problemas de fisica

PROBLEMAS DE FISICA. Tema: cinemática

De modo ilustratorio, se muestra un planteo y su solucion para que vea como sus soluciones le llegan por email.

Unos artilleros instalan un viejo cañón sobre el nivel del mar en el borde sobre un acantilado. Lo apuntan en forma que el disparo sea horizontal. El proyectil sale con cierta velocidad inicial Vi. El cañón se encuentra a 60 m sobre el nivel del mar. El tiempo que transcurre desde el disparo hasta que se escucha el sonido del impacto sobre el mar es 4,0 s. Sabiendo que la velocidad del sonido es aprox. unos 340 m/s, estime la distancia horizontal x desde el punto impacto a la base del acantilado y la velocidad inicial Vi del proyectil.

RESPUESTAS : x = 159 m; Vi = 45,4 m/s

Ubicando el origen del sistema coordenadas en el mar junto al acantilado y llamando x a las posiciones horizontales e y a las posiciones verticales, tenemos:

(A) x = Vi cos t

(B) y = yi + Vi sen t - (1/2)gt2. yi es la posición vertical inicial.

En este caso yi = 60 m, Vi es la magnitud para la velocidad inicial, es el ángulo del vector velocidad inicial respecto del eje x, en este caso = 0º por cuanto es un disparo horizontal. Además, recordemos que sen0º = 0 y cos0º = 1.

Podemos calcular el tiempo que tarda el proyectil en llegar al agua sabiendo que en la superficie y = 0.

y = 0 = 60m + Visen0º t - (1/2)gt2. O sea

(1/2)gt2 = 60m, donde resulta t = 3,5 segundos.

A este tiempo 3,5 s lo llamaremos tiempo caída. El tiempo que demora el sonido del impacto en recorrer la distancia entre punto impacto y el cañón es entonces

4s - 3,5s = 0,5s.

La distancia entre el punto impacto y el cañón es, usando la conocida relación distancia = velocidad*tiempo = 340 m/s*0,5s = 170m. Estos 170 m constituyen la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos 60m y la distancia pedida x, o sea,

x2 = (170m)2 - (60m)2.

Resolviendo x en dicho triángulo rectángulo resulta x = 159 metros.

Para calcular la velocidad inicial con que fué disparado el proyectil podemos usar la ecuación (A)

x = Vi cos t159m = Vi *1*3,5sPor lo tanto Vi = 45,4 m/s.

Problema n° 2) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.

DesarrolloDatos:

v1 = 1.200 cm/s

t1 = 9 s

v2 = 480 cm/s

t2 = 7 s

a) El desplazamiento es:

x = v.t

Para cada lapso de tiempo:

x1 = (1200 cm/s).9 sx1 = 10800 cm

x2 = (480 cm/s).7 sx2 = 3360 cm

El desplazamiento total es:

Xt = X1 + x2

Xt = 10800 cm + 3360 cmXt = 14160 cm = 141,6 m

b) Como el tiempo total es:

tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s

Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos:

Δv = xt/tt

Δv = 141,6 m/16 sΔ v = 8,85 m/sResolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.

Desarrolloa) Si son de distinto sentido:

Xt = X1 - x2

Xt = 10800 cm - 3360 cmXt = 7440 cm = 74,4 m

b)

Δv = xt/tt

Δv = 74,4 m/16 sΔ v = 4,65 m/s

Problema n° 4) En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

DesarrolloDatos:

v = 4 m/s

t = 4 s

v = x/tx = v.tx = 4 m/s.4 s x = 16 m

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Solución del ejercicio n° 5 de Movimiento rectilíneo uniforme:

Problema n° 5) Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm yx2 = 25,5 cm. Determinar:

a) Velocidad del móvil.

b) Su posición en t3 = 1 s.

c) Las ecuaciones de movimiento.

d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.

e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.

DesarrolloDatos:

t1 = 0 s

x1 = 9,5 cm

t2 = 4 s

x2 = 25,5 cm

a) Como:

Δv = Δx/ΔtΔv = (x2 - x1)/(t2 - t1)

Δv = (25,5 cm - 9,5 cm)/(4 s - 0 s)Δv = 16 cm/4 s

Δv = 4 cm/s

b) Para t3 = 1 s:

Δv = Δx/ΔtΔx = Δv.Δt

Δx = (4 cm/s).1 sΔx = 4 cm

Sumado a la posición inicial:

x3 = x1 + Δxx3 = 9,5 cm + 4 cmx3 = 13,5 cm

c)

x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm

d) Con la ecuación anterior para t4 = 2,5 s:

x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cmx4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cmx4 = 19,5 cm

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 6) Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x0 = -4 m, trazar las gráficas x = f(t) y v = f(t).

DesarrolloDatos:

v = 2 m/s

x0 = -4 m

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 1) Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular:

a) Aceleración.

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?.

DesarrolloDatos:

v0 = 0 m/s

vf = 588 m/s

t = 30 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

a) De la ecuación (1):

vf = v0 + a.tvf = a.ta = vf/t

a = (588 m/s)/(30 s)a = 19,6 m/s ²

b) De la ecuación (2):

x = v0.t + a.t ²/2x = a.t ²/2x = (19,6 m/s ²).(30 s) ²/2

x = 8820 m

Problema n° 2) Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos?.

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.

DesarrolloDatos:

t = 25 s

x = 400 m

vf = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = v0.t + a.t ²/2x = v0.t + (-v0/t).t ²/2

x = v0.t - v0.t/2x = v0.t/2v0 = 2.x/t

v0 = (2.400 m)/(25 s)v0 = 32 m/s


a = (-32 m/s)/(25 s)a = -1,28 m/s ²

Problema n° 4) Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s ² constante. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s?.


DesarrolloDatos:

v0 = 0 m/s

a = 20 m/s ²

t = 15 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = (20 m/s ²).(15 s)vf = 300 m/s


x = v0.t + a.t ²/2x = a.t ²/2x = (20 m/s ²).(15 s) ²/2x = 2250 m

Problema n° 5) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular:

a) ¿Cuánto vale la aceleración?.


c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s?

DesarrolloDatos:

v0 = 0 km/h = 0 m/s

vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s

t = 5 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = a.tt =vf/a

a = (25 m/s)/(5 s)a = 5 m/s ²


x = v0.t + a.t ²/2x = a.t ²/2x = (5 m/s ²).(5 s) ²/2x = 62,5 m

c) para t = 11 s aplicamos la ecuación (1):

vf = (5 m/s ²).(11 s)vf = 55 m/s

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 6) Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h?.

DesarrolloDatos:

v0 = 0 m/s

t = 10 s

x = 20 m

vf2 = 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

De la ecuación (1):

vf = a.tt =vf/a (3)


x = (vf/t).t ²/2x = vf.t/2vf = 2.x/t

vf = 2.(20 m)/(10 s)vf = 4 m/s

Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (4 m/s)/(10 s)a = 0,4 m/s ²

Finalmente con la aceleración y la velocidad final dada:

vf2 = v0 + a.tvf2 = a.tt = vf2/a

t = (11,11 m/s)/(0,4 m/s ²)t = 27,77 s

Problema n° 7) Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 51840 km/h ², calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá los 10 s?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?.

c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo.

DesarrolloDatos:

v0 = 0 km/h = 0 m/s

a = 51840 km/h ² = (51840 km/h ²).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s).(1 h/3600 s) = 4 m/s ²

t1 = 10 s

t2 = 32 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

a)


vf = (4 m/s ²).(10 s)vf = 40 m/s

b)


x = (4 m/s ²).(32 s) ²/2x = 2048 m

c)

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30 m/s ², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos?.

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?.

DesarrolloDatos:

v0 = 0 m/s

a = 30 m/s ²

t1 = 2 min = 120 s

t2 = 2 h = 7200 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

a)


x1 = (30 m/s ²).(120 s) ²/2x1 = 216000 m x1 = 216 km

b)

De la ecuación (1) hallamos la velocidad a los 2 min:

vf = (30 m/s ²).(120 s)vf = 3600 m/s

A partir de ahora la velocidad es constante, por lo tanto:

v = 3600 m/s

pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de:

t = t2 - t1

t = 7200 s - 120 st = 7080 s

Primero calculamos la distancia recorrida con una velocidad constante:

x2 = v.tx2 = (3600 m/s).(7080 s)x2 = 25488000 mx2 = 25488 km

Ahora calculamos la distancia recorrida durante los 7200 s sumando ambas distancias:

x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 25704000 m x = 25704 km

Problema n° 1) Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse. Calcular:

a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?.

b) ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?.

DesarrolloDatos:

v0 = 120 km/h = (120 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 33,33 m/s

vf = 0 km/h = 0 m/s

t = 10 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t

a = (-33,33 m/s)/(10 s)a = -3,33 m/s ²

Con éste dato aplicamos la ecuación (2):

x = (33,33 m/s).(10 s) + (-3,33 m/s ²).(10 s) ²/2 x = 166,83 m

b) Para x2 = 30 m y con la aceleración anterior, conviene aplicar la ecuación opcional:

vf ² - v0 ² = 2.a.xvf ² = v0 ² + 2.a.xvf ² = (33,33 m/s) ² + 2.(-3,33 m/s ²).(30 m)

vf = 30,18 m/svf = 106,66 km/h

Problema n° 2) Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.

b) ¿Qué espacio necesito para frenar?.

DesarrolloDatos:

v0 = 30 km/h = (30 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 8,33 m/s

vf = 0 km/h = 0 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t

a = (-8,33 m/s)/(4 s)a = -2,08 m/s ²

b) Con el dato anterior aplicamos la ecuación (2):

x = (8,33 m/s).(4 s) + (-2,08 m/s ²).(4 s) ²/2 x = 16,67 m

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 3) Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20 m/s ², necesita 100 metros para detenerse. Calcular:

a) ¿Con qué velocidad toca pista?.

b) ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?.

DesarrolloDatos:

a = - 20 m/s ²

x = 100 m

vf = 0 m/s

a) Aplicando:

vf ² - v0 ² = 2.a.x0 - v0 ² = 2.a.xv0 ² = - 2.(-20 m/s ²).(100 m)

vf = 63,25 m/s

b) Aplicando:

vf = v0 + a.t0 = v0 + a.t t = -v0/at = -(63,25 m/s)/(- 20 m/s ²)t = 3,16 s

Problema n° 5) La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:

a) ¿Qué aceleración experimenta la bala?.

b) ¿Cuánto tarda en salir del rifle?.

DesarrolloDatos:

v0 = 0 m/s

vf = 1400 m/s

x = 1,4 m

a) Aplicando:

a = 700000 m/s ²

b) Aplicando:

vf = v0 + a.tt = vf/a

t = (1400 m/s)/(700000 m/s ²)t = 0,002 s

Problema n° 6) Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?.

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.

DesarrolloDatos:

t = 25 s

x = 400 m

vf = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t (3)


x = v0.t + a.t ²/2x = v0.t + (-v0/t).t ²/2

x = v0.t - v0.t/2x = v0.t/2v0 = 2.x/t

vf = 2.(400 m)/(25 s)vf = 32 m/s

b) Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (-32 m/s)/(25 s)a = -1,28 m/s ²

Problema n° 7) Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

DesarrolloDatos:

v0 = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s

vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.ta = (vf - v0)/t

a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s)a = 5 m/s ²

Con la aceleración y la ecuación (2):

x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ²).(4 s) ²/2x = 60 m

Problema n° 8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s ², determinar:

a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?.

b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?.

DesarrolloDatos:

a = 3 m/s ²

t = 8 s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = (3 m/s ²).(8 s)vf = 24 m/s


x = (3 m/s ²).(8 s) ²/2x = 96 m

Problema n° 1) Grafíque, en el movimiento de frenado de un auto, V = f(t). Suponga a = -1 m/s ² y V0 = 10 m/s. Del gráfico calcule el tiempo que demora en detenerse.

DesarrolloDatos:

a = -1 m/s ²

v0 = 10 m/s

El gráfico es:

Como la aceleración es la pendiente de la recta:

t = 10 s

Problema n° 2) Un móvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento uniformemente variado. La posición en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleración a = -4 m/s ². Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo; y calcular (a) la posición, (b) velocidad y (c) aceleración para tf = 2 s.

DesarrolloDatos:

t0 = 0 s

x0 = 10 m

v0 = 8 m/s

a = -4 m/s ²

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

Las ecuaciones horarias son:

vf = 8 m/s + (-4 m/s ²).t

x = 10 m + (8 m/s).t + (-4 m/s ²).t ²/2

Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s:

a) x = 18 m

b) vf = 0 m/s

c) 0 m/s ²

Problema n° 3) Analizar los movimientos rectilíneos a y b representados en las siguientes gráficas:

Si la posición en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para el b, expresar analíticamente las ecuaciones del movimiento a partir de los datos incluidos en las gráficas.

DesarrolloDatos:

x0a = 5 m

x0b = 50 km

Es un movimiento uniformemente desacelerado.

La aceleración se obtiene de la pendiente de cada recta.

Las ecuaciones para (a) son:

vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ²).t

x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ²).t ²/2

Las ecuaciones para (b) son:

vf = 200 km/h + (-20 km/h ²).t

x = 50 km + (200 km/h).t + (-20 km/h ²).t ²/2

Problema n° 4) Grafíque x = f(t) para un móvil que parte de x = 6 m con v0 = 2 m/s y a = -0,2 m/s ².

DesarrolloDatos:

x = 6 m

v0 = 2 m/s

a = -0,2 m/s ²

Las ecuaciones horarias son:

vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ²).t

x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ²).t ²/2x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1 m/s ²).t ²

t (s) x (m)0 61 7,92 9,63 11,14 12,4

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 5) Determinar gráficamente la aceleración en los siguientes gráficos:

En los tres primeros gráficos es nula. El gráfico inferior derecho no es función.

caida libreProblema n° 6) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo?

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v sonido = 330 m/s

t = 10 s

Ecuaciones:

(1) vf = g.t

(2) Δh = g.t ²/2

El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra:

t = tp + ts = 10 s ts = 10 s - tp (3)

La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra:

ΔhT = Δhs = Δhp (4)

Para el sonido:

vs = Δhs/ts

Δhs = vs.ts (5)

Para la piedra

Δhp = g.tp ²/2 (6)

Igualando (5) y (6):

vs.ts = g.tp ²/2 (7)


Reemplazando por los datos:

Resolvemos la ecuación cuadrática:

tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos:

Δhp = 383,3 mProblema n° 1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.

a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 s?.

b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?.

c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.

d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.

e) ¿Con qué velocidad lo hará?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 7 m/s

t = 3 s

y = 200 m

h = 14 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = (7 m/s) + (10 m/s ²).(3 s)vf = 37 m/s


Δh = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ²).(3 s) ²/2Δ h = 66 m

c) De la ecuación (3):

vf = 18,14 m/s

d) De la ecuación (2):

0 = v0.t + g.t ²/2 - y

Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:

t1 = 5,66 s

t2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION)

e) De la ecuación (3):

vf = 63,63 m/s

Problema n° 2) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.

b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.

c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.

d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 100 m/s

vf = 60 m/s

t = 4 s

y1 = 300 m

y2 = 600 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3):

-v0 ² = 2.g.hh máx = -vf ²/(2.g) h máx = -(100 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)]

h máx = 500 m

b) De la ecuación (1) y para vf = 0:

t = v0/g

t = (-100 m/s)/(-10 m/s ²)

t = 10 s

c) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).

Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la altura máxima.

t = 20 s

e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuación (2):

0 = v0.t + g.t ²/2 - y

Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:

t1 = 3,68 s

t2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)

Problema n° 3) Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido.

a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?.

b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

t = 10 s

y = 40 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = y0 + v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Los 10 s se componen de 5 s hasta alcanzar la altura máxima (vf = 0) y 5 s para regresar, de la ecuación (1):

0 = v0 + g.tv0 = -g.tv0 = -(-10 m/s ²).(5 s)v0 = 50 m/s (a 40 m de altura).

Esta velocidad inicial la tomaremos como la final usando la fórmula (3):

vf ² - v0 ² = 2.g.h

(50 m/s)² - v0 ² = 2.(-10 m/s ²).(40 m)

(50 m/s)² - 2.(-10 m/s ²).(40 m) = v0 ²

v0 = 57,45 m/s (a nivel de lanzamiento)

b) Nuevamente con la ecuación (3):

vf ² - v0 ² = 2.g.h

(57,45 m/s) ² - 0 = 2.(-10 m/s ²).hh = 162,45 m

Resolvió: Ricardo Santiago Netto.Problema n° 4) Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 90 km/hv0 = 25 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

Para vf = 0 empleamos la ecuación (1):

0 = v0 + g.tt = -v0/gt = -(25 m/s).(-10 m/s ²)t = 2,5 s

Problema n° 5) Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para producir el mismo efecto?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

vf = 60 km/hvf = 16,67 m/s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf ²/2.g = hh = (16,67 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)]h = 13,9 m

Problema n° 6) Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcular:

a) ¿Con qué velocidad fue lanzada?.

b) ¿Qué altura alcanzó?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

t = 2 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Los 2 s se componen de 1 s hasta alcanzar la altura máxima (vf = 0) y 1 s para regresar, de la ecuación (1):

0 = v0 + g.tv0 = -g.tv0 = -(-10 m/s ²).(1 s)v0 = 10 m/s


y = (10 m/s).(1 s) + (1/2).(-10 m/s ²).(1 s) ²y = 5 m

Problema n° 7) Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s.

a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s?.

b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 5 m/s

t = 7 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = 5 m/s + (10 m/s ²).(7 s)vf = 75 m/s


y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ²).(7 s) ²y = 280 m (Corregido por Ezequiel Calaz)

movimiento rect.uniforme encuentroProblema n° 1) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A .. Hallar:

a) El punto de encuentro.

b) El instante del encuentro.

DesarrolloDatos:

d AB = 100 m

t AB = 2 s

t BA = 1,5 s

Ecuaciones:

v AB = d AB/t AB (1)

v BA = d AB/t BA (2)

El gráfico:

a) Para el punto de encuentro:

d AB = d AO + d BO (3)

Siendo el punto "O" el punto de encuentro.

Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles.

t AO = t BO = t E

Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:

v AB = d AO/t E

d AB/t AB = d AO/t E

v BA = d BO/t E

d AB/t BA = d BO/t E

Despejamos (t E) y luego igualamos:

t E = t AB.d AO/d AB (4)

t E = t BA.d BO/d AB (5)

t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB

t AB.d AO = t BA.d BO


d AO = d AB - d BO

t AB.(d AB - d BO) = t BA.d BO

t AB.d AB - t AB.d BO = t BA.d BO

t AB.d AB = t AB.d BO + t BA.d BO

t AB.d AB = (t AB + t BA).d BO

d BO = t AB.d AB/(t AB + t BA)

d BO = (2 s)(100 m)/(2 s + 1,5 s)d BO = 57,14 m (desde el punto B)

ó

d AO = 42,86 m (desde el punto A)

b) Empleando la ecuación (4) ó (5):

t E = (2 s).(42,86 m)/(100 m)t E = 0,86 s

Problema n° 2) Resolver el problema anterior, suponiendo que el primer móvil partió 0,1 s antes que el otro.

DesarrolloDatos:

d AB = 100 m

t AB = 2 s

t BA = 1,5 s

Ecuaciones:

v AB = d AB/t AB (1)

v BA = d AB/t BA (2)

El tiempo empleado por el móvil "A" para recorrer los 100 m es el mismo, solamente comenzó 0,1 s antes, por lo tanto cuando el móvil "B" comienza su recorrido, el móvil "A" ya recorrió cierto espacio. De la ecuación (1):

v AB = (100 m)/(2 s)v AB = 50 m/s

La distancia inicial es:

Δd = v AB.(0,1 s)Δd = (50 m/s).(0,1 s)Δd = 5 m

a) Para el punto de encuentro:

d AB = d AO + 5 m + d BO (3)

Siendo el punto "O" el punto de encuentro.

Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles.

t AO - 0,1 s = t BO = t E

Luego contiuamos como en el ejercicio (1):

Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:

v AB = d AO/t E

d AB/t AB = d AO/t E

v BA = d BO/t E

d AB/t BA = d BO/t E

Despejamos (t E) y luego igualamos:

t E = t AB.d AO/d AB (4)

t E = t BA.d BO/d AB (5)

t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB

t AB.d AO = t BA.d BO


d AO = d AB - d BO - 5 m

t AB.(d AB - d BO - 5 m) = t BA.d BO

t AB.d AB - t AB.d BO - t AB.(5 m) = t BA.d BO

t AB.d AB - t AB.(5 m) = t AB.d BO + t BA.d BO

t AB.(d AB - 5 m) = (t AB + t BA).d BO

d BO = t AB.d AB(d AB - 5 m)/(t AB + t BA)

d BO = (2 s)(100 m - 5 m)/(2 s + 1,5 s)d BO = 54,29 m (desde el punto B)

ó

d AO = 45,71 m (desde el punto A)

b) Empleando la ecuación (4) ó (5):

t E = (1,5 s).(54,29 m)/(100 m)t E = 0,81 s

Problema n° 3) Se tira una bolita A con una velocidad de 10 m/s y en el mismo momento pero, 5 m más adelante, se tira una bolita B con una velocidad de 8 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B?.

b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?.

DesarrolloDatos:

v A = 10 m/s

v B = 8 m/s

d = 5 m

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

v

Para la distancia:

d A - 5 m = d B (3)

Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro:

v A = d A/t E (4)

v B = (d A - 5 m)/t E (5)

a) Despejando d A e igualando:

v A.t E = d A

v B.t E + 5 m = d A

v A.t E = v B.t E + 5 m

v A.t E - v B.t E = 5 m

(v A - v B).t E = 5 m

t E = (5 m)/(v A - v B)

t E = (5 m)/(10 m/s - 8 m/s)t E = 2,5 s


d A = (10 m/s).(2,5 s)d A = 25 m


d B = 25 m - 5 md B = 20 m

Problema n° 4) En el semáforo de una avenida de doble mano se cruzan un colectivo con una velocidad constante de 40 km/h y un camión con una velocidad constante de 45 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que se encuentren a 30 cuadras de distancia uno del otro?.

DesarrolloDatos:

v A = 40 km/h

v B = 45 km/h

d = 30 cuadras = 3 km

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

d = d A + d B

d A = d - d B (3)

El tiempo empleado para alejarse es el mismo.

t A = t B = t (4)

Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro:

v A = (d - d B)/t

v B = d B/t

Despejando de ambas d B e igualando:

v A = (d - d B)/tv A.t - d = d B

v B = d B/tv B.t = d B

v A.t - d = v B.t

v A.t - v B.t = d

(v A - v B).t = d

t = d/(v A - v B)

Teniendo en cuenta que las velocidades son opuestas:

t = (3 km)/[40 km/h - (-45 km/h)]t = 0,035294 h

t = 2 min 7 s

Problema n° 5) Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30 km/h y 15 km/h. ¿Qué distancia los separará luego de 2 minutos?.

DesarrolloDatos:

v A = 30 km/h = (30 km/h).(1000 m/km)/(3600 s/h) = 8,33 m/s

v B = 15 km/h (15 km/h).(1000 m/km)/(3600 s/h) = 4,17 m/s

t = 2 min = 120 s

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

Despejando la distancia de (1) y (2):

v A.t A = d A

d A = (8,33 m/s).(120 s)d A = 1000 m

v B.t B = d B

d B = (4,17 m/s).(120 s)d B = 500 m

La diferencia entre ambos es:

d = d A - d B

d = 1000 m - 500 md = 500 m

Problema n° 6) Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos A y B están separados 1000 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?.

b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?.

DesarrolloDatos:

v A = 500 km/h

v B = 300 km/h

d = 1000 km

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

Como parten en el mismo instante el tiempo de encuentro es igual para ambos:

t EA = t EB = t E (3)

No así con la distancia:

d EA + d EB = d (4)

Pero:

d A = d B = d

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

v A = d EA/t E (5)

v B = d EB/t E (6)

De (4):

d EA = d - d EB (7)


v A = (d - d EB)/t E (5)

v B = d EB/t E (6)

Despejando de ambas t E:

t E = (d - d EB)/v A (8)

t E = d EB/v B (9)

Igualando (8) y (9):

(d - d EB)/v A = d EB/v B

d.v B - d EB.v B = d EB.v A

d.v B = d EB.v B + d EB.v A

d.v B = d EB.(v B + v A)

d EB = d.v B/(v B + v A)

d EB = (1000 km).(300 km/h)/(300 km/h + 500 km/h)d EB = 375 km (de B)

Empleando la ecuación (7):

d EA = 1000 km - 375 kmd EA = 625 km (respuesta b)

Empleando la ecuación (9):

t E = (375 km)/(300 km/h)t E = 1,25 ht E = 1 h 15 min (respuesta a)

Problema n° 7) Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de 500 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?.

b) ¿A qué distancia de B?.

DesarrolloDatos:

v A = 80 km/h

v B = 50 km/h

Δt = 3 h

d AB = 500 km

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

t EA = t EB + 3 h = t E (3)

d EA = d EB + 500 km = d E (4)

Reemplazando:

v A = d EA/t EA

v A = (d EB + 500 km)/(t EB + 3 h)

a) Despejando d EB:

v A.(t EB + 3 h) = d EB + 500 kmv A.t EB + v A.3 h - 500 km = d EB

v B.t EB = d EB (5)

Igualando:

v A.t EB + v A.3 h - 500 km = v B.t EB

v A.t EB - v B.t EB = -v A.3 h + 500 km

(v A - v B).t EB = -v A.3 h + 500 km

t EB = (-v A.3 h + 500 km)/(v A - v B)t EB = [-(80 km/h).3 h + 500 km]/(80 km/h - 50 km/h)

t EB = 8,67 ht EB = 8 h 40 min


d EB = (50 km/h).(8,67 h)d EB = 433,33 km

Problema n° 8) Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?.

DesarrolloDatos:

v A = 50 km/h

v B = 80 km/h

d = 300 m = 0,3 km

Ecuaciones:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

El tiempo es el mismo para ambos:

t A = t B = t

y

d = d B - d A

d B = d + d A

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

v A = d A/t

v B = (d + d A)/t

Despejando d A e igualando:

v A.t = d A

v B.t - d = d A

v A.t = v B.t - d- v A.t + v B.t = d(v B - v A).t = dt = d/(v B - v A)

t = (0,3 km)/(80 km/h - 50 km/h)t = 0,1 ht = 36 s

graduacionSolución del ejercicio n° 1 de Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Problema: Se quiere hacer un viaje a la estrella más cercana para investigar los planetas que se encuentran en la misma posición que la tierra a nuestro sol, por lo tanto se realizara un viaje a la constelación de alfa centauri a una de sus estrellas llamada próxima centauri, que se encuentra a 4,2 años luz (aproximadamente). Queremos, para la comodidad del viajero, viajar con una aceleración constante y similar a la de la tierra (9,81 m/s2). El viaje no tiene que superar la mitad de la velocidad de la luz.

¿Cuándo tiempo le costara a la nave ir y venir, sin contar el tiempo de investigación, desde el punto de vista para nosotros?

DesarrolloDatos:

Aceleración = 9.81 m/s2

Velocidad máxima = c/2 (c = velocidad de la luz)

Velocidad inicial = 0 = v0

Tiempo inicial = 0 = t0

Tiempo final = ?

Dividiremos el viaje en 3 partes la parte donde aceleramos para alcanzar la mitad de c, donde desaceleramos a partir de la mitad de c, y la parte donde la velocidad es constante o sea a la mitad de c.

Primera parte:

Necesitamos alcanzar la mitad de c, por lo tanto utilizaremos ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Tenemos: a = Constante

dv/dt = a

dv = a.(dt)

Integrando y Resolviendo con valores iníciales

Por lo tanto: c/2 = a.t = velocidad máxima

Ahora si calculamos cuanto tiempo nos tardara para llegar a c/2 con aceleración cte.

Por lo tanto t = c/2.a = 15290519,88 seg

Ahora calcularemos la distancia que se recorrió por haber acelerado constantemente.

dv/dt = a = constante

Resolviendo

v - v0 = a.t

Donde v0 es velocidad inicial, sustituimos v:

dx/dt - v0 = a.t

Entonces resolviendo tenemos que:

x = x0 + v0.t + a.t2/2

Sustituyendo valores iníciales tenemos que:

x = a.t2/2 = 1,146788991 . 1015 metros

Como tenemos el tiempo y la aceleración entonces podemos deducir la distancia que se recorrería en dicho intervalo.

Otra forma de hacerlos es: a.dx = v.dv

Evaluando de 0 a c/2 y sustituyendo valores iníciales como v0 = 0 y x0 = 0 tenemos:

x = 1,146788991 . 1015 metros = 0,1212147872 años luz

A esta distancia no aceleraríamos más ya que estamos a la mitad de la velocidad de la luz.

Pero consideramos que próxima centauri se encontraba a 4,2 años luz por lo tanto:

Nos queda recorrer 3,957570426 años luz (restándole el doble de la distancia antes resuelta ya que antes de llegar desaceleraríamos a 9,81 m/s2)

Entonces v = d/t y t = (d/v)

Este es el tiempo que nos tomaría recorrer la distancia en la cual no aceleramos.

El tiempo total de ida y venida seria de la suma del tiempo en donde a = 0 y el tiempo para llegar a c/2 además de multiplicar este ultimo por 2 (por la desaceleración)

Entonces tenemos que el tiempo de ida es de: 280192921,7 seg

Por lo tanto el tiempo de viaje seria el doble: 560385843,3 seg o lo que es más bien: 17,76971852 años

Es demasiado tiempo pero sería posible. Como anexo agrego el tiempo que ocurriría dentro de la nave espacial ya que la relatividad de Einstein nos dice que cuanto más cerca nos acerquemos a la luz, el tiempo se hace más lento, el tiempo deja de transcurrir a la misma rapidez que en la tierra.

Definimos entonces: dt = tiempo del observador o sea de las personas que se quedarían en la tierra esperando el viaje de la nave espacial y dt0 el tiempo dentro de la nave. Donde v será la velocidad de la nave en a = 0.

(ec.1)

Sustituyendo y despejando dt0 y resolviendo tenemos:

dt0 = 216170230,8 seg

Ahora a = 9,81 m/s2

Por movimiento rectilíneo uniforme acelerado a = dv/dt

Entonces resolviendo v = v0 + a.t y sustituyendo en v resolvemos ec.1:

dt0 = 13241978,65 seg

Multiplicando el primero por 2 y el segundo por 4 y sumándolos tenemos que el viaje dentro de la nave es de:

96201962,2 = 15,38902766 años.

Algo considerable para un viaje de tal magnitud, pero si viajáramos todavía más rápido hasta 0,9 de la velocidad de la luz solo nos tardaríamos 10,6 años en el viaje, desde el punto del observador en la tierra, pero dentro de ella seria unos 2,8 años, algo muy considerable para el viaje.

ContenidoEjercicios resueltos de Cinemática.

Curiosidades geométricas en cinemáticaEs común en cinemática estudiar el movimiento de dos cuerpos que se mueven independientemente para encontrar el punto en que sus trayectorias coinciden.

En algunas ocasiones se llega a resultados “curiosos” que el profesor puede utilizar para despertar el interés de sus alumnos.

Los dos problemas siguientes requieren para su solución de un conocimiento elemental de la cinemática en una dimensión y su resultado no deja de llamar la atención.

Problema 1:

En el momento en que se encienda la luz verde de un semáforo de transito arranca desde el reposo un automóvil con una aceleración constante “aA

0-2”. En el mismo instante, un camión que se mueve con una velocidad constante “Vc

0” alcanza y rebasa el automóvil. Un cierto tiempo después el automóvil alcanza al camión. ¿A qué velocidad irá el automóvil en ese instante?

GRÁFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el automóvil alcanza al camión su velocidad es del doble de la del camión

“¿Qué Curioso no?”

Se puede visualizar en la gráfica de V vs t que para que las dos áreas sean iguales la velocidad media del automóvil debe ser igual a la velocidad media del camión.

Problema 2:

En el momento en que se encienda la luz verde de un semáforo de transito arranca desde el reposo un automóvil con una aceleración constante “aA

0-F”. En el mismo instante, un camión que se mueve con una velocidad constante “Vc

0” se encuentra a una distancia “X” atrás del automóvil; el camión alcanza al automóvil en un punto “P”, para un instante después de ser dejado atrás por el automóvil. ¿A qué distancia del punto de partida del automóvil, es éste último alcanzado por el camión?

GRÁFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el camión alcanza al automóvil, éste ha recorrido una distancia igual a la distancia a la que se encontraba el camión por detrás del auto

“¿Qué Curioso no?”

Problema n° 2) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250 m/s, determinar:

a) ¿Cuál es la velocidad a los 4 s?.

b) ¿Qué altura alcanzó en esos 4 s?.

c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la altura máxima?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 250 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = 250 m/s + (-10 m/s ²).(4 s)vf = 210 m/s

b) Empleando la ecuación (2):

y = (250 m/s).(4 s) + (-10 m/s ²).(4 s) ²/2y = 920 m

c) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (1):

t = -v0/gt = -(250 m/s)/(-10 m/s ²)t = 25 s

Problema n° 3) Determinar la velocidad inicial de un cuerpo lanzado hacia arriba y que alcanza una altura máxima de 48 m.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

h máx = 48 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

De la ecuación (3) y para vf = 0:

-v0 ² = 2.g.hv0 ² = -2.g.hv0 ² = -2.(-10 m/s ²).(48 m)v0 = 30,98 m/s

Problema n° 4) Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 m/s, si la piedra tarda 2,5 s en llegar al agua, determinar:

a) ¿Con qué velocidad llega al agua?.

b) ¿Cuál es la altura del puente?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 8 m/s

t = 2.5 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = 8 m/s + (10 m/s ²).(2,5 s)vf = 33 m/s

b) Empleando la ecuación (2):

y = (8 m/s).(2,5 s) + (10 m/s ²).(2,5 s) ²/2y = 51,25 m

Problema n° 2) Un niño dispara una piedra con una honda, verticalmente hacia arriba, desde la planta baja de un edificio. Un amigo ubicado en el piso 7 (21 m), ve pasar la piedra con una velocidad de 3 m/s. Calcular:

a) ¿A qué altura llega la piedra respecto del suelo?.

b) ¿Qué velocidad tendrá la piedra al segundo de haber sido lanzada?.

c) ¿Cuánto tardará en llegar desde el 7° piso a la altura máxima?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 3 m/s

h = 21 m

t = 1 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


-v0 ² = 2.g.hh máx = -v0 ²/(2.g)h máx = -(3 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)]h máx = 0,45 m

Luego la altura total es:

hT = 21 m + 0,45 mh = 21,45 m

b) Para esto calculamos primero la velocidad inicial mediante la ecuación (3):

v0 ² = -2.g.hv0 ² = -2.(-10 m/s ²).(21,45 m)v0 = 20,71 m/s

Con éste dato y la ecuación (1):

vf = 20,71 m/s + (-10 m/s ²).(1 s)vf = 10,71 m/s

c) De la ecuación (1) y para vf = 0:

t = -v0/gt = -(3 m/s)/(-10 m/s ²)t = 0,3 s

Problema n° 5) Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s, se suelta un objeto. Calcular:

a) La altura máxima alcanzada por éste.

b) La posición del objeto al cabo de 5 s.

c) La velocidad del objeto al cabo de 5 s.

d) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 8 m/s

h = 175 m

t = 5 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


-v0 ² = 2.g.hh máx = -v0 ²/(2.g)h máx = -(8 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)]h máx = 3,2 m

Luego la altura total es:

hT = 3,2 m + 175 mh = 178,2 m

b) Primero calculamos el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima con la ecuación (1) y para vf = 0:

t = -v0/gt = -(8 m/s)/(-10 m/s ²)t = 0,8 s

Luego calculamos lo ocurrido en los 4,2 s restantes y tomamos v0 = 0 m/s, es decir comenzamos en el punto de la altura máxima, aplicamos la ecuación (2):

y = g.t ²/2y = (-10 m/s ²).(4,2 s) ²/2y = -88,2 m (cae 88,2 m desde la altura máxima).

La posición será:

y = 178,2 m - 88,2 my = 90 m

c) Empleando la ecuación (1) y continuando con la modalidad del punto anterior:

vf = g.tvf = (-10 m/s ²).(4,2 s)vf = - 42 m/s

d) Empleando la ecuación (2) y continuando con la modalidad del punto (b):

y = g.t ²/2t ² = 2.y/gt ² = 2.(178,2 m)/(10 m/s ²) t = 5,97 s

El tiempo total es:

tT = 5,97 s + 0,8 stT = 6,77 s

Problema n° 6) Un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba y pasa por un punto a 36 m, por debajo del de partida, 6 s después de haber sido arrojado.

a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo?.

b) ¿Qué altura alcanzó por encima del punto de lanzamiento?.

c) ¿Cuál será la velocidad al pasar por un punto situado a 25 m por debajo del de lanzamiento?.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

h = 36 m

t = 6 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Teniendo en cuenta que la velocidad al pasar por el punto de partida es igual que la velocidad inicial con sentido contrario.

Adaptando la ecuación (1) para lo ocurrido entre el lanzamiento y el retorno al punto de partida.

El tiempo de 6 s se compone de el tiempo que demoro en alcanzar la altura máxima, mas el tiempo que demoro en regresar al punto de partida, mas el tiempo que empleo en caer 36 m bajo el punto de partida, planteando las ecuaciones (1) y (2) para cada etapa:

Subida:

(1) 0 = v01 + g.t1

(2) y1 = v01.t1 + g.t1 ²/2

Regreso:

(1) vf2 = g.t2

(2) y2 = g.t2 ²/2

Bajando 36 m:

(1) vf3 = v03 + g.t3

(2) y3 = v03.t3 + g.t3 ²/2

Luego:

t1 + t2 + t3 = 6s

y que:

t1 = t2

por lo que:

2.t1 + t3 = 6s

También sabemos que:

v03 = vf2 = -v01

Reemplazando en la ecuación (2) de "bajando 36 m":

y3 = -v01.t3 + g.t3 ²/2

Continuando:

t3 = 1,2 s

t1 = (6 s - 1,2 s)/2t1 = 2,4 s

t2 = 2,4 s

Con la ecuación (1) de "Subida":

v01 = -g.t1

v01 = -(-10 m/s ²).(2,4 s)v01 = 24 m/s

b) Con la ecuación (2) de "Subida":

y1 = (24 m/s).(2,4 s) + (-10 m/s ²).(2,4 s) ²/2y1 = 28,8 m

c) Con la ecuación (3):

vf ² = (24 m/s) ² + 2.(10 m/s ²).(25 m)vf = 32,8 m/s (hacia abajo)

Problema n° 7) Un cuerpo es soltado desde un globo que desciende a una velocidad constante de 12 m/s. Calcular:

a) La velocidad adquirida al cabo de 10s.

b) La distancia recorrida al cabo de 10 s.

Usar g = 10 m/s ².

DesarrolloDatos:

v0 = 12 m/s

t = 10 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = 12 m/s + (10 m/s ²).(10 s)vf = 112 m/s


y = (12 m/s).(10 s) + (10 m/s ²).(10 s) ²/2y = 620 m

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