Problema 1Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio estn montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular: La velocidad angular de rotacin cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla. Hallar la energa cintica del sistema en los dos casos. Solucin

Conservacin del momento angularI1=112322+2(2560.22+60.52)1=120260=4rad/sI2=112322+2(2560.22+612)I11=I222=1.27rad/sVariacin de la energa cinticaEk1=12I121=330.99JEk2=12I222=105.20JProblema 2Dos nios de 25 kg de masa cada uno estn situados en el borde de un disco de 2.6 m de dimetro y 10 kg de masa. El disco gira a razn de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. Cul ser la velocidad angular del conjunto si cada nio se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?. Calcular la variacin de energa cintica de rotacin del sistema, y explica la causa del incremento de energa.

Solucin

Conservacin del momento angularI1=12101.32+2(251.32)1=5260=6rad/sI2=12101.32+2(250.72)I11=I222=1.48rad/sVariacin de la energa cinticaE=Ek2Ek1=12I22212I121=27.2JLa fuerza sobre un nio para que describa un movimiento circular de radio r es F=m2r, cuando la plataforma gira con velocidad angular . El trabajo de la fuerza F cuando el nio pasa de la posicin inicial (en el borde) a la posicin final (hacia el centro) incrementa la energa cintica de rotacin.

Problema 3

Un nio de 25 kg est agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30 de la vertical. La distancia entre el punto de suspensin y el c.m. del nio es 2 m. Calcular la velocidad angular 1 con la que llega a la posicin de equilibrio. En esta posicin, el nio se levanta rpidamente quedndose de pi sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angular 2, Calcula la mxima desviacin , del nio cuando est de pi sobre el columpio. Cunto vale la tensin de la cuerda cuando pasa por la posicin /2?. SolucinConservacin de la energa259.8(22cos30)=1225v21v1=2.29m/s1=1.15rad/s

Conservacin del momento angular25221=251.7222=1.60rad/s

Conservacin de la energa1225(1.72)2=259.8(1.71.7cos)=38.6

Tensin de la cuerda para /2La velocidad de la partcula para /21225(1.72)2=1225v23+259.8(1.71.7cos2)v3=2.32m/sLas fuerzas sobre la partcula son: La tensin, T El peso, mgDinmica del movimiento circular uniformeT259.8cos2=25v231.7T=310.6NProblema 4Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin friccin, est sujeto a una barra rgida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la direccin perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura) Cul es la velocidad angular del sistema despus del choque?. Se conserva la energa en esta colisin?.Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo:I=16ma2 y de la varilla I=112mL2 Solucin

Conservacin del momento angularMomento angular de la partcula respecto de un eje que pasa por O.L=mvdMomento angular del slido en rotacin alrededor de un eje que pasa por OL=IIgualamos el momento angular inicial al final0.052002=(Icubo+Ivarilla+Ibala)0.052002=((1620.22+222)+(1120.322+0.312)+0.0522)=2.32rad/sEnerga inicial y finalEki=120.052002=1000JEkf=12IO2=23.22JProblema 5Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m est en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la direccin y sentido indicado en la figura. Calcular: La velocidad angular del disco despus del disparo El sentido en que gira. La variacin de energa Solucin

El momento angular de la partcula esL=rmvSu mdulo es L=rmvsin60=mvd=0.2200.5sin60d es el brazo del momento linealLa direccin es perpendicular al plano de la pantalla y sentido hacia dentroL1=3Momento angular del discoL2=I=(12100.52)=54Aplicamos el principio de conservacin del momento angular. El momento angular inicial es cero El momento angular final es la suma del momento angular del disco y de la partcula que se lanza.3+54=0=435rad/sVariacin de energaE=Ek2Ek1=12I2+12mv2=41.2JProblema 6Obtener la frmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su ladob.Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su direccin inicial es horizontal, formando un ngulo con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Despus de la colisin la bola se queda pegada a la puerta. Obtener: La expresin de la velocidad de la puerta despus de la colisin. La variacin de energa cintica del sistema (puerta ms bola de masilla).Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, = 22, v = 27 m/s. Solucinrea del elemento diferencial bdx. Masa dm contenida en dicho elementodm=Mabbdx=MadxI=x2dm=0ax2Madx=13Ma2

Momento angular inicial de la bolaLi=mvDcosMomento angular final de la puerta y la bola pegadaLf=(13Ma2+mD2)Aplicamos el principio de conservacin del momento angularLi=Lf=mvDcos13Ma2+mD2=2.57rad/sVariacin de energaE=EkfEki=12(13Ma2+mD2)212mv2=379JProblema 7

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un pndulo. Despus del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El pndulo gira alrededor de O y est formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular el ngulo mximo que gira el pndulo como consecuencia del choque y la energa perdida en el mismo. SolucinMomento de inercia del pndulo respecto de un eje que pasa por el extremo de la varilla.IO=(1120.20.22+0.20.12)+(120.50.052+0.50.252)=0.034kgm2Principio de conservacin del momento angular0.1500.25=IO+0.1400.25, =7.24 rad/sPosicin del centro de masa respecto del extremo O de la varillaxc=0.20.1+0.50.250.2+0.5=0.21mPrincipio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del pndulo se transforma en energa potencial de su c.m.0.79.8(xcxccos)=12IO2=68.7Energa perdida en el choqueE=12IO2+120.1402120.1502=44.09JProblema 8Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrndose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente despus del choque. Calcular el mximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

Solucin

El momento angular de la partcula esL=rmvSu mdulo es L =mvd=0.1250.35cos30d es el brazo del momento linealMomento de inercia del pndulo y de la bala incrustada respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varillaIo=(1120.90.452+0.90.2252)+0.10.352=0.073kgm2Principio de conservacin del momento angularmvd=Io, =10.38 rad/sPosicin del centro de masa respecto del extremo O de la varillaxc=0.90.225+0.10.350.9+0.1=0.2375mPrincipio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del sistema formado por el pndulo y la bala se transforma en energa potencial de c.m. del sistema.1.09.8(xcxccos)=12IO2=133.6Problema 9Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un pndulo, tal como se muestra en la figura. Despus del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El pndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, est formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente despus del choque. Calcular el ngulo mximo que gira el pndulo como consecuencia del choque, y la energa perdida en el mismo.

Solucin

El momento angular de la partcula esL=rmvSu mdulo es L =mvd=0.112.50.25cos30d es el brazo del momento linealMomento de inercia del pndulo y de la bala incrustada respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varillaIo=(1120.20.22+0.20.12)+(120.50.052+0.50.252)+0.10.252Principio de conservacin del momento angularmvd=Io, =6.634 rad/sEnerga perdida en el choqueE=12IO2120.112.52=6.91JPosicin del centro de masa respecto del extremo O de la varillaxc=0.50.25+0.10.25+0.20.10.5+0.1+0.2Principio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del sistema formado por el pndulo y la bala se transforma en energa potencial de c.m. del sistema.0.89.8(xcxccos)=12IO2=62.5Problema 10

Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un pndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Caractersticas de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; caractersticas de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra est fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo. Si la bala se incrusta en el pndulo, calcular el valor mnimo de v para que el pndulo d una vuelta completa. Si la bala atraviesa el pndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ngulo de desviacin mxima al que llegar el pndulo. Solucin

Principio de conservacin del momento angularMomento angular de la balaL=0.05v0.37Momento de inercia del sistema formado por la varilla, la esfera y la bala incrustada en su centro.Io=(1120.20.42+0.20.122)+(250.50.052+0.50.372)+0.050.372=0.0745kgm20.05v0.37=IoPosicin del centro de masa respecto de Oxc=0.20.12+0.50.37+0.0.50.370.2+0.5+0.05=0.303mPrincipio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del sistema formado por el pndulo y la bala se transforma en energa potencial de c.m. del sistema.0.759.82xc=12IO2=10.47rad/sDe la conservacin del momento angular, v=46.04 m/s

Principio de conservacin del momento angularMomento angular de la balaL=0.05v0.37Momento angular de la bala y del sistema formado por la varilla y la esferaIo=(1120.20.42+0.20.122)+(250.50.052+0.50.372)=0.0745kgm20.05v0.37=Io+0.05(v/2)0.37como v=46.04 m/s, =5.72 rad/sPosicin del c.m. del sistema formado por la varilla y la esferaxc=0.20.12+0.50.370.2+0.5=0.3mPrincipio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del sistema formado por la varilla y la esfera se transforma en energa potencial de c.m. del sistema.0.79.8(xcxccos)=12IO2=66.1

Problema 11Un pndulo est formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partcula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ngulo de 30 con la horizontal tal como se muestra en la figura. Calcular la velocidad angular del pndulo inmediatamente despus del disparo de la partcula. Calcular el mximo desplazamiento angular del pndulo

Solucin

El momento angular inicial es ceroEl momento angular de la partcula es L=rmvSu mdulo es L =mvd=0.112.50.45cos30d es el brazo del momento linealSu sentido es el de las agujas del reloj (-)Momento de inercia del pndulo respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varillaIo=(1120.20.42+0.20.22)+(120.50.052+0.50.452)Principio de conservacin del momento angular-mvd+Io=0, =4.33 rad/sPosicin del centro de masa respecto del extremo O de la varilla del pnduloxc=0.20.2+0.50.450.2+0.5=0.38mPrincipio de conservacin de la energa. La energa cintica de rotacin del pndulo se transforma en energa potencial de su c.m..0.79.8(xcxccos)=12IO2=53.5

Problema 12

Un slido rgido en rotacin en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, est formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30 con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera. Cul debe ser la velocidad v para que el sistema se pare despus del choque. Solucin

El momento angular de la bala es L=rmvSu mdulo es L =mvd=0.3v0.3cos30d es el brazo del momento linealSu sentido es contrario al de las agujas del reloj (+)Momento de inercia del slido de un eje que pasa por OIo=(11220.82)+2(2560.12+60.32)=1.23kgm2Momento angular del slido en rotacin Io, con =4 rad/sSu sentido es el de las agujas del reloj (-)El momento angular final es ceroPrincipio de conservacin del momento angularmvd-Io=0, v=199 m/s