prof. dr. kamel bensebaa processamento de imagens aula 9

Prof. Dr. Kamel Bensebaa

Processamento de Imagens

Aula 9

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática A Morfologia Matemática nasceu em 1964 devido

aos trabalhos pioneiros de G.Matheron e J. Serra resultantes do estudo de permeabilidade dos meios porosos em relação com a sua geometria ou textura.

A idéia de quantificar a textura de objetos a partir de elementos estruturantes de forma geométrica conhecida serviu de base à criação da Morfologia Matemática.

As primeiras noções teóricas foram estabelecidas no período de 1964 e 1968, juntamente na época em que foi criado o Centro de Morfologia Matemática na Escola de Minas de Paris localizada em Fontainebleau (França).

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática A Morfologia Matemática pode ser

definida como uma teoria para análise de estruturas espaciais.

É chamada de morfologia porque visa analisar a forma dos objetos.

A Morfologia Matemática não é apenas

uma teoria, mas também uma poderosa técnica de análise de imagens

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática O modelo morfológico para abordagem de

problemas de análise de imagem está baseado na extração de informações de imagens a partir de transformações de formas, estruturado sob a álgebra booleana, e na teoria dos conjuntos e reticulados.

As transformações singulares são realizadas através dos operadores elementares, os quais foram denominados por Matheron e Serra de transformações de dilatação e erosão.

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática Os operadores de dilatação e erosão

invariante por translação, sobre imagens binárias, foram desenvolvidos originalmente com base nas operações de adição e subtração de Minkowski.

Em geral, cada um desses operadores pode ser caracterizado por um subconjunto chamado de elemento estruturante.

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática As dilatações e erosões são usadas para

a criação de transformações mais sofisticadas.

Essas transformações levam a vários resultados importantes na de análise de imagens– filtros morfológicos– preenchimento de buracos, – Extração de contornos– reconhecimento de padrões.

Operadores morfológicosOperadores morfológicos Muito utilizados em imagens binárias (imagens de Muito utilizados em imagens binárias (imagens de

máscaras) mas também em imagens de níveis de cinzamáscaras) mas também em imagens de níveis de cinza Permitem modificar a morfologia dos objetosPermitem modificar a morfologia dos objetos

– Para limpar ou melhorar o resultado da segmentaçãoPara limpar ou melhorar o resultado da segmentação Preencher os buracos, eliminar o ruídoPreencher os buracos, eliminar o ruído

– Para suavizar o resultado da segmentaçãoPara suavizar o resultado da segmentação Utilizado em pós-segmentação.Utilizado em pós-segmentação.

Caracterizados porCaracterizados por– um elemento estruturanteum elemento estruturante– TransformaçõesTransformações

erosão, dilatação,erosão, dilatação, abertura (erosão & dilatação), fechamento abertura (erosão & dilatação), fechamento

(dilatação & erosão)(dilatação & erosão)

Elemento EstruturanteElemento Estruturante O princípio básico da Morfologia Matemática

consiste em extrair informações relativas à geometria e a topologia de um conjunto desconhecido de uma imagem.

Sua grande potencialidade reside na palavra “elemento estruturante”.

A morfologia age sobre imagens digitais a partir de elementos estruturantes geralmente definidos por uma malha retangular.

Uma das chaves para a obtenção de bons resultados na Morfologia Matemática, é a escolha adequada do elemento estruturante.

Elemento EstruturanteElemento Estruturante O O elemento estruturanteelemento estruturante “desliza” sobre as “desliza” sobre as

bordas (internas, externas) dos objetos e bordas (internas, externas) dos objetos e transforma na sua passagem :transforma na sua passagem :– pixels dos pixels dos objetosobjetos em pixels de em pixels de fundofundo (erosão) (erosão)– pixels de pixels de fundofundo em pixels de em pixels de objetosobjetos

(dilatação)(dilatação) Exemplo de elementos estruturantes :Exemplo de elementos estruturantes :

Conectividade-4

Conectividade-8

Existem outras formas d‘e elementos estruturantes, não necessariamente simétricos.

Morfologia MatemáticaMorfologia Matemática A linguagem da Morfologia Matemática sobre imagens

binárias é baseada na teoria dos conjuntos. Os subconjuntos considerados são os pixels pretos em

uma imagem preto e branco (imagem binária). Subconjuntos, em um espaço bidimensional podem

representar regiões de imagens binárias. Subconjuntos, em um espaço Euclidiano tridimensional,

podem representar imagens binárias variando no tempo, ou imagens binárias representando sólidos, ou ainda, imagens estáticas em níveis de cinza.

Subconjuntos com dimensões maiores podem incorporar informações adicionais em relação à imagem, tais como: informações de cor ou múltiplas perspectivas.

Definições BásicasDefinições Básicas

O conjunto de todos os píxels pretos de uma Imagem Binária é uma descrição completa dessa Imagem.

Em Imagens Binárias, os conjuntos são membros do espaço bi-dimensional de números inteiros Z2, em que cada elemento é um vetor cujas coordenadas são (x,y).

Imagens digitais em nível de cinza podem ser representadas por conjuntos cujos componentes estejam em Z3. Dois componentes de cada elemento são as coordenadas do píxel e o terceiro corresponde ao valor da Intensidade.

Definições BásicasDefinições Básicas

CONCEITO DE CONJUNTO – O conjunto é um conceito fundamental em

todos os ramos da Matemática. – Intuitivamente, um conjunto é uma lista,

coleção ou classe de objetos bem definidos. – Os objetos em um conjunto podem ser

qualquer entidade abstrata: números, variáveis, equações, operações, algoritmos, sentenças, nomes, etc.

– Esses objetos são chamados elementos ou membros de um conjunto.

Definições BásicasDefinições Básicas Exemplos:

– O conjunto cujos elementos são os números 1, 4, 9, 16 e 25

– O conjunto das soluções da equação x2 – 5x + 6 = 0

– O conjunto dos números inteiros, ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...

– O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Geralmente denotamos os conjuntos por Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os elementos de um conjunto por letras elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ... minúsculas: a, b, c, x, y, ...

Teoria dos Conjuntos

Conjunto como próprio nome diz e uma coleção de objetos sem repetição. Se um conjunto não e muito grande, este pode ser descrito listando-se os seus elementos em qualquer ordem por exemplo:

A = {1 , 2 , 3 , 4}

Se um conjunto e muito grande ou infinito, este pode ser descrito através de propriedades requeridas de seus membros:

Teoria dos Conjuntos

X = {x| x e um n° inteiro, positivo e par}

x X , se x esta em X, caso contrario x X.

Exemplos:Se A= {x| x2 + x – 6 = 0} e B={2, -3} então A = B

Se C={1, 3} e A = {1 , 2 , 3 , 4} então C e um subconjunto de A

Combinação de Conjuntos Sejam dois conjuntos X e Y: UNIÃO A união de dois conjuntos X e Y é o

conjunto de elementos que pertencem ou X ou Y ou ambos:

X Y = { x | (x X) ou (x Y)} Exemplo: Considere dois conjuntos

A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6} então A B = {1, 3 , 4 , 5 , 6}

Combinação de Conjuntos INTERSEÇÃO A interseção de dois conjuntos X e Y é o

conjunto de elementos pertencentes a ambos X e Y:

X Y = { x | (c X) e (x Y)} Exemplo: Considere dois conjuntos A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6}

então A B = {5}

Combinação de Conjuntos DIFERENÇA A diferença entre os conjuntos X e Y é o

conjunto de elementos que pertencem a X mas não pertencem a Y:

X – Y = { x | ( A) e (x B)} Exemplo: Considere dois conjuntos A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6} então A - B = {1 , 3} B - A = {4 , 6}

Combinação de Conjuntos COMPLEMENTO O complemento do conjunto X é o

conjunto dos elementos não pertencentes ao conjunto X.

Ac ou X’ = {x | x X} Exemplo: Seja o conjunto V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5} e A = {1 , 3 , 5} então A’ = {2 , 4} e o complemento de A em relação a V.

Combinação de Conjuntos DISJUNÇÃO São disjuntos quando não existem

elementos comuns entre eles. Exemplo: Seja o conjunto A = { 1 , 4 , 5} e B = {2 , 6}então A e B são disjuntos.

Combinação de Conjuntos TRANSLAÇÃO A translação do conjunto X pelo ponto x é

definida, em notação de conjuntos, como:

X’ = { y | y = a + x, x X} Exemplo: Seja o conjunto X = {1 , 2}então todos os pixels da imagem serão movidosuma coluna para a direita e duas linhas parabaixo conforme exemplificado abaixo com umaimagem:

Combinação de Conjuntos Translação

Combinação de Conjuntos REFLEXÃO A reflexão do conjunto X é definida

como:

X’ = { y | y = -x, x X} Esta é uma rotação de 180o sobre a

origem

Operações de Conjuntos em Imagens

AND

OR

A B

A B



XOR

NAND

B - A

Dilatação Binária A dilatação é uma transformação morfológica que

combina dois conjuntos usando adição vetorial. Seu símbolo é O resultado será uma imagem dilatada “engordada”. A dilatação de um conjunto A pelo conjunto B e

definida por: A B = { c | c = a + b , a A , b B } onde A representa a imagem sendo operada e B é

um segundo conjunto onde é chamado elemento estrutural e sua composição define a natureza espcifica da dilatação, sendo assim a dilatação expande uma imagem. Ela pode ser representada pela união A B = B.

Exemplo de DilataçãoExemplo de DilataçãoSeja o conjunto A = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (2,2) ,

(3,0)} e B = {(0,0) , (0,1)} então o resultante da dilatação é:A B = {A + {(x1 B)} A + {(x2

B)}A B = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (3,0) ,

(0,2) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,1)}

Exemplo de DilataçãoExemplo de Dilatação Exemplo: A B A = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,0)} =

B = {(0,0) , (0,1)} = A B = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (3,0) , (0,2) , (1,2) , (2,2)

, (2,3) , (3,1)} =

Logo A B = [A+ {(0,0)}] [A + {(1,0)}] resulta em: A B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

Exemplo de DilataçãoExemplo de DilataçãoO pixel marcado com um “x”

representa a origem (0,0) de cada imagem. A localização da origem é muito importante; no exemplo anterior se a origem do conjunto B fosse o pixel da direita, {(-1,0),(0,0)}, a dilatação acrescentaria pixels a esquerda na imagem A.

Pode-se visualizar todo o processo da melhor forma graficamente:

Exemplo de DilataçãoExemplo de Dilatação Seqüência de passos na Dilatação

de A por B

Definições ÚteisDefinições Úteis Em matemática, um grupo abeliano,

chamado também de grupo comutativo, é um grupo (G,*) tais que a*b = b*a para todo a e b em G. Ou seja, a ordem em que a operação binária é executada não importa.

Um Um reticuladoreticulado é uma estrutura L = (L, R) é uma estrutura L = (L, R) tal que L é tal que L é parcialmente ordenadoparcialmente ordenado por R e por R e para cada dois elementos a, b de L existe para cada dois elementos a, b de L existe supremosupremo (menor limite superior) e (menor limite superior) e ínfimoínfimo (maior limite inferior) de {a,b}. (maior limite inferior) de {a,b}.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Parcialmente_ordenado

http://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dnfimo

Definições ÚteisDefinições Úteis Seja E um conjunto de elementos. O conjunto {x : P} define os elementos x

de E que satisfazem a propriedade P. A proposição A B significa que A é um

subconjunto de B. A proposição x A significa que x é um

elemento do conjunto A. O símbolo i significa “existe pelo menos

um i”, e o símbolo i, “para todo i”.

Adição de MinkowskiAdição de Minkowski A adição de Minkowski baseada na teoria

dos conjuntos foi proposta por Minkowski (1903) para caracterizar medidas integrais de certos conjuntos esparsos. A adição de Minkowski pode ser definida da seguinte forma:– Seja (E, +) um grupo Abeliano– Sejam A e B subconjuntos de E. – A soma de Minkowski de A e B é o

subconjunto de E, denotado A B e dado por:

Adição de MinkowskiAdição de Minkowski A adição de Minkowski, denotada , é o mapeamento dado por:

A adição de Minkowski é uma operação que combina dois conjuntos usando a adição vetorial de elementos em um grupo Abeliano.

Subtração de MinkowskiSubtração de Minkowski Seja (E, +) um grupo Abeliano. Sejam A e B dois subconjuntos de E. A diferença de Minkowski entre A e B é o

subconjunto de E, denotado A θ B e é dado por:

Subtração de MinkowskiSubtração de Minkowski A subtração de Minkowski, denotada θ, é

o mapeamento dado por

Transformação de DilataçãoTransformação de Dilatação A dilatação binária é uma transformação

que combina dois conjuntos usando a adição de Minkowski.

Se A e B são subconjuntos em um grupo Abeliano, então a dilatação de A por B é a soma de Minkowski entre A e B.

A transformação de dilatação, também é conhecida na área de processamento de imagens como ampliação.

Transformação de DilataçãoTransformação de Dilatação Seja A e B subconjuntos de E. A dilatação

com relação a B, denotada por δB é definida, para todo A E :

Na expressão δB (A), a utilização da dilatação de A com relação a B, A e B tem “tratamento” diferente.

A é a imagem a ser processada, enquanto que B é o parâmetro da dilatação.

DilataçãoDilatação É a aplicação de um elemento estruturante de

forma concêntrica sobre um conjunto definido de pontos (brancos ou pretos) em uma imagem, de maneira que o elemento estruturante adicione informação sobre a vizinhança destes pontos.

Pode-se imaginar que o elemento estruturante desliza sobre um conjunto de pontos dilatando sua vizinhança numa proporção que varia conforme as dimensões do elemento estruturante.

Os efeitos da dilatação binária são: – engordar o objeto. – preencher pequenos buracos. – conectar objetos próximos.

Transformação de ErosãoTransformação de Erosão A erosão binária é uma transformação que

combina dois conjuntos usando subtração Minkowski.

Se A e B são subconjuntos em um grupo Abeliano, então a erosão de A por B é a diferença de Minkowski entre A e B.

A transformação de erosão, também é conhecida na área de processamento de imagens como retração ou redução.

A erosão de A com relação a B denotada por εB , é definida, para todo A E, por:

ErosãoErosão É o inverso da dilatação. A aplicação do elemento

estruturante ocorre analogamente à operação anterior, porém, ao invés de dilatar a vizinhança do ponto percorrido inserindo informação, o elemento retira informação (gerando erosão nas áreas percorridas).

Isso qualifica a erosão binária com os seguintes efeitos: – diminuir os objetos. – eliminar objetos menores que o elemento

estruturante. – aumentar os buracos. – permitir a separação de objetos próximos.

Exemplo de DilataçãoExemplo de Dilatação


AA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

A A B ?B ?

Exemplo de DilataçãoExemplo de Dilatação AA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

A A B B ={[A+(-1,0)]={[A+(-1,0)][A+(0,-1)] [A+(0,-1)] [A+(0,1)] [A+(0,1)] [A+(1,0)]}[A+(1,0)]}

[A+(-1,0)]=[(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)][A+(-1,0)]=[(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)]

[A+(0,-1)]=[(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)][A+(0,-1)]=[(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)]

[A+(0,1)]=[(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)][A+(0,1)]=[(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)]

[A+(1,0)]=[(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)][A+(1,0)]=[(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)]

A A B B ={(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)={(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3) (3,1),(3,2)}(3,1),(3,2)}

• Example 1

• Example 2



• Exemplo 1

• Exomplo 2


11 11 1111 11 1111 11 11

Exemplo de ErosãoExemplo de Erosão


11 11 1111 11 1111 11 11

Propriedades da DilataçãoPropriedades da DilataçãoRaio=3Raio=3

O tamanho dos objetos aumenta Os buracos podem ser preenchidos Os objetos vizinhos podem ser conectados Pequenos detalhes desaparecem

Dilatação com elementos de tamanho crescente

Propriedades da ErosãoPropriedades da Erosão

O tamanho dos objetos diminua Os objetos com buracos podem ser divididos

em vários Pequenos objetos e detalhes desaparecem

AberturaAbertura

A erosão de uma imagem não remove somente todas as estruturas que não contém o elemento estruturante, mas também “encolhe” todas as outras

A procura por um operador capaz de recuperar a maioria das estruturas perdidas pela erosão levou a definição do operador morfologico Abertura

A ideia por tras do operador abertura é dilatar a imagem erodida de maneira a recuperar o máximo possivel a imagem original

AberturaAbertura

É derivada das operações de dilatação e erosão. O operador de abertura aplica uma erosão seguida

de uma de dilatação na imagem. Esta seqüência de operações visa eliminar

pequenos ruídos na imagem e abrir lacunas em regiões de fraca conexão entre objetos, através da erosão, e posteriormente tenta restaurar as dimensões reais de objetos da imagem através da dilatação.

Os ruídos e fracas conexões eliminados com a erosão não retornam à imagem após a dilatação.

Opening - suaviza o contorno de uma Opening - suaviza o contorno de uma imagem. imagem. Quebra estreitos e elimina proeminências delgadas. Quebra estreitos e elimina proeminências delgadas. É usada também para remover ruídos da imagem e É usada também para remover ruídos da imagem e

abrir pequenos vazios ou espaços entre objetos abrir pequenos vazios ou espaços entre objetos próximos numa imagem .próximos numa imagem .

A A B = (A B = (A B) B) B B Dada por uma Dada por uma erosão seguida de uma dilataçãoerosão seguida de uma dilatação com o com o

mesmo elemento estruturante.mesmo elemento estruturante.

AberturaAbertura

AberturaAbertura

Original

Após Abertura

AberturaAbertura

FechamentoFechamento

Também derivada das operações de dilatação e erosão, trata-se da operação inversa da abertura, aplicando primeiramente uma dilatação seguida de uma erosão.

Esta seqüência de operações visa restaurar conexões fracas entre objetos da imagem.

FechamentoFechamento Closing Closing

– A operação de Fechamento também tende a suavizar os contornos, mas geralmente funde partes, elimina pequenos buracos e preenche fendas em um contorno.

– Objetos maiores não são afetados – Elimina pequenos orifícios.Elimina pequenos orifícios.– Preenche ou fecha os vazios. Preenche ou fecha os vazios.

– Estas operações remover pixels brancos Estas operações remover pixels brancos

com ruídos.com ruídos. A A B = (A B = (A B) B) B B

Original

Fechamento


Abertura e FechamentoAbertura e Fechamento

Imagens em Escala de Cinza Imagens em Escala de Cinza

Na morfologia aplicada à imagens em tons de cinza, além do procedimento descrito para as operações binárias é importante o conhecimento do valor dos pixels envolvidos tanto na imagem original, quanto no elemento estruturante, para a execução das operações de mínimo ou ínfimo ()e máximo ou supremo().


As operações do mínimo e máximo em imagens de escala de cinza podem ser definidas da seguinte maneira:

dilatação:dilatação: B kf x k B( ) max{ , }

B kf x k B( ) min{ , }

Bx

10 10 1010 0 1010 10 10

10 10 1010 10 1010 10 10

10 0 100 0 0

10 0 10

B f( )

B f( )

f

erosão:erosão:


00 11 00

11 11 11

00 11 00

Structuring element

Input Image Resultant Image



00 11 00

11 11 11

00 11 00

Structuring element00 11 00

11 11 11

00 11 00

Input Image Output image


Gradiente MorfológicoGradiente Morfológico

Os gradientes morfológicos são operadores que aumentam as variações da intensidade de um pixel numa vizinhança determinada por um elemento estruturante

A erosão/dilatação extrai para cada pixel o mínimo/máximo valor da imagem de vizinhança definida pelo elemento estruturante

Variações de combinações entre esses operadores conduzem a diferentes resultados


As combinações mais usadas são – Diferença aritmética entre a dilatação e a erosão– Diferença aritmética entre a dilatação e a

imagem original– Diferença aritmética entre a imagem original e a

erosão A partir dessas combinações possíveis

podem ser denominados como gradiente morfológico básico ou de Beucher, gradiente, gradiente metade, gradiente espesso ou gradiente direcional


Gradiente morfológico básico ou gradiente de Beucher é definido pela diferença entre a dilatação e a erosão pelo elemento estruturante B para a imagem considerada

BBB

Gradiente MorfológicoGradiente MorfológicoOs gradientes metade são

bastantes úteis quando são usados para detecção de fronteiras internas ou externas de uma borda

Podem ser de dois tipos:– Gradiente metade por erosão ou

gradiente interno é definido pela diferença entre a imagem original e imagem erodida

BBI


– Gradiente metade por dilatação ou gradiente externo é definido pela diferença entre a imagem dilatada e imagem original

IBB

Gradiente MorfológicoGradiente Morfológico Gradiente espesso: Se o elemento estruturante

aplicado no processo do gradiente básico é maior que o elemento estruturante elementar (por exemplo quadrado elementar) o gradiente morfologico é conhecido como gradiente espesso, predominando bordas dilatadas

Sua representação (nB) significa que o elemento estruturante sera aumentado n vezes

Por exemplo o quadrado elementar de 3x3 para um elemento estruturante em que o n de nB vale 2, corresponderia a um quadrado de 6x6. Temos então

nBnBBn


Gradiente externo

Gradiente interno


BBB

Gradiente Morfológico InternoGradiente Morfológico Interno

BBI

Gradiente Morfológico ExternoGradiente Morfológico Externo

IBB

Variantes de Erosão e Variantes de Erosão e DilataçãoDilatação

Os algoritmos a seguir apresentam um uso prático da morfologia matemática no processamento de imagemSkeletonization – EsqueletizaçãoThickening – EspessamentoThinning – AfinamentoPruning – PodaShrinking – Compressão da Imagem

EsqueletizaçãEsqueletizaçãoo Operação de determinação do esqueleto

Definição do esqueletoObjeto filiforme (1 pixel de largura)Que passa pelo meio do objetoE que preserva a topologia do objeto original

prof. dr. kamel bensebaa processamento de imagens aula 9

Documents