fÓrmulas, tablas y figuras de transferencia de calor
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Uni ver s i daddeNavar r a Naf ar r oakoUni ber t s i t at ea Es c ue l a S upe r i or de I ng e ni e r osI n g en i a r i e nGoi Ma i l a k oE s k ol a CAMPUS TECNOLGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRAPaseo de Manuel Lardizbal 13. 20018 Donostia-San Sebastin. SPAIN Tel.: (34) 943 219 877 Fax: (34) 943 311 [email protected] FRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial Febrero de 2007 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 2 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 1TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIN Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. Flujo calorfico o de calor:q [W/m2]. Ley de Fourier: dxdTk qx = .A q qx x = . En condiciones de rgimen estacionario y con una distribucin lineal de temperaturas: LTkLT TkLT TkdxdTk qx== = = 2 1 1 2. Conductividad trmica: k [W/mK]. Ley de enfriamiento de Newton:) ( = T T h qs x. Coeficiente de transferencia de calor por conveccin: h [W/m2K]. Potencia emisiva superficial: E [W/m2]. Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4s bT E = . Constante de Stefan-Boltzmann: = 5,6710-8 W/m2K4. El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro siempre ser menor y viene dado por: 4sT E = , donde es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. Se llama irradiacin, G, a la velocidad con la que la radiacin incide sobre un rea unitaria. Laproporcindelairradiacintotalqueesabsorbidaporlasuperficievienedadaporla absortividad,(01),segnlasiguienteexpresin:G Gabs = .Irradiacindelos alrededores: 4alrT G = . Intercambioderadiacinparaunasuperficiegrisydifusa(=): ( )4 4) (alr s s b radT T G T EAqq = = = .Tambinsepuedeexpresarcomo: ) (alr s rad radT T h q = ,siendohradelcoeficientedetransferenciadecalorporradiacin: ( )2 2) (alr s alr s radT T T T h + + = . Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un instante de tiempo (t): almalmsal gen entEdtdEE E E& & & &= = + . Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo (t): alm sal gen entE E E E = + . Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 2Principio de conservacin de la energa en una superficie de control:0 = sal entE E& &. Ley de Fourier vectorial: z y xq k q j q izTkyTjxTi k T k q + + =||.|
\|++ = = r r r r r rr. Capacidadtrmicavolumtrica:cp[J/m3K].Midelacapacidaddeunmaterialpara almacenar energa trmica. Difusividad trmica: pck =[m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energa trmica en relacin con su capacidad para almacenarla. Ecuacindedifusindecalorencoordenadascartesianas: ((
= +|.|
\|+||.|
\|+|.|
\|3mW tTc qzTkz yTky xTkxp & . Ecuacin de difusin de calor vectorial: tTc q T kp= + & ) ( . Enelcasodetransmisinunidimensionalenrgimenestacionarioysingeneracinde energa:0 =|.|
\|dxdTkdxd. Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( dx dT k qx = ), esta ecuacin implicaqueelflujodecalorenladireccindetransmisinesunaconstante ( cte. 0 / = = x xq dx q d ). Ecuacindedifusindecalorencoordenadascilndricas(rradial,angularolongitud,z axial,elementodiferencialdevolumen:drrddz): tTc qzTkzTkr rTkrr rp= +|.|
\|+||.|
\|+|.|
\| &21 1. Ecuacin de difusin de calor en coordenadas esfricas (r radial, polar, cenital o colatitud, azimutalolongitud,elementodiferencialdevolumen:drrsendd): tTc qTksensen rTksen r rTkrr rp= +|.|
\|+||.|
\|+|.|
\| &2 2 2 2221 1 1. CondicindecontornodeprimeraclaseodeDirichlet:superficiemantenidaatemperatura constante, T(x = 0, t) = Ts. Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 3Condicin de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la superficie, 0) 0 (= = = xsxTk x q .Uncasoespecialeslasuperficieperfectamenteaisladao adiabtica,00 == xxT. CondicindecontornodeterceraclaseodeFourier:correspondealatransferenciadecalor porconveccinenlasuperficie, conv superficie condq q = ,.Sielfluidoestencontactoconla superficie de la pared donde est el origen de coordenadas:| | ) , 0 (0t x T T hxTkx= ==. Si elfluidoestencontactoconlasuperficiedelaparedopuestaalorigendecoordenadas: | |= = = T t L x T hxTkL x) , ( . TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Resistencia trmica de conduccin para pared plana: kALqT TRxs scond t==2 1,. Resistencia trmica de conveccin: hA qT TRsconv t1,==. Resistencia trmica de radiacin. A h qT TRr radalr srad t1,== . Coeficiente global de transferencia de calor, U:T UA qx = . UA qTR Rt tot1== = . LeydeFourierexpresadaenformaintegralparaunsistemageneralencondicionesde rgimen estacionario sin generacin de calor y con conduccin unidimensional (en este caso, la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): =xxTTxdT T kx Adxq0 0) () (. Resistencia trmica de conduccin para una pared cilndrica: Lkr rqT TRrs scond t 2) / ln( ) (1 2 2 1,== . Resistencia trmica de conveccin para una pared cilndrica: rLh AhRconv t 21 1,= = . Resistenciatrmicadeconduccinparaunaparedesfrica: ||.|
\| ==2 12 1,1 141 ) (r r k qT TRrs scond t. Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 4Resistencia trmica de conveccin para una pared esfrica: h r AhRconv t2,41 1= = . El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilndrica o esfrica depende del rea en funcin de la cual se exprese:( )13 3 2 2 1 1...= = = = =t i iR A U A U A U A U . Generacin de energa trmica por unidad de volumen: ((
= =3mWVolEe qgengen&& & . Ecuacin de calor para una aleta:0 ) (1 122= ||.|
\|||.|
\|+T TdxdAkhA dxdTdxdAA dxT dsccc. Distribucindetemperaturasytransferenciadecalorparaaletasdereadeseccin transversal uniforme: CasoA,contransferenciadecalorporconveccindesdeelextremodelaaleta ( | |L xc cdxdTkA T L T hA= = ) ( ): mL mk h mLx L m mk h x L m xbsenh) / ( cosh) ( senh) / ( ) ( cosh ) (+ + = mL mk h mLmL mk h mLM qfsenh) / ( coshcosh ) / ( senh ++=siendo = T x T x ) ( ) ( , = T Tb b , ckAhPm =2, b chPkA M = , P el permetro y Ac el rea transversal. Caso B, extremo adiabtico ( 0 ==L xdxd): mLx L m xbcosh) ( cosh ) ( =mL M qftanh =Caso C, extremo con temperatura establecida ((x = L) = L): mLx L m mx xb Lbsenh ) ( senhsenh) / ( ) ( += ( )mLmLM qb Lfsenh / cosh =Caso D, aleta muy larga (L y L 0, aplicable si mL > 2,65): mxbe x= ) (b c fhPkA M q = =La efectividad de una aleta se define como la razn entre la transferencia de calor de la aleta y latransferenciadecalorqueexistirasinlaaleta: b b cffhAq,= ,siendoAc,belreadela seccin transversal de la base de la aleta. El uso de aletas slo se justifica cuando f 2. Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 5Resistencia trmica de una aleta: fbf tqR=,. Teniendo en cuenta la resistencia trmica de conveccin de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b, se puede expresar la efectividad como: f tb tfRR,,= . La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razn entre el calor real transferido porlaaletayelcalorquetransferirasiestuvieratodaellaalatemperaturadelabase: b ffmxffhAqqq = = , siendo Af la superficie total de la aleta. Teniendoencuentalaecuacinquedefinelaresistenciatrmicadeunaaleta,sepuede expresar sta en funcin de su eficiencia: f ff thAR1,= . Para el caso de una aleta recta de seccin transversal uniforme y con su extremo adiabtico se tiene: mLmLhPLmL Mbftanh tanh= = . Se puede emplear la expresin de la aleta con extremo adiabtico para una aleta con extremo activo,empleandounalongituddealetacorregidadelaformaLc=L+(t/2)paraaleta rectangularyLc=L+(D/4)paraaletadeaguja.Estaaproximacinesvlidacuando(ht/k)o (hD/2k) < 0,0625. Aletasdeseccintransversalnouniforme.Enlasexpresionesdeladistribucinde temperaturas,latransferenciadecaloryelrendimientooeficienciadeestetipodealetas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 (I0, I1, K0 y K1) cuyos valores estn tabulados en la Tabla H. En la Tabla 2.1 se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de seccin transversal no uniforme. Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: b ttmxtohAqqq = = , siendoqt la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las aletas, Af, ms la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, b f tA NA A + = , siendo N el nmero total de aletas. Esterendimientotambinsepuedeexpresarenfuncindelrendimientodeunasolaaleta: b b b f f b f thA hA N q Nq q + = + = b t o thA q =) 1 ( 1ftfoANA = . Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 6Resistencia trmica efectiva del dispositivo de aletas: o t tbo thA qR 1,= = . TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Factor de forma de conduccin para sistemas bidimensionales, S:) (2 1T T Sk q = . Se obtiene de la Tabla 3.1. Resistencia de conduccin bidimensional: SkRcond t1) D 2 ( ,= . MDF:Paraobtenerlaecuacindediferenciasfinitasdeunnodoaplicandoelprincipiode conservacin de la energa a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en rgimen permanente la ecuacin a emplear es:0 = +gen entE E& &.Eltrminodeenergaentrantepuedeincluircaloresdeconduccinode conveccin que se evalan con la ley de Fourier (xT Ty k qn m n mn m n m = , , 1) , ( ) , 1 () 1 ( ) o la ley de enfriamiento de Newton ( ( ) ) ( 1 , ) , ( ) ( n m n mT T x h q = . TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO Nmero de Biot: conv tcond tcRRkhLBi,,= = . Longitud caracterstica: Lc = Vol/As. Para una pared plana de espesor 2L Lc = L, y para un cilindro largo o una esfera de radio ro Lc = ro. Nmero de Fourier: 2cLtFo= . El mtodo de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando1 , 0 < =khLBic. Distribucin de temperaturas temporal en un slido en el que se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable: ) exp( exp exp) ( ) (Fo BittVolchAT TT t T tt psini ini =||.|
\| =(((
== . Constantedetiempotrmica: t t pstC R VolchA 1= = ,siendoRtlaresistenciaala transferencia de calor por conveccin y Ct la capacidad trmica del slido. Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 7La transferencia total de energa que tiene lugar desde un slido en el que se puede aplicar el mtododelaresistenciainternadespreciableduranteuntiempotser: = =tstdt t hA qdt t Q0 0) ( ) ( ( ) | |alm t ini pE t Volc t Q = = exp 1 ) ( . Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenunaparedplanadeespesor2Lsometidaaconveccin: *) cos( * *) cos( ) exp() , (*) *, ( *1 121 1x x Fo CT TT t x Tt xoini = ==,siendo ) exp() , 0 () , 0 * ( *21 1Fo CT TT t x Tt xinio = == = la temperatura del plano medio (x* = x/L = 0). Los valores de C1 y 1 se obtienen de la Tabla 4.1. Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor 2L sometida a conveccin:) , 0 ( *sen1) (11tUt Qoo = , siendo Uo = Uini = cpVol(Tini - T) = Umxlaenergainternainicialdelaparedreferidaalatemperaturadelfluidoolamxima cantidad de energa que se podra transferir al fluido o desde el fluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que la pared. Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenuncilindrolargoderadiorosometidoaconveccin: *) ( * *) ( ) exp() , (*) *, ( *1 0 1 021 1r J r J Fo CT TT t r Tt roini = ==,siendo ) exp( ) , 0 * ( *21 1Fo CT TT Tt rinioo == = la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0 la funcin de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G. Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio rosometidoaconveccin:) () , 0 ( * 21) (1 11JtUt Qoo = ,siendoJ1lafuncindeBesselde primeraclasedeordenunocuyosvaloresseencuentranenlaTablaGyUo=Uini= cpVol(Tini-T)=Umxlaenergainternainicialdelcilindroreferidaalatemperaturadel fluidoolamximacantidaddeenergaquesepodratransferiralfluidoodesdeelfluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que el cilindro. Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 8Solucinanalticaaproximadaconelprimertrmino(aplicablecuandoFo>0,2)dela distribucindetemperaturasenunaesferaderadiorosometidaaconveccin: *) ( sen*1* *) ( sen*1) exp() , (*) *, ( *111121 1rrrrFo CT TT t r Tt roini = ==,siendo ) exp( ) , 0 * ( *21 1Fo CT TT Tt rinioo == = la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0). Transferenciatotaldeenergaenfuncindeltiempodesdeohaciaunaesferaderadioro sometida a conveccin:| | ) cos( ) (* 31) (1 1 131 = senUt Qoo, siendo Uo = Uini = cpVol(Tini - T)=Umxlaenergainternainicialdelaesferareferidaalatemperaturadelfluidoola mxima cantidad de energa que se podra transferir al fluido o desde el fluido, segn ste est a menor o mayor temperatura que la esfera. Conduccinmultidimensional.ParalasgeometrasmultidimensionalesdelaTabla4.2,la solucin multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que corresponden a un slido semiinfinito, una pared plana de espesor 2L o un cilindro infinito de radio ro: to semiinfiniSlido) , () , (=T TT t x Tt x Sini; planaPared) , () , (=T TT t x Tt x Pini; infinitoCilindro) , () , (=T TT t r Tt r Cini. En un slido semiinfinito la condicin de frontera interior es T(x, t) = Tini y la condicin inicialesT(x,0)=Tini.Lassolucionesanalticasparatrescondicionesdefronteraexterior son: Condicin de fronteraDistribucin de temperaturas Temperatura superficial constante: T (0, t) = Ts ||.|
\|=txT TT t x Ts inis 2erf) , (
2 / 10) () () (tT T kxTk t qini sxs= = = Condicin de fronteraDistribucin de temperaturas Flujo de calor superficial constante: o sq q = ||.|
\| ||.|
\| = txkx qtxkt qT t x To oini 2erfc4exp) / ( 2) , (2 2 / 1Conveccin superficial: | | ) , 0 (0t T T hxTkx == (((
||.|
\|+((
||.|
\|+ ||.|
\|=kt htxkt hkhxtxT TT t x Tiniini2erfc exp2erfc) , (22 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 9donde la funcin gaussiana de error, erf (), y la funcin complementaria de error, erfc (w) = 1 erf (w), son funciones matemticas estndar cuyos valores se encuentran en la Tabla E. MDF en rgimen transitorio. Expresin en diferencias finitas de la velocidad de variacin de la energa almacenada: tT TV c Epn mpn mp alm=+,1,&. Criterio de estabilidad en el MDF explcito: el coeficiente asociado con el nodo de inters en eltiempoanterior(coeficientede pn mT,)debesermayoroigualquecero.Asseobtieneun valor lmite para 2) ( xtFo= , del que se obtiene el mximo valor permisible de t. TEMA 5. INTRODUCCIN A LA CONVECCIN Ley de enfriamiento de Newton:) ( = T T h qs;) ( = T T hA qs. Coeficiente de transferencia de calor por conveccin local, h o promedio,h[W/m2K]. Relacinentreloscoeficientesdeconveccinlocalypromedio: ) ( ) ( = = = T T A h hdA T T dA q qs sAs sAss s =sAsshdAAh1. Para flujo sobre una placa plana: =LhdxLh01. Espesor de la capa lmite de velocidad, (x): la y para la que u(y) = 0,99u. Espesor de la capa lmite trmica, t(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T) = 0,99. Relacin del coeficiente de conveccin en la capa lmite: = =T Ty T khsyf0/. Nmero de Reynolds: x u x uRex = = . Nmero de Reynolds crtico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5105. Expresindiferencialdelaecuacindeconservacindelamasaodecontinuidad: ((
=++s mkg 0) v ( ) (3y xut . Expresionesdiferencialesdelasecuacionesdebalancedelacantidaddemovimientoodel momento lineal: Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 10((
= +)`||.|
\|++)`((
||.|
\|++ =||.|
\|++2 2 3s mkgmN v v322 v Xx yuy y xuxux xptuyuxuu Yx yux y xuy y ypt y xu +)`||.|
\|++)`((
||.|
\|++ =||.|
\|++ v v32 v2v vvv . Expresin diferencial de la ecuacin de conservacin de la energa: ((
((
||.|
\|+ ++((
||.|
\|+ ++((
||.|
\|+ += + +||.|
\|+|.|
\|32 2 2mW2 2v2) v ( ) (vVgy etVgy eyVgy e uxypxpuY Xu qyTky xTkx &, siendo V2 = u2 + v2. Expresindiferencialdelaecuacindeconservacindelaenergatrmicaparafluido incompresible en flujo estacionario: qyTky xTkx yTxTu cp& + +||.|
\|+|.|
\|=||.|
\|+ v . Disipacin viscosa: )`||.|
\|+(((
||.|
\|+ |.|
\|+||.|
\|+= 2 222v32 v2vy xuy xux yu . Aproximacionesdecapalmite:fluidoincompresible(constante),conpropiedades constantes (k, , etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes (X=Y=0) y sin generacin de energa ( 0 = q& ).Adems: u >> v y x y xuyu>> v,v,en la capa lmite de velocidad y xTyT>> en la capa lmite trmica. Ecuacin de conservacin de la masa o de continuidad en la capa lmite:0v=+y xu. Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa lmite: 221vyuxpyuxuu+ =+ y0 =yp. Ecuacin de conservacin de la energa en la capa lmite: 222v||.|
\|+=+yuc yTyTxTup . Nmero de Prandtl: = Pr . Nmero de Nusselt: 0 ***== =yfyTkhLNu . Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 11Lasformasadimensionalesdelassolucionesdelacapalmiteadoptanlasiguienteforma: ( ) Pr Re x f NuL, *, =y( ) Pr Re fkL hNuLf, = = . Relacin entre los espesores de las capas lmites hidrodinmica y trmica: 3 / 1Prt . TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Temperaturadepelculaeslatemperaturamediaentreladelfluidoyladelasuperficie: 2+=T TTsf. Espesor de la capa lmite laminar: xlamRexx ux5/5) ( = = . Correlacin de conveccin local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1332 , 0 Pr Rekx hNuxxx= = . Con propiedades a Tf y Pr 0,6. Relacin entre los espesores de las capas lmites de velocidad y trmica: 3 / 1,Prlam tlam. Correlacindeconveccinpromedioparaelflujolaminarsobreunaplacaplanacon temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1664 , 0 Pr Rekx hNuxxx = = . Con propiedades a Tf y Pr 0,6. CorrelacindeconveccinlocalparaflujolaminardeunfluidoconnmerodePrandtl pequeo,comolosmetaleslquidos,enlosquet>>ysepuedesuponervelocidad uniforme a travs de la capa lmite trmica: 2 / 1) ( 565 , 0 Pr Re Nux x = , con propiedades a Tf, Pr 0,05 y RexPr 100. Espesor de la capa lmite de velocidad turbulenta: 5 / 137 , 0=x turbxRe . Espesor de la capa lmite trmica turbulenta: turb turb t ,. CorrelacindeconveccinlocalparaelflujoturbulentosobreunaplacaplanaconTs=cte: 3 / 1 5 / 40296 , 0 Pr Re Nux x = . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60. Para condiciones de capa lmite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente de conveccin promedio:|.|
\|+ = Lxturbxlam Lccdx h dx hLh01. Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 12Correlacin de conveccin promedio para capa lmite mezclada (laminar y turbulenta)sobre unaplacaplanaconTs=cte: 3 / 1 5 / 4) 871 037 , 0 ( Pr Re NuLL = .ConpropiedadesaTfy ((((
=< >) / 2 cosh( arc2D zLS=2.1. Cilindro de longitud L enterrado en un medio semiinfinito zDT2T1L D L >>2 / 3D z >) / 4 ln(2D zLS=z D ) / 2 cosh( arc2D zS=z > 2D ( ) ( ) |.|
\| +=1 2 / 2 ln22D z D zS2.2. Cilindro de longitud infinita enterrado en un medio semiinfinito (Rohsenow pg. 3-120) zDT2T1 z >> D ( ) D zS/ 4 ln2=2.3. Cilindro vertical de longitudL enterrado en un medio semiinfinito LDT2T1 D L >>) / 4 ln(2D LLS=2.4. Conduccin entre dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito wDdT2T1 2 1, D D L >>w L >>||.|
\| =Ddd D wLS24cosh arc22 2 2 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 28 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 2.5. Cilindro de longitud L en medio de planos paralelos de igual longitud y ancho infinito zDT2T1LzT2 2 / D z >>z L >> ) / 8 ln(2D zLS=2.6. Cilindro de longitud L centrado en un slido de seccin cuadrada de igual longitud wDT2T1 D w >w L >> ) / 08 , 1 ln(2D wLS=2.7. Cilindro excntrico de longitud L en el interior de un cilindro de igual longitud dDT2T1z d D >D L >>||.|
\| +=Ddz d DLS24cosh arc22 2 22.8. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en un medio semiinfinito (Rohsenow) z > D | | ) / 2 ( senh ) / 2 ( ln2L z D LS = Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 29 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 2.9. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en el plano medio de una placa infinita (Rohsenow) z > D | | ) / ( senh ) / 2 ( ln2L z D LS =3.1. Cubo enterrado en un medio infinito (Holman) L Ninguna L S 24 , 8 =4.1. Paraleleppedo inmerso en un medio semiinfinito (Holman) Ninguna 078 , 059 , 01 log 685 , 1|.|
\|((
|.|
\| +=cbabLS4.2. Agujero rectangular en un medio semiinfinito (Rohsenow) a > b |.|
\|+=75 , 0 25 , 05 , 3ln7 , 52b azbaS Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 30 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistemaEsquemaRestriccionesFactor de forma 5.1. Pared plana con superficies isotermas (Bejan) AT1LWHT2 5 / L H >5 / L W >LWHS =5.2. Esquina de dos paredes contiguas T2T1LWT2 5 / L W > W S 54 , 0 =5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior (Bejan) T2T1LWT2T2T2T2 Ninguna L S 15 , 0 =6.1. Disco delgado sobre medio semiinfinito DT2T1 NingunaD S 2 =6.2. Disco delgado semiinfinito enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pg. 112)DT2T1z Ninguna ) 67 , 5 / ( 145 , 4z DDS= Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 31 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 6.3. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Bejan) DT2T1z D z >) 4 / tan( arc ) 2 / (2z DDS=6.4. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) DT2aisladozT1T1 D z >) 4 / tan( arc ) 2 / (2z DDS+=6.5. Dos discos paralelos coaxiales en un medio infinito (Bejan) LDT1T2 2 / > D L) 2 / tan( arc ) 2 / (2L DDS=L z >>W L >) / 4 ln(2W LLS=0 = zW L > ) / 4 ln( W LLS=7.1. Placa horizontal delgada de anchura W (dimensin al dibujo) enterrada en un medio semiinfinito (Bejan y Holman) LT2T1zW L >>W z 2 > ) / 2 ln(2W zLS= Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 32 Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuacin). Descripcin del sistema EsquemaRestricciones Factor de forma 7.2. Placa vertical delgada y larga segn la dimensin al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) 1221< 2)103 - 21050,400,60 Alineado2105 - 21060,0210,84 Escalonado2105 - 21060,0220,84 Para ST / SL < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar. Tabla 6.5. Coeficiente de correccin C2 de la correlacin de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos para NL < 20 y ReD > 103. NL123457101316 Alineado0,700,800,860,900,920,950,970,980,99 Escalonado0,640,760,840,890,920,950,970,980,99 TEMA 7. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO Figura 7.1. Nmero de Nusselt local en la regin de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con temperatura superficial uniforme. Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 39 Figura 7.2. Nmero de Nusselt local en la regin de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con flujo de calor superficial uniforme. Tabla 7.1. Nmeros de Nusselt para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente seccin transversal. khDNuhD =Seccin transversal ab sq uniforme Ts uniforme Circular-4,363,66 Rectangular (a = altura, b =base) 1,03,612,98 Rectangular (a = altura, b =base) 1,433,733,08 Rectangular (a = altura, b =base) 2,04,123,39 Rectangular (a = altura, b =base) 3,04,793,96 Rectangular (a = altura, b =base) 4,05,334,44 Rectangular (a = altura, b =base) 8,06,495,60 Rectangular (a = altura, b =base) 8,237,54 Triangular-3,112,47 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 40CORRELACIONES DE CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO - Problema de longitud de entrada trmica (si xcd,t >> xcd,h). - Regin de entrada (x < xcd,t Gz-1 < 0,05) (Figuras 7.1. y 7.2.):- Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t) O(xcd,h)). - Correlacin local: -cte = sq NuD = 4,36. - Regin c. d. NuD = cte- Ts = cte NuD = 3,66. (x > xcd,t Gz-1 > 0,05): - Tubo no circular Tabla 7.1. ReD < 2.300 Rgimen Laminar: - Problema de longitud de entrada trmica (si xcd,t >> xcd,h): Correlacin de Hausen. - Reg. de entrada + c. d.: - Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t) O(xcd,h)): Correlacin de Sieder y Tate. - Correlacin promedio: -cte = sq 4,36 = D Nu . - Regin c. d. (L >> xcd,t) cte = D Nu : - Ts = cte 3,66 = D Nu . - Tubo no circular Tabla 7.1. - Correlacin de Dittus-Boelter. - Correlacin local (en regin c. d.: x/D > 10):- Correlacin de Sieder y Tate: (se usa con aceite siempre; con agua y con aire si hay grandes T). ReD > 2.300 Rgimen Turbulento: - Correl. de Dittus-Boelter. - Correlacin promediocon prop. a 2, , sal m ent mmT TT+= . (condiciones c. d.: L/D > 60): - Correl. de Sieder y Tate. Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 41TEMA 8. CONVECCIN LIBRE O NATURAL Figura 8.1. Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa lmite laminar de conveccin libre sobre una superficie vertical isoterma. TEMA 9. INTRODUCCIN A LA RADIACIN Figura 9.1. Distribucin de Planck. Potencia Emisiva espectral del cuerpo negro. Potencia emisiva espectral, Eb (W/m2m) 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 10010-410-310-210-1100101102103104105106107108109T = 5.800 K T = 2.000 KT = 1.000 K T = 800 K T = 300 K T = 100 K T = 50 K longitud de onda, (m) mxT = 2.898 mK Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 42 Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro. T (mK) ) 0 ( F 5,) , (TT Ib (mKsr)-1 ) , () , (,,T IT Imx bb 2000,0000000,375010-27 0,000000 4000,0000000,490310-13 0,000000 6000,0000000,104010-8 0,000014 8000,0000160,991110-7 0,001372 1.0000,0003210,118510-5 0,016406 1.2000,0021340,523910-5 0,072534 1.4000,0077900,134410-4 0,18608 1.6000,0197180,249110-4 0,3449 1.8000,039340,375610-4 0,5199 2.0000,066730,493410-4 0,6831 2.2000,100890,589610-4 0,8163 2.4000,140260,658910-4 0,9122 2.6000,18310,701310-40,9709 2.8000,22790,720210-40,9971 2.8980,2501080,722310-4 1,000000 3.0000,27320,720310-40,9971 3.2000,31810,706010-40,9774 3.4000,36170,681510-40,9436 3.6000,40360,650410-40,9004 3.8000,44340,615210-4 0,8517 4.0000,48090,578110-40,8003 4.2000,51600,540410-40,7481 4.4000,54880,503310-40,6967 4.6000,57930,467310-40,6470 4.8000,60760,433110-40,5996 5.0000,63370,400810-40,5549 5.2000,65900,370610-40,5130 5.4000,68040,342410-40,4741 5.6000,70100,316410-40,4380 5.8000,72020,292310-40,4047 6.0000,73780,270110-40,3740 6.2000,75410,249710-40,3457 6.4000,76920,231010-40,3198 6.6000,78320,213810-40,2960 6.8000,79610,198010-40,2741 7.0000,80810,183510-40,2541 7.2000,81920,170310-40,2357 7.4000,82950,158110-40,2188 7.6000,83910,146910-40,2034 7.8000,84800,136610-40,1891 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 43 Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro (continuacin). T (mK) ) 0 ( F 5,) , (TT Ib (mKsr)-1 ) , () , (,,T IT Imx bb 8.0000,85630,127210-40,1761 8.5000,87460,106810-40,1478 9.0000,89000,901510-50,1248 9.5000,90310,765310-50,1060 10.0000,91420,653310-50,09044 10.5000,92370,560510-50,077600 11.0000,93190,483310-50,066913 11.5000,94000,418710-50,057970 12.0000,94510,364410-50,050448 13.0000,95510,279510-50,038689 14.0000,96290,217610-50,030131 15.0000,97000,171910-50,023794 16.0000,97380,137410-50,019026 18.0000,98090,908210-60,012574 20.0000,98560,623310-60,008629 25.0000,99220,276510-60,003828 30.0000,99530,140510-60,001945 40.0000,99800,473910-70,000656 50.0000,99900,201610-70,000279 75.0000,99970,418610-8 0,000058 100.0000,9999050,135810-80,000019 TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometras bidimensionales. GeometraEsquemaFactor de forma Placas paralelas centradas wiLjiwj| || |ii jij iijWW WWW WF24 ) (24 ) (2 / 122 / 12+ + +=L w Wi i/ = L w Wj j/ =Placas paralelas inclinadas de igual anchura y una arista en comn jiww |.|
\| =21sen Fij Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 44 Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometras bidimensionales (continuacin). GeometraEsquemaFactor de forma Placas perpendiculares con una arista en comn jiwiwj| |2) / ( 1 ) / ( 12 / 12i j i jijw w w wF+ +=Recinto de tres lados jiwiwkwjk ik j iijww w wF2 +=Cilindros paralelos de radios diferentes sjirirj | || |)`|.|
\|+ + |.|
\| ++ + +=C CRRC CRRR CR C Fij1cos 180) 1 (1cos 180) 1 () 1 () 1 (21112 / 12 22 / 12 2 i jr r R / =ir s S / = S R C + + =1Cilindro y placa paralelos s1jiLrs2 ((
= LsLss srFij2 1 1 12 1tan tan 180Plano infinito y fila de cilindros sjiD 2 / 122 212 / 12tan 1801 1||.|
\| |.|
\|++(((
|.|
\| =DD ssDsDFij Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 45 Figura 10.1. Factor de forma radiativo para dos rectngulos paralelos alineados. jiXLY 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 5 10 20 400.010.020.030.050.080.10.20.30.50.81X / LFijY / L = 0,05 Y / L = 0,4 Y / L = 0,1 Y / L = 0,6 Y / L = 0,2 Y / L = 4 Y / L = 2 Y / L = 1 Y / L = 10 Y / L = inf. Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 46 Figura 10.2. Factor de forma radiativo para dos discos paralelos coaxiales. jiLrirj 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91L / riFijrj / L = 2 0,3 0,8 0,4 1,25 1 0,6 43 1,5 5 6 8 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 47 Figura 10.3. Factor de forma radiativo para dos rectngulos perpendiculares con una arista en comn. jiZXY 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 1000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5Z / XFijY / X = 0,02 0,050,10,210,40,6241,51020 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 48 Tabla 10.2. Intercambio neto de radiacin en recintos especiales de dos superficies grises y difusas. GeometraEsquemaCondiciones Intercambio de radiacin Planos paralelos grandes (infinitos) A2, T2, 2A1, T1, 1plano 1plano 2A A A = =2 1 112 = F 11 1) (2 1424112 += T T AqCilindros concntricos largos (infinitos) r2r1 2121rrAA=112 = F212214241 1121 1) (rrT T Aq+=Esferas concntricas r2r1 222121rrAA=112 = F2212214241 1121 1) (||.|
\| +=rrT T AqObjeto convexo pequeo en una cavidad grande A2, T2, 2A1, T1, 1 021AA 112 = F) (4241 1 1 12T T A q = Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 49 TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFSICAS Y DE FUNCIONES MATEMTICAS Tabla A. Propiedades termofsicas del aire a presin atmosfrica. T (K) (kg/m3) cp (J/kgK)107 (Ns/m2)106 (m2/s)k103 (W/mK)106 (m2/s) Pr 1003,55621.03271,12,009,342,540,786 1502,33641.012103,44,42613,85,840,758 2001,75481.007132,57,59018,110,30,737 2501,39471.006159,611,4422,315,90,720 3001,16141.007184,615,8926,322,50,707 3500,99501.009208,220,9230,029,90,700 4000,87111.014230,126,4133,838,30,690 4500,77401.021250,732,3937,347,20,686 5000,69641.030270,138,7940,756,70,684 5500,63291.040288,445,5743,966,70,683 6000,58041.051305,852,6946,976,90,685 6500,53561.063322,560,2149,787,30,690 7000,49751.075338,868,1052,498,00,695 7500,46431.087354,676,3754,91090,702 8000,43541.099369,884,9357,31200,709 8500,40971.110384,393,8059,61310,716 9000,38681.121398,1102,962,01430,720 9500,36661.131411,3112,264,31550,723 1.0000,34821.141424,4121,966,71680,726 1.1000,31661.159449,0141,871,51950,728 1.2000,29021.175473,0162,976,32240,728 1.3000,26791.189496,0185,1822380,719 1.4000,24881.207530213913030,703 1.5000,23221.2305572401003500,685 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 50 Tabla B. Propiedades termofsicas del aceite de motor a presin atmosfrica. T (K) (kg/m3) cp (J/kgK) 102 (Ns/m2)106 (m2/s)k103 (W/mK)107 (m2/s)Pr103 (K-1) 273899,11.7963854.2801470,91047.0000,70 280895,31.8272172.4301440,88027.5000,70 290890,01.86899,91.1201450,87212.9000,70 300884,11.90948,65501450,8596.4000,70 310877,91.95125,32881450,8473.4000,70 320871,81.99314,11611430,8231.9650,70 330865,82.0358,3696,61410,8001.2050,70 340859,92.0765,3161,71390,7797930,70 350853,92.1183,5641,71380,7635460,70 360847,82.1612,5229,71380,7533950,70 370841,82.2061,8622,01370,7383000,70 380836,02.2501,4116,91360,7232330,70 390830,62.2941,1013,31350,7091870,70 400825,12.3370,87410,61340,6951520,70 410818,92.3810,6988,521330,6821250,70 420812,12.4270,5646,941330,6751030,70 430806,52.4710,4705,831320,662880,70 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 51 Tabla C. Propiedades termofsicas del agua saturada. T (K) P (bar) 1/103 (m3/kg) hfg (kJ/kg)cp (J/kgK)106 (Ns/m2)k103 (W/mK) Pr106 (K-1) 273,150,00611 1,0002.5024.2171.75056912,99-68,052750,00697 1,0002.4974.2111.65257412,22-32,742800,00990 1,0002.4854.1981.42258210,2646,04 2850,01387 1,0002.4734.1891.2255908,81114,1 2900,01917 1,0012.4614.1841.0805987,56174,0 2950,02617 1,0022.4494.1819596066,62227,5 3000,03531 1,0032.4384.1798556135,83276,1 3050,04712 1,0052.4264.1787696205,20320,6 3100,06221 1,0072.4144.1786956284,62361,9 3150,08132 1,0092.4024.1796316344,16400,4 3200,10531,0112.3904.1805776403,77436,7 3250,13511,0132.3784.1825286453,42471,2 3300,17191,0162.3664.1844896503,15504,0 3350,21671,0182.3544.1864536562,88535,5 3400,27131,0212.3424.1884206602,66566,0 3450,33721,0242.3294.1913896682,45595,4 3500,41631,0272.3174.1953656682,29624,2 3550,51001,0302.3044.1993436712,14652,3 3600,62091,0342.2914.2033246742,02697,9 3650,75141,0382.2784.2093066771,91707,1 3700,90401,0412.2654.2142896791,80728,7 373,151,01331,0442.2574.2172796801,76750,1 3751,08151,0452.2524.2202746811,70761 3801,28691,0492.2394.2262606831,61788 3851,52331,0532.2254.2322486851,53814 3901,7941,0582.2124.2392376861,47841 4002,4551,0672.1834.2562176881,34896 4103,3021,0772.1534.2782006881,24852 4204,3701,0882.1234.3021856881,161.010 4305,6991,0992.0914.3311736851,09 4407,3331,1102.0594.3601626821,04 4509,3191,1232.0244.4001526780,99 46011,711,1371.9894.4401436730,95 47014,551,1521.9514.4801366670,92 48017,901,1671.9124.5301296600,89 49021,831,1841.8704.5901246510,87 50026,401,2031.8254.6601186420,86 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 52Tabla D. Funciones hiperblicas. xsenh xcosh xtanh xxsenh xcosh xtanh x 0,000,00001,00000,00000 2,003,62693,76220,964030,100,10021,00500,09967 2,104,02194,14430,970450,200,20131,02010,19738 2,204,45714,56790,975740,300,30451,04530,29131 2,304,93705,03720,980100,400,41081,08110,37995 2,405,46625,55690,983670,500,52111,12760,46212 2,506,05026,13230,986610,600,63671,18550,53705 2,606,69476,76900,989030,700,75861,25520,60437 2,707,40637,47350,991010,800,88811,33740,66404 2,808,19198,25270,992630,901,02651,43310,71630 2,909,05969,11460,993961,001,17521,54310,76159 3,0010,01810,0680,995051,101,33561,66850,80050 3,5016,54316,5730,998181,201,50951,81070,83365 4,0027,29027,3080,999331,301,69841,97090,86172 4,5045,00345,0140,999751,401,90432,15090,88535 5,0074,20374,2100,999911,502,12932,35240,90515 6,00201,71201,720,999991,602,37562,57750,92167 7,00548,32548,321,0000 1,702,64562,82830,93541 8,001.490,51.490,51,0000 1,802,94223,10750,94681 9,004.051,54.051,51,0000 1,903,26823,41770,95624 10,0011.01311.0131,0000 Tabla E. Funcin gaussiana de error. xerf (x)xerf (x)xerf (x) 0,000,000000,360,389331,040,85865 0,020,022560,380,409011,080,87333 0,040,045110,400,428391,120,88679 0,060,067620,440,466231,160,89910 0,080,090080,480,502751,200,91031 0,100,112460,520,537901,300,93401 0,120,134760,560,571621,400,95229 0,140,156950,600,603861,500,96611 0,160,179010,640,634591,600,97635 0,180,200940,680,663781,700,98379 0,200,222700,720,691431,800,98909 0,220,244300,760,717541,900,99279 0,240,265700,800,742102,000,99532 0,260,286900,840,765142,200,99814 0,280,307880,880,786692,400,99931 0,300,328630,920,806772,600,99976 0,320,349130,960,825422,800,99992 0,340,369361,000,842703,000,99998 =wudu e w02 2erfw w erf 1 erfc = Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 53 Tabla F. Primeras cuatro races de la ecuacin trascendental, ntan(n) = Bi, para conduccin transitoria en una pared plana. khLBi =1234 00,00003,14166,28329,4248 0,0010,03163,14196,28339,4249 0,0020,04473,14226,28359,4250 0,0040,06323,14296,28389,4252 0,0060,07743,14356,28419,4254 0,0080,08933,14416,28459,4256 0,010,09983,14486,28489,4258 0,020,14103,14796,28649,4269 0,040,19873,15436,28959,4290 0,060,24253,16066,29279,4311 0,080,27913,16686,29599,4333 0,10,31113,17316,29919,4354 0,20,43283,20396,31489,4459 0,30,52183,23416,33059,4565 0,40,59323,26366,34619,4670 0,50,65333,29236,36169,4775 0,60,70513,32046,37709,4879 0,70,75063,34776,39239,4983 0,80,79103,37446,40749,5087 0,90,82743,40036,42249,5190 1,00,86033,42566,43739,5293 1,50,98823,54226,50979,5801 2,01,07693,64366,57839,6296 3,01,19253,80886,70409,7240 4,01,26463,93526,81409,8119 5,01,31384,03366,90969,8928 6,01,34964,11166,99249,9667 7,01,37664,17467,064010,0339 8,01,39784,22647,126310,0949 9,01,41494,26947,180610,1502 10,01,42894,30587,228110,2003 15,01,47294,42557,395910,3898 20,01,49614,49157,495410,5117 30,01,52024,56157,605710,6543 40,01,53254,59797,664710,7334 50,01,54004,62027,701210,7832 60,01,54514,63537,725910,8172 80,01,55144,65437,757310,8606 100,01,55524,66587,776410,8871 1,57084,71247,854010,9956 Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 54 Tabla G. Funciones de Bessel de primera clase. xJ0(x)J1(x) 0,01,00000,0000 0,10,99750,0499 0,20,99000,0995 0,30,97760,1483 0,40,96040,1960 0,50,93850,2423 0,60,91200,2867 0,70,88120,3290 0,80,84630,3688 0,90,80750,4059 1,00,76520,4401 1,10,71960,4709 1,20,67110,4983 1,30,62010,5220 1,40,56690,5419 1,50,51180,5579 1,60,45540,5699 1,70,39800,5778 1,80,34000,5815 1,90,28180,5812 2,00,22390,5767 2,10,16660,5683 2,20,11040,5560 2,30,05550,5399 2,40,00250,5202 Transferencia de CalorFrmulas, Tablas y Figuras 55 Tabla H. Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase. xe-xI0(x)e-xI1(x)exK0(x)exK1(x) 0,01,00000,0000 0,20,82690,08232,14085,8334 0,40,69740,13681,66273,2587 0,60,59930,17221,41672,3739 0,80,52410,19451,25821,9179 1,00,46580,20791,14451,6362 1,20,41980,21531,05751,4429 1,40,38310,21850,98811,3011 1,60,35330,21900,93091,1919 1,80,32890,21770,88281,1048 2,00,30850,21530,84161,0335 2,20,29130,21210,80570,9738 2,40,27660,20850,77400,9229 2,60,26390,20470,74590,8790 2,80,25280,20070,72060,8405 3,00,24300,19680,69780,8066 3,20,23430,19300,67700,7763 3,40,22640,18920,65800,7491 3,60,21930,18560,64050,7245 3,80,21290,18210,62430,7021 4,00,20700,17880,60930,6816 4,20,20160,17550,59530,6627 4,40,19660,17250,58230,6454 4,60,19190,16950,57010,6292 4,80,18760,16670,55860,6143 5,00,18350,16400,54780,6003 5,20,17970,16140,53760,5872 5,40,17620,15890,52800,5749 5,60,17280,15650,51880,5634 5,80,16970,15420,51010,5525 6,00,16670,15210,50190,5422 6,40,16110,14790,48650,5232 6,80,15610,14410,47240,5060 7,20,15150,14050,45950,4905 7,60,14730,13720,44760,4762 8,00,14340,13410,43660,4631 8,40,13990,13120,42640,4511 8,80,13650,12850,41680,4399 9,20,13340,12600,40790,4295 9,40,13050,12350,39950,4198 9,60,12780,12130,39160,4108 10,01,00000,0000 ) ( ) / ( ) ( ) ( x I x n x I x In n n21 1 = + Frmulas, Tablas y FigurasTransferencia de Calor 56 ALFABETO GRIEGO MaysculasMinsculasNombre alfa beta gamma delta psilon seta o zeta eta zeta o theta iota kappa o cappa lambda my o mu ny o nu xi micron pi ro o rho , sigma tau psilon fi o phi ji psi omega