pozitivna poluperioda negativna poluperioda periodslubura/pfb elektrotehnika 2/9 osnovni pojmovi...

� U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i

naponi čije se karakteristične veličine periodično mjenjaju po

sinusoidalnom zakonu

� Električni ureñaji koji imaju veliku upotrebu onih koji proizvode ili

pretvaraju naizmjeničnu električnu energiju (generatori, elektromotori,

transformatori i dr.)

Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama

Period

Pozitivna

poluperioda

Negativna

poluperioda

� I slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na

linije magnetnog polja tj.

� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:

� Za

Generisanje naizmjeničnog napona

0( , ) 0B v =∡

( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� ��

∢

B

v

( )sin 0 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =

0( , ) 0B v =∡

� II slučaj: namotaj u obliku rama horizontalno postavljen u odnosu na



� Za


0( , ) 90B v =∡

( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� ��

∢

( )sin 90o

me B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =

0( , ) 90B v =∡

� III slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na



� Za


0( , ) 180B v =∡

( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� ��

∢

( )sin 180 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =

0( , ) 180B v =∡

v

B

� IV slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na



� Za


0( , ) 270B v =∡

( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� ��

∢

( )sin 270o

me B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ = −

0( , ) 270B v =∡

v

� V slučaj: namotaj u obliku rama ponovo vertikalno postavljen u

odnosu na linije magnetnog polja tj.


� Za


0( , ) 360B v =∡

( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� ��

∢

B

v

( )sin 0 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =

0( , ) 360B v =∡

� Vrijeme za koje prostoperiodična veličina napravi jednu potpunu

promjenu (oscilaciju) naziva se period (T)

� Broj potpunih promjena perioda (T) u jednoj sekundi predstavlja

frekvenciju (f) naizmjenične veličine


[ ]1

1f Hz HercT

= − [ ]1

1T sf

=

� Sinusoidalna prostoperiodična veličina u svakoj poluperiodi ima jednu

trenutnu vrijednost koja je veća/manja od svih ostalih. Ta

najveća/najmanja trenutna vrijednost se naziva maksimalna/minimalna

vrijednost ili amplituda

� Obično se označava sa Um ili Im


Um

-Um

u(t)

Upp

� Za izražavanje trenutne vrijednosti naizmjeničnih valičina koristi se

trenutna vrijednost ugla α izmeñu obodne brzine rama v i magnetne

indukcije B

Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina

Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina

Primjer:

� Naizmjenične veličine često se predstavljaju preko ugaone brzine

obrtanja ω [rad/s] navoja u obliku rama

� Izmeñu ugaone brzine i ugla zakretanja važi jednakost:

� Veza izmeñu radija i stepeni je:

Ugaona brzina ω

tα ω= ⋅t

αω = t

α

ω=

2 360Oπ⋅ =

180rad stepeniO

πα α= ×

180O

stepeni radijanaα α

π= ×

ω

� Prostoperiodična sunusoidalna veličina za jednu punu oscilaciju

(period T) prebriše ugao od 2π

� Zamjenom dobija se veza izmeñu ugaone brzine i frekvencije

Ugaona brzina ω, period T i frekvencija f

22T

T

πω π ω

⋅⋅ = ⋅ ⇒ =

1T f=

2 2 ff

ωπ ω π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

� Zamjenom umjesto u uganom naizmjenične veličine se mogu

predstaviti u vremenskom domenu:

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu

tα ω=

( )sinm

u U tω=

( )sinm

i I tω=

( )sinm

e E tω=

Veza izmeñu ugaonog i vremenskog domena


Primjer:


Primjer:


Primjer:

Primjer:


� Ponekad je potrebno da za unaprijed poznatu trenutnu vrijednost

naizmjenične veličine odrediti ugao/vrijeme koje odgovara toj

trenutnoj vrijednosti

� Iz dobija se:

� Iz dobija se:

Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena

( )sinm

u U α= arcsinm

u

Uα

=

( )sinm

u U tω= arcsinm

ut

Uω

=

1arcsin

m

ut

Uω

=

Primjer:

Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena

� Ako prostoperiodična sinusna veličina ne prolazi kroz nulu u trenutku

t=0 s, onda kažemo da je fazno pomjerena

� Ako prostoperiodična sinusna veličina u trenutku t=0 s ima pozitivnu

vrijednost kažemo da fazno prednjači, a ako ima negativnu vrijednost

onda kažemo da fazno zaostaje


( )sinm

v V t θω= + ( )sinm

v V t θω= −

Fazno prednjačenje Fazno kašnjenje

Primjer:


Zadaća:


� Fazor je obrtni vektor koji rotira ugaonom brzinom ω i čija projekcija

na vertikalnu (y) osu predstavlja trenutnu vrijednost naizmjenične

veličine

� Dužina vektora (fazora) odgovara maksimalnoj vrijednosti posmatrane

naizmjenične veličine

� Fazori se koriste samo za prezentaciju sinusoidalnih veličina

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina

� I slučaj: Obtranje fazora u prvom kvadrantu

� Predpostavimo da je:


( ) [ ] 0100sin , 0 90u Vα α= ≤ ≤

� II slučaj: Obtranje fazora u drugom kvadrantu



( ) [ ] 0 0100sin , 90 180u Vα α= ≤ ≤

� III slučaj: Obtranje fazora u trećem kvadrantu



( ) [ ] 0 0100sin , 180 270u Vα α= ≤ ≤

� IV slučaj: Obtranje fazora u četvrtom kvadrantu



( ) [ ] 0 0100sin , 270 360u Vα α= ≤ ≤


Primjer:

� Početni položaj fazora odreñuje početnu fazu naizmjenične veličine

Fazori- početni faza i fazna razlika

( )sinmi I tω θ= +

( )sinm

i I tω θ= −


Primjer:

� Za dvije ili više naizmjeničnih valičina kažemo da su u fazi ako

njihovi fazori imaju isti fazni stav


( )

( )

sin

sin

m

m

i I t

u U t

ω

ω

=

=

� Kažemo da jedna naizmjenična veličina prednjači u odnosu na drugu

ako fazor jedne naizmjenične veličine ima veći fazni stav u odnosu na

fazor druge


( )

( )

sin

sin

m

m

i I t

u U t

ω θ

ω

= +

=

� Kažemo da jedna naizmjenična veličina kasni u odnosu na drugu ako

fazor jedne naizmjenične veličine ima manji fazni stav u odnosu na

fazor drugu


( )

( )

sin

sin

m

m

i I t

u U t

ω θ

ω

= −

=

Primjer:


� Ponekad se naizmjenični naponi i struje izražavaju preko cos(ωt)

umjesto sin(ωt)

� Veza izmeñu cos(ωt) i sin(ωt) je:


( ) ( )

( ) ( )

cos sin 90

sin sin 90

O

O

t t

t t

ω θ ω θ

ω θ ω θ

+ = + +

+ = − +

Primjer:


� Zbog simetričnosti sinusne funkcije njena srednja vrijednost na

periodu T=2π jednaka je nuli

� Zato se srednja vrijednost definiše na poluperiodi T/2=π

� Srednja vrijednost jednaka je površini koju kriva zaklapa sa x osom

podjeljena sa poluperiodom T/2=π

Srednja vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine

( )

( ) ( )

2

0

0

0

1sin

2

1 1 2sin cos |

T

sr m

sr m m m

I I dT

I I d I I

ππ

α α

α α απ π π

=

= = − =

∫

∫

( )2 2 20.637

2

m

sr m m

II I I

π π

⋅= = = ⋅

Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine

� Neka je struja kroz otpornik R data sa:

� Trenutna vrijednost snage na otporniku p(t) data je izrazom:

( ) ( )sinm

i t I tω=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

22 2 2

2 22

sin sin

1 cos 2cos 2

2 2 2

m m

m mm

p t i t R p t I t R p t I R t

t I R I Rp t I R p t t

ω ω

ωω

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = −


� Snaga p(t) sadrži fiksni dio i promjenljivi dio

� Neka fiksni dio snage odgovara istoj snazi koju razvije jednosmjerna

struja I na otporniku R, tj.

( )2

cos 22

mI Rtω

⋅2

2

mI RP

⋅=

22

2

mI RP I R

⋅= = ⋅

Efektivna vrijednost izmjenične struje odgovara onoj vrijednosti

istosmjerne struje I koja na otporniku R proizvede istu količinu toplote

kao ta izmjenična struja


� Iz posljednjeg izraza dobija se:

� Konačno je izraz za efektivnu vrijednost naizmjenične struje:

� Na isti način dobija se izraz za efektivnu vrijednost naizmjeničnog

napona:

22

2

mII =

0.7072

m

m

II I= = ⋅

0.7072

m

m

UU U= = ⋅

Primjer:


� Pošto fazori kao obrtni vektori imaju amplitudu i početnu fazu oni se

mogu predstaviti kompleksnim brojevima. Prema tome i naizmjenične

veličine mogu predstaviti kompleksnim brojevima

Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima

Primjer:

� Primjenimo trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima

( ) ( )200 40 200 cos 40 200 sin 40 153.2 128.55o o oE j j V= ∠ ⇒ ⋅ + ⋅ = +

�

� Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu

je dosta kompleksno i nepraktično

Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina

� Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina kao kompleksnih

brojeva je mnogo jednostavnije

� Potrebno je nazmjenične veličine e1(t) i e2(t) iz vremenskog domena

preslikati u odgovarajuće veličine u E1 i E2 u kompleksnom domenu i

napraviti operaciju sabiranja ili oduzimanja


Primjer:

Odrediti zbir i u kompleksnom domenu

Rješenje:

Sabiranjem se dobija:

Dobijeni zbir treba pretvoriti u kompleksni broj u formi:


( ) ( )1 10sine t tω= ( ) ( )215sin 60oe t tω= +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 110sin 10 0 ; 10cos 0 10sin 0 10 0O O O

e t t E V E j j Vω= ⇒ = ∠ ⇒ = + = +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 215sin 60 15 60 ; 15cos 60 15sin 60 7.5 13o O O O

e t t E V E j j Vω= + ⇒ = ∠ ⇒ = + = +

( ) ( ) ( )1 2 10 0 7.5 13 10 7.5 0 13 17.5 13V E E j j j j V= + = + + + = + + + = +

o

mV E ϕ= ∠

( ) ( )2 22 2 17.5 13 475.25 21.8mE A B V= + = + = =

Im 1336.6

Re 17.5

oarctg arctgϕ

= = =

Primjer:


� Maksimalne vrijednosti napona Um i struja Im koristile su se u

fazorskom domenu za predstavljanje neizmjeničnih veličina

� Meñutim, u praksi se koriste efektivne vrijednosti naizmjeničnih

veličina U i I pa je potrebno napraviti dijeljenja maksimalnih

vrijednosti sa

� Primjer: Struju predstaviti u fazorskom

(kompleksnom domenu) ?

� Pošto je struja zadana u obliku njenu amplitudu pri

predstavljanju u fazorskom (kompleksnom) domenu treba podijeliti sa

� Dobija se:

� Konačno je:

Napomene o prezentaciji naizmjeničnih valičina u kompleksnom domenu

2

( ) ( )120sin 30oi t t Aω= +

( ) ( )sinmi t I tω=2

max 12084.85; 30

2 2

o o oII I Iϕ ϕ→

= ∠ ⇒ = = = ∠ =

84.85 30o o

I I I Aϕ→ →

= ∠ ⇒ = ∠

Primjer:

Prezentacija naizmjeničnih veličina

pozitivna poluperioda negativna poluperioda periodslubura/pfb elektrotehnika 2/9 osnovni pojmovi...

Documents