prof. dr. kamel bensebaa processamento de imagens e computação gráfica aula 4
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Prof. Dr. Kamel Bensebaa
Processamento de Imagens e
Computação Gráfica
Aula 4
Pré-Processamento no Domínio das Freqüências
Como podemos analisar um sinal ou uma imagem no domínio espacial, podemos também analisar uma imagem no domínio de freqüências.
No domínio das freqüências as séries de Fourier e a Transformada de Fourier são ferramentas importantes para análise de sinais e imagens.
Representação de sinais
Onda senoidal
Representação de sinais
Dois sinais com a mesma fase, mas com amplitudes diferentes
Amplitude é uma medida escalar não negativa da magnitude de oscilação de uma onda.
Representação de sinais Freqüência é uma grandeza física
ondulatória que indica o número de (ciclos, oscilações, etc) por unidade de tempo.
Alternativamente, podemos medir o tempo Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular recebe o nome de período em particular recebe o nome de período (T). (T).
Freqüência e Período são inversamente Freqüência e Período são inversamente proporcionaisproporcionais..
Ex: f = 2Hz Ex: f = 2Hz T = 0.5 s T = 0.5 s
Representação de sinais
Sinal com freqüência de 12 Hz
Sinal com freqüência de 6 Hz
Representação de sinais
Se um sinal não muda com o tempo, sua freqüência é zero.
Se um sinal muda instantaneamente, sua freqüência é infinita.
Representação de sinais
A fase descreve a posição da forma de onda em relação ao tempo 0
Representação de sinais
Fase=0 graus
Fase=90 graus
Fase=180 graus
Três ondas senoidais com mesmas amplitudes e freqüências, mas com
fases diferentes
Domínio do tempo e domínio das freqüências
Onda senoidal no domínio do tempo (valor do pico: 5V,
freqüência: 6Hz
Onda senoidal no domínio das freqüências (valor do pico: 5V,
freqüência: 6HzUma onda senoidal completa no domínio do tempo pode ser representada como
um simples pulso no domínio da freqüência.
Domínio de freqüências
O domínio de freqüência é mais compacto é útil quando se estar trabalhando com mais de um sinal senoidal.
Representação de três ondas no domínio do tempo com freqüências 0, 8, 16.
Representação das três ondas no domínio de freqüência.
Domínio do tempo e domínio de freqüência para três ondas senoidas.
Séries de Fourier
Funções periódicas– Considerando por exemplo as funções
trigonométricos: seno, cosseno, tangente, etc.– Uma função seno(x) é periódica se sua forma se
repete a cada período.
– A figura mostra que a função seno(x) se repete a cada período 2. O valor máximo da função chamado amplitude é igual a 1.
Séries de Fourier
Funções periódicas– A função cosseno é também periódica com o
mesmo período e amplitude que a função seno, mas deslocada de /2 em relação a função seno.
Séries de Fourier
Funções periódicas
– A figura mostra uma função que é também periodica mas não é uma função cosseno nem seno.
Como achar uma função matemática que descreve uma curva representada pela figura?
Séries de Fourier
Fourier descobriu, no início do século 19 que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.
Em outras palavras Fourier descobriu se uma função f(t) é periódica, ela pode ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma:
– onde a0, an, bn são os coeficientes de Fourier 0=2/T freqüência angular em rad/s– n0=Harmônicos, n é número inteiro>1
)sencos()( 01
00 tnbtnaatfn
nn
Séries de Fourier
A função f(t) é periódica de período fundamental T quando– f(t)=f(t+T)– T: período Fundamental
Coeficientes de Fourier:
Tt
tdttf
Ta 0
0
)(10
Tt
ton dttntfT
a 0 ).....2cos().(20
Tt
tn dttntfT
b 0
0
).....2sin().(20
Exemplo: Características do Som
São três os parâmetros que definem um Som: A sua freqüência, ou número de vibrações produzidas por segundo, a sua intensidade, ou o quanto forte ou quanto potente é o som, e o timbre, característica que dá identidade a um instrumento, ou seja sabemos qual instrumento está emitindo um som.
Num concerto musical, podemos observar nos Num concerto musical, podemos observar nos momentos que antecede a apresentação musical, os momentos que antecede a apresentação musical, os músicos afinando seus instrumentos; tomando por base músicos afinando seus instrumentos; tomando por base a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o som que vem do piano e qual o som que vem do violino.som que vem do piano e qual o som que vem do violino.
Exemplo: Características do Som
Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é diferente para um e para outro instrumento. Quando um diferente para um e para outro instrumento. Quando um instrumento gera um som, além da freqüência fundamental, instrumento gera um som, além da freqüência fundamental, ele gera freqüências superiores de ordem par e ordem ele gera freqüências superiores de ordem par e ordem ímpar em relação à freqüência fundamental, além do que ímpar em relação à freqüência fundamental, além do que os harminicos são diferentes também na amplitude. os harminicos são diferentes também na amplitude. Portanto a forma de onda desses instrumentos são Portanto a forma de onda desses instrumentos são diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. Por esse diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. Por esse mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um interlocutor mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um interlocutor se é o individuo A, B, ou C.se é o individuo A, B, ou C.
É claro que esta é uma análise físico-matemática do som,
mas certamente que o o músico, o maestro, o compositor, acrescentará uma outra característica fundamentalmente importante, que é a DURAÇÃO DO SOM.
Descoberta de Fourier O matemático francês J. Fourier provou matematicamente O matemático francês J. Fourier provou matematicamente
que qualquer forma de onda, independente da sua que qualquer forma de onda, independente da sua origem, é um somatório de ondas senoidais de diferentes origem, é um somatório de ondas senoidais de diferentes freqüências, amplitudes e fases. freqüências, amplitudes e fases.
Ele mostrou que se a forma de onda se repete Ele mostrou que se a forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda. de repetição da forma de onda.
Um Um sinal periódico qualquer sinal periódico qualquer é composto de (ou pode é composto de (ou pode ser decomposto em) uma ser decomposto em) uma serie de ondas senoidais serie de ondas senoidais com freqüência múltiplas inteiras da freqüência com freqüência múltiplas inteiras da freqüência fundamental ffundamental f, cada uma com uma determinada , cada uma com uma determinada amplitudeamplitude e uma determinada e uma determinada fasefase, mais uma , mais uma componente continua (de freqüência zero. componente continua (de freqüência zero.
As ondas senoidais múltiplas inteirasAs ondas senoidais múltiplas inteiras n n da fundamental da fundamental são chamadassão chamadas harmônicos harmônicos de ordem de ordem n.n.
Séries de Fourier
A transformada de Fourier representa a soma de uma série de formas de onda senoidais com diferentes amplitudes, fase e freqüência.
Séries de Fourier
A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência.
Aumentando-se a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais semelhança esta terá com sinal original.
Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de freqüências ( largura de banda infinita), uma reprodução perfeita do sinal original será impossível.
Em muitos casos eliminando alguns harmônicos não se altera o sinal significativamente.
Séries de Fourier
Seja a função: 1)( 23 ttttf
]).1...2sin(.).1...2cos(.[2
)(1
0
k
nnn t
Tnbt
Tna
Aty
para k=1
10 5 0 5 101000
500
0
500
1000
15001111
-909
f( )t
y( )t
10-10 t
Séries de Fourier
1)( 23 ttttf
]).1...2sin(.).1...2cos(.[2
)(1
0
k
nnn t
Tnbt
Tna
Aty
10 5 0 5 101000
500
0
500
1000
15001111
-909
f( )t
y( )t
10-10 t
para k=2
Séries de Fourier
para k=5 1)( 23 ttttf
10 5 0 5 101000
500
0
500
1000
1500
f( )t
y( )t
t
]).1...2sin(.).1...2cos(.[2
)(1
0
k
nnn t
Tnbt
Tna
Aty
Série de Fourier Complexa
Pode-se também representar a função f(t) através de uma série de Fourier complexa.
Os coeficientes Cn são números complexos caracterizados por:– Uma parte real e uma parte imaginariaUma parte real e uma parte imaginaria– Um módulo e uma faseUm módulo e uma fase
n
n
tnjneCtf 0)(
Tt
t
tnjn etf
TC
0
0
0)(1
Série de Fourier Complexa
A escolha de representar f(t) pelas equações (1) e (2) depende da aplicação ou do contexto físico.
No estudo de sinais digitais ou processamento de imagens é preferível trabalhar com série de Fourier complexa.
Da mesma forma que uma função periódica pode ser representada como uma série real ou complexa, pode-se também representar uma função não periódica através de uma integral real ou complexa chamada também Transformada de Fourier.
)sencos()( 01
00 tnbtnaatfn
nn
n
n
tnjneCtf 0)(
Motivos para estudar espectro de Fourier
Séries de Fourier são utilizadas no estudo de sinais periódicos, enquanto que Transformadas de Fourier são utilizadas no estudo de sinais não periódicos.
O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a freqüência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo, além de informar a medida da freqüência do sinal.
Embora uma série de Fourier com coeficientes reais pode ser obtida mais facilmente do que a série de Fourier com coeficientes complexos, às vezes, usamos a série complexa que possui características matemáticas do sinal de uma forma mais sintetica, além de ser exatamente por este meio que podemos obter mais facilmente a fase e a amplitude do sinal.
Transformada de Fourier contínua
A transformada de Fourier é uma importante ferramenta que permite representar no domínio de freqüência um sinal ou uma imagem a partir da sua representação no domínio do tempo.
Se f (t ) for real o teorema de Fourier estabelece que a função ou Transformada de Fourier simbolizada por é a seguinte
A função inversa simboliza a transformada inversa ou seja a obtenção de f (t) por intermédio de F ()
dtetfF tj
)()(
deFtf tj
)(21)(
1onde,)(
jdtf(t)etfF tj
d)eF(Ftf tj
21)( 1
1
Transformada de Fourier discreta (1D)
A transformada de Fourier discreta F (u) de uma função f(x) de uma variável x=0,1,2,,...,M-1 é dada pela equação
Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma:
O conceito do domínio de freqüência decorre da formula de Euler
Portanto
MxujM
x
exfM
uF /21
0
)(1)(
MxujM
u
euFxf /21
0
)()(
)]/2(sen)/2([cos)(1)(1
0
MuxMuxxfM
uFM
x
)()()( ujIuRuF
sencosje
Transformada de Fourier discreta (2D)
Em duas dimensões, a transformada de Fourier discreta F (u,v) de uma função f(x,y) é dada pela equação
Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma:
Segundo Euler podemos escrever
ou
)//(21
0
1
0
),(1),( NvyMxujM
x
N
y
eyxfMN
vuF
)//(21
0
1
0
),(),( NvyMxujM
u
N
v
evuFyxf
)()()( ujIuRuF
),(),(),( vujevuFvuF
Transformada de Fourier discreta (2D)
Magnitude ou espectro– Espectro de freqüência: conjunto de componentes de freqüência de
um sinal
Ângulo de fase
O espectro de potência ou densidade espectral é definido por:
),(),(),( 22 vuIvuRvuF
),(),(tan),( 1
vuRvuIvu
),(),(),(),( 222 vuIvuRvuFvuP
Transformada de Fourier a duas dimensõesTransformada de Fourier a duas dimensões– En geral, multiplica-se a função de entrada por En geral, multiplica-se a função de entrada por
(-1)(-1)x+yx+y para « centralizar » a função para « centralizar » a função transformada.transformada.
f x y F u M v Nx y( , )( ) ( / , / )1 2 2
(-1)x+y = (ej) x+y
Propriedade da TranslaçãoPropriedade da Translação Transformada de Fourier discreta
Propriedade da TranslaçãoPropriedade da Translação Transformada de Fourier discreta
Transformada de Fourier a duas dimensõesTransformada de Fourier a duas dimensões
É natural ver a origem das freqüências no centro do É natural ver a origem das freqüências no centro do espectro. Isso não muda a informação contida no espectro. Isso não muda a informação contida no espectro.espectro.
Translação da origem de Translação da origem de F(u, v)F(u, v) para ( para (M/2, N/2M/2, N/2)) Baixas Baixas freqüências no centro do espectrocentro do espectro
f x y F u M v Nx y( , )( ) ( / , / )1 2 2
Representação freqüêncial da Transformada de Fourier
Freqüência nulaou valor médio da imagemBaixas freqüênciasFreqüências intermédiarias
AltasFreqüências
Exemplo:
Imagem Original Transformada sem deslocamento
origem origem
Transformada com origem no centro
da matriz
Propriedade da TranslaçãoPropriedade da Translação Transformada de Fourier discreta
Propriedade de RotaçãoPropriedade de Rotação da Transformada de Fourier discreta
senωvcosωusenθrycosθrx •Introduzindo coordenadas polares
f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, )
00 ,, θFθθrf
Imagem original
Imagem rotacionada
Espectro
Espectro resultante
Exemplo:
transformada
Características:• bordas a ±45º • duas incrustações de óxido
imagem microscópica de um circuito integrado
imagem
Filtragem em Freqüência relações espaço × freqüência
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
A implementação da Transformada discreta de A implementação da Transformada discreta de Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Transform) Transform) , veio ser prática em 1965 quando Cooley e , veio ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreverem um algoritmo para computar a Turkey descreverem um algoritmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou FFT (FFT (Fast Fourier TransformFast Fourier Transform).).
Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada em milissegundos em vez de horas como era feita em em milissegundos em vez de horas como era feita em décadas passadas.décadas passadas.
A computação direta da DFT de uma função contendo A computação direta da DFT de uma função contendo NN pontos, requer pontos, requer NN22 operações; onde uma operação é operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O definida como uma multiplicação mais uma adição. O algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente NNxlxlogog22NN operações, sendo operações, sendo NN potência de 2. potência de 2.
Série de Fourier e Transformada de Fourier
As representações da série de Fourier e da transforma de Fourier têm uma importante característica. Podem ser reconstruídas (recuperadas) completamente por um processo inverso sem perda de informação.
Pré-Processamento no Domínio Frequencial
O processamento no domínio das freqüências costuma ser mais custoso e demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução freqüenciais, que são bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial.
Filtragem espacial – Filtragem espacial – Filtragem freqüencialFiltragem freqüencial
Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte:imagem de saida é a seguinte:
Essa operação equivale no domínio de freqüência a Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento.transferência do sistema de imageamento.
Isso significa que dependendo do tamanho da mascara Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fouriertransformada inversa de Fourier
),(),(),( yxhyxfyxg
),().,(),( vuHvuFvuG
Filtragem espacial – Filtragem espacial – Filtragem freqüencialFiltragem freqüencial
Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte:imagem de saida é a seguinte:
Essa operação equivale no domínio de freqüência a Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento.transferência do sistema de imageamento.
Isso significa que dependendo do tamanho da mascara Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fouriertransformada inversa de Fourier
),(),(),( yxhyxfyxg
),().,(),( vuHvuFvuG
Filtragem espacial – Filtragem espacial – Filtragem FreqüencialFiltragem Freqüencial
Teorema de convoluçãoTeorema de convolução
f x y h x y F u v H u v( , ) * ( , ) ( , ) ( , )Convolução Multiplicação
Domínioespacial
Domíniofreqüencial
Transformada
de Fourier × Transformada Inversa de
Fourierf(x,y) g(x,y)
H(u,v)
G(u,v)F(u,v)
domínio dafreqüência
(3)parte real (4)
(1)
(2)
domínio do espaço
Filtragem no Domínio da FreqüênciaFiltragem no Domínio da Freqüência procedimentoprocedimento
Filtragem no Domínio da FreqüênciaFiltragem no Domínio da Freqüência procedimentoprocedimento
Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)x+yx+y
Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagemCalcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v)Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v) Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova
imagem realçada imagem realçada Obter a parte realObter a parte real Multiplicar o resultado por (-1)Multiplicar o resultado por (-1)x+yx+y
Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)
Filtragem no Domínio da FreqüênciaFiltragem no Domínio da Freqüência procedimentoprocedimento
Outra forma de explorar o teorema de convolução é Outra forma de explorar o teorema de convolução é o projeto de filtros no domínio de freqüência.o projeto de filtros no domínio de freqüência.
Sabe-se que na região de bordas e outras Sabe-se que na região de bordas e outras transições abruptas de níveis de cinza transições abruptas de níveis de cinza correspondem a componentes de altas freqüências, correspondem a componentes de altas freqüências, enquanto as baixas freqüências representam enquanto as baixas freqüências representam regiões homogêneas na imagem original.regiões homogêneas na imagem original.
Neste contexto, para manipular esses componentes Neste contexto, para manipular esses componentes existem três tipos de filtrosexistem três tipos de filtros– Passa-baixaPassa-baixa– Passa-altaPassa-alta– Passa-faixaPassa-faixa
Filtragem no domínio da freqüência Três tipos de filtragem
– Filtros passa-baixa (suavização – borramento). Preserve as baixas freqüências espaciais. Suprime as altas freqüências espaciais
– Filtros passa-alta (realce das bordas – aguaçamento) Preserve as altas freqüências espaciais Suprime as baixas freqüências espaciais
– Filtros passa-faixa (restauração de imagens) Preserve especificas freqüências espaciais Suprime outras freqüências espaciais
Baixas freqüências: área de suavização Altas freqüências: detalhes, como bordas e ruídos
Filtragem no domínio Filtragem no domínio das Freqüênciasdas Freqüências
A transformada de Fourier apresenta:A transformada de Fourier apresenta:– Média no centro (Média no centro (componente DCcomponente DC))– As baixas freqüências – nível de cinza das As baixas freqüências – nível de cinza das
superfícies suaves (superfícies suaves (smoothsmooth))– As altas freqüências - detalhes, bordas e As altas freqüências - detalhes, bordas e
ruído (ruído (sharpsharp)) É possível criar filtros para a atenuação É possível criar filtros para a atenuação
de freqüências específicasde freqüências específicas– Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta, Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta,
Gaussiano, …Gaussiano, …
Filtre passa-faixaFiltre passa-faixa
Filtres passa-baixa (Filtres passa-baixa (lowpass-smoothinglowpass-smoothing) ) – IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussienGaussien
Filtres passa-alta (Filtres passa-alta (highpass-sharpeninghighpass-sharpening))– IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussienGaussien
Filtragem no domínio Filtragem no domínio das Freqüênciasdas Freqüências
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
– Corta todas as altas freqüências Corta todas as altas freqüências depois uma distância depois uma distância DD00 do centro do centro
– Distância do centro Distância do centro (M/2, N/2)(M/2, N/2)
H u vsi D u v Dsi D u v D
( , )( , )( , )
10
0
0
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
DD00 é a freqüência de corte (é a freqüência de corte (cutoffcutoff))
Secção radial
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 01 ou 0
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 1/21 ou 1/2
Filtres passe-bas Filtres passe-bas idéalidéal 1 ou 1/2 1 ou 1/2– Corta 1/2 altas freqüências depois Corta 1/2 altas freqüências depois
uma distãncia uma distãncia DD00 do centro do centro
– Distância do centro Distância do centro (M/2, N/2)(M/2, N/2)
H u vsi D u v D
si D u v D( , )
( , )/ ( , )
11 2
0
0
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 1/21 ou 1/2
Comparação: “FPBI 1 ou 0” e Comparação: “FPBI 1 ou 0” e “FPBI 1 ou ½”“FPBI 1 ou ½”
Filtros passa-baixa idealFiltros passa-baixa ideal Avaliação do filtro em função da potência Avaliação do filtro em função da potência
do sinal dentro do circulo de raio Ddo sinal dentro do circulo de raio D00::
P P u vTv
N
u
M
( , )0
1
0
1
P u v F u v R u v I u v( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2
Onde:Onde:
u v TPvuP ),(100(%)
Para os (u,v) dentro do círculo
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
exemploexemplo%92
50
D
%6.94150
D
%4.96300
D
%98800
D
%5.992300
D
ringing effect
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
Efeitos do filtro passa-baixa idealEfeitos do filtro passa-baixa ideal
Todas as freqüências acima da freqüência de Todas as freqüências acima da freqüência de corte Dcorte D00 são retiradas são retiradas
Todas as freqüências de corte DTodas as freqüências de corte D00 são são conservadasconservadas
Embora o filtro ideal possa ser simulado no Embora o filtro ideal possa ser simulado no computador, ele não pode ser implementado computador, ele não pode ser implementado em componentes eletrônicosem componentes eletrônicos
Ringing EffectRinging Effect (Anelamento) (Anelamento)
Componente dominante na origemComponente dominante na origem blurringblurring (borramento) (borramento) Componentes circulares concêntricosComponentes circulares concêntricos ringig effectringig effect (anelamento) (anelamento)
Ringing EffectRinging Effect (Anelamento) (Anelamento)
DD00 pequeno pequeno poucos anéis largos poucos anéis largos maior ringing effect na imagemmaior ringing effect na imagem
Quando DQuando D00 aumenta aumenta aumenta o número aumenta o número de anéis, e diminui o espaçamento entre de anéis, e diminui o espaçamento entre eleseles menor ringig effect na imagem menor ringig effect na imagem
ringing effectringing effect
1
0
1
0
),(1),(),(1),(*),(M
m
N
n
yxhMN
nymxhnmfMN
yxhyxf
Inversa DFT
ILPF Filtro espacial
Cinco impulsos no domínio espacial ),(*),( yxhyxf
(b) * (c)
(a) (b)
(d)(c)
Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal
– Corta gradativamente as altas Corta gradativamente as altas freqüências segundo a seleção de freqüências segundo a seleção de DD0 0
e do expoente e do expoente n n
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixapassa-baixa
H u v
D u v Dn( , )
( , ) /
1
1 0
2
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixapassa-baixa
H u v
D u v Dn( , )
( , ) /
1
1 0
2
D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixapassa-baixa
Raio: 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixa passa-baixa
Riging effect (Contorno)Riging effect (Contorno)
Filtre Butterworth d'ordre 1, 2, 5, et 20
ringing effectringing effect
1n 2n 5n 20n
ideal low pass filter ↑50 Dringing effect ↑
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixa idealpassa-baixa ideal
Filtro Gaussiano passa-Filtro Gaussiano passa-baixabaixa
H u v e D u v( , ) ( , ) / 2 22
H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022
D 0
H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022
D(u,v) = D0 quando H(u,v) = 0.607
Filtro Gaussiano passa-Filtro Gaussiano passa-baixabaixa
Raio : 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2
Filtro Gaussiano passa-Filtro Gaussiano passa-baixabaixa
Filtro de Filtro de ButterworthButterworth
Filtro de Filtro de GaussianoGaussiano
– Não existe Não existe ringing effectringing effect – Menos agressivo que o filtro Menos agressivo que o filtro
ideal ou o filtro de Butterworthideal ou o filtro de Butterworth– Menos controle sobre a seleção Menos controle sobre a seleção
precisa de precisa de DD00
– Mas apresenta uma garantia Mas apresenta uma garantia contra o ringing effect!contra o ringing effect!
Filtro Gaussian passa-baixaFiltro Gaussian passa-baixa
Filtro Gaussian passa-baixaFiltro Gaussian passa-baixa
Filtros passa-altaFiltros passa-alta
Retira os componentes de Retira os componentes de baixa frequencia (abaixa da baixa frequencia (abaixa da freqüência de cortefreqüência de corte
Mantém as altas freqüências Mantém as altas freqüências (acima da freqüência de corte) (acima da freqüência de corte) – IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussianoGaussiano
Filtre passa-altaFiltre passa-alta– Função contrária dos filtros passa-Função contrária dos filtros passa-
baixa :baixa :
Filtragem no domínio Filtragem no domínio das Freqüênciasdas Freqüências
H u v H u vhp lp( , ) ( , ) 1
FiltroPassa-alta
FiltroPassa-baixa
DD00 é a freqüência de corte (é a freqüência de corte (cutoffcutoff))
Secção radial
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
3D 2D
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
– Corta todas as baixas freqüências Corta todas as baixas freqüências depois uma distância depois uma distância DD00 do centro do centro
– Distância do centro Distância do centro (M/2, N/2)(M/2, N/2)
H u vsi D u v Dsi D u v D
( , )( , )( , )
01
0
0
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
Filtros passa-alta ideal 1 ou 1/2Filtros passa-alta ideal 1 ou 1/2– Corta 1/2 baixas freqüências depois Corta 1/2 baixas freqüências depois
uma distância uma distância DD00 do centro do centro
– Distância do centro Distância do centro (M/2, N/2)(M/2, N/2)
H u vsi D u v D
si D u v D( , )
/ ( , )( , )
1 21
0
0
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Filtre passa alta ideal
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Raio : 15, 30, e 80 pixels
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal1 ou 01 ou 0
Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Filtro passa-alta ideal 1 ou 1/2Filtro passa-alta ideal 1 ou 1/2Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
Filtro passa-alta ideal “1 ou Filtro passa-alta ideal “1 ou 0”0”
Filtro passa-alta ideal “1 ou Filtro passa-alta ideal “1 ou 1/2”1/2”
Ringing effectRinging effectFiltro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal
– Corta gradativamente as baixas Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção de freqüências segundo a seleção de DD0 0 e e do exponente do exponente n n
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta
D u v uM
vN
( , ) ( ) ( )/
2 2
2 21 2
H u v
D D u vn( , )
/ ( , )
1
1 0
2
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta
D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta
Corta gradativamente as baixas frequencias Corta gradativamente as baixas frequencias segundo a seleção de segundo a seleção de DD00 e do expoente e do expoente nn– A frequencia de corte (A frequencia de corte (DD00) define o valor onde ) define o valor onde
a ampitude do espectro é reduzida de 50%a ampitude do espectro é reduzida de 50%– Baixas frequencias sao cada vez mais Baixas frequencias sao cada vez mais
atenuadas na imagem a medida que sao atenuadas na imagem a medida que sao menores que menores que DD00, ou seja, o filtro de , ou seja, o filtro de Butterworth possui transicao mais suave que Butterworth possui transicao mais suave que o filtro ideal o filtro ideal
– O valor de O valor de nn (ordem do filtro) determine a (ordem do filtro) determine a suavidade do filtro.suavidade do filtro.
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta
Raio : 15, 30, e 80 pixels, n=2
Filtro passa-alta de Filtro passa-alta de ButterworthButterworth
Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta
Riging effectRiging effect
Filtro Gaussiano passa-Filtro Gaussiano passa-baixabaixa
H u v e D u v( , ) ( , ) / 2 22
H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022
D 0
Filtro Gaussiano passa-altaFiltro Gaussiano passa-alta
Filtro Gaussiano passa-altaFiltro Gaussiano passa-alta
D (u,v) = D0 quando H (u,v) = 0.607
Filtro Gaussiano passa-altaFiltro Gaussiano passa-alta
Corta gradativamente as baixas Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção do freqüências segundo a seleção do exponente exponente – A freqüência de corte (A freqüência de corte (DD00) define o valor ) define o valor
onde a amplitude do espectro é reduzida de onde a amplitude do espectro é reduzida de 60.7%60.7%
– Baixas freqüências são cada vez mais Baixas freqüências são cada vez mais atenuadas na imagem a medida que são atenuadas na imagem a medida que são menores que D0, ou seja, o filtro possui menores que D0, ou seja, o filtro possui transição mais suave que o filtro idealtransição mais suave que o filtro ideal
– O filtro Gaussiano não possui O filtro Gaussiano não possui Ringing EffectRinging Effect
Filtro Gaussian passa-altaFiltro Gaussian passa-alta
Raio : 15, 30, e 80 pixels
Filtro Gaussian passa-altaFiltro Gaussian passa-alta
Riging effect (Contorno)Riging effect (Contorno)– Não tem!Não tem!
Filtro Gaussiano passa-altaFiltro Gaussiano passa-alta
Filtro de realce no domínio Filtro de realce no domínio de freqüênciasde freqüências
Atenua ou mantém os componentes de alguma Atenua ou mantém os componentes de alguma faixa de freqüência da imagem e aumenta faixa de freqüência da imagem e aumenta (realça) outras faixas de freqüência(realça) outras faixas de freqüência
Geralmente atenua as baixas freqüências e Geralmente atenua as baixas freqüências e realça as altas freqüências (Filtro homomórfico)realça as altas freqüências (Filtro homomórfico)
O filtro homomórfico trabalha com a idéia de O filtro homomórfico trabalha com a idéia de que a iluminação (que a iluminação (LL) é o componente de ) é o componente de baixas freqüências e a refletância é de altas baixas freqüências e a refletância é de altas freqüências (freqüências (HH))
Filtro de realce no domínio Filtro de realce no domínio de freqüênciasde freqüências
Aumenta-se o contraste se a iluminação Aumenta-se o contraste se a iluminação ((LL<1) e a refletância é aumentada (<1) e a refletância é aumentada (HH>1)>1)
Na transição pode-se utilizar qualquer curvaNa transição pode-se utilizar qualquer curva– Geralmente utiliza-se o filtro de Butterworth ou Geralmente utiliza-se o filtro de Butterworth ou
filtro gaussianofiltro gaussiano
a reduction of dynamic range,Increase in contrast
Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico Trata-se de uma abordagem que busca Trata-se de uma abordagem que busca
operar sobre as componentes de operar sobre as componentes de iluminação e reflectância separadamenteiluminação e reflectância separadamente
A imagem é o produto da iluminação A imagem é o produto da iluminação i i ((xx,,yy) ) e da reflectância e da reflectância r r ((xx,,yy))
– i i ((xx,,yy): iluminação ): iluminação baixas freqüencias baixas freqüencias– r r ((xx,,yy): reflectância ): reflectância altas freqüencias altas freqüencias
f f ((xx,,yy)= )= i i ((xx,,yy).).r r (x,y)(x,y)
Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico O O filtro homomórfico visa a separar as duas filtro homomórfico visa a separar as duas
componentescomponentes Oferece uma forma de operar sobre esses
componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas freqüências e os da reflectância às altas freqüências
É utilizado para remover efeitos de sombra É utilizado para remover efeitos de sombra (devido a iluminação desigual) – reduz a (devido a iluminação desigual) – reduz a escala dinâmica do brilho e realça o escala dinâmica do brilho e realça o contrastecontraste Amplifica as altas freqüenciasAmplifica as altas freqüencias Atenua as baixas freqüênciasAtenua as baixas freqüências
Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico A transformada de Fourier da multiplicação A transformada de Fourier da multiplicação
de de ff((xx,,yy)= )= i i ((xx,,yy).).r r (x,y) não é séparavel(x,y) não é séparavel
Para trabalhar independamente com as duas Para trabalhar independamente com as duas componentes é necessária utilizar uma componentes é necessária utilizar uma transformada logarítmica transformada logarítmica
Pois Pois
TF[i i ((xx,,yy).).r r (x,y)(x,y) ] TF[i i ((xx,,yy).]. ).]. TF[r r ((xx,,yy)])]
e ((xx,,yy)=ln[)=ln[f f (x,y)(x,y) ]= ln[ln[i i ((xx,,yy)) ]+ln[ln[r r ((xx,,yy)) ]
E ((uu,,vv)=)=IIlnln (u,v) (u,v) +Rlnln ((uu,,vv))
Filtro Homomórfico - passo a Filtro Homomórfico - passo a passopasso1.1. FaçaFaça
2.2. Aplique a TF:Aplique a TF:
3.3. Aplique Aplique
4.4. Aplique a FTinv:Aplique a FTinv:
ouou
ondeonde
),(ln),(ln),(ln yxryxiyxf
),(ln),(ln),(ln yxryxiyxf
),(),(),(),(),().,(),( vuRvuHvuIvuHvuHvuZvuS
),(),(),(),()),().,(( 111 vuRvuHvuIvuHvuHvuZ
),(),(),( '' yxryxiyxs
H (u,v)
)),().,((),( 1' vuIvuHyxi )),().,((),( 1' vuRvuHyxr
Filtro Homomórfico - passo a Filtro Homomórfico - passo a passopasso5.5. Faça a parte exponencialFaça a parte exponencial
ComoComo
EntãoEntão
),(),(),( '' yxryxiyxs
),(),(),( 00),(),(),( ''
yxryxieeeyxg yxryxiyxs
Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico
Realce por filtro homomórficoRealce por filtro homomórfico )0.2 ,5.0(
,1)(),( )/),(( 20
2
HL
LDvuDc
LH evuH
reduz a escala dinâmica do brilho e realça o contrastereduz a escala dinâmica do brilho e realça o contraste
1 ,1 LH
Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico