio del dado


da 8

Al punteggio del dado sottrai 1

Raddoppia il punteggio

del dado e togli 1


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Quarta fase

L’introduzione delle tessere bianche (traduzione dal linguaggio algebr ico a quello naturale)

10. Prima di iniziare il gioco vero e proprio è opportuno verificare la comprensione del significato della lettera ‘d’ presentando delle tessere singole e facendole interpretare.


v Si presentano per la prima volta una dopo l’altra alcune tessere bianche e si chiede di interpretare il loro significato. ] «3 per 2 fa 6 … meno … 2, magari» ] «La ‘d’ vuol dire 2» ] «No, la ‘d’ vuol dire 12 26» ] «La ‘d’ vuol dire ‘dado’» ] «Il numero che è venuto fuori dal dado» ] «’d’ vuol dire che salta un giro» ] «No, la ‘d’ vuol dire 12» v Si propone una nuova tessera:27 ] «‘d’ vuol dire che salta un giro 28» ] «Io penso che devo andare indietro di una casella» v Si propone una nuova tessera: ] «Bisogna sommare 3 al numero del dado» ] «Dal punteggio che hai ottenuto vai avanti di tre caselle» ] «Aggiungi 3 al punteggio del dado» ] «Addiziona 3 al punteggio del dado» ] «Somma 3 al punteggio del dado» v Si propone un’altra tessera: ] «Sottrai 1 più 6 al punteggio del dado» ] «Al punteggio del dado sottrai 1 più 6» ] «Al punteggio del dado togli la somma di 1 più 6» v Si riprende l’uso delle parentesi. L’insegnante ricorda che hanno chiamato le parentesi ‘la casetta’ 29 ^ Gli alunni riportano alla lavagna la scrittura che rispecchierebbe queste definizioni: d – (1 + 6). Poi concludono che nella tessera originale «Bisogna sottrarre 1 e aggiungere 6, nel secondo bisogna sottrarre la somma di 1 più 6»

26 Si tratta di interpretazioni piuttosto frequenti: la lettera nella tessera è vista ancora come ‘lettera dell’alfabeto’ ed è all’interno di questo contesto che viene cercato un suo possibile significato. In questo caso ‘d’ viene interpretata come iniziale dei termini ‘due’ e ‘dodici’. 27 È una strategia produttiva: anche se le interpretazioni degli alunni sono ancora lontane da quella corretta si propongono altre situazioni simili alla precedente; come si vedrà anche in questo caso, la discussione e la riflessione permettono di ‘ripulire’ le interpretazioni sino al raggiungimento di quella corretta. 28 Probabilmente l’alunno ha immaginato che uscisse 1, ha calcolato a mente il risultato (0) e lo ha percepito come ‘sosta’. 29 Ancora una volta compaiono l’opportunità e la ricchezza di un insegnamento metaforico, potente per la sua freschezza, soprattutto quando le metafore sono inventate dagli alunni o vengono elaborate con la loro partecipazione determinante (si veda a questo proposito l’espansione di pag.22).

d + 3

d – 1

3 x 2 -d

d - 1+ 6


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti v Si propone un’altra tessera: ^ «Dal dado togli… sottrai 6» v Un’altra tessera: ^ «Togli 8 dal punteggio del dado» v Si chiede se la scrittura ‘8 – 3’ sia: ‘Togli 3 a 8’ o ‘Togli 8 a 3’. ] «È vero! Togli il punteggio del dado da 8»


v Si propone una scheda bianca e si chiede il significato della scrittura. ] «Che devi scoprire quel numero e poi per esempio moltiplicare per 2» v «E come faccio a scoprirlo?» ] «Devi scoprire con il dado» ] «Devi tirare il dado e leggere il numero» Si tira il dado ed esce 2. ] «2 per 2» ] «Che bisogna aggiungere 4!» ] «4 per 2 perché d è la quarta lettera dell’alfabeto’ 30» ] «Può fare anche 2000 per 2» _ Nella discussione viene negoziato il significato della tessera.

30 V. commento 24.

d – 6

8 – d

d × 2


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 11. Si può verificare la capacità degli alunni di confrontare più tessere. Il confronto permette di esplorare le parafrasi e scoprire le equivalenze. È interessante confrontare i due prossimi diari nei quali la stessa situazione viene analizzata da classi differenti. Diario (terza elementare, febbraio)

Dopo che gli alunni hanno raccontato i giochi fatti dopo l’ultimo incontro, si dispongono sul tavolo cinque tessere: v «Secondo voi ci sono delle tessere dove si farebbe lo stesso numero di passi?» ^ Vengono individuate la prima, la terza e la quinta tessera. v «Come possiamo rappresentare in linguaggio matematico che faccio lo stesso numero di passi?» ^ Le prime proposte sono ingenue: rappresentare con delle ‘frecce in giù’. In breve però si giunge a questa scrittura: (a) d + d = 2 × d = d × 2 Viene individuata una seconda uguaglianza: (b) d - d = 0 × d v Alla richiesta di spiegare questa equivalenza: ^ «Perché per esempio 1 meno 1 è uguale a 0, e 0 per un numero fa 0» Una bambina viene alla lavagna e, sostituendo 1 a ‘d’ in (b) scrive: ] «Se faccio: 1 – 1 = 0 × 1 = 0» Un’altra proposta è sbagliata rispetto al problema ma solleva un interessante questione di numeri relativi: ] «Puoi fare anche il numero 4 meno 5 che fa … -1 ma allora… » v Si chiede se sia possibile che in una tessera sulla quale c’è scritto d – d si ottenga la situazione ‘4 – 5’. ] «’d – d’ vuol dire ‘dal numero del dado sottrai il numero del dado’. Dado meno dado non può venire dado meno 5… devono essere cifre uguali» ^ Alcuni bambini fanno un esempio di quello che vogliono dire sostituendo in (a) 5 al posto di d. Ottengono: (c) 5 + 5 = 10 (d) 2 × 5 = 10 (e) 5 × 2 = 10

d + d

d - d

2 × d

0 × d

d × 2


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (due terze elementari riunite, febbraio) v si dispongono sul tavolo queste cinque tessere: v «Il segnalino arriva su queste tessere. Secondo voi ci sono delle tessere che dicono la stessa cosa?» ^ Numerosi alunni individuano d – d e d × 0. Un bambino propone di scrivere: d – d = d × 0 ^ Altri alunni individuano d + d e d × 2. v Si chiede di rappresentare per Brioshi questa situazione. Un’alunna propone: d + d = d × 2 ] «Non va bene, perché se viene 6, d più d è 6 più 6, e 2 per d è 2 per 2» Gli alunni sono perplessi ma non sanno intervenire. v «Immaginiamo che una squadra abbia il suo segnalino su ‘d + d’, che lanci il dado e venga 5. Di quanto si sposta?» La risposta è pronta: ^ «Di 10!» v «E se l’altra ha il segnalino su ‘d × 2’ e le viene 5. Di quanto si sposta?» La risposta è molto pronta: ^ «Ancora di 10!» Le classi concordano che le due scritture si equivalgono. v «Quanti passi fa un segnalino che si trova su questa tessera?» ] «Bisogna sapere il valore del dado!» ] (rivolgendosi al bambino precedente) «Può essere 1, 2, 3, 4, 5 e 6!» Dopo qualche attimo un bambino esclama ] «Ma fa sempre il punteggio del dado!» _ Le classi concordano con questa conclusione.

Quinta fase

12. Man mano che aumenta la competenza degli alunni nell’effettuare traduzioni dal linguaggio naturale a quello matematico e viceversa, si può provare ad introdurre Brioshi e quindi a proporre delle situazioni problematiche. Un aiuto molto significativo viene dato ancora una volta dal ricorso alla rappresentazione sagittale , che può fungere da supporto ad un’apertura verso la lettera come incognita e quindi verso l’equazione. L’aspetto è molto delicato, e va gestito con grande prudenza da parte dell’insegnante. I prossimi diari mostrano come sono andate le cose in alcune classi del progetto.

d + d

d - d

2 × d

0 × d

d × 2

d+5-5


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (terza elementare, gennaio)

v Si comincia facendosi spiegare dalla classe i giochi che hanno inventato dopo l’ultimo incontro, basati sulle tessere di Matematòca. Si propone poi un’attività di interpretazione/traduzione di frasi scritte sulle tessere in linguaggio matematico. (a) (n × 0) + 1: “Moltiplico un numero per 0 e poi faccio l’addizione” (b) (0 × n) + 4: “Moltiplico 0 per il mio numero e poi faccio più 4” (c) (n - 0) + 4: “Tolgo al numero 0 e poi faccio più 4” (d) (n + 2) - 1: “Aggiungo n a 2 e poi tolgo 1” _ Si discute sulla correttezza dell’ultima traduzione. Vista la competenza diffusa nell’interpretazione di una consegna contenente una lettera, si prova a proporre una scrittura più complessa; si immagina che la invii Brioshi e che bisogna interpretarla: n + 4 = 10 Molti sono incerti. Finalmente vengono formulate delle proposte di interpretazione. ] «Brioshi chiede che numero c’è sotto la n» ] «Che numero è nascosto sotto» È evidente dagli atteggiamenti dei bambini che hanno capito che ‘sotto la n’ c’è il 6. v «Ma la frase n + 4 = 10, secondo voi, cosa vuol dire?» Di fronte all’incertezza della classe, peraltro molto disponibile alla collaborazione, si esegue una rappresentazione della frase tramite un grafo, che i ragazzi riconoscono anche se l’insegnante dice che non si è dilungata molto sull’argomento. La n è sparita; il grafo è ‘aritmetico’: + 4 6 10 - 4 v Si propone questo problema: Su un foglietto troviamo scritto: ‘(n + 2) – 1’. Non conosciamo quale sia il numero n, però abbiamo quest’altra informazione: se eseguo i calcoli so che ottengo il numero 20. Siete capaci di trovare il numero n?


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti ^ Dopo pochi attimi alcuni bambini si sbracciano. Propongono di scrivere: (n + 2) – 1 = 20 Capiscono che al posto di n c’è 19. Scriviamo tutti assieme: (19 + 2) – 1 = 20. Il calcolo permette di far capire a tutti che la risposta è corretta. v Si chiarisce che quello che interessa non è tanto il fatto di trovare il numero 19, quanto spiegare, per esempio a bambini di altre classi, il modo in cui si è trovato il numero 19. Qualcuno è capace di spiegare il suo ragionamento? 31 ] «Si provano tutti i numeri per vedere che numero viene» ] «Prendiamo un numero a caso più basso del 20 e fai più 2 e meno 1» ] «20 meno 1 fa 19 più 2 fa… 21 e poi meno 2» I compagni osservano che il ‘meno 2’ non c’entra. v Per favorire la comprensione si propone una rappresentazione di una situazione mediante un grafo: 5 n - 3 Si chiede di trovare il valore di n. ^ Alcuni propongono 8 perché 5 + 3 = 8. ] «Sì, perché noi sappiamo che è il contrario; di solito, se sotto c’è ‘-3’, sopra c’è ‘+3’ e allora è 8» v Si chiede di rappresentare la frase iniziale (n + 2) – 1 = 20. Lentamente, con l’aiuto di tutti i bambini, scriviamo questo grafo: + 2 - 1 n 21 20 Si chiede come si può fare per completare il grafo. Assieme ai bambini si giunge a questa scrittura: + 2 - 1 19 21 20 - 2 + 1 v Si propone un altro esempio: (n + 36) – 45 = 92. + 36 - 45 n 92 Gli alunni completano la scrittura partendo da 92 e trovano con calcoli mentali il valore di n. + 36 - 45 101 137 92 - 36 + 45 32

31 Si sottolinea ancora una volta la differenza fra ‘prodotto’ e ‘processo’. 32 Con alunni più grandi si possono proporre anche grafi con una moltiplicazione; con quelli più piccoli bisogna accertarsi, prima di farlo, che non vi siano difficoltà nell’individuare la divisione come operazione inversa della moltiplicazione. In ogni caso, lo stimolo potrebbe essere produttivo anche per consolidare questo concetto.


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (due terze elementari riunite, febbraio) La classe sta interpretando delle tessere scritte in linguaggio formalizzato. v Cominciamo con ] «Sottrai 10 al punteggio del dado» ] «Togli 10 al punteggio del dado» v «Siete d’accordo?» Gli alunni aggiungono altre due frasi: ] «A 10 togli il punteggio del dado» ] «Togli il punteggio del dado a 10» v «Queste frasi sono equivalenti? Dicono la stessa cosa?» ^ Alcuni alunni concordano che le prime due sì, dicono la stessa cosa. v Si continua a ragionare con le classi attorno alla differenza fra i due tipi di scrittura perché è evidente che, tranne pochi, gli altri non colgono la differenza. Si concretizza la situazione legata alla frase ‘Togli 10 al punteggio del dado’ e si chiede di tradurla in linguaggio matematico immaginando che si getti il dado e venga 6. ^ Alcuni alunni traducono ’10 – 6’. Molti sono d’accordo, ma subito dopo alcuni si rendono conto che la traduzione esatta sarebbe ‘d – 10’, che però è differente dalla scrittura iniziale. ] «Non è giusta perché se esce 6 non si può fare 6 – 10» v «E allora come si legge la frase 10 - d?» ^ «Togli d a 10» ] «La sottrazione non ha la proprietà commutativa!» Ci si complimenta con l’alunno.

Si ritiene utile proporre il confronto tra due diari sullo stesso problema. Le reazioni sono molto simili.

Diario (due terze elementari riunite, febbraio)

v Si decide di proporre questa situazione: Un’altra classe sta giocando a Matematòca. Due squadre hanno i loro segnalini su due tessere e ci mandano questo messaggio: d – 1 = d × 0. Secondo voi è possibile capire quale è stato il punteggio del dado? Dopo un po’ di silenzio una bambina dice: ] «Se esce 1 dal dado è possibile» v Ci complimentiamo con l’alunna e chiediamo come si potrebbe mandare questa conclusione a Brioshi. Le classi sono naturalmente molto indecise. Si costruisce assieme questa scrittura: se d = 1 allora le tessere sono uguali che poi gli alunni perfezionano in:

se d = 1 allora d – 1 = d × 0 v «Guardate un po’ cosa scrivo ora: e se succede questo?»:

d ? 1 ^ In breve si scrive su dettatura degli alunni:

se d ? 1 allora d – 1 ? d × 0

10 - d


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (terza elementare, marzo) v Vista la capacità di molti bambini di ragionare su scritture espresse in linguaggio simbolico, proviamo a verificare sin dove si può ‘tirare la corda’. Proponiamo questo problema: Che numero dovrebbe uscire tirando il dado in modo che i segnalini che stanno su queste due tessere facciano lo stesso numero di passi? E si scrive alla lavagna:

d – 1 = d × 0 La classe reagisce molto bene. ^ «Bisogna che venga 1» In breve giungiamo a costruire assieme ai bambini questa scrittura:

se d = 1 allora d – 1 = d × 0 v Si chiede di riflettere su cosa succede se esce qualche altro numero. I bambini fanno delle prove e scoprono che le due tessere non portano più a numeri uguali. ] «Se d vale da 2 a 6 è disuguale» ] propone di scrivere d – d ? d × 0 (gli altri capiscono che è sbagliato). ] «Se il segno è disuguale allora potrebbe essere 6» e propone:

6 – 1 ? 6 × 0 v Si prova a stimolare l’attenzione degli alunni sul fatto che si può giungere ad una relazione fra due grandezze che non sia di semplice disuguaglianza. Si pongono in piedi due bambini di differente altezza uno accanto all’altro, e la classe nota con facilità che ‘uno è più alto dell’altro’. La stessa conclusione è più difficile anche perché, probabilmente, entra in gioco il pensiero ipotetico. Si chiede di esaminare cosa succede se il valore è 2 e di ricordare quello che si è detto a proposito delle altezze dei due bambini. ^ Alcuni alunni giungono a scoprire che se d è 2 la prima tessera dà un numero di passi maggiore della seconda. Alla lavagna si scrive in linguaggio formalizzato:

2 – 1 > 2 × 0 33 Si fa la stessa cosa con tutti i valori:

3 – 1 > 3 × 0 4 – 1 > 4 × 0 5 – 1 > 5 × 0 6 – 1 > 6 × 0

Si aiuta la classe a passare alla generalizzazione (cosa che avviene senza difficoltà):

d – 1 > d × 0 34

33 Non è difficile vedere in questa attività una possibile espansione sulle disequazioni. 34 Naturalmente ‘d’ in questo caso ha un valore molto concreto: è il punteggio del dado e varia in un insieme molto ridotto di valori. Più che di algebra, possiamo dire che si tratta di ‘aritmetica generalizzata’.

Diario (due terze elementari riunite, febbraio) v Si propone questa situazione: un bambino ha il suo segnaposto sulla tessera ‘Aggiungi 2 al punteggio del dado’; lancia il dado ma non mostra il punteggio raggiunto. I compagni di gioco vedono che va avanti di 7 passi. Sapendo che il bambino si è comportato onestamente, si può capire il punteggio del dado? ^ (senza difficoltà) «È 5!» v Si chiede come si potrrebbe descrivere questa situazione in linguaggio matematico. Riceviamo tre proposte: (a) 5 + 2 (b) d + 2 + 5 (c) d + 2 = 7 _ Il confronto e la discussione permettono di capire che la frase (c) è quella corretta.


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Diario (due terze elementari riunite, aprile) Confronto fra numeri espressi in linguaggio algebrico v Si lancia alla classe una sfida difficile: «Visto che siete così bravi, confrontate questi due numeri» Si va alla lavagna e si scrive:

d e d + 1 Gli alunni non sanno rispondere. v Si propone il confronto fra 7 e 4. ^ La risposta è pronta:

7 > 4 v Si propone il confronto fra 3 e 6 + 2. ^ La risposta è ancora pronta:

6 + 2 > 3 v Si propongono 5 e 5 - 1. ^ Questa volta otteniamo tre proposte: (a) 5 = 5 + 1 (b) 5 > 5 – 1 (c) 5 ? 5 - 1 _ La discussione porta gli alunni ad intuire che (b) dà più informazioni di (c). v Si ripropone il confronto fra d e d + 1. La risposta è rapida:

d < d + 1 Si chiarisce che naturalmente la scrittura è valida per lo stesso punteggio del dado.

Dalla situazione precedente nasce il Gioco del Preferisco

v Si propone il:

Gioco del ‘preferisco Su quale tessera vorreste che fosse il vostro segnalino? _ I bambini mostrano di capire chiaramente che è meglio trovarsi su d + 1 «perché se esce 6, allora d è uguale a 6, e d più 1 fa 7 e d meno 1 fa 5» v Si propongono le tessere _ «Se esce 1 allora d è uguale a 1, e quindi 1 meno 1 è uguale a d per 0» v Si aiuta le classi a costruire una tabella con i possibili valori del dado. Se d = 2 allora 2 – 1 > 2 × 0 Se d = 3 allora 3 – 1 > 3 × 0 Se d = 4 allora 4 – 1 > 4 × 0 ] Un bambino si illumina «Un numero per zero dà sempre zero!» _ Si arriva alla scrittura collettiva:

Se d ? 1 allora d – 1 > d × 0

d

d + 1

d - 1

d – 1

d × 0


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Espansione Il Gioco del Preferisco apre delle ipotesi interessanti per le classi successive per quanto riguarda un approccio alle disequazioni. Alcuni esempi:

Esempi o 1 Su quale di queste due tessere preferisco che ci sia il mio segnalino? Il confronto risulta più semplice se rappresento in un modo diverso il contenuto della seconda tessera: d + 3 – 2 = d + 1 Il risultato del confronto ora è evidente: d + 2 > d + 1 Mi conviene che il segnaposto si trovi sulla prima tessera.

Esempio 2 Su quale di queste due tessere preferisco che ci sia il mio segnalino? Questa volta conviene rappresentare in un modo diverso il contenuto della prima tessera: in forma additiva al posto di quella moltiplicativa: 2d = d + d Il confronto ora è fra le scritture: d + d e d + 4 Si esplora la situazione immaginando i possibili valori dei dadi e compilando una tabella: d d + d d + 4 1 1 + 1 = 2 1 + 4 = 5 2 2 + 2 = 4 2 + 4 = 6 3 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 4 4 + 4 = 8 4 + 4 = 8 5 5 + 5 = 10 5 + 4 = 9 6 6 + 6 = 12 6 + 4 = 10 Si può riassumere la tabella in questo modo: 2 < 2d < 12 e 5 < d + 4 < 10 Il confronto porta dunque a una conclusione molto ricca: 1) Se d < 3 conviene stare sulla prima tessera 2) Se d = 4 è indifferente stare sull’una o sull’altra 3) se d > 4 conviene stare sulla seconda tessera.

Esempio 3 Su quale di queste due tessere preferisco che ci sia il mio segnalino? Analogamente a prima si può arrivare a scrivere: 3 < d + 2 < 9 e 2 < 8 – d < 7 Questa volta il confronto è più complesso. Conviene pensare: in quali casi conviene (o è indifferente) essere sulla prima tessera? Si traduce per Brioshi questa domanda: 8 – d = d + 2 ? Questa disequazione si può risolvere applicando i principi scoperti nell’Unità 6 (dalla bilancia all’equazione): 8 – d = d + 2 8 – d - 2 = d + 2 – 2 (1° principio) 6 – d = d 6 – d + d = d + d (1° principio) 6 = d – d 6 = 2d 6 : 2 = 2d : 2 (2° principio) 3 = d In conclusione: conviene se escono il 3, il 4, il 5 o il 6.

d+2

d+3-2

2d

d + 4

d + 2

8 - d


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Attività supplementare (da proporre anche, eventualmente, come attività individuale)

Problema 1 Piero ha il segnalino su questa tessera colorata: Sostituisce la tessera colorata con la bianca corrispondente scritta in linguaggio matematico. Secondo te cosa c’è scritto nella tessera bianca? Pierino tira il dado e avanza di 7 caselle. Chissà che punteggio aveva fatto, io il dado non l’ho visto. Mi aiuti tu?35

35 d + 3 d + 3 = 7 d + 3 – 3 = 7 – 3 d = 4

Problema 2

Marianna ha il segnalino su questa tessera colorata: Sostituisce la tessera colorata con la bianca corrispondente scritta in linguaggio matematico. Secondo te cosa c’è scritto nella tessera bianca? Ora Marianna tira il dado e avanza di 3 caselle. Sai indovinare qual è il punteggio che Marianna ha fatto tirando il dado? 36

36 9 – d 9 – d = 3 9 – d + d = 3 + d 9 = 3 + d 9 – 3 = 3 + d – 3 6 = d

Problema 3 Adriano ha il segnalino su questa tessera colorata: Sostituisce la tessera colorata con la bianca corrispondente scritta in linguaggio matematico. Secondo te cosa c’è scritto nella tessera bianca? Ora Adriano tira il dado e avanza di 2 caselle. Chissà quale punteggio aveva fatto Adriano! Tu lo sai? 37

37 2d – 2 2d – 2 = 2 2d – 2 + 2 = 2 + 2 2d = 4 2d : 2 = 4 : 2 d = 2

Aggiungi 3 al

punteggio del dado


da 9

Moltiplica per 2

il punteggio del dado e togli 2


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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Problema 4 Anna ha il segnalino su questa tessera colorata: Sandra ha il segnalino su questa tessera colorata Sia Anna che Sandra lanciano il dado, e muovono il proprio segnalino. Giuseppe dice: ”Ma guarda, Anna e Sandra hanno percorso lo stesso numero di caselle! Chissà quale punteggio avevano ottenuto le due amiche lanciando il dado! Tu lo sapresti trovare? 38

38 Anna: d × 2 Sandra: d + 7 – 5 2d = d + 7 – 5 2d = d + 2 2d - d = d – d + 2 d = 2

39 5 : 2 Dovrebbe spostarsi di due caselle e mezza, e questo non è possibile.

40 I valori dispari (1, 3, 5).

Problema 5 Mario è finito su questa tessera colorata: Tira il dado, e ottiene 5. A questo punto non sa più che fare? Perché? 39

Problema 6 Isabella è finita su questa tessera colorata: Quali valori del dado consentono ad Isabella di avanzare senza problemi? 40

Problema 7 Alice ha il segnaposto su questa tessera bianca: Lancia il dado e si sposta di tre caselle. Quali valori del dado consentono avanzamento? 41

41 Alice ha sbagliato oppure ha imbrogliato. Nessun doppio è uguale a 3

Raddoppia il

punteggio del dado

Aggiungi 7 al punteggio del dado e poi togli 5

Dimezza il

punteggio del dado

Aggiungi 1 al punteggio del dado e

poi dimezza

d + d

progetto aral 1 u4. matematòca & altri giochi progetto...

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