problema 1. fórmulas para el calor específico .problema 1. fórmulas para el calor específico

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  • PROBLEMA 1. Frmulas para el calor especfico

    Deduzca una expresin para el como funcin de ( ) y evalela para:

    (a) Un gas ideal.

    (b) Un fluido incompresible.

    (c) Un gas que obedece la ecuacin virial truncada en el segundo trmino.

    Virial truncada explcita en :

    Virial truncada explcita en :

    SOLUCIN:

    A partir de la definicin de calor especfico a presin constante y una de las relaciones obtenidas

    anteriormente para la entalpa se tiene que las derivadas parciales de la entalpa son:

    (

    ) (

    ) (

    )

    Luego calculando las derivadas parciales cruzadas en las ecuaciones anteriores se tiene que

    (

    )

    ( )

    (

    )

    ( (

    ) ) (

    ) (

    ) (

    )

    (

    )

    Igualando las dos ecuaciones anteriores ya que las derivadas parciales cruzadas de la entalpa

    son iguales:

    ( ) (

    )

    Integrando la ecuacin anterior a T constante desde una estado de presin "cero" o de gas ideal

    y un estado arbitrario se tiene que

    (

    )

    (

    )

    (a) Para un gas ideal se tiene que

    (

    )

  • (b) Para una sustancia incompresible se tiene que

    (

    )

    (

    )

    ( )

    (

    )

    Adems se puede suponer constante:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (c) Para la ecuacin virial truncada en el segundo trmino

    Explcita en :

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Explcita en :

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Y con la relacin entre y se encuentra la expresin para de la ecuacin virial

    truncada en el segundo trmino explcita en el volumen.

  • PROBLEMA 2. Relacin entre calores especficos

    Las capacidades calorficas y se definen como derivadas de y respecto a la

    temperatura. Ya que estas propiedades estn relacionadas, se espera que tambin lo estn las

    capacidades calorficas. Demuestre que la expresin general que conecta y es:

    (

    ) (

    )

    A que se reduce esta relacin:

    (a) Si la sustancia es un gas ideal.

    (b) Si la sustancia tiene propiedades volumtricas y .

    SOLUCIN:

    Igualando los diferenciales de entropa en funcin de T y P y para T y v se tiene que

    (

    )

    (

    )

    Sacando factor comn dT y despejando este

    (

    ) (

    )

    Si se pone "v" constante y se divide todo entre dP (o tambin poniendo "P" constante y

    dividiendo todo entre dv):

    (

    ) (

    )

    por lo tanto se obtiene que la relacin entre calores especficos es

    (

    ) (

    )

    (a) Si la sustancia es un gas ideal entonces:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (b) Para una sustancia de parmetros volumtricos y :

    (

    ) (

    )

    ( )

    ( )

    (

    )

    (( ) )

    ( )

    ( )

  • PROBLEMA 3. Cambio de entropa de mezclado de una sustancia incompresible

    Una masa de agua a temperatura se mezcla adiabtica e isobricamente con otra masa

    igual de agua a una temperatura . Demuestre que el cambio de entropa del universo es

    (

    )

    Donde es el calor especfico a presin constante del agua.

    SOLUCIN:

    A partir de la primera ley de termodinmica en un sistema cerrado a presin constante,

    considerando que es adiabtico ( )

    ( ) ( )

    Donde es la temperatura final de la mezcla. Simplificando con

    ( ) ( )

    El cambio de entropa del universo viene dada por

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    Se conoce que el cambio de entropa a partir de relaciones termodinmicas es

    (

    ) (

    )

    (

    )

    Como la presin es constante, entonces

    Integrando la expresin anterior con constante

    (

    ) (

    ) (

    ) (

    ) (

    )

    Sustituyendo la expresin para

    ((

    )

    ) (

    )

    (

    )

    Y esta cantidad siempre es positiva ya que el promedio aritmtico es siempre mayor al

    promedio geomtrico de y .

  • PROBLEMA 4. Proceso isotrmico-reversible para una sustancia incompresible

    Para una expansin isotrmica-reversible de un lquido desde un estado ( ) hasta un

    estado ( ) para el cual se conocen los valores de y pueden suponerse que son

    independientes de la presin, demuestre que:

    ( )

    ( )

    ( )

    SOLUCIN:

    Expresin para el volumen:

    Para un lquido la relacin termodinmica para el volumen especfico es

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (

    )

    Para una expansin isotrmica, la temperatura es constante y por lo tanto y la expresin

    anterior se reduce a

    Trabajo:

    El trabajo viene dado por

    Como se tiene que ( ) ( ) y sustituyendo

    permite calcular el trabajo de forma ms prctica

    ( )

    Cambio de entropa:

    La relacin termodinmica general para la entropa es

    (

    )

    Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente

  • (

    )

    E integrando la ecuacin anterior entre los estados 1 y 2 y como y son independientes de

    la presin

    ( )

    Cambio de entalpa:

    A partir de la relacin termodinmica para la entalpa

    (

    )

    Integrando la expresin anterior

    (

    ( ))

    ( )

    Calor:

    El calor en un proceso isotrmico-reversible viene dado por

    ( )

  • PROBLEMA 5. Aumento de presin en un fluido incompresible con una bomba

    Considere una bomba en el que entra un fluido a una temperatura y una presin y sale a

    una presin . La bomba trabaja adiabticamente-reversible y por lo tanto isentrpico. Este

    fluido tiene propiedades constantes y y tiene calor especfico constante . El volumen

    especfico si y es . Encuentre una expresin que permita calcular la

    temperatura a la salida de la bomba (esta temperatura es llamada temperatura isentrpica).

    SOLUCIN:

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (

    )

    Integrando la expresin anterior entre

    (

    ) ( ) ( )

    ( ( ) ( ))

    Como el proceso es isentrpico entonces

    (

    )

    Integrando entre un proceso isotrmico ( ) ( ) y luego un proceso isobrico

    ( ) ( ) se tiene que

    |

    |

    ( ( ) ( ))

    ( ) ( ( ))

    ( )

    ( ( ))

    |

    ( )

    ( ( ))

    (

    )

    ( ( ))

    Por lo que la temperatura isentrpica es

    (

    ( ( )))

  • PROBLEMA 6. Trabajo en una turbina de un gas real

    Determine el trabajo realizado por un gas que se expande a travs de una turbina adiabtica

    desde 1 MPa y 200 K hasta 0,5 MPa. Este gas obedece la siguiente ecuacin de estado

    Donde , y [ ] en .

    SOLUCIN:

    Suponiendo que el proceso se lleva a cabo reversiblemente, entonces adiabtico-reversible es

    isentrpico (a entropa constante) . La relacin termodinmica de entropa es

    (

    ) (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Falta calcular la expresin para el calor especfico de gas real

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Sustituyendo

    (

    )

    Por lo que la expresin para la entropa sustituyendo las derivadas de la ecuacin de estado se

    convierte en

    (

    ) (

    )

    Donde es el calor especfico a presin constante de gas ideal. En un proceso

    isentrpico del estado 1 ( ) al estado 2 ( ) viene dado por:

    (

    ) (

    )

    ( )

    ( )

    Esta integral no es posible evaluarla directamente a menos que se empleen trayectorias sencillas.

    El valor de la integral no depende de la trayectoria. Para esto se emplea un camino isobrico y

    luego un camino isotrmico tal como se muestra en la siguiente figura

  • En este sentido se separa la integral de la entropa en dos integrales con caminos isobricos e

    isotrmicos respectivamente:

    Proceso del estado

    1 ( ) a un estado intermedio (

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