2º Premio

¿CÓMO SUCEDEN LAS FÓRMULAS?

LIDIA ESTER IBARRA

BLANCA FORMELIANO

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SILVIA BASPIÑEIRO

Lidia Ester Ibarra posee un Master en Didáctica de lasMatemáticas y de las Ciencias Experimentales, por laUniversidad Autónoma de Barcelona (España). Es Directoradel Proyecto de Investigación Nº 1494 del Consejo deInvestigación de la Universidad Nacional de Salta. YProfesora Adjunta Regular de la Facultad de CienciasExactas en la Cátedra de Resolución de Problemas enEducación Matemática, Didáctica de la Matemática yPráctica Docente de la misma Universidad.

Blanca Formeliano es Profesora del Segundo Año dePolimodal “Batalla de Salta”, donde se realizó elProyecto de Investigación. Es Jefe de Trabajos Prácticosde Didáctica de la Matemática y Práctica Docente en laFacultad de Ciencias Exactas de Salta. Dirige Seminariosde alumnos del Profesorado. Profesora de Didácticade la Matemática del Instituto de Formación DocenteNo. 6001, también de Salta (Capital).

Silvia Baspiñeiro es Alumna Practicante de la Cátedrade Práctica Docente de la Carrera del Profesorado deMatemática de la Facultad de Ciencias Exactas de laUniversidad Nacional de Salta.

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ÍNDICE

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1. Resumen................................................................................................. 3

2. Introducción ........................................................................................... 4

3. Antecedentes .......................................................................................... 5 3.1. El problema...................................................................................... 7

4. Marco teórico......................................................................................... 84.1. Procedimiento general relacionado a la actividad matemática ....... 84.2. ¿Qué se expresa en el currículo? ..................................................... 84.3. Historia de algunas sucesiones importantes .................................. 11

5. Marco teórico específico ..................................................................... 15

6. Metodología de trabajo........................................................................ 19

7. Propuesta áulica ................................................................................... 20

8. Conclusiones........................................................................................ 36

9. Anexo 1................................................................................................ 37

10. Anexo 2.............................................................................................. 58

11. Bibliografía ........................................................................................ 70

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1. RESUMEN

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El Colegio Batalla de Salta es una institución escolar de la Capital de laProvincia de Salta. Creada en el año 1983, allí concurren adolescentes de alta vul-nerabilidad social, provienen de hogares urbanos marginales, con problemas dedrogadicción, alcoholismo, violencia familiar y embarazo precoz. En el planoescolar los problemas consisten en altos niveles de repitencia, sobre-edad, bajacalidad de aprendizajes y fracasos en las evaluaciones de matemática.

Esta situación nos llevó a proponer una forma distinta de enseñar matemáticaen el aula de Nivel Polimodal, con el objetivo de lograr aprendizajes que permitaa los adolescentes acceder a estudios superiores, a oportunidades laborales califi-cadas y la inserción social.

Se busca revertir el imaginario colectivo sobre la matemática escolar, tradicio-nalmente asumida como una disciplina estáticamente acotada, centrada solo en eldominio de destrezas mediante la reiteración de tareas, que se limita a procedi-mientos de ejecución mecánica, prescindiendo así de la invención, el ensayo, lasrefutaciones y la resignificación de los contenidos en contextos diferentes.

Se propone superar las visiones empobrecidas y empobrecedoras del conoci-miento matemático, incorporando activamente la riqueza de las relaciones queestán en la base de cualquier concepto y que sugieren la posibilidad de interrela-ciones con otros.

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2. INTRODUCCIÓN

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El Colegio Batalla de Salta es una institución que se encuentra en la zonanorte del departamento Capital de la Provincia de Salta. Fue creado en 1983 parasatisfacer los requerimientos de una vasta población de jóvenes y adolescentesque no contaban con una institución de nivel secundario en la zona. Por enton-ces, debían concurrir a establecimientos de la zona centro, ubicados a diez kiló-metros del lugar.

Actualmente, al Colegio Batalla de Salta concurren alumnos de alta vulnera-bilidad social, provenientes de una población urbana marginal, con problemas dedrogadicción, alcoholismo, violencia familiar y embarazos no deseados.

Este estado de cosas nos llevó a pensar en una forma de trabajo que ayudara alos alumnos a lograr aprendizajes significativos y útiles que les posibilitaran elacceso a estudios superiores con los que pudieran tener mejores oportunidadeslaborales y sociales. Comenzamos por plantearnos cuáles eran los conocimientosque ellos poseían y si era posible resignificarlos o reorganizarlos para construirotros. Después de reflexionarlo, nos decidimos a trabajar con el tema “Sucesiones”.Cabe aclarar que se trabajó con el segundo año del Nivel Polimodal.

De este modo, con respecto a los problemas relacionados con las sucesiones,los alumnos debieron explorar regularidades, encontrar estructuras, generalizarprocedimientos, etc. Por ejemplo: “Encontrar una fórmula que permita calcularrápidamente la suma de cincuenta números cualesquiera en orden consecutivo,sin tener que hacer las cuarenta y nueve sumas”. De modo que debieron tener encuenta que era necesario buscar una fórmula que les sirviera para calcular lasuma de cualquier secuencia de cincuenta números consecutivos. Se trataba deencontrar un procedimiento cuyo cálculo fuera económico y que involucrara elanálisis de una estructura y la identificación de regularidades. Incluimos en esterubro problemas de generalización y problemas ligados a la construcción de fór-mulas como el trabajo de modelización que involucra, entre otros aspectos, laselección de las variables a estudiar, el uso del lenguaje de la matemática paraexpresar la relación entre las mismas y la elección de las formas más adecuadasde representación.

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También tuvimos en cuenta los conceptos matemáticos que deben enseñarseteniendo en consideración el currículo en espiral; por ejemplo –una situación típi-ca del primer año de EGB 1– “Escala de 2 hasta el 30”, 2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28-30, es decir, una sucesión de números pares hasta 30. De estamanera, podemos observar que el concepto de sucesión ya está presente en estaetapa de modo implícito. Sin embargo, en este trabajo se irá aumentando, pro-gresivamente, el grado de complejidad y sistematización inherente a su estudio.

3. ANTECEDENTES

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La palabra “sucesión” se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano ytiene el mismo significado que en matemática, a saber, “conjunto ordenado deelementos”. Así, por ejemplo, se habla de sucesión de días o sucesión de núme-ros naturales con la misma interpretación intuitiva.

Asimismo, las sucesiones tienen una gran importancia como objeto culturaldentro del campo de la matemática que se desarrolla en distintos niveles de ense-ñanza. La sucesión más importante de todas es la de los números naturales (vistaya en EGB1, 2 y 3), que sirve para construir todas las otras secuencias ordena-das de objetos; por ejemplo, las figuras geométricas o las configuraciones varia-das con diferentes formas de representación de un mismo objeto. Además, eninformática se trabaja con sucesiones, repitiendo operaciones una tras otra, loque ha colocado a este tema en el centro del desarrollo actual de la matemática.Por todo lo dicho, la sucesión se constituye en uno de los pilares fundamentalesde esta disciplina.

La matemática discreta, presente en forma implícita en los lineamientos curri-culares de EGB 3, surge como contraste y complemento de lo que podemos llamarmatemática continua, la cual constituye, esencialmente, el campo de estudio delanálisis matemático. La matemática continua se interesa por los conjuntos nonumerables, como los reales mientras que la matemática discreta se interesa porlos conjuntos numerables de objetos, como los enteros y racionales (todos los pro-blemas expresables en términos de estos conjuntos por ejemplos grafos).

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Para realizar el trabajo en el Colegio Batalla de Salta hicimos en primer lugaruna investigación sobre las problemáticas imperantes en la institución. Estas fue-ron las más importantes:

• Altos índices de repitencia.• Alumnos con sobre-edad.• Bajo índice de asistencia.• Alto índice de desaprobación de exámenes.• Propuesta metodológica insuficiente para modificar el rendimiento de

los alumnos.• Bajo nivel de logros con relación a los aprendizajes de contenidos y

competencias básicas.

Es por estos motivos que la institución se enmarca en el PROYECTO INS-TITUCIONAL DE RETENCIÓN (PIR). Retención es la “capacidad de la escue-la para lograr la permanencia de los alumnos en las aulas, garantizar la termina-ción de los ciclos y niveles en los tiempos previstos y asegurar el dominio de lossaberes y competencias correspondientes”.

Una vez determinadas las problemáticas de la institución en el NivelPolimodal, decidimos trabajar en las problemáticas disciplinares y las estrategias.

En lo relativo a lo disciplinar, encontramos los siguientes problemas:

• Dificultades en el proceso de construcción oral y escrita.• Falta de dominio de operaciones y construcciones de nociones básicas

de matemática, dificultad para abstraer ideas, retener información einterpretar consignas, lo que se traduce en serias dificultades para elaprendizaje.

Las estrategias que elaboramos en relación con lo disciplinar fueron lassiguientes:

1. Reformulación de las estrategias metodológicas atendiendo a la diver-sidad del grupo áulico.

2. Fortalecimiento de los tiempos de aprendizaje en la institución paralograr mejores resultados.

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3. Selección de los contenidos y metodologías de enseñanza adecuadospara el grupo.

4. Optimización de criterios y pautas de evaluación.

Esta observación no solo nos sirvió para conocer la realidad institucional,sino también para optimizar el trabajo en clases a través de estrategias que nosllevaran a alcanzar los objetivos institucionales.

3.1 Problema

Al conocer la realidad institucional con sus diversas problemáticas y tenien-do en cuenta que las sucesiones son un contenido a enseñar, encontramos que losestudiantes desconocen los contenidos relacionados con el tema. Esta situaciónnos llevó a formular las siguientes hipótesis de trabajo:

• Los estudiantes de segundo año de Polimodal pueden recuperar algu-nos saberes que aprendieron a lo largo de la Educación General Básicay construir el concepto de sucesiones.

• Las matemáticas constituyen una actividad de resolución de situacio-nes problemáticas, socialmente compartidas.

• Las matemáticas constituyen un sistema conceptual organizado lógi-camente. Cada concepto no puede enseñarse totalmente en forma ais-lada; por ejemplo, la adquisición de la noción de sucesión necesita delos conceptos de conjuntos numéricos y de las relaciones funcionales.

Un aspecto que exigirá nuestra atención será el de favorecer el trabajo progre-sivo en el razonamiento de tipo inductivo a partir del descubrimiento de regulari-dades en toda clase de situaciones. Otro aspecto será el desarrollo del razona-miento deductivo atendiendo a la necesidad de observar y justificar los ejerciciosparticulares sin ser formales ni rigurosos. Esto quiere decir que, aunque la forma-ción en el campo de la matemática en el nivel Polimodal incorpora, a partir de lotrabajado en Educación General Básica, aspectos como la sistematización, la for-malización y el rigor, no por ello se debe dejar de lado la creatividad y la intuición.

Estas consideraciones implican que la enseñanza de la matemática debe con-ceder importancia a la capacidad de efectuar demostraciones matemáticas. A esterespecto, es necesario tener en cuenta las dificultades que deben afrontar losalumnos al asimilar y desarrollar procedimientos de validación matemática.

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4. MARCO TEÓRICO

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Escogimos el marco teórico general enunciado por Marianna Bosch Casabóy Josep Gascón Pérez (1994): “Toda actividad matemática puede ser analizadacomo actividad de estudio de campos de problemas, actividad que se lleva acabo mediante la producción y utilización de lo que llamamos técnicas matemá-ticas o, más precisamente, técnicas de estudio de campos de problemas”.

Por técnicas entendemos “maneras de hacer” utilizadas por los alumnos, yrelacionadas con las justificaciones de las definiciones o comentarios que des-criben el procedimiento empleado.

4.1 Procedimiento general relacionado a la actividad matemática

“Problema” es toda situación con un objetivo a lograr, que requiere del suje-to una serie de acciones u operaciones para obtener una solución no inmediata yque permite generar nuevos conocimientos, modificando (enriqueciendo orechazando) los que hasta el momento poseía. Así, esta noción de problema secorresponde con el marco teórico elegido.

4.2 ¿Qué se expresa en el currículo?

El conocimiento a enseñar, en nuestro caso las sucesiones, está determinado porla programación oficial a través de los contenidos conceptuales y procedimentales(CBC). Los docentes deben transformar los contenidos, es decir, realizar la trans-posición didáctica para hacer que las representaciones sean accesibles al alumno.

Dentro del currículo oficial (CBC del Polimodal), el tema sucesiones se encuen-tra en el Bloque 1 “Números y funciones”, e indica los siguientes contenidos:

• Contenidos conceptuales: Números Reales. Propiedades. Operaciones.Aproximación decimal, cálculo aproximado, técnicas de redondeo ytruncamiento, error absoluto y relativo. Sucesiones aritméticas y geomé-tricas, recurrencia, suma de los primeros términos. Límite de una suce-sión. El número e.

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• Contenidos procedimentales: Cálculo de la suma y del término generalen algunas sucesiones, su uso en la resolución de problemas de cálcu-lo financiero en situaciones cotidianas (compras y pagos al contado ya plazo, costo financiero de las compras con tarjetas de crédito, etc.)

De este modo, se propone el estudio de las propiedades de las sucesiones y suuso en diferentes ámbitos, para introducir luego el concepto de límite a través detrabajos con ejemplos no triviales que pueden determinar el límite de las funciones.

Para el desarrollo de estos temas, será necesario acceder a su “construcciónhistórica”, a su tratamiento y utilización en diferentes ámbitos y en sus diferen-tes formas. Llevaremos a cabo el estudio en relación a la resolución de proble-mas con variedad de estrategias y atendiendo especialmente a los procesos demodelización que incluyen la generación del modelo matemático, la resolucióny la validación de su solución en la situación original. Además, analizaremos laslimitaciones, lo cual nos permitirá hacer predicciones.

Mientras que la EGB se encuentra fundamentalmente caracterizada por untrabajo matemático de neto carácter aritmético, el Nivel Polimodal debe centrarsu atención en modelos algebraicos y analíticos de alcance general. Estos mode-los no tendrán competencia en la resolución de un problema particular sino en elhecho de plasmar las situaciones en general. En consecuencia, crearán fórmulasque brindarán solución a todos los problemas comprendidos por el mismomarco. El alcance general del álgebra y el análisis implicará que los alumnos tra-ten con frecuencia condiciones de problemas con gran cantidad de soluciones,pudiendo ser estas infinitas. El trabajo de generalización comenzado en el tercerciclo de la EGB deberá ser consolidado y profundizado en el Nivel Polimodal.El tratamiento de lo general deberá incluir la variabilidad y el estudio de las dis-tintas formas que ésta puede asumir. De este modo, los estudios algebraicosdarán paso a las indagaciones analíticas. El pensamiento algebraico permiteresolver problemas en los que intervienen una o más cantidades desconocidas(incógnitas) que responden a las condiciones planteadas. Además, permite tam-bién resolver problemas que requieren de generalizaciones. Bajo esta mirada, elálgebra es útil esencialmente para acceder a propiedades numéricas, y es por estoque en ella se puede concebir una generalización de la aritmética. La evoluciónde la incógnita hacia la variable que se ha instalado en el tercer ciclo de EGBdebe consolidarse en la Educación Polimodal.

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Las letras se constituirán en un puente de varios tramos y serán el soporte querepresentará la manipulación operativa de las incógnitas. Así, permitirán –median-te las fórmulas– representar simbólicamente regularidades y dependencias.Pondrán en juego las variables y la dependencia entre ellas; servirán también comosustento de las representaciones que posibilitarán crear modelos que constituyanen objeto de estudio a los procesos de cambio. El estudio de la forma en que seproducen los procesos de cambio será el salto central del pensamiento en elPolimodal. En este nivel, el tratamiento de contenidos que permitan hacer cons-cientes algunas relaciones conceptuales importantes ocupa un lugar relevante. Ental sentido, se tratará de pasar de la clasificación y jerarquización a la conceptua-lización organizada, además de continuar aumentando el campo de experimenta-ción como soporte de la abstracción.

De este modo, teniendo en cuenta que los alumnos se encuentran en situaciónde realizar abstracciones, no solo desde la manipulación de objetos sino tambiéndesde la representación de dichos conceptos, trataremos contenidos que favo-rezcan la formalización de conceptos y definiciones. Todo ello sin dejar de ladoque antes de hablar de formalizar y definir hay que hablar de sistematizar y deutilizar correctamente el lenguaje.

Con el objeto de que los alumnos puedan explicar por sí solos –el modelo implí-cito encontrado en la situación de acción–, es necesario que formulen, para lo cualdeberán intercambiar información con sus compañeros. Seguidamente, deberánescribir las conclusiones halladas usando un lenguaje cada vez más preciso y com-prensible, que pueda ser entendido por todos. En las fases anteriores los alumnosefectuarán una validación empírica que no será suficiente para convencer a suscompañeros de las conclusiones obtenidas, por lo que será necesario que el alumnoconstruya pruebas que permitan justificar sus afirmaciones o relaciones encontra-das. Por último, la situación de institucionalización está destinada a establecer con-venciones sociales. En este tipo de situaciones se intenta que el conjunto de alum-nos asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elabo-rado por ellos mismos en situaciones de acción, formulación y validación.

El docente debe anticipar las soluciones posibles a las que arribarán los estu-diantes, y detectar los posibles errores que puedan cometer frente a la resoluciónde la situación planteada. Debe también transformar el conocimiento cultural enun conocimiento apropiado al contexto de la interacción. Yves Chevallard deno-

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mina a este proceso de adaptación del conocimiento transposición didáctica(TAD). La TAD debe producirse en dos etapas:

• Primera etapa: Saber sabido-saber a enseñar: adaptaciones y restric-ciones que sufren los saberes sabios al ser trasformados por sociólo-gos, epistemólogos y políticos dentro de los contenidos curriculares,propuestas oficiales, libros de texto, etc.

• Segunda etapa: Saber a enseñar-saber enseñado: se trata de las adapta-ciones o transformaciones que sufren los contenidos del currículo den-tro del ejercicio de la enseñanza docente.

Por lo tanto, es el docente quien debe realizar una adecuada transposicióndidáctica, que garantice que el saber erudito se transforme en saber escolariza-do. Es por ello que es importante realizar una selección conveniente de secuen-cias de problemas, para obtener un determinado conocimiento matemático quedé lugar a aprendizajes concienzudos.

En la TAD se parte del principio de que el saber matemático se construyecomo respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, por lo que aparece comoresultado de un proceso de estudio. Dicho proceso, en cuanto actividad que con-duce a la construcción de conocimiento matemático, forma parte de la actividadmatemática. Así, según señalan Bosch Casabó y Gascón Pérez (1964), “todaactividad matemática se puede analizar como actividad de estudio de campos deproblemas, actividad que se lleva a cabo mediante la producción y utilización detécnicas matemáticas (maneras de hacer) o, más precisamente, técnicas de estu-dio de campos de problemas”.

La formación escolar que la escuela pretende dar debe permitir a las nuevasgeneraciones ingresar a las “obras” de las que se compone la sociedad. SegúnChevallard (1997), “una obra es cualquier elaboración humana que responde adeterminadas cuestiones; así, son obras: el teatro, la ciudad, la república, la escri-tura, un libro de texto, la lengua francesa, etc.”.

4.3 Historia de algunas sucesiones importantes

De acuerdo al marco teórico elegido, tener acceso a la “construcción históri-ca” nos ayudará a ver la importancia de las condiciones de creación de algunas

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sucesiones especiales, como por ejemplo la sucesión de Fibonacci o la de núme-ros pitagóricos.

En estas sucesiones está presente la línea de tiempo, por lo que es importan-te conocerlas. Tener de referencia este marco histórico nos ayudará a ver cuál fueel problema que originó las “sucesiones” que se transmiten en el aula.

a) Los números pitagóricos

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un perga-mino o con piedrecillas en la arena, y los clasificaban según las formas poligo-nales de estas distribuciones de puntos. Es decir, asociaban los números a figu-ras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos cuya suma deter-minaba el número representado. Así, obtenían los diversos tipos de númerospoligonales o figurados:

Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ...Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ...Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ...

La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóri-cos la representación visual de los números, combinando las dos esencias de lamatemática: los números y las formas. Los números poseen propiedades y rela-ciones completamente independientes de todo simbolismo, lo que les confiereun carácter universal e inmutable.

La consideración de los números poligonales y su representación geométrico-visual permite, por una parte, constatar que ciertos números tienen característicasdiferentes a otros, hecho que se comprueba a través de las diferentes configuracio-nes geométricas que producen; por la otra, descubrir formas geométrico-empíricas,casi corpóreas, en las que se destaca la importancia de las propiedades numéricas yla obtención de relaciones interesantes entre sí. La polifiguración numérica llevabaa extender conceptos de la aritmética como la generalización de la experiencia prác-tica, con lo que se caía en un atomismo numérico bellamente ilustrado dentro deuna geometría de números figurados. Éstas, que eran las primeras y las más simplesestructuras de la geometría numérica, actualmente están en el corazón de la mate-mática y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la teoría de números.

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A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los pitagó-ricos con los números poligonales, y al considerar la relación entre órdenes con-secutivos de números de un determinado tipo y relaciones entre números poli-gonales de tipos diferentes, aparecían, como evidencia empírico-visual, nume-rosas propiedades de los números enteros. Así, por ejemplo, si llamamos T(n),C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexago-nal, respectivamente, los esquemas gráficos nos proporcionan importantes pro-piedades aritméticas de los números enteros.

Estos números han sido uno de los tópicos más atractivos de la historia de la arit-mética, y fueron tratados por matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto,Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Fueron ampliamente utiliza-dos por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de sus resultados sobrecuadraturas. Por ende, forman parte de las raíces históricas de la teoría de los núme-ros. Además, juegan un importante papel en el análisis combinatorio, intervienen enel binomio de Newton y en el cálculo de probabilidades. En la actualidad, el estudiode los números poligonales tiene un gran valor debido a la incipiente aplicación crip-tográfica en la seguridad de las comunicaciones, de modo que, como en muchos otrosaspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático.

b) Fibonacci y la sucesión de Fibonacci

Una de las sucesiones por recurrencia más famosa es la llamada “sucesión deFibonacci”, investigada por Leonardo Fibonacci, a quien se conoce como Leonardode Pisa, ya que nació en esa ciudad italiana hacia el año 1175.

Es casi irónico que este matemático que hizo tan notorios aportes a esta cien-cia sea conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo XIX,Édouard Lucas, quien interesado en la teoría de números encadenó su nombre auna sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci.

“Imaginemos una pareja de conejos encerrados en un campo donde puedenanidar y criar. Supongamos que los conejos comienzan a procrear a los dosmeses de vida, engendrando siempre una única pareja, y a partir de ese momen-to, cada uno de los meses siguientes un par más de iguales características.Admitiendo que no muriese ninguno de los conejos, ¿cuántos pares contendrá elcercado al cabo de un año?”

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La sucesión que surge como respuesta al problema es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144… y se la conoce como “sucesión de Fibonacci”. Los términos dela misma reciben el nombre “números de Fibonacci”.

La sucesión (Fn) de números de Fibonacci se define entonces a través de lasiguiente recurrencia:

Fn = 0 F1= 1 Fn= Fn-1+ Fn-2 para n ≥ 2

Fibonacci no investiga la sucesión, la cual no recibe tampoco ningún estudioserio hasta comienzos del siglo XIX.

Los números de Fibonacci tienen múltiples usos. Algunos de ellos son:

a) En el reino vegetal, su aparición más llamativa es en la implantaciónen espiral de ciertas variedades de girasoles. De este modo, se encuen-tran dos haces de espirales logarítmicos, uno en sentido horario y otroen sentido contrario a las agujas del reloj, formados por dos términosconsecutivos de la conocida serie.

b) En las excepciones triviales 0 y 1, tomando como elemento de subín-dice 0 de la sucesión entre los números de Fibonacci, hay solamente uncuadrado perfecto: el elemento 12, que es 144. Muy curioso, pues suvalor es el cuadrado del subíndice.

c) En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.d) La sucesión de Fibonacci puede encontrarse en las diagonales del

Triángulo de Pascal que van desde el extremo superior derecho hastael extremo inferior izquierdo. Aparece al sumar todos los términos decada diagonal.

c) Gauss y la suma de la progresión aritmética

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado “el príncipe de lasmatemáticas” y “el matemático más grande desde la antigüedad”, ha tenido unainfluencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia.

Gauss tenía diez años cuando un día en la escuela el profesor mandó a sumarlos cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tran-

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quilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levantó la mano porque yahabía resuelto el ejercicio: “los cien primeros números naturales suman 5.050”.Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuentade la relación constante establecida por la suma del primer término con el últi-mo, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente.

Con los cien números se pueden formar cincuenta pares, de forma que lasolución final viene dada por el producto:

101•50 = 5050

Gauss había deducido la fórmula que proporciona la suma de n términos de unaprogresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término, donde a1

es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión.

5. MARCO TEÓRICO ESPECÍFICO

• • •

Un proceso característico del razonamiento matemático es la generalización,es decir, la capacidad de llegar a propiedades generales, conclusiones o resulta-dos a partir de la observación, el análisis o la verificación de casos particulares.

Primero, partiremos de las siguientes cuestiones que llevan a la generalización:

¿Qué es razonar por recurrencia?

Este tipo de razonamiento implica una capacidad de generalización que per-mite construir una propiedad general a partir de datos iniciales. Se trata de uncamino que lleva de lo finito a lo infinito.

La recursión, como método general de resolución de un problema, consiste enexpresar la solución del mismo mediante una versión más sencilla del problemaoriginal, expresando el proceso de reducción en forma de algoritmo recurrente.

La recursión aparece también en las definiciones y demostraciones por inducción

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completa o matemática. Este razonamiento resulta de la síntesis constructiva de trescomponentes:

• El paso básico, que consiste en la verificación analítica de una propo-sición para n=1.

• El paso inductivo o comprobación de que, si tal proposición o teorema esválido para un número cualquiera, entonces es válido para el siguiente.

• La conclusión de la validez de la proposición o teorema para todos losnaturales, cuando los pasos uno y dos sean cumplidos.

¿Qué es la iteración?

Es la repetición de un procedimiento de cálculo o de un razonamiento. Losconceptos de iteración y recursión juegan un papel fundamental en los procesosde resolución de los problemas matemáticos. La aplicación de métodos recursi-vos debería iniciarse en la enseñanza de la matemática por procesos iterativos.Una definición puede probarse por inducción pero puede percibirse intuitiva-mente, por construcción iterativa de la secuencia.

La iteración puede ser explícita o implícita y se encuentra en todos los nivelesde la matemática. En algunos casos, la iteración parece ser un concepto inicial.Esta cualidad característica es la ejecución repetida de una noción particular.

¿Pero cómo llegamos a la generalización?

La búsqueda de regularidades en un conjunto de datos (hechos, formas, núme-ros, expresiones algebraicas, gráficos, etc.) y la formulación de generalizacionesen base a lo observado, a la experiencia o a la intuición apuntarán a la formacióndel razonamiento inductivo que usan la mayoría de las ciencias para corroborarque ciertas proposiciones son verdaderas.

Como forma de razonamiento, la inducción permite demostrar una cierta pro-piedad aritmética o geométrica.

Como forma de procedimiento educativo, es un motor esencial para el des-cubrimiento y la consolidación de conceptos.

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Con una adecuada selección de los problemas que se brindan a los alumnos, estoslogran formalizar patrones y regularidades y construir el sentido del simbolismo.

Los símbolos que actuaban como representaciones de objetos y de relaciones setransforman en objetos empíricos propios de la acción. El pensamiento se torna esen-cialmente abstracto. La simbolización surge como momento culminante del procesode generalización matemática, otorgándole el grado máximo de abstracción.

Yves Chevallard ve en el álgebra una generalización de la aritmética, en elsentido de que el álgebra es útil para acceder a propiedades numéricas.

El lenguaje algebraico permite formular problemas o propiedades generalesy luego resolverlos sistemáticamente.

Los métodos de la matemática discreta son formas alternativas a los plantea-mientos de la matemática continua, si bien los dos se complementan en su apli-cación en la resolución de problemas.

La matemática discreta presenta las siguientes utilidades:

• Favorece el desarrollo del pensamiento crítico y refuerza el pensa-miento matemático, ya que los procesos de inducción son inherentes aella, así como los tratamientos recursivos y la formulación de conjetu-ras por medio de la generalización de casos particulares.

• Se trata de una herramienta potente desde el punto de vista tecnológi-co. La combinación entre la matemática discreta y el uso de los orde-nadores ha hecho posible el desarrollo de nuevas aplicaciones, ha cen-trado la atención en nuevos tipos de problemas y ha abierto nuevasposibilidades a la matemática.

Por matemática discreta debe entenderse a la rama de la matemática presente enmuchos de los contenidos que los alumnos trabajan; por ejemplo, técnicas de con-teo, razonamiento lógico, búsqueda de regularidades, algoritmos y probabilidad.

Los números naturales constituyen un campo de trabajo privilegiado para lamatemática discreta, pues ellos configuran uno de los modelos fundamentalespara ésta. Es en este conjunto numérico –bien conocido por los alumnos quecomienzan el nivel Polimodal– que centraremos nuestro estudio.

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Las sucesiones recurrentes son sucesiones cuyos términos se definen enfunción de los anteriores (definición inductiva o recursiva).

Las sucesiones aritméticas y geométricas son casos especiales de sucesionesrecurrentes, en las que es posible hallar cada término según los valores de los térmi-nos anteriores. El cálculo de los intereses bancarios –tanto cuando se trata de undepósito como cuando se trata de un préstamo– es un problema algebraico que resul-ta sencillo si se dominan las progresiones geométricas y la suma de sus términos.

De acuerdo al marco teórico escogido, una sucesión numérica a0; a1; a2;... sedefine recursivamente siempre que:

• Se especifique algún conjunto finito de valores (generalmente, el pri-mero o los primeros). Estos valores se llaman condiciones de frontera,y su importancia radica en que permite determinar una solución únicay definirla. Este requisito proporciona la base o punto de partida de ladefinición.

• Los valores restantes de la sucesión están definidos en términos de losvalores previos en la sucesión. Una fórmula que hace esto recibe elnombre de relación recursiva o relación de recurrencia.

Una relación de recurrencia permite:

• Calcular paso a paso un término de la sucesión a partir de uno o másde los anteriores.

• Obtener a partir de ella una expresión general para su solución, quetambién se llama expresión de forma cerrada.

Una expresión está definida en forma cerrada cuando en ella aparece un

número finito de operaciones conocidas. Por ejemplo, son expre-

siones en forma cerrada porque en la primera aparece una potenciación y la dife-

rencia, mientras que en la segunda aparecen la adición, el producto y el cociente.

Una vez encontrada la forma cerrada para una relación de recurrencia, esnecesario verificar si es válida, siendo una herramienta eficaz para ello la utili-zación de la inducción matemática.

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Las sucesiones que se definen por recurrencia aparecen con frecuencia en lamatemática y en otras ciencias. Existen muchas técnicas para obtener fórmulascerradas a partir de ellas, pero lamentablemente no se conoce un método gene-ral de solución para manejar todas las relaciones de recurrencia.

6. METODOLOGÍA DE TRABAJO

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La enseñanza de las sucesiones en el aula a través de problemas es el cami-no que queremos explorar para determinar cómo llega el alumno a la generali-zación y con qué herramientas realiza la validación.

Así, proponemos la siguiente metodología de trabajo:

1) Realizar un análisis a priori donde se presenta la solución experta,junto con los posibles errores que pueden cometer los alumnos en laresolución de problemas. Este análisis es la anticipación que debe teneren cuenta el docente antes de toda propuesta áulica.

2) Propuestas áulicas, donde se detallan las tareas abordadas por clase yel tiempo que lleva cada una.

3) Realizar un análisis a posteriori, donde se presentan todas las solucio-nes a las que arribaron los alumnos. Éstas pueden o no coincidir conlas del análisis a priori.

4) La confrontación de ambos análisis.

Como el estudio que realizamos se basa en procesos de generalización, elegimoscomo punto de apoyo un conjunto numérico bien conocido por los alumnos, el delos números naturales, ya que permite generar sucesiones definidas recursivamente.

En toda la secuencia trabajamos apuntando a:

• El reconocimiento de regularidades, es decir:• Detectar regularidades• Describir regularidades

20

• El establecimiento (implícito) del paso inductivo.• El establecimiento de fórmulas generales, es decir:

• Formalizar patrones y regularidades• La utilización de la escritura algebraica (construir el lenguaje matemá-

tico, construir el simbolismo) y la configuración geométrica como apo-yos posibles para la construcción y validación de conjeturas.

Algunas cuestiones que orientan el análisis a priori son:

• ¿Qué procedimientos utiliza el alumno para establecer fórmulas gene-rales y validarlas?

• ¿El marco en el que está enunciado el problema facilita u obstaculizala resolución?

Cuando el docente piensa en su trabajo frente a los alumnos, selecciona lastareas, priorizando ciertos aspectos sobre otros.

Se trata de hacer un análisis de lo probable, de la interacción de los alum-nos con el problema y de sus errores, para prever una intervención adecuadadel docente, quien colaborará tanto en la devolución de la secuencia con dife-rentes dificultades que se puedan plantear como en el análisis de los procedi-mientos de resolución.

7. PROPUESTA ÁULICA

• • •

La secuencia de actividades se llevó a cabo en un grupo de cuarenta y dosalumnos de segundo año del Polimodal de la Escuela Nº 5035 “Batalla de Salta”,durante los meses de mayo y julio del año 2006. Las clases de matemática se dic-taban los días lunes y martes, con una duración de ochenta minutos. Las tareas sedesarrollaron por medio de fotocopias.

A continuación presentamos la siguiente tabla, con las tareas programadas porclase y la forma de trabajo de los alumnos.

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Análisis a priori y a posteriori de las tareas propuestas. (Designaremos con Ti):

A modo de ejemplo, analizaremos las tareas T1, T2, T3, T4 y T16 (las restantesfiguran en el Anexo 1).

T1: Dado el siguiente esquema:

a) En la quinta posición, ¿cuántos ladrillos hay? ¿Y en la décima posición?¿Y en la decimoquinta posición? ¿Y en la trigésimo quinta posición?

b) Si tengo trece ladrillos, ¿en qué posición estoy? ¿Y si tengo veintiún ladrillos?c) ¿Qué relación hay entre las cantidades de ladrillos?d) ¿Qué le pasa a la cantidad de ladrillos a medida que avanzo en las posiciones?

22

T2: Dado el siguiente esquema:

a) En la quinta posición, ¿cuántos ladrillos hay? ¿Y en la décima posición?¿Y en la decimoquinta posición? ¿Y en la trigésimo séptima posición?

b) Si tengo catorce ladrillos, ¿en qué posición estoy? ¿Y si tengo veinti-dós ladrillos?

c) ¿Qué relación hay entre las cantidades de ladrillos?d) ¿Qué le pasa a la cantidad de ladrillos a medida que avanzo en las posiciones?

Diferentes formas de resolución a priori para T1 y T2

T1 y T2: Estas tareas se plantean en un marco gráfico.

Primera forma de resolución: mediante un registro de tablaTérmino general para T1 es y para T2 es

Segunda forma de resolución: se pueden realizar anotaciones de la siguiente forma:Primera posición . 1 ladrillo Primera posición . 2 ladrillosSegunda posición . 3 ladrillos Segunda posición . 4 ladrillos Tercera posición . 5 ladrillos Tercera posición . 6 ladrillosCuarta posición . 7 ladrillos Cuarta posición . 7 ladrillosy así sucesivamente y así sucesivamente

Posibles errores: que no respeten el patrón de formación, que asienten mallos datos que se obtienen.

Con trece ladrillos estoy en la séptima posición, para 91 ladrillos la posiciónes 46ª, en este caso resulta importante tener la expresión algébrica (T1). Para laT2, con catorce ladrillos la posición correspondiente es la séptima, y para 82ladrillos es la 41ª.

23

Posibles errores: que no sepan calcular sobre expresiones literales.En el ítem c) deben hallar la diferencia aritmética, que es 2. Esto pueden obte-

nerlo con los primeros datos, ya que, para obtener un término, a partir del segun-do se aumentan dos ladrillos al anterior. En el ítem siguiente deben notar queesta sucesión aumenta.

Tercera forma de resoluciónSi observan los primeros cinco casos particulares, pueden darse cuenta de

que, para obtener un término, a partir del segundo se aumentan dos ladrillos alanterior, entonces encuentran una ley de recurrencia, ypara (T1). Pueden poner esta expresión en forma coloquial, ya que hasta elmomento no conocen esta simbología. Y como esta sucesión es la de los núme-ros impares, solo pueden utilizar el marco numérico para resolver los demás ítems.Para la tarea T2, y , para

Con estas dos tareas se institucionaliza el concepto sucesión aritmética.

Confrontación del análisis a priori y a posteriori de T1 y T2

En este análisis presentamos la experimentación de la tarea planteada, la cualse basa en las observaciones realizadas durante la implementación de la secuen-cia y en las producciones escritas de los alumnos en el segundo año de NivelPolimodal. La secuencia se lleva a cabo a lo largo de diez clases, desde el 30 demayo hasta el 4 de julio de 2006.

Para realizar el análisis que presentamos a continuación, tomamos registrosde las respuestas de los alumnos y de los procedimientos en sus carpetas.

Primera clase: Iniciamos la secuencia, escribiendo en el pizarrón el nombre del tema a desa-

rrollar, “sucesiones”.

A continuación, pedimos a los alumnos que formen grupos de a dos (de losdiez grupos, cinco trabajan con la T1 y el resto con la T2), entregamos una copiacon las tareas a realizar y pedimos que aclaren por escrito el procedimiento uti-lizado para resolverlas.

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En la primera parte de la clase, cada grupo trabaja con su tarea. Una vez ter-minado, el grupo que tenía la tarea T1 (o T2) la entrega e intercambia la solucióncon el grupo que resolvió la tarea T2 (o T1), para que éste registre en su carpetael otro problema, analice la resolución propuesta y proponga otras posibles for-mas de resolverla.

Mientras ellos realizan estas actividades, pasamos por los bancos observan-do lo que hacen, con el fin de analizar la acción desplegada, las estrategias uti-lizadas por cada alumno y el trabajo de grupo.

Soluciones propuestas por los alumnos para la T1

Un solo grupo trabajó en el marco gráfico para el caso de la T1. Lo hicieronde la siguiente forma:

a)

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Este grupo resuelve la tarea completa pero no llega a generalizar la T1

mediante una expresión algebraica, razón por la cual intervinimos y les pregun-tamos de qué forma expresarían la cantidad de ladrillos para cualquier posición.Usando el gráfico de la tarea, escriben: “En una posición cualquiera, la cantidadde ladrillos es n + n - 1, porque se cumple para todos los casos de acuerdo a losgráficos, entonces en la décima posición hay 10 + 10 - 1 = 19 ladrillos, en ladecimoquinta posición hay 15 + 15 - 1 = 29 ladrillos y en trigésimoquinta posi-ción hay 35 + 35 - 1 = 69 ladrillos.”

b) Otro de los grupos planteó la siguiente solución a la tarea T1:

26

Si bien este grupo no llegó a generalizar a través de expresiones algebraicas,su conclusión fue la siguiente: “La unidad del número que representa la cantidadde ladrillos en cada posición siempre va a ser 1, 3, 5, 7 ó 9, ya que cada cincoposiciones se observa esto, por lo tanto en cualquier posición la cantidad deladrillos es un número que termina en 1, 3, 5, 7 ó 9”. Además, contestaron a lasotras preguntas utilizando la siguiente tabla:

En la quinta posición hay 9 ladrillos. De acuerdo con la tabla, para llegar a ladécima posición se recorre dos veces la tabla inicial, por lo que se aumenta unadecena a la cantidad de ladrillos, con lo que el resultado será 19 ladrillos. Parala decimoquinta posición se recorre tres veces la tabla inicial, por lo que seaumentan dos decenas a la columna de la cantidad de ladrillos, lo que arroja untotal de 29 ladrillos. Y para la trigésimo quinta posición se recorre siete veces latabla inicial por lo que se aumentan seis decenas a la cantidad de ladrillos, enton-ces habrán 69 ladrillos.

c) Otro de los grupos armó la siguiente tabla, para la T1:

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Este grupo generaliza de la siguiente forma: “Si me piden la cantidad de ladri-llos para una posición cualquiera se debe sumar la posición que se pide más laposición anterior. Por ej.: cantidad de ladrillos para la 5ª posición, 5+4 = 9; parala 10ª hay 10+9=19; para 15ª hay 15+14=29. Entonces para cualquier posición nºhay n+(n-1) ladrillos”. Este grupo considera sin ayuda del docente el caso de unan-ésima posición.

d) Otro de los grupos planteó lo siguiente:

Este grupo fundamentó así: “La cantidad total de ladrillos depende de la can-tidad de ladrillos de la posición anterior, es decir que en cualquier posición lacantidad de ladrillos es la cantidad de ladrillos de la posición anterior más 2”.

Así, se puede observar que este grupo generalizó de manera recurrente; sibien no usó una expresión algebraica, lo hizo mediante un lenguaje coloquial.

e) El otro grupo que tenía esta tarea lo resolvió de la misma forma que la pri-mera resolución del análisis a priori, pero no llegó a generalizar mediante expre-siones algebraicas.

Soluciones propuestas por los alumnos para la T2

Para esta tarea las soluciones fueron muy similares; solo dos grupos no lle-garon a generalizar, y los demás resolvieron la tarea consignada a través de unanálisis a priori.

Una vez finalizadas las actividades, se procedió a la puesta en común; se divi-dió el pizarrón para confrontar todas las soluciones halladas por los grupos. En

28

primer lugar se colocó a las de la T1, por ofrecer mayor variedad. Cada parejaexpuso al resto de la clase la resolución a la que arribaron. Algunos alumnosaportaron diciendo que la expresión encontrada en a) es “(n+n)-1 = 2n-1”.

Luego de esta puesta en común, se procedió a institucionalizar los conceptosde sucesión y sucesión aritmética involucrados en las tareas propuestas.

T3: Observa y resuelve:a) ¿Cuál es el área de cada cuadrado sabiendo que cada lado es la mitad

del anterior?

¿Cuál es el área del cuarto cuadrado? ¿Y la del vigésimo cuadrado?¿Y la del n-ésimo cuadrado?

b) Si tengo un área igual a 1/1024 cm2, ¿a qué cuadrado corresponde?c) ¿Qué le pasa al área del cuadrado a medida que formamos los cuadrados?d) ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados obtenidos?e) Graficar la sucesión obtenida.

T4: Observa y resuelve:a) ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado sabiendo que cada lado equi-

vale a la mitad del anterior?

b) ¿Cuál es el perímetro del cuarto cuadrado? ¿Y el del vigésimo cuadra-do? ¿Y el del n-ésimo cuadrado?

c) Si tengo un perímetro igual a 1/8 cm, ¿a qué cuadrado corresponde?d) ¿Qué le pasa al perímetro del cuadrado a medida que formamos los

cuadrados?

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e) ¿Qué relación hay entre los perímetros de los cuadrados obtenidos?f) Graficar la sucesión obtenida.

Diferentes formas de resolución a priori de T3 y T4

T3 y T4: Estas actividades se plantean en un marco geométrico.

Primera forma de resolución: Se puede llevar un registro de tabla.

Posibles errores: no saben operar con números racionales, por lo que puedenobtener un término general erróneo. No reconocen la relación funcional existen-te entre el cuadrado y su respectiva área o perímetro.

El término general es para la T3, y para la T4 es

En el punto c) es el área correspondiente al cuadrado número 20

(T3), esto se puede obtener luego de haber encontrado el término general de lasucesión dada, con esta forma de resolución.

En ambos casos se trata de una sucesión decreciente.

La relación entre las áreas es la razón geométrica , porque para obtener los

términos a partir del segundo, se multiplica por el término anterior, y para el

perímetro, se multiplica por .

En estas dos tareas se incorpora la representación gráfica de las sucesionesobtenidas. Esta es una manera de ver a qué valor tienden ambas sucesiones.

30

Con estas dos actividades se institucionaliza el concepto de sucesión geométrica.

Segunda forma de resolución:

Si observan los primeros cuatro casos particulares, pueden darse cuenta de que

para obtener un término, a partir del segundo se debe multiplicar por d e l

término anterior.

Entonces encuentran una ley de recurrencia, y , para

(T3), que se puede escribir en forma coloquial o simbólica. Y como estasucesión es la de los números racionales, solo pueden utilizar el marco numérico pararesolver los demás ítems. En el caso de la tarea T4 se puede proceder del mismo modo.

Confrontación del análisis a priori y el análisis a posteriori de T3 y T4

Segunda clase: Antes de dar inicio a la clase, retomamos las definiciones de sucesión y suce-

sión aritmética institucionalizadas en la clase anterior.

Luego se procedió a repartir las copias de las tareas T3 y T4, para lo que seconformaron cinco grupos de cuatro integrantes.

Soluciones propuestas por los alumnos para la T3 y la T4

a) Los grupos 1 y 2 trabajaron, en principio, con el marco geométrico, y luegopasaron a un registro de tabla similar a la de la primera forma de resolución delanálisis a priori:

31

Estos grupos encontraron los términos de la sucesión de áreas y perímetropedidos, y expresaron correctamente ambos términos generales.

b) El grupo 3 trabajó solo en un registro de tabla, de la siguiente forma:

32

En este caso, este grupo llega a una ley de recurrencia en ambas tareas.

c) El grupo cuatro trabaja con decimales, solo en un marco algebraico:

Cuando el grupo encontró la expresión decimal de las áreas, no sabía cómogeneralizar, razón por la cual les sugerimos transformar esta expresión decimalen fracciones, tras lo que continuaron trabajando solos.

d) El grupo cinco siguió trabajando en tareas de geometría:

Para el primer cuadrado el área es =

Para el segundo cuadrado el área es =

Para el tercer cuadrado el área es =

Para el cuarto cuadrado el área es =

Para el n cuadrado el área es =

33

Este grupo no calculó bien las áreas debido a que se cometió un error al multi-plicar los racionales. Si este error se omite, el término general hallado solo es váli-do a partir del segundo cuadrado, por lo que tampoco se resolvió correctamente latarea. Además, no alcanzaron a resolver la T4, ya que les llevó mucho tiempoencontrar el término general de la sucesión de áreas expresadas en forma decimal.

Con esta tarea se institucionaliza el concepto de sucesión geométrica.

T15: Si partimos de un cuadrado A1 de 1 cm. de lado y se ubica encima de élun cuadrado A2 igual al inicial, se obtiene un rectángulo. Se coloca a la derechaotro cuadrado A3 igual al lado mayor del rectángulo. Luego, hacia abajo, se colo-ca un cuadrado A4 cuyo lado es igual al lado mayor del rectángulo. Se repite el pro-cedimiento hacia la izquierda, y así sucesivamente en forma circular. Encontrar lamedida del lado menor del rectángulo que se forma en el paso número 15.

Diferentes formas de resolución a priori para T15

La tarea T15 se plantea en un lenguaje coloquial. Para ella proponemos traba-jar en un marco geométrico.

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Siguiendo con este procedimiento y volcando los datos en una tabla, obtenemos:

35

Esta ley de recurrencia obtenida corresponde a la famosa sucesión deFibonacci, por lo que para obtener la medida del lado en el paso 15 necesitamosde los lados en los pasos 13 y 14, es decir:

Confrontación del análisis a priori y el análisis a posteriori de T15

Octava clase: En esta tarea que consiste en leer y seguir un procedimiento, la clase trabajó

bastante bien, ya que en solo quince minutos un grupo planteó lo siguiente:

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Los demás grupos llevaron un registro de tabla y llegaron a la misma conclusión.

Solo dos grupos que trabajaron en el mismo marco gráfico no lograron notarlas regularidades, por lo que no llegaron a la generalización.

Con la ayuda, fácilmente se dieron cuenta de la expresión general del total de piezas.

8. CONCLUSIONES

• • •

En el análisis de los registros se puede observar que, a medida que los estu-diantes resuelven los problemas, se aproximan a la solución propuesta por losdocentes. Esta forma de trabajar con problemas de sucesiones comprueba que elalumno puede realizar un pasaje natural al lenguaje simbólico, que acarrea tan-tas dificultades a adolescentes de 15 a 16 años. Esta investigación permite infe-rir que, si las tareas propuestas por el docente están secuenciadas, si dentro delaula se admite la discusión, validación y circulación del conocimiento matemá-tico, entonces será posible la aprehensión y apropiación de las nociones que seenseñan. Esto se pudo comprobar a través de la evaluación que se realizó pues-to que el ochenta por ciento de los alumnos aprobó la prueba individual, lo queindica que el aprendizaje de una noción matemática en contextos sociales difíci-les depende de las estrategias docentes propuestas.

Podemos decir que las teorías de las situaciones didácticas y la transposicióndidáctica han sido marcos teóricos adecuados para el diseño, puesta en práctica yanálisis de la secuencia didáctica, puesto que nos ayudaron a tener en cuenta que:

1. Para que los alumnos resuelvan una tarea, es necesario que actúen, quetomen decisiones, es decir, que la tarea seleccionada va a promover laelaboración y la puesta en funcionamiento de conocimientos implícitos;ellos deberán explicitar los procedimientos a través de un lenguaje com-prendido por todos y a la vez validarlos por medio de pruebas. Medianteel lenguaje, el conocimiento matemático puede ser construido en formacolectiva, permitiendo intercambiar experiencias individuales.

37

2. La secuencia debe promover distintas estrategias que los alumnos deberándesplegar, para lograr la generalización de los términos en una sucesión.

3. Es posible recuperar conocimientos que los alumnos poseen, resignifi-carlos y reorganizarlos para construir el concepto de sucesiones.

4. Es necesario transformar el conocimiento matemático para hacerlofuncionar en la sala de clase.

9. ANEXO 1

• • •

Tareas T5 a T17 que se desarrollaron en las clases:

T5:Teresa realiza su entrenamiento de salto en largo. El primer día alcanza 3,70 metros,

y a fuerza de práctica logra superar cada día en 2 centímetros su marca anterior.a) ¿Cuánto salta el tercer día? ¿Y el quinto día? ¿Y el n-ésimo día?b) ¿Cuántos días de entrenamiento lleva cuando llega a 3,98 m?c) ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Justifica.d) Graficar la sucesión obtenida.e) ¿Es una sucesión creciente o decreciente?

T6:Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro y, tras cada rebote, la

altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior.a) ¿Qué altura alcanzará la pelota en cada uno de los diez primeros rebo-

tes? ¿En el vigésimo? ¿Y en el n-ésimo?b) ¿Cuántos rebotes habrá dado hasta alcanzar la altura de 0,03125 metros?c) ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Justifica.d) Graficar la sucesión obtenida.e) ¿Es una sucesión creciente o decreciente?

T7:Si dibujas el árbol genealógico de tu familia hasta quince generaciones atrás:

a) ¿Cuántos ancestros tuviste?

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b) Generalizar para más de quince generaciones atrás.c) ¿Qué tipo de sucesión es? d) Graficar la sucesión encontrada.

T8:Alicia ha decidido ahorrar un año 50 centavos diarios.

a) ¿Cuál será el valor de su ahorro?b) Si ahorra siete años, ¿cuál será su ahorro?c) ¿Qué tipo de sucesión es?d) Graficar la sucesión encontrada.

T9:Escribir, a partir del término general, los primeros seis términos de las

siguientes sucesiones:{2n + 1}{2n - 3}

T10:Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. ¿Cuál es su

constante o razón?{5, 9, 13, 17, 21,…}{√2, √2/3, √2/9, √2/27, √2/81,…}

T11:Escribir el término de las siguientes sucesiones:{1, 2, 4, 8,16,…}{1, 3/2, 2, 5/2, 3,…}

T12:Escribir el término general de la sucesión correspondiente a la cantidad de

puntos necesarios para dibujar las siguientes figuras.

39

Y así sucesivamente.¿Se trata de una sucesión aritmética o geométrica? ¿Puedes encontrar un tér-

mino general equivalente al anterior?

T13:Sumar los cien primeros naturales (sin usar calculadora).

T14:Se construyó una torre triangular con latas vacías, todas de igual forma y tama-

ño. Se las ubicó de modo tal que cada hilera tuviese una lata menos que la anterior.Si se disponía de cien latas:

a) ¿Cuántas hileras conforman la torre?b) ¿Cuántas latas se colocan en la base?c) ¿Sobran latas?d) ¿Y si se dispone de 10.000 latas?

T16:Con un cuadrado de 1 centímetro de lado, trazar por sus puntos medios dos

segmentos. Lo recortamos dejando la parte rayada sobre la mesa y nos queda-mos con el recorte cuadrado en la mano, luego volvemos a realizar el mismoprocedimiento para el cuadrado que tenemos en la mano y así sucesivamente.

a) ¿Qué sucesión forman las piezas que quedan en la mano?b) ¿Qué sucesión forman el total de piezas que quedan sobre la mesa?c) Graficar ambas sucesiones.

T17:De la actividad realizada en el tema anterior (martes 28 de marzo): Por los

puntos medios de los lados de un cuadrado, trazar segmentos de tal manera deobtener un nuevo cuadrado.

40

Repetir dos veces hasta obtener el tercer cuadrado pequeño. Calcular el perí-metro y el área de los tres cuadrados.

Supongamos infinito el proceso de construcción de cuadrados (el cuadradogrande tiene lado igual a 1 centímetro). ¿Cuánto mide, cuando llevamos n cua-drados, la longitud de la línea negra?

Diferentes formas de resolución a priori de T5 a T17

T5

Esta tarea se plantea en un lenguaje coloquial. Y es un problema de reinversión.

Primera forma de resolución: En primer lugar, se debe definir la unidad demedida a utilizar: metro o centímetro.

Días Altura alcanzadaPrimer Día .

Segundo Día .

Tercer Día .

X Día .

Término general

Para el ítem b), deben usar el término general dado, es decir 3,70 + (x– 1) • 0,02 = 3,98m(pueden tener errores de tipo algebraico al resolver).

En el ítem c) deben reconocer qué tipo de sucesión es, de acuerdo a su

41

comportamiento. En este caso se trata de una sucesión aritmética con dife-rencia 0,02. La resolución está planteada en un marco algebraico.

Segunda forma de resolución: Registro de tabla

Posibles errores: no reducen 2 centímetros a metro o 3,70 metros a centímetro.

T6

Esta tarea también se plantea en un lenguaje coloquial, y es un problema dereinversión.

Primera forma de resoluciónRebotes Altura alcanzada (m)

Primer rebote .

Segundo rebote .

Tercer rebote .

Cuarto rebote .

X rebote .

Término General

42

Posibles errores: no reconocen propiedades de potenciación.

Para el ítem b) deben usar el término general dado, es decir(pueden tener errores de tipo algebraico al resolver).

En el ítem c) deben reconocer qué tipo de sucesión es, de acuerdo a su com-

portamiento. En este caso, se trata de una sucesión geométrica de razón . La

resolución está planteada en un marco algebraico.

Segunda forma de resolución

T7, T8, T9, T10, T11: El propó-sito de estas tareas es fami-liarizarse con los conceptosdados: sucesión, sucesión arit-mética y geométrica.

La T7 se plantea en un len-guaje coloquial.

Primera forma de resolución

I) Generaciones Ancestros II) Generaciones Ancestros1ª . 2 1ª . 12ª . 4 2ª . 23ª . 8 3ª . 3

Nº . nª .

43

Algunos alumnos puede que no generalicen para resolver cuántos ancestroshay en la decimoquinta generación, ya que se trata de resolver multiplicacionespor 2; es por eso que se pide que encuentren el término general. Algunos alum-nos pueden tomar como primer término a ellos mismos y otros a sus padres.

Segunda forma de resolución: Mediante un registro de tabla se puede lle-gar a la ley de recurrencia

Tercera forma de resolución: Esta forma de resolución puede ser medianteun diagrama de árbol.

De esta forma, observando estos casos particulares se puede llegar a respon-der que para la decimoquinta generación se tuvieron ancestros. Y se puedellegar a generalizar mediante la siguiente expresión algebraica, ya que se trata deresolver potencias de 2: .

En este caso se trata de una sucesión geométrica de razón 2.

En cuanto a la T8, se plantea en un lenguaje coloquial.

Primera forma de resoluciónPuede ser analizando los casos particulares mediante un registro de tabla:

44

En este caso se trata de una sucesión aritmética de diferencia igual a $0,50.

En cuanto a las tareas T9, T10 y T11, son ejercicios para trabajar el conceptode sucesión como función (existencia y unicidad) y las características de unasucesión aritmética y geométrica.

La tarea T12 se plantea en un marco gráfico. El análisis que pueden hacer esel siguiente:

Primera forma de resolución: Puede realizar las anotaciones también enforma de tabla,

Para la figura 1 se necesita 1 punto Para la figura 2 se necesitan 4 puntos = Para la figura 3 se necesitan 9 puntos = Para la figura 4 se necesitan 16 puntos = (por este comportamiento pue-den concluir con la siguiente expresión)Para la figura n se necesitaran puntos.

Esta forma de resolución se trabaja en un marco algebraico, donde n repre-senta la figura en cuestión, y los puntos que me determinan el cuadrado.Por lo que llegan a generalizar

Segunda forma de resolución: Pueden seguir trabajando con el marco grá-fico de la siguiente forma:

45

Tomando cada punto como un cuadrado unidad, se tienen los siguientes cuadrados:

Y calculando el área de cada uno de ellos (base2) se puede obtener el térmi-no general de la sucesión de puntos. Es decir, se trabaja en un marco geométri-co y para formalizar se pasa a un marco algebraico.

Tercera forma de resolución: Esta forma de resolución es mediante el usodel marco grafico; es por eso que se pide que encuentren un término generalequivalente a , el cual es más sencillo de encontrar en un registro de tabla.

46

A partir del marco grafico pasamos a un registro de tabla, donde podemosencontrar dos formas equivalentes de resolución:

En la T13, para obtener la suma de los cien primeros naturales se puede pro-ceder estudiando casos particulares de la siguiente forma:

Para sumar el primer natural . la suma es igual a 1

Para sumar los dos primeros naturales . la suma es 1+2=3 ó

Para sumar los tres primeros naturales . la suma es 1+2+3=6 ó

Para sumar los cuatro primeros naturales . la suma es 1+2+3+4=10 ó

Generalizando . la suma de

Para sumar los cien primeros naturales . la suma es:

La generalización encontrada no es la única, ya que también se puede gene-

ralizar de la siguiente forma:

La T14 se presenta en un lenguaje coloquial y grafico. Planteemos las siguien-tes soluciones:

47

Primera forma de resolución: Se puede seguir utilizando el marco gráficopropuesto.

Y llegar a contestar que trece hileras conforman la torre, hay 91 latas en labase y sobran nueve latas. En el caso de contar con 10.000 latas, tendrán quebuscar otra forma de resolución.

Segunda forma de resolución: Como a medida que descendemos en la torrela cantidad de latas para cada base se aumenta en una unidad, este problema seresuelve utilizando la expresión algebraica hallada en la tarea anterior, de lasiguiente forma:

48

Como la cantidad total de latas es la sucesión con la que se trabajó en la tarea ante-

rior, utilizamos la siguiente expresión para resolver el problema:

donde n representaría el número de la hilera.

Resolviendo esta ecuación cuadrática n2+n-200 = 0, obtenemos n1= -14,65 y

n2 = 13,65, donde se descarta la primera solución debido a que es un número

negativo. Para la segunda solución tomamos n = 13, ya que ,

es decir que la base de torre para la hilera trece tiene 91 latas, por lo que sobran

nueve latas, de las cien con las que se contaba.

Con 10.000 latas, usando el mismo procedimiento tenemos

con n = 140, ya que , es decir, que con 10.000 latas la torre

tiene 140 hileras y su base tiene 9870 latas, y sobran 130 latas.

La tarea T16 se plantea en un lenguaje coloquial.

Proponemos la siguiente forma de resolución: trabajamos con un cuadrado decartulina, realizando recortes como se indica en el problema.

49

A partir de estos recortes, registramos los datos en la siguiente tabla:

Esta tarea incorpora la sucesión de sumas parciales, donde el término gene-ral es sencillo de encontrar.

La tarea T17 se propone en lenguaje coloquial.

Puede resolverse de las siguientes formas:

Primera forma de resolución: Se trabaja simultáneamente con un marcogeométrico y algebraico.

Primer paso: Como el cuadrado tiene 1 centímetro de lado, y solo necesita-mos tomar la mitad de éste, nuestra sucesión comienza con:

50

Segundo paso: Luego, realizando el mismo procedimiento de la tarea deltema anterior, se tiene que:

Para obtener la medida del segundo cuadrado, aplicamos el teorema de

Pitágoras, pero como necesitamos solo la

mitad, nos queda: .

Para calcular el lado del tercer cuadrado procedemos de la misma forma:

, operando algebraicamente se obtiene que el

De la misma forma, en el tercer paso tenemos que:

51

Hasta este momento tendríamos

Si continuamos de esta manera, se tiene la sucesión ;

esta sucesión corresponde a una sucesión geométrica, ya que ;

; en general se tiene que:

De esta forma, solo necesitamos conocer la sumatoria de esta sucesión, ya queésta corresponde a la longitud de la línea negra, por lo tanto tenemos que como:

, reemplazando tenemos que

Segunda forma de resolución: mediante un registro de tabla de la siguiente forma:

52

Confrontación del análisis a priori y a posteriori de T5 a T17

Tercera clase: Antes de iniciar la clase, se vuelve sobre los conceptos de suce-sión, sucesión aritmética y geométrica, y luego se les reparte a cada pareja T5 y T6.

Soluciones de las tareas T5

a) Cinco grupos trabajaron como la primera forma de resolución pro-puesta en el análisis a priori.Con esta forma de resolución, se dieron cuenta de que se trata de unasucesión aritmética.

b) Dos grupos trabajaron como los grupos de arriba, solo que llevaron unregistro de tabla y llegaron a la misma generalización. También clasi-ficaron esta sucesión como aritmética, y justificaron esto por la exis-tencia de la constante 0,02m.

c) Dos grupos trabajaron como la segunda forma de resolución propues-ta en al análisis a priori.

d) Un solo grupo trabajó de la siguiente forma:Días Altura

1er día . 3,70m2º día . 3,70m + 2 = 5,70m3er día . 5,70m + 2 = 7,70m4º día . 7,70m + 2 = 9,70m5º día . 9,70m + 2 = 11,70m................................................................X día . 3,70m + 2 (x–1)

Este grupo cometió un error al sumar en distintas unidades de medida.

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Soluciones de T6a) La mayoría de los grupos trabajó en la línea de la primera forma de

resolución, propuesta en el análisis a priori.b) Un solo grupo comenzó la sucesión en 1m; de acuerdo al problema,

la pelota es lanzada desde un metro de altura, y recién en el primer

rebote alcanza la altura de m.

Esta solución no es acorde al problema planteado.c) Otro grupo trabajó con expresiones decimales los metros alcanzados:

En general, todos los grupos se dieron cuenta de que se trataba de una suce-

sión geométrica de razón ó 0,5.

Cuarta clase: Se copian en el pizarrón las tareas T7, T8, T9, T10, T11 y T12,estas tareas se resuelven individualmente para ver los procedimientos que uti-liza cada alumno ante la resolución de las tareas.

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Soluciones para T7

a) El 80% de los alumnos trabajó en la línea de la primera forma de reso-lución del análisis a priori; un 20% de ellos como II) y el resto como I).

b) El resto de los alumnos trabajó en un marco grafico, como el diagrama deárbol propuesto en la tercera forma de resolución del análisis a priori.

Esta tarea no costó mucho a la clase.

Soluciones para la T8

En general, los alumnos trabajaron en un registro de tabla como el del análi-sis a priori; al generalizar, el 90% de los alumnos lo expresó de la siguienteforma: an = 0,5n y el resto, como se trata de una sucesión aritmética, lo expresaasí: an = 0,5 + (n – 1)0,5; ambas son iguales.

Soluciones para la T9 ,T10,T11

En el caso de la T9, toda la clase lo resolvió de la misma forma:

I) I)

II) II)

Los alumnos resolvieron la T10 de la siguiente forma:

por lo que se trata de una

sucesión aritmética de constante 4.

por lo que

se trata de una sucesión geométrica de razón .

La T11, tuvo las siguientes soluciones:

se trata de una sucesión geométrica.

es una sucesión

aritmética de constante .

1

3

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De estas seis tareas, la T12 fue la que más costó, debido a que todos los alum-nos llegaron a generalizar de la misma forma y no lograban encontrar otra fór-mula equivalente.

En general, todos los alumnos llevaron un registro de tabla:

En este caso, la mayoría contestó que se trataba de una sucesión geométrica;dos alumnos se abstuvieron y, después de la puesta en común pasaron al piza-rrón para comprobar que no puede ser ni una sucesión aritmética ni geométrica,ya que:

, por lo que no existe una razón común y 1 + 3 = 4,4 + 5 = 9; no hay

una constante común. Por lo que esta sucesión no es aritmética ni geométrica.

Entonces, toda la clase concluyó que esta sucesión no es ni aritmética ni geo-métrica.

Para buscar otro término general equivalente, siguieron trabajando en elregistro de tabla, e intentaron ver alguna dependencia de los términos anteriores,tal como lo hacían algunos grupos como en el caso de las tareas T3 y T4, pero nolograron encontrar nada, por lo que se sugirió que formaran grupos de a tres.

Quinta clase: Se continúa con la tarea T12; solo el grupo que trabajó en latarea T1 usando ejes de referencia logró expresar:

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Si bien no lo expresaron simbólicamente, se logró generalizar entre todos dela siguiente forma en el pizarrón:

1º figura = f1 = 1 punto 2º figura = f2 = 1 + 3 = 4 puntos3º figura = f3 = 4 + 5 = 9 puntos, por lo tanto 4º figura = f4 = 9 + 7 = 16 puntos

Por lo tanto, para la nª figura se tiene fn–1 + (2•n–1) puntos, con f1 = 1. Conesto la clase llegó a la conclusión de que se trata de una sucesión recurrente.

Este fue el único grupo que pudo encontrar otra forma de expresar el térmi-no general.

Sexta clase: Una vez conformados los grupos, se pasó a copiar la tarea T13 en el pizarrón.

Las soluciones propuestas por los grupos fueron las siguientes:

Solución grupo 1: Este grupo comenzó a sumar de a 10,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 a1 = 55 + (1–1)•100 = 5511+12+13+14+15+16+17+18+19+20 = 155 a2 = 55 + (2–1)•100 = 15521+22+23+24+25+26+27+28+29+30 = 255 a3 = 55 + (3–1)•100 = 25531+32+33+34+35+36+37+38+39+40 = 355 a4 = 55 + (4–1)•100 = 35541 a 50 = 45551 a 60 = 55561 a 70 = 65571 a 80 = 75581 a 90 = 85591 a 100 = 955 a10 = 55 + (10–1)•100 = 955

Solución grupo 2a1 = 1a2 = 1 + 2 = 3a3 = 1 + 2 + 3 = 6a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10a5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15a6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

an = an–1 + n

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Solución grupo 3Para la tarea T12 este grupo se dio cuenta de que:

Entonces, como el término general hallado en la T12 es n2, se tiene que n2 – an-1,con a1 = 1.

Los demás grupos realizaron las sumas por escrito. En la puesta en común, lasolución del grupo 1 no daba la suma de los 100 primeros naturales sino la sumade a 10. Por lo tanto, la suma de los 100 primeros naturales es: 55 + 155 + 255 + 355 + 455 + 555 + 655 + 755 + 855 + 955 = 5050

Como las demás soluciones estaban expresadas de manera recurrente, secontó cómo Gauss, con tan corta edad, pudo solucionar este problema, y se mos-tró la expresión que encontró:

y para n=100;

Séptima clase: Con la T14 se pretende que utilicen la expresión de la claseanterior.

Seis alumnos trabajaron en la línea de la primera forma de resolución del aná-lisis a priori para el caso de 100 latas; para el otro caso no sabían cómo plantearuna solución.

El resto de la clase trabajó con el registro de tabla, y utilizó la expresiónhallada en la tarea anterior. De estos alumnos, el 80% no sabía resolver la ecua-ción de segundo grado que se genera.

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10. ANEXO 2

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