1 UNIVERSIDAD TCNICA DE MACHALA FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIN Y ADMISIN (SNNA) PORTAFOLIO DE MATEMTICAS ESTUDIANTE: MAYRA SUQUI CURSO:ADMINISTRACION E DOCENTE: ING. SARA CRUZ NARANJO MACHALA - EL ORO ECUADOR 2012 -2013 2 NDICE CAPITULO 1 LOGICA MATEMTICA 1.1Proposiciones.....7 1.2.Operadores lgicos....9 1.6.Razonamiento...18 1.7.Conjuntos....21 1.8Cuantificadores.....23 1.10Propiedades de los operadores entre conjuntos...28 1.10.1Leyes de los operadores......29 1.11Predicados........34 1.14Funciones................47 CAPITULO 2 NUMEROS REALES2.1Representacin decimal.57 2.2 Operadores binarios....58 2.2 Propiedades de los operadores binarios....58 2.4 Conjuntos asociados al conjunto de los nmeros enteros.....62 2.4.1Nmeros compuestos......63 2.4.2 Mximo comn Divisor...64 2.4.3 Mximo comn mltiplo.....65 2.4.4 Nmeros pares e impares........66 2.5 Expresiones algebraicas.68 2.51 Propiedades de las fracciones....69 2.7Productos notables...71 2.8 Factorizacin...73 2.9 Valor absoluto..74 2.10Ecuaciones....75 3 2.10.1 Planteo de Ecuaciones.....82 2.12Inecuaciones.....82 2.13 Induccin Matemtica....87 2.14 Tcnicas de conteo.90 2.15Permutaciones..93 2.16 Combinaciones94 2.17 Teorema de Binomios.....95 CAPITULO 4 TRIGONOMETRIA 4.1Angulo con sus medidas96 4.2 Unidades Angulares97 4.3 Relaciones entre grados sexagesimales y radianes...98 4.5 Funciones trigonomtricas Inversas.101 4.6 Identidades trigonomtricas.....103 4.7 Ecuaciones e inecuaciones trigonomtricas...106 CAPITULO 11 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD 11.1Estadstica Descriptiva.107 11.2 Organizacin de los datos..107 11.3 Grficos de Representacin...108 11.4 Medidas de dispersin.109 11.5Probabilidades.109 4 INTRODUCCINLaMatemticaeslacienciaqueseocupadedescribiryanalizarlas cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, as como laincertidumbre.Simiramosanuestroalrededorvemosqueesos componentesestnpresentesentodoslosaspectosdelavidadelas personas,ensutrabajo,ensuquehacerdiario,enlosmediosde comunicacin, etc. Lasmatemticas,tantohistricacomosocialmente,formanpartede nuestraculturaylosindividuosdebensercapacesdeapreciarlasy comprenderlas.Esevidente,queennuestrasociedad,dentrodelos distintos mbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezasmatemticasquelasquesemanejabanhacetanslounos aos.Latomadedecisionesrequierecomprender,modificaryproducir mensajesdetodotipo;enlainformacinquesemanejacadavez aparecen con ms frecuencia tablas, grficos y frmulas que demandan conocimientos matemticos para su correcta interpretacin. Por ello, los ciudadanosdebenestarpreparadosparaadaptarseconeficaciaalos continuos cambios que se generan. Sepretendeconfigurarelreadematemticasnoslocomoun conjuntodeideasyformasdeactuarqueconllevanlautilizacinde cantidadesyformasgeomtricas,sino,ysobretodo,comounrea capazdegenerarpreguntas,obtenermodeloseidentificarrelacionesy estructuras,demodoque,alanalizarlosfenmenosysituacionesque sepresentanenlarealidad,sepuedanobtenerinformacionesy conclusiones que inicialmente no estaban explcitas. Presentanunascaractersticasquesedebendestacarpara comprenderlas y saber cmo aplicarlas. Lasmatemticassonuniversales:Losresultadosqueseobtienenson aceptadosportodalacomunidadinternacional,loquenoquieredecir que los mtodos que se han utilizado histricamente sean iguales: lo que ssonuniversalessonlasactividades,muchasentroncadasconla cultura delospueblos,quehanimpulsadoelconocimiento matemtico. Deestamanerahablamosde:contar,localizar,medir,explicar,jugar, etc. LaMatemticaesunacienciaviva.Suconocimientonoest fosilizado, adems de una herencia recibida es una ciencia que hay que construir. Unretointeresanteeselcontextualizaradecuadamentelosnuevos contenidos que se presentan. Lasmatemticassontiles.Miremosdondemiremos,lasmatemticas estn ah, las veamos o no. Se utilizan en la ciencia, en la tecnologa, la comunicacin, la economa y tantos otros campos. Son tiles porque nos sirven para reconocer, interpretar y resolver los problemas que aparecen enlavidacotidiana.Ademsdeproporcionarnosunpoderosolenguaje conelquepodemoscomunicarnosconprecisin.Dentrodeestas utilidadesesnecesarioresaltarsuimportanciaenrelacinconlos medios de comunicacin en los que losanlisiscuantitativos(datosestadsticos,precios,ndicesdiversos, hipotecas, etc) aparecen continuamente en todo tipo de informacin. 5 Entenderyutilizaresospatronesconstituyeunagranpartedela habilidad o competencia matemtica. A medida que se relacionen ideas matemticasconexperienciascotidianasysituacionesdelmundoreal, nosdaremoscuentaqueesasideassonverdaderamentetilesy poderosas. Lasmatemticasylosproblemas.Laresolucindeproblemasesuna cuestindegranimportanciaparaelavancedelasmatemticasy tambinparasucomprensinyaprendizaje.Elsaberhacer,en matemticas,tienemuchoqueverconlahabilidadderesolver problemas,deencontrarpruebas,decriticarargumentos,deusarel lenguajematemticoconciertafluidez,dereconocerconceptos matemticosensituacionesconcretas,desaberaguantaruna determinadadosisdeansiedad,perotambindeestardispuestoa disfrutarconelcaminoemprendido.Lacapacidadpararesolver problemas es una de las habilidades bsicas que los estudiantes deben teneralolargodesuvida,ydebernusarlafrecuentementecuando dejen la escuela. Las matemticas y las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Tanto la investigacin como la experiencia apoyan el potencial que tiene el uso adecuado e inteligente de las calculadoras y los ordenadores. Su usomejoraeldesarrollocognitivoenaspectosqueincluyen:sentido numrico,desarrolloconceptual,resolucindeproblemasy visualizacin.Endefinitiva,constituyenunaherramientatilparala enseanza de las matemticas. Adems,sonclaveenlacreacindelpensamientoracional,pues esel rea de conocimiento mejor abonada para el desarrollo del razonamiento quesiempreestenlabasedecualquieractividadmatemtica. Necesarioparaelprocesodeaprendizajedeloscontenidosy estrategias propias de las matemticas y, adems, esencial para adquirir ydesarrollarestrategiasgeneralesdeaprendizaje.Dichasestrategias, referidas a cmo se aprende, son las que garantizarn un aprendizaje a lolargodetodalavidacuandoseanecesariocambiardeactividad profesional o adquirir nuevos conocimientos. Dentro de estas estrategias para toda la vida podemos citar como la ms importante las referidas a la Resolucin de Problemas. Las matemticas poseen un papel no solo instrumental o aplicativo, sino tambin formativo. Instrumental por su relacin con otras disciplinas que necesitandeellaparacrear,interpretaroanalizarlosmodelos explicativosdelosfenmenosqueestudian.Setrataportantodeun instrumentoimprescindibleconelqueaccederalasdistintas informaciones(numrica,grfica,estadstica,geomtrica,relativaal azar, etc.) presentes en un mundo enpermanente evolucin y cada vez mstecnificado.Formativo,puescontribuyealdesarrollointelectualdel alumnado,fomentandocapacidadestalescomolaabstraccin,la generalizacin, el pensamiento reflexivo, el razonamiento lgico, etc. Sin olvidar el necesario dominio algortmico y la memorizacin de resultados y procedimientos bsicos. El trabajo adecuado en esta lnea, contribuye a la creacin de estructuras mentales y hbitos de trabajo, cuya utilidad e importancia no se limita al mbito de las matemticas. 6 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: -Utilizarelconocimientomatemticoylacapacidadde razonamientoparaorganizar,einterpretarsituacionesy problemasrealesoldicosatravsdetodoslosconocimientos adquiridoseneltranscursodelcursodenivelacin,paraque favorezcan la comprensin y solucin de problemas, valorando la interrelacin que hay entre la actividad manual y la intelectual. OBJETIVOS ESPECIFICOS: -Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemticas que le permitan desarrollar estudios posteriores ms especficos de ciencias o tcnicas y adquirir una formacin cientfica general. -Abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolucin cientfica y tecnolgica plantea a la sociedad dominando el lenguaje matemtico necesario. -Expresarse oral, escrita y grficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemticamente, mediante la adquisicin y el manejo de un vocabulario especfico de trminos y notaciones matemticas. 7 CAPITULO 1 LOGICA Y CONJUNTOS 1.1 PROPOSICIONES Proposicin: Esuna unidadsemnticaque, oslo esverdaderaosloes falsa.Los elementos fundamentales de la lgica son las proposiciones.Porello,lasoracionesquenosonfalsasniverdaderas,lasqueson falsasyverdaderasalmismotiempo,olasquecarecendesentido,no son objeto de estudio de la lgica. Oraciones que son proposiciones: 1.Juan est en la casa donde encontraron oro. 2.Te espero en el caf que est en la calle Morelos. 3.Me invitaron a Acapulco, cuyas playas son formidables. 4.Me quedo con la carretilla que tiene ms fondo. Lasoracionesanteriormenteexpuestassonproposiciones,yaqueson verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisin y sin ambigedades o subjetivismo. Representacin simblica de proposiciones: Usualmente,lasprimerasletrasdelalfabetoespaolenminsculase usan para representar proposiciones.a: , b: , c: ,d: ,z:. a: 15 es un nmero impar. a: 38 - 20 = 18. b: Todos los nmeros enteros son positivos.c: Obtengo buenas notas. Oraciones que no son proposiciones: Lava el auto, por favor. Hola, cmo ests? Aprate! La conceptualizacin cambia lo absurdo en azul. Nosonproposicionesporquenosepuedeestablecersuvalorde verdad.Generalmentelasoracionesimperativas,exclamativase interrogativas no son proposiciones. x + 5 = 9no es una proposicin, ya 8 que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad. Valor de verdad: El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. ste puede ser verdadero o falso. Lo asociamos: Utilizaremos cualquiera de ellas, pero la convencin a seguir en el texto ser el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeracin binario. Ejemplo: Tabla de verdad: Unatabladeverdadesunarepresentacindelosposiblesvaloresde verdadquepodratomarunaproposicin.Sirvenparamostrarlos valores, las relaciones y los resultados posibles alrealizar operaciones lgicas. La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica. Valor de Verdad Valor Falso 10 VF TF TRUEFALSE ProposicinValor de Verdad a: 2 es un nmero par.1Verdadero b: 5 es nmero par. 0 Falso 9 Construccin de tablas de verdad: 1.2 OPERADORES LGICOS Ennuestrolenguajecomnusamosfrecuentementeproposiciones ms complejas, no tan simples o elementales. Ejemplos: No fui al colegio. Fui a la tienda y compre un dulce. Me pongo mi vestido azul o mi vestido rojo.Si me gano la lotera, entonces me compro un carro. Sacare buena calificacin si y slo estudio. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones aloscualessedenominanconectoresuoperadoreslgicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayora, son denominados partes invariables de la oracin. Negacin () Tabla de Verdad de la Negacin: Este operador lgico cambia el valor de verdad de una proposicin: sia es una proposicin verdadera, a es falsa; si a es una proposicin falsa, a es verdadera. Lanegacinsepresentaconlostrminosgramaticales:"no","ni","no es verdad que", "no es cierto que". Ejemplo Si se tiene la proposicin:a: Fui al colegio. La negacin de a es:a: No fui al colegio. abc 000 001 010 011 100 101 110 111 a 0 0 ab 00 01 10 11 a a 01 10 10 Conjuncin ( . ) Seanaybproposiciones,laconjuncinentreayb,representada simblicamente por a.b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: Esteoperadorlgicorelacionadosproposicionesparaformaruna nueva,enlacuallaproposicinresultanteserverdaderasolamente cuandoelvalordeverdaddeambasproposicionesesverdadero.En espaol,laconjuncincopulativasepresentaconlostrminos gramaticales: "y", "pero", "mas", y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma. Ejemplo: Si se tienen las proposiciones:a: Obtengo dinero. b: Me compro un carro. La conjuncin entre a y b es: a.b: Obtengo dinero y me compro un carro. Disyuncin( v ) Seanaybproposiciones,ladisyuncinentreayb,representada simblicamenteporavb,esunanuevaproposicin,cuyovalorde verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: Esteoperadorlgicorelacionadosproposicionesparaformaruna nueva, en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. aba.b 000 010 100 111 abavb 000 011 101 111 11 En espaol, la disyuncin se presenta con el trmino gramatical "o". Ejemplo: Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un gato. b: Tengo un perro. La disyuncin entre a y b es: a v b: Tengo un gato o un perro. Disyuncin exclusiva ( v ) Seanaybproposiciones,ladisyuncinexclusivaentreayb, representada simblicamente por a v b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: Esteoperadorlgicorelacionadosproposicionesparaformaruna nueva,enlacuallaproposicinresultanteserverdaderacuando solamente una de ellas sea verdadera. La disyuncin exclusiva a Y b puede expresarse como: (a v b) . (a . b) Ladisyuncinexclusivasepresentaconeltrminogramatical"o","o slo", "o solamente", "o..., o...". Ejemplo: Si se tienen las proposiciones:a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyuncin exclusiva entre a y b es: a v b:O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. Condicional ( ) Seanaybproposiciones,lacondicionalentreayb,representada simblicamentepora b,esunanuevaproposicin,cuyovalorde verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: aba vb 000 011 101 110 12 Esteoperadorlgicotambinsedenominaenunciacinhipotticao implicacin.Enlaproposicina b,aeselantecedente,hiptesiso premisa;beselconsecuente,conclusinotesis;ylaproposicin resultanteserfalsasolamentecuandoelvalordeverdaddel antecedenteseaverdaderoyelvalordeverdaddelconsecuentesea falso. Laproposicina bsepuedeencontrarconlossiguientestrminos gramaticales: "si a, entonces b", "a slo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a, b", "b con la condicin de que a", "b cuando a", "b siempre que a", "b cada vez que a", "b ya que a", "b debido a que a", "b puesto que a","bporquea","setienebsisetienea","slosib,a","b,puesa", "cuandoa,b","losasonb","aimplicab",ocualquierexpresinque denote causa y efecto. Ejemplo: Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ 10 000. La condicional entre a y b es: a b:Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000. Parafraseando la condicional, tenemos: -Juan gana el concurso slo si dona $ 10 000. -Juan dona $ 10 000 si gana el concurso. -Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000. -Juan dona $ 10 000 puesto que gana el concurso. -Juan dona $ 10 000 debido a que gana el concurso. -Juan dona $ 10 000 siempre que gane el concurso. -Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10 000. -Juan dona $ 10 000 porque gana el concurso.Enbaseaesteejemplo,nospodemospreguntar:cundose quebrantarlapromesadeJuan?EstosernicamentecuandoJuan gane el concurso y no done el dinero. aba b 001 011 100 111 13 Existenotrasproposicionesrelacionadasconlacondicionalab,las cualessedenominan:recproca,inversaycontrarecproca(o contrapositiva). La Recproca, es representada simblicamente por:b a. La Inversa, es representada simblicamente por: a b. La Contrarrecproca, es representada simblicamente por: b a. Ejemplo de Variaciones de la condicional: A partir de la proposicin: "Si es un automvil, entonces es un medio de transporte". La Recproca sera: "Si es un medio de transporte, entonces es un automvil". La Inversa sera: "Si no es un automvil, entonces no es un medio de transporte" La Contrarrecproca sera: "Si no es un medio de transporte, entonces no es un automvil" Bicondicional ( ) Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simblicamente por ab, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad: Esteoperadorlgicotambinsedenominadobleimplicacin.La proposicin a^b ser verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposicionesseaniguales.Tambinsepuedeobservarquela proposicinabserfalsacuandolosvaloresdeverdaddeambas proposiciones sean diferentes. Enespaol,laproposicinabsepuedeencontrarconlossiguientes abab 001 010 100 111 14 trminosgramaticales:"asiyslosib","asiysolamentesib","a implica b y b implica a", "a cundo y slo cuando b". Ejemplo: Dadas las proposiciones: a : La casa esta bonita. b: Esta ordenada. La bicondicional entre a y b es: ab: La casa esta bonita si y solo si esta ordenada. 1.3PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Proposiciones simples y compuestas Proposicionessimplessonaquellasquenoposeenoperadorlgico alguno.Lasproposicionescompuestasestnformadasporotras proposiciones y operadores lgicos. Ejemplo 1: Traduzca al lenguaje simblico la proposicin: "Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los ndices de asalto en laciudadyelturismosedesarrolla.Losndicesdeasaltono disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla". Solucin: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: a: La seguridad privada es efectiva. b: Los ndices de asalto disminuyen en la ciudad. c: El turismo se desarrolla. Losoperadoreslgicosqueseencuentranpresentesenesta proposicin compuesta son la condicional, la conjuncin y la negacin. La traduccin es: [(a(b.c)).(b.a)](c)| Ntese la importancia del uso de los signos de agrupacin para preservar la idea original del enunciado. Ejemplo 2: 15 Si se consideran las siguientes proposiciones simples: m: Viajo al exterior. n: Apruebo el curso de nivel cero. p: Obtengo una beca. Una traduccin al lenguaje formal de la proposicin compuesta "Viajo al exterior slo si apruebo el curso de nivel cero y obtengo una beca", es: a) p (m. n) e)(n . p) m b) m (n . p)d) m (n . p) c) (n . p) v m Ejemplo 3: Determinacin de valores de verdad Bajo la suposicin de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c, y d son respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas: a) (avb)(c . d) d) (ca)v(b.d)Solucin: a) (0v0)(1 . 0) (0)0 1 0 0 El valor de verdad de esta proposicin es falso d) (10)v(0.1) (0)v0 1v0 1El valor de verdad de esta proposicin es verdadero. 1.4FORMAS PROPOSICIONALES Variables proposicionales: Constituyeunavariableproposionalcuandopuederepresentarauna proposicinsimpleocompuesta,estevalorserdesconocido mientras no se especifique el valor de verdad de las proposiciones involucradas. Pararepresentarvariablesproposicionalesseutilizanlasletras minsculas del alfabeto p, q, r. Formas proposicionales Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por 16 variables proposicionales y los operadores lgicos que las relacionan. Estas formas proposicionales se representan con las letras maysculas del alfabeto espaol A, B, C,........ Ejemplo: Tabla de verdad de una forma proposicional.

Dada la siguiente forma proposicional: A: [(p.q)(r vp)].r Debidoalapresenciadelas3variablesproposicionalesp,qyr, existirn 23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A. TAUTOLOGA, CONTRADICCIN, CONTINGENCIA: Dada la estructura lgica de una forma proposicional: TAUTOLOGA.-Sisetienesolamenteproposicionesverdaderaspara todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: TAUTOLOGA CONTRADICCIN.-Sisetienensolamenteproposicionesfalsasparatodos los valores de verdad de las variables proposicionales. pqr p.qpr vp[(p.q)(r vp)].rA 0 0 0 01110 0 0 1 01111 0 1 0 01110 0 1 1 01111 1 0 0 00010 1 0 1 00111 1 1 0 10000 1 1 1 10111 pqqpp(qp) 0011 0101 1011 1111 17 Ejemplo: CONTRADICCIN CONTINGENCIA.- Si se tiene algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: CONTINGENCIA 1.5PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS LEYES DE LOS OPERADORES FUNDAMENTALES CONJUNCIN Y DISYUNCIN pqqpq p(qp) 00110 01010 10110 11000 pq p v qp(pvq) 0001 0111 1010 1111 CONJUNCINDISYUNCIN (p.q) = (q.p)Conmutativa(pvq) = (qvp) [(p.q).r ]=[p.(q.r) ]Asociativa[(pvq)vr ]=[pv(qvr)] (p.p)=pIdempotencia(pvp)=p (p.1)=pIdentidad (pv1)=p (p.0)=0Absorcin(pv0)=0 18 LEYES DE LOS OPERADORES NEGACIN, CONDICIONAL Y BICONDICIONAL 1.6RAZONAMIENTOS RAZONAMIENTOS Sonproposicionescompuestasquepuedenserrepresentadasporla conjuncindeproposicionesdenominadaspremisasohiptesis,la condicionalcomooperadorlgicoprincipal;y,unaproposicinfinal denominada conclusin. Laspremisasohiptesiscorrespondenalantecedentedela implicacin, mientras que la conclusin es su consecuente. |H1 . H2 . H3.. . Hn| C CONJUNCIN DE HIPTESISCONDICIONALCONCLUSION ANTECEDENTEOPERADORCONSECUENTELGICO 0 = 1 1 = 0 Negacin (p)= pDoble Negacin o Involutiva pv(q.r) = (pvq).(pvr)p.(qvr) = (p.q)v(p.r)) Distributivas (p.q) = (pvq)(pvq) = (p.q) De Morgan (pvp) = 1Tercero Excluido (p.p) = 0Contradiccin (p.q) = (qp)Contrapositiva o Contrarrecproca (pq) = (pvq) (pq) = (pvq) (pq) = (pvq) Implicacin 19 La lgica simblica se ocupa de analizar la validez de los razonamientos; nonospuededecirsilainformacincontenidaenunahiptesises verdaderaofalsa.Lostrminosvlidoynovlidoserefierenala estructuradelrazonamiento,noalaveracidadofalsedaddelas proposiciones. El punto importante a recordar es que la veracidad o falsedad de las premisas y la conclusin, no determinan la validez del razonamiento. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO Unrazonamientoesvlidocuandolaformaproposicionalque representasuestructuralgicaesunatautologa.Sidichaforma proposicionalesunacontradiccinocontingencia,entoncesel razonamiento no es vlido, en cuyo caso se denomina falacia. Ejemplo 1: Determinacin de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es vlido: "Si Pablo recibi el e-mail, entonces tom el avin y estar aqu al medioda. Pablo no tom el avin. Luego, Pablo no recibi el e-mail". Solucin: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: a: Pablo recibi el e-mail.b: Pablo tom el avin.c: Pablo estar aqu al medioda. Luego, se identifican las hiptesis y la conclusin: H1: a(b.c)H2: bC: a H1: p(q.r)H2: qC: p |H1. H2|C |(p(q.r)).q| p pqrq.r H1 p(q.r) H2 q H1. H2 C p |H1. H2|C 000011111 001011111 010010011 011110011 100001001 101001001 110000001 111110001 20 Ejemplo 2: Determinacin de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es vlido: Sielcrimenocurridespusdelas04h00,entoncesPepenopudo haberlocometido.Sielcrimenocurrialas04h00oantes,entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometi. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas. a: El crimen ocurri despus de las 04h00. b: Pepe pudo haber cometido el crimen. c: Carlos pudo haber cometido el crimen. d: El crimen involucra a dos personas. Luego se identifican las hiptesis y la conclusin: H1: a(b) H2: (a)(c)H3: (c)dC: d H1: p(q)H2: (p)(r) H3: (r)sC: s [H1 H2 H3]C [(p(q))((p)(r))((r)s)]s pqrs q H1 p(q) p r H2 (p)(r) H3 (r)s H1 H2 H3 [H1 H2 H3]C 000011111001 000111111111 001011100101 001111100101 010001111 0 01 010101111111 011001100101 011101100101 100011011 0 01 100111011111 101011001110 101111001111 110000011 0 01 110100011101 111000001101 111100001101 21 Puesto que la forma proposicional result una contingencia, podemos concluir que el razonamiento no es vlido (falacia lgica). 1.7CONJUNTOS CONJUNTO Coleccin,reuninoagrupacindeobjetosqueposeenuna caracterstica o propiedad comn bien definida. Paraestablecersiunobjetoperteneceonoaunconjunto,debe verificarsequeposealacaractersticaopropiedaddeclaradaporel conjunto.Deaququeesimportantequeestacaractersticanosea ambigua. Los conjuntos usualmente se denotan con letras maysculas del alfabeto espaol A, B, C. Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: Los nmeros enteros. Los habitantes de la Luna. Los animales en extincin. Los nmeros primos. Los paquetes de software. Los operadores de telefona celular. Todasestasagrupacionesposeenunacaractersticaquepuedeser verificable con precisin. ParadecirquexesunelementodelconjuntoA,escribiremosxA. Para decir que x no est en A, escribiremos x A. Ladescripcindeunconjuntosepuederealizardelassiguientes maneras: PorCOMPRENSIN,parareferirnosaalgunacaractersticadelos elementos. A = {x/x es consonante de la palabra comprensin} PorEXTENSINoTABULACIN,cuandoselistantodoslos elementos. A = {c, o, m, p, r, n, s} 22 Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo grficamente. A Note que: d A b A CONJUNTOS RELEVANTES Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos: A es VACO () si no tiene elementos.A = {x/x es un nmero par e impar a la vez} N(A) = A es UNITARIO si tiene un nico elemento.A = {*} N(A) = 1 A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. A = {x/x es integrantes de un equipo de futbol} A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. A = {x/x es nmero entero} AesREFERENCIALoUNIVERSOcuandocontienetodoslos elementosquedeseenconsiderarseenunproblema,sinpretender contenertodoloquenointeresaalproblema.Elsmboloqueseutiliza para representar a este conjunto es Re o U. A = {x/x es una letra del alfabeto espaol}co mpr n s 23 1.8CUANTIFICADORES CUANTIFICADOR UNIVERSAL Cualquierexpresindelaforma:paratodo,todo,paracada,cada, constituyeenellenguajeformaluncuantificadoruniversalysesimbolizapor medio de . x, 4x+3x = 7xSe lee Para todo nmero x se cumple que 4x+3x=7x. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Cualquierexpresindelaforma:existe,algn,algunos,porlomenos uno,bastaqueuno,constituyeenellenguajeformaluncuantificador existencial y se simboliza por medio de . x, 3x+6 = 9Se lee Existe al menos un nmero x, para el cual 3x+6=9. Ejemplo: Sea Re ={x/x es ser humano}. Traduzca al lenguaje comn las siguientes proposiciones. a) x [(x es vegetariano) .(x come zanahorias)] b) x [(x es vegetariano) c) x [(x es vegetariano) . a) Todos los seres humanos son vegetarianos y comen zanahorias. b) Algunos son vegetarianos o comen zanahorias. c) Todos los seres humanos son vegetarianos pero no comen zanahorias. SUBCONJUNTO ElconjuntoAessubconjuntodeBsiyslosiloselementosdeAestn contenidos en B. Simblicamente, este concepto se representa por: (A B)x[(x A)(x B)] 24 Si A es subconjunto de B (AB) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: (A B)[(A B)(A = B)] -Laproposicin(x)esfalsa,porquenoexistenelementosque pertenezcan al conjunto vaco. -La proposicin 0p es siempre verdadera. -Concluimosque:[(x)(xA)]1,esdecirqueA.Elconjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. Sirealizramosunanlisissimilar,podramosconcluirtambinquetodo conjunto es subconjunto de s mismo: A A. CONJUNTO POTENCIA P(A) Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que est formado por todos los subconjuntos posibles de A. El smbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). P(A) ={B/B A} La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2N(A). Ejemplo 1: Determinacin el conjunto potencia A = {*, +, a} N(P(A)) = 23 = 8. Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}. 25 Ejemplo 2: Determinacin el conjunto potencia Dado el conjunto A = {1, {a, b}}, construya P(B). N(P(A)) = 22 = 4 P(B) = {, {1}, {{a, b}}, B}. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales siy slo si tienen los mismos elementos. Es decir,ambosconjuntossecontienenmutuamente.Simblicamente,este concepto se representa por: (A = B)[(A B)(B A)] Usando las definiciones y las propiedades de la lgica proposicional, se tiene: (A = B)x[(x A)(x B)] CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y slo si A y B no tienen elementos en comn. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y slo si A y B tienen al menos un elemento comn. 1.9OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIN ENTRE CONJUNTOSLa unin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AB y se define como: AB = {x/(x A)(x B)} 26 Diagrama de Venn de la Unin entre Conjuntos: INTERSECCIN ENTRE CONJUNTOS La interseccin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por AB y se define como: AB = {x/(x A)(x B)} Diagrama de Venn de la Interseccin entre Conjuntos: DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS ( LadiferenciaentrelosconjuntosAyBesunnuevoconjunto formadoporlos elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por AB y se define como: AB = {x/(x A)(x B)})} Diagrama de Venn de la Diferencia entre Conjuntos: 27 DIFERENCIA SIMTRICA ENTRE CONJUNTOS La diferencia simtrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado porloselementosquepertenecenoalconjuntoAoalconjuntoB.Sedenota por AB y se define como: AB = (AB)(BA), o tambin: AB = {x/[(x A)(x B)][(x B)(x A)]} Diagrama de Venn de la Diferencia Simtrica entre conjuntos: COMPLEMENTACIN DE CONJUNTOS La complementacin de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como: AC = {x/(x Re)(x A)} 28 Diagrama de Venn de la Complementacin de conjuntos: Ejemplo: Sean A, B, C conjuntos no vacos. Respecto del siguiente diagrama de Venn. La regin sombreada corresponde a: a) (A B) Cb) (A B) Ac) (A B) C d) (A B) CR. e) (B A) C 1.10PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Lasoperacionesentreconjuntosyalgunasdesusmsimportantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del lgebra de Conjuntos. A continuacin se presentan las de uso ms frecuente: 29 Leyes de las Operaciones Fundamentales Unin e Interseccin UNIN INTERSECCIN AB = BA Conmutativa AB = BA (AB)C=A(BC) Asociativa (AB)C=A(BC) AA = A Idempotencia AA = A A = A Identidad ARe = A A Re = Re Absorcin A = OTRAS LEYES: 0C = Re (Re)C = Complementacin (AC)C = A Doble Complementacin o Involutiva A(BC) = (AB) (AC) A (BC) = (AB) (AC) Distributivas (AB)C = ACBC (AB)C = ACBC De Morgan AAC = Re AAC = (A B)(BcAc) (A B)(Ac B=Re) (A B=Re)(Ac B) (AB = 0)^A Bc [(A C)(B C)][(AB) C] [(A B).(A C)][A (BC)]Transitividad (A B)[(ABC) ]Reduccin al absurdo(A = B)[(A B)(B A)] (A = B)(B = A) Equivalencia AB (A )(B ) AB = (A = )(B = ) AB = (A = )(B = ) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A A A A [(A B)(B C)](A C)Transitividad [(A B)(C D)][(AC) (BD)] [(A B)(C D)][(AC) (BD)] 30 DEMOSTRACIN DE PROPIEDADES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS. -p.d. AB=BA (Conmutatividad) x (AB)(x A)(x B)Definicin de Unin. (x B)(x A)Ley Conmutativa de la Disyuncin. x (BA)Definicin de Unin. Demostracin de propiedades del lgebra de conjuntos. -p.d. (AB)C = AC BC (Primera ley de De Morgan) x (AB)C (x Re). (AB))Definicin de Complementacin. (x Re). B)]Definicin de Unin. (x Re). A). B) Ley de De Morgan de la Disyuncin. [(x Re). A)].[(x Re). B)] Ley de Idempotencia. x (Re A). x (Re B) Definicin de Diferencia. x (AC BC)Definicin de Complementacin Demostracin de propiedades del lgebra de conjuntos. -p.d. N(AB) = N(A) + N(B)N(AB) A= (AB)(AB) Expresado mediante conjuntos disjuntos. N(A) = N(AB)+N(AB) Su cardinalidad es la suma. N(AB) = N(A)N(AB) Se obtiene esta expresin til. AB = (AB)(AB)(BA)Expresado mediante conjuntos disjuntos. N(AB) = N(AB)+N(AB)+N(BA)Su cardinalidad es la suma. N(AB) =N(A)N(AB)+N(AB)+N(B)N(BA) Cardinalidad de la diferencia. N(AB) = N(A)+N(B)N(AB) Se completa la demostracin. 31 Se puede demostrar que: N(ABC) = N(A)+N(B)+N(C)N(AB)N(AC)N(BC)+N(ABC) Ejemplo 1:Determine los elementos de los literales a y b dado que: Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {2, 4, 6, 8} C= {1, 3, 6, 7} a) (A B) (Cc B c)c b) (A - B) (Cc - B) a) (A B) (Cc B c)c A B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Bc={1, 3, 5,7} Cc={2, 4, 5,8} (Cc B c)c={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (A B) (Cc B c)c={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}R. b) (A - B) (Cc - B) A-B ={1, 3, 5} Cc={2, 4, 5,8} Cc B ={5} (A - B) (Cc - B) = {1, 3, 5}R. Ejemplo 2: Enunaencuestarealizadaa90personas,50escuchanmsica,20ven pelcula y 60 escuchan msica o ven pelcula. Cuntas personas realizan las 2 actividades?. 2 4 8 5 1 36 67 32 Datos: N(Re)= 90 N(M)= 50 N(P)= 20 N(M P)= 60 N(M P)=? Luego: N(M P) = N(M) + N(P) + N(M P) 60 = 50 + 20 + N(M P) 60 = 70 + N(M P) N(M P) = 10R. N(M P) = N(M) + N(P) - N(M P) N(M P) = 50 + 20 - 10 N(M P) = 60 N(M P)C = N(Re) - N(M P) N(M P)C = 90 - 60 N(M P)C = 30 Ejemplo 3: Sehizounaencuestaa1000personasacercadelcanaldetelevisindonde preferanverprogramasdocumentalesyseobtuvieronlossiguientes resultados:620veanTeleamazonas;400veanCanalUno;590vean Ecuavisa; 195 vean Teleamazonas y Canal Uno; 190 preferan ver Canal Uno yEcuavisa;400veanTeleamazonasyEcuavisa;300preferanver Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno. 502060 401010 30 33 Determine el nmero de personas que no ven estos canales. Datos: N(Re) = 1000 N(T) = 620 N(C) = 400 N(E) = 590 N(TC) = 195 N(CE) = 190 N(TE) = 400 N[(TE) C] = 300 Si N(TE) = 400 y N[(TE) C] = 300, entonces N(TCE) = 100. N(TCE) = N(TE) - N[(TE) C] N(TCE) = 400 300 N(TCE) = 100 Luego: N(TCE) = N(T)+N(C)+N(E)N(TC)N(CE)N(TE)+N(TCE) N(TCE) = 620 + 400 + 590 195 190 400 +100 N(TCE) = 925 N(TCE)C = N(Re)N(TCE) = 1000 925=75R. Respuesta: 75 personas que no ven estos canales. 34 1.11PREDICADOS PREDICADOS DE UNA VARIABLE Son expresiones en trminos de una variable que al ser reemplazadas por los elementosdeunconjuntoreferencial,seconviertenenproposiciones.Six representa acualquierelemento deRe, entonceslaexpresinp(x)se definir como predicado. La notacin para los predicados ser: p(x), q(x), r(x), etc. Ejemplo: Dado Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p(x): x es impar. Si x = 3, p(3): 3 es impar, es una proposicin verdadera. Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposicin falsa. Por lo tanto, p(x) es un predicado. CONJUNTO DE VERDAD DE UN PREDICADO EselconjuntoformadoportodosloselementosdeReparaloscualesel predicadoseconvierteenunaproposicinverdadera.Lanotacinautilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como: Ap(x) = {x/(x Re)(p(x)1)} En relacin a los conjuntos de verdad de predicados compuestos, se cumplen las siguientes propiedades: 35 LEYES DE LOS CONJUNTOS DE VERDAD DE PREDICADOS. Ap(x) = ACp(x) A[p(x)vq(x)] = Ap(x)Aq(x)) A[p(x).q(x)] = Ap(x)Aq(x) A[p(x)q(x)] = ACp(x) Aq(x) Ejemplo: Aplicacin de las propiedades de los conjuntos de verdad. Se pueden obtener conjuntos de verdad de predicados compuestos a partir de los conjuntos de verdad de los predicados que lo constituyen. De esta forma, si se requiere hallar A[p(x)(q(x)r(x))], se pueden emplear las propiedades anteriormente citadas de la siguiente forma: A[p(x)(q(x).r(x))]= A[p(x)v(q(x).r(x))] = ACp(x) (Aq(x)Ar(x)) A[p(x)(q(x).r(x))] = ACp(x) (Aq(x)ACr(x)) Deestamanera,conociendolosconjuntosdeverdaddep(x),q(x),r(x)yel referencialdeestospredicados,sepuedeobtenerelconjuntodeverdad resultante de esta operacin. En referencia a los ejemplos 1.51, 1.52, 1.53 y 1.54 se tiene que: ACp(x) = {2, 4, 6} Aq(x) = {1, 2, 3, 4} ACr(x) = {1, 3, 4, 5, 6} RealizandolasoperacionesindicadasenACp(x)(Aq(x)ACr(x)),seobtiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 6}, el cual constituye el conjunto de verdad del predicado compuesto requerido. 36 Dado que ya se ha definido a los predicados y en la seccin 1.9 se describieron losdostiposdecuantificadoresqueseutilizanenlalgicasimblica,se puedentraducirexpresionesdellenguajenaturalquecombinanpredicadosy cuantificadores. Paraelefecto,sisetieneunpredicadop(x)yunconjuntoreferencialRe,los siguientes enunciados son proposiciones con cuantificadores: xp(x) xp(x) YaqueelprimerodeellosseleeparatodoxelementodelRe,secumple p(x),yelsegundodeellosseleeexistealmenosunxelementodeReque cumpleconp(x),ambospuedensercalificadoscomoproposiciones verdaderas o falsas. Deaquque,siunpredicadoescuantificadoconalgunodelosdos cuantificadoresdefinidos,seobtieneunaproposicin,talcomosedefinea continuacin. VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Una proposicin que contiene un cuantificador universal es verdadera si y slo sielconjuntodeverdaddelpredicadoesigualalconjuntoreferencialdela expresin abierta.

xp(x)(Ap(x) = Re) Una proposicin con un cuantificador existencial es verdadera si y slo si el conjunto de verdad del predicado no es vaco. xp(x)(Ap(x) = ) 37 LEYES DE LOS CUANTIFICADORES Ejemplo 1: Seael conjunto referencial Re = {1, 2, 3, 4, ...} y los predicados: p(x): x es un nmeroimpar,q(x):xesunnmeropar.Identifiqueculdelassiguientes proposiciones es falsa: a) A(p(x)q(x) Aq(x) falsoAp(x)= {1, 3, 5,. } b) Re = Ap(x) Aq(x)falsoAq(x)= {2, 4, 6,. } c) Ap(x) = ACq(x)falso d) Aq(x) Ap(x) = verdaderoR, e) A(q(x)p(x)) = Ap(x)falso Ejemplo 2: Dado el conjunto referencial Re = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y los predicados: p(x): x es un nmero par. q(x): x es mayor que siete. r(x): x es menor que diez. s(x): x es un nmero impar. Determine cada uno de los siguientes conjuntos: a) Ap(x) Aq(x)e) A[(p(x)s(x))(q(x)r(x))] b) As(x) Ar(x) f) AC r(x) As(x) c) Ap(x)As(x) d) A(p(x) q(x)) Solucin: Ap(x): {2, 4, 6} q(x): {} r(x): {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. s(x): {1, 3, 5} a) Ap(x) Aq(x) = {, 2, 4, 6}R. b) As(x) Ar(x) ={1, 3, 5}R. c) Ap(x) As(x )={1, 2, 3, 4, 5, 6} R. 38 d) A(p(x) q(x)) = AC(p(x) q(x))= {} R. e) A[(p(x)s(x))(q(x)r(x))] = AC[(p(x) s(x)) (q(x) r(x))]= ReR. f) AC r(x) As(x) = {} R. g) (Re Ap(x)) (Aq(x) As(x)) = {0, 1, 3, 5} R. Re Ap(x) = {0, 1, 3, 5}Aq(x) As(x) = {0, 1, 3, 5} 1.12PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO PAR ORDENADO Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, x y y, que tiene un orden; alelementoxselodenominaprimeracomponenteyalelementoyselo denomina segunda componente. Se representa simblicamente por: (x, y). Como el par es ordenado, no es lo mismo (x, y) que (y, x).Unaternaordenadaseraunconjuntodetreselementosordenadosysu representacin es: (a, b, c). Esimportanteanotarqueexistenconjuntosordenadosquepuedenformarse con ms de tres componentes. PRODUCTO CARTESIANO SeandosconjuntosAyB,novacos,denominaremosproductocartesiano entreAyB,alconjuntodetodoslosparesordenadoscuyaprimera componentepertenecealconjuntoA,ylasegundaalconjuntoB. Simblicamente, se representa como: A x B. A x B = {(x, y)/(x A).(y B)} LarepresentacingrficadeAxBconstituyeelplanocartesiano,enelcual tanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un segmento representar al conjunto A y el otro al conjunto B. 39 Plano Cartesiano La cardinalidad entre los conjuntos A x B es: N(A x B) = N(A) N(B) La cardinalidad de A x B x C es: N(A x B x C) = N(A) N(B) N(C) La cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos que intervienen en la operacin. Ejemplo 1:Producto cartesiano entre dos conjuntos A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6} A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)} La cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B) = 9. Ejemplo 2:Producto cartesiano entre tres conjuntos A = { m, n} B = {2, 4, 6} C = {x, y} x A y B (x, y) A x B 40 A x B x C = {(m,2,x), (m,2,y), (m,4,x), (m,4,y), (m,6,x), (m,6,y), (n,2,x), (n,2,y), (n,4,x), (n,4,y), (n,6,x), (n,6,y)} La cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B x C) = 12. CARDINALIDAD DEL PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo:Cardinalidad del producto cartesiano. Si A, B, C son conjuntos talesque: N(A) = 3, N(B) = 5, N(C)= 2 y N(BC) =3, determineN[A x (BC)]. Solucin: En base a la definicin de N(A x B), tenemos que: N[A x(BC)] = N(A)N(BC) Por otra parte: N(BC) = N(B) + N(C) N(BC) = 5 + 2 3 = 4 Luego: N[A x(BC)] = (3)(4) =12 R. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO. El producto cartesiano tiene las siguientes propiedades: 41 A x (BC)=(A x B)(A x C) A x (BC ) = (A x B)(A x C) A x (BC)= (A x B)(A x C) (AB) x C=(A x C)(B x C) (AB) x C= (A x C)(B x C) (AB) x C= (A x C) (B x C) 1.13RELACIONES RELACIN Unarelacinestablecelacorrespondenciaentreloselementosdedos conjuntos no vacos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto departida,yalconjuntoB,dellegada.Simblicamente,larelacinse representa por R y se cumple que: R A x B Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relacin. La cantidad mxima de relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntos no vacos A y B es: 2N(A) N(B). Ejemplo Cantidad de relaciones. Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}, determine analticamente el nmero derelacionesposiblesquesepuedenobtenerdeAenB,yrealicelos diagramas sagitales correspondientes a todas las relaciones posibles. Solucin: El nmero de relaciones de A en B es 2N(A)N(B) = 2(2)(2) = 24= 16 42 Diagramas sagitales: Caso 1: Ningn elemento del conjunto de partida est relacionado con ningn elemento del conjunto de llegada (relacin vaca). Caso 2: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. R1 R2R3 R4R5 43 Caso3:Relacionesdeunsoloelementodelconjuntodepartidacondosdel conjunto de llegada. Caso4:Relacindedoselementosdelconjuntodepartidaconunosolodel conjunto de llegada. Caso5:Relacionesdeunelementodelconjuntodepartidaconunosolodel conjunto de llegada. R6R7 R10R11 R8R9 44 Caso6:Relacionesdeunelementodelconjuntodepartidacondosdel conjuntodellegadayelotroelementodelconjuntodepartidaconotrodel conjunto de llegada. Caso7:Todosloselementosdelconjuntodepartidaestnrelacionadoscon todos los elementos del conjunto de llegada (producto cartesiano).

R12R13 R14R15 R15 45 DOMINIO DE UNA RELACIN Dada una relacin R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos delconjuntoAqueestablecencorrespondenciaconstituyeneldominiodela relacin. Se representa simblicamente por:dom R. Nonecesariamentetodosloselementosdelconjuntodepartidaformanparte del dominio de una relacin. RANGO DE UNA RELACIN Dada una relacin R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relacin. Se representa simblicamente por: rg R. Es comn tambin denominar al rango de la relacin como el recorrido, imagen o codominio de la misma. Nonecesariamentetodosloselementosdelconjuntodellegadaformanparte del rango de una relacin. Ejemplo: Dominio y rango de una relacin. A = {2, 4, 5}B = {1, 3, 5}R = {(x, y)/x+y es un nmero primo} 46 Solucin: R = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)} dom R = {2, 4}R. rg R = {1, 3, 5} R. REPRESENTACIN SAGITAL DE UNA RELACIN Ejemplo: A = {0, 2, 4, 6}B = {1, 3, 5} R = {(x, y)/x>y} R = {(2,1), (4,1), (4,3), (6,1), (6,3), (6,5)} Podemos observar que dom R = {2, 4, 6} y rg R = {1, 3, 5}. 47 1.14FUNCIONES FUNCIN Una relacin de A en B es una funcin si y slosi el dominio de la relacin es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un nico elemento en el rango. Simblicamente, esta definicin se representa por: 1. dom R = A 2. x Ay1, y2 B[(x R y1) (x R y2) (y1 = y2)] Para denotar funciones usualmente se utiliza la letra f. Deestadefinicin,seconcluyequeenunafuncinnopuedenexistirdos elementosdelconjuntodellegadarelacionadosconunmismoelementodel dominio, o lo que es igual, un elemento del dominio no puede estar relacionado con dos elementos diferentes del conjunto de llegada. Cabe anotar que toda funcin es una relacin, pero no toda relacin representa una funcin. Es posible que las funciones tambin sean representadas con las letras g, h En la expresin y = f(x): x se conoce como la variable independiente. y se conoce como la variable dependiente. 48 Ejemplo:Relaciones y funciones. Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}, y las relaciones: R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} R2 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (d, 1)} Determine si R1 o R2 constituyen funciones de A en B. Solucin: R1: AB Sconstituyeunafuncin,yaqueeldominiodeR1estodoelconjuntode partidaA,yacadaelementodeldominiolecorrespondeunodelconjuntode llegada. R2: AB 49 No es una funcin, porque el dominio no constituye todo el conjunto de partida A. Tambin se puede observar que no se cumple la segunda condicin de funcin para el elemento b. A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} f : AB f = {(1, a), (2, b), (3, b)} En este caso, se dice que b es imagen de 2 y de 3, y que a es imagen de 1. TIPOS DE FUNCIONES FUNCIN INYECTIVA f : AB es inyectiva {x1, x2 A[(x1 = x2)( f (x1) = f (x2))]} f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un nico elemento del dominio. Es necesario que N(A) N(B) para poder construir funciones inyectivas. dom f = A rg f = {a, b} 50 Ejemplo: A = {2, 4, 5} B = {8, 64, 125, 216} f : AB, y es el cubo de x f = {(2, 8), (4, 64), (5, 125)} FUNCIN SOBREYECTIVA f : AB es sobreyectiva {y B x A[y = f (x)]} f es sobreyectiva si rg f = B. Es necesario que N(A) N(B) para poder construir funciones sobreyectivas. Ejemplo: A = {1, 0, 1} B = {0, 1} f : AB, y es el cuadrado de x dom f = A rg f = {8, 64, 125} 51 f = {(1, 1), (0, 0), (1, 1)} FUNCIN BIYECTIVA. f : AB es biyectiva si y slo si f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ejemplo: P = {Guayas, El Oro, Pichincha} C = {Machala, Guayaquil, Quito} f : PC, y es capital de x f = {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Pichincha, Quito)} Las funciones biyectivas tienen propiedades importantes, una de las cuales se explicar a continuacin. dom f = A rg f = B dom f = A rg f = B 52 FUNCIN INVERSIBLE f A partir de esta definicin, el lector podr verificar el siguiente teorema. f es una funcin inversible si y slo si es biyectiva. FUNCIN INVERSA Si f : AB es biyectiva, es posible construir la inversa f 1: BA. Esta nueva funcin permite invertir el sentido de la correspondencia, tal que a cada y B se lo asocia con un nico x A. Lafuncininversaesf 1cambia. Adicionalmente, se puede notar que el dominio de f es el rango de f 1 y el rango de f es el dominio de f 1. FUNCIN COMPUESTA Sean las funciones f : AB y g : CD, la funcin compuesta denotada por gof es una funcin que relaciona A con D, es decir, que a partir de un elemento x de A, se obtiene un elemento g( f (x)) de D. La composicin de funcionesgof se ilustra en el siguiente grfico, suponiendo que B = C: 53 Composicin de funciones gof. Es importante anotar que gof existe, si y slo si: rg f dom g. Dadas dos funciones f y g: gofes elconjuntode parejasdela forma(x,g(f(x))).Considerandoelgrfico anterior,sifygsonprocesos,entoncesh=gofeselresultadodelproceso siguiente: 1.h recibe un elemento x y lo introduce en el proceso f para obtener b = f (x) 2.h introduce a b en el proceso g para obtener g(b) = g(f (x)) 3.En resumen, h ha transformado a x en h(x) = g(f (x)) Lo anterior nos permite concluir que dom(gof ) = A, y que rg(gof ) rg g D. Lacomposicindefuncionesfog,siendog:BCyf:CA,seilustraenel siguiente grfico: Composicin de funciones fog. 54 La funcin compuesta fog existe, si y slo si: rg g dom f. Se cumple que dom (fog) = B, y que rg (fog) rg f A. La composicin de funciones, en general, no es conmutativa. Ejemplo: Composicin de funciones. Considere los conjuntos A = {, , , } y B = {a, b, c, d, e}. Se tienen las funciones: f : AB dada por f = {(, b), (, a), (, d), (, c)} g : BA dada por g = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (e, )} Es posible construir las funciones: gof: A A gof = {(, ), (, ), (, ), (, )} fog: B B fog = {(a, b), (b, b), (c, a), (d, d), (e, c)} De este ejemplo se puede concluir que fog es diferente a gof. 55 Ejemplo: Composicin de funciones. Dados los conjuntos A y B tales que A = B = {1, 3, 5, 7} y la funcin f y g de A en B: f = {(1, 3), (3, 1), (5, 5), (7, 7)} g = {(1, 7), (3, 7), (5, 1), (7, 3)} Determine f 1 o g. Solucin: f 1 = {(3, 1), (1, 3), (5, 5), (7, 7)} 56 f 1 o g = {(1, 7), (3, 7), (5, 3), (7, 1)} Adicionalmente, se cumple que: dom (f 1 o g) = dom g rg ( f 1 o g) rg f 1 ANLISIS Este captulo de lgica y conjuntos nos ense que la lgica es un lenguaje artificial, pero formal, es decir le interesa la forma, no slo los contenidos. Es un lenguaje abstracto que quiere analizar los razonamientos. Nos permite analizar ejercicios reales como los de la vida cotidiana sea problemas que se los puede resolver con conjuntos o diferenciarlos a travs de las proposiciones y poder darles solucin. 57 CAPITULO 2 NMEROS REALES 2.1 NMEROS REALES Siconsideramosnmerosenterosaladerechade0,estamoshablandodel conjuntoZ+,mientrasquelosqueseencuentranalaizquierdade0, representan el conjunto Z-. El cero no es positivo ni negativo. Lasmismasconsideracionesseaplicarnparalosnmerosracionales, irracionalesyrealesengeneral.Dadoquelacardinalidaddeestosconjuntos esinfinita,seutilizarelsmbolopararepresentartalvalorenlarecta numrica. Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible, entonces se lo representar con + w; mientras que si el valor es tan grande como sea posible, pero negativo, entonces se utilizar - w. Representacin Decimal Ejemplo 1 58 Ejemplo 2 Losnmerosrealesirracionalestienenrepresentacionesdecimalesqueno terminannitienenun patrnderepeticin. Porejemplo:V2=1.414213...,n= 3.14159...Enlaprctica,losnmerosirracionalesgeneralmenteson representadosporaproximaciones.Sesueleutilizarelsmbolo-(selee "aproximadamente igual a") para escribir V2 - 1.414 y n - 3.1416. Paralograrlarepresentacindecimal,enelcasodenmerosracionales,es suficiente dividir el numerador para el denominador. 2.2 OPERACIONES BINARIAS Algunas expresiones, tales como: 2 + 4 = 6; 4 - 6 = - 2; 5 x 7 = 35; 20 + 5 = 4 Tienenlaparticularidaddequesitomamosdoselementosdeunconjunto, numricoenestecaso,laoperacingenerauntercernmerodentroofuera del conjunto al cual se est haciendo referencia. La unin y la interseccin de conjuntos tambin generan nuevos conjuntos. Las operacionesquetoman2elementosdeunconjuntoysuresultadose encuentraenelmismoconjuntotienenparticularintersparanosotrosyse denominan operaciones binarias. Propiedades de las operaciones binarias Lapropiedadclausurativaindicaqueelresultadodelaoperacinbinaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referencia. 59 Lapropiedadconmutativaindicaqueelordendelosoperandosnoes importante al realizar la operacin. La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacin. La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacin entrecualquierelementodelreferencialyesteelemento,oviceversa,nolo modifica al primero. Lapropiedaddeposeerelementoinversoaindicaquealrealizarla operacinentrecualquierelementodelreferencialyesteelemento,o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad slo deber probarse en caso de existir elemento neutro. Ejemplo 1 Sea el conjunto Z y la operacin binaria * definida en Z, a * b = a + 3b. Se verifica la siguiente propiedad: Cerradura, a + 3b e Z, para cada elemento a, b de Z. Por el contrario, la operacin binaria no cumple las siguientes propiedades: Conmutativa, a + 3b ^ b + 3a. Basta mostrar el siguiente contraejemplo: para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 * 2 = 7, pero 2 * 1 = 5. Asociativa, a + 3(b + 3c) ^ (a + 3b) + 3c. El contraejemplo podra ser a = 1, b = 2 y c = 3, en el cual 1 * (2 * 3) = 34, mientras que (1 * 2) * 3 = 16. 60 Elemento neutro, a * n = a+3n y n * a = n+3a, por lo tanto, a * n n * a. Elementoinverso,estapropiedadnotienesentidoprobarlayaquenoexiste elemento neutro. Ejemplo 2 2.3 OPERACIONES ENTRE NMEROS REALES RELACIN DE ORDEN DE NMEROS ENTEROS

61 Observandolarectanumricaseapreciaquelosenterosestn"ordenados", detalmodoqueunnmeroesmayorqueotromientrasmsaladerechase encuentre de l. Con el objeto de precisar este orden, se define una relacin "mayor que" entre los elementos de Z, que se simboliza por >. RELACIN DE ORDEN DE NMEROS REALES Seconoceque,engeneralNZQ R. Unproblemainteresanteescmo extender la relacin de orden analizada previamente, al conjunto R formado por losnmerosreales.Apesardequelaconstruccinrigurosaesuntanto complicada, en la prctica, a partir de la representacin por medio de puntos en larectanumricasepuedeobservarquesielnmerobestsituadoala derecha de a, se dice que a < b, o tambin que b > a. DEFINICIN (TRICOTOMA DE LOS NMEROS REALES) Dadosdosnmerosreales,siempreesposiblerelacionarsuorden,detal manera que uno es mayor que el otro o son iguales. cumple con las siguientes Va, b eR [(a > b) V (a = b) V (a < b)] Adems, se puede observar que el conjunto propiedades: 1.V ael(a < a)Reflexiva 2.V ael1 Vb eRV ce R [(a < b) A (b < c)] ^ (a < c) Transitiva 3.V ael1 Vb eR[(a < b) A (b < a)] ^ (a = b) Antisimtrica Esimportantedeterminarcmoinfluyensobrelarelacindeordenlas operaciones de la adicin y la multiplicacin de nmeros reales. Las siguientes propiedades ilustran tal influencia: 62 Va, b, c eK (a < b) ^ [(a + c) < (b + c)] Va, b, c eR [(a < b) A (c > 0)] ^ (ac < bc) Va, b, c e R [(a < b) A (c < 0)] ^ (ac > bc) (ab = 0) [(a = 0) v (b = 0)] Cabemencionarqueestaspropiedadestambinseaplicanalasotras relaciones de orden existentes (, < , >). 2.4 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS Definicin Divisores y Mltiplos de un nmero entero Sia,b,ceZcumplenlarelacinc=a.b,entoncesdecimosqueaybson factores o divisores de c. En tal caso, c es mltiplo de a y b. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Definicin (Nmero Primo) Un nmero entero positivo p > 1 es primo, si y slo si sus nicos factores son exactamente 1 y p. El conjunto de los nmeros primos es: 63 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...} Euclides fue el primero en demostrar que no existe un nmero primo mayor que todoslosdems,esdecir,lacantidaddenmerosprimosesinfinita. Numerososmatemticoshanbuscado,sinxito,unmtodoquesirvapara determinarsiunnmeroesprimoono.Enlaactualidad,conlaayudadelas computadorasesfactibleencontrarunagrancantidaddeelementosdeeste conjunto P. Definicin (Nmero Compuesto) Un nmero entero positivo n > 1 es compuesto si y slo si no es primo. El nmero 1 no es primo ni compuesto, ya que representa la unidad, esto es, el nico elemento del conjunto de los nmeros enteros positivos que tiene inverso multiplicativo, el cual tambin es un nmero entero positivo. Ejemplos Nmeros compuestos. Descomponer los nmeros 87, 105, 2310 en sus factores primos. Solucin: -Puesto que 8 + 7 = 15 es mltiplo de 3, 87 tambin lo es. Efectuando la divisin por 3, el otro factor es 29, que es primo. Luego, 87 = (3)(29). -Como 105 termina en 5, es divisible por 5. Efectuando la divisin por 5, el otro factor es 21, el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7. Luego, 105 = (3)(5)(7). -Como2310esunnmeromsgrande,loiremosdividiendo sucesivamenteportodoslosnmerosprimosmenoresquel,porlos cuales sea divisible. 64 Luego, 2310 = (2)(3)(5)(7)(11). Definicin (Mximo Comn Divisor (M.C.D.)) El M.C.D. de un conjunto de nmeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los nmeros del conjunto. Ejemplo1 Considerando el ejemplo anterior, el M.C.D. de los nmeros 87, 105 y 2310 es 3. En el conjunto de los nmeros 24, 36, 48: 24 = (23)(3) 36 = (2 )(32) 48 = (24)(3) M.C.D. : (22)(3) = 12 UnainterpretacinparaelMximoComnDivisorsepresentaenelsiguiente ejemplo. Ejemplo2 Unvendedordisponede24,36y48unidadesdetresartculosdiferentes, respectivamente.Necesitaelaborarpaquetesporcadaartculo,detalforma queelnmerodeunidadesdetodoslospaquetesseaelmismoyelms grande posible. Elvendedornecesitacalcularelnmerodeunidadesquedebetenercada paquete y cuntos paquetes por artculo obtendr. 65 Solucin: Se necesita obtener un divisor de 24, 36 y 48 que sea el ms grande posible. Delejemploanterior,estenmeroesel12.Esdecir,lospaquetesdebern contener12unidades.Conlocual,seobtienen2,3y4paquetesparalos diferentes artculos, respectivamente. Definicin (Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.)) El m.c.m. de un conjunto de nmeros enteros es el menor entero positivo que es el mltiplo de cada uno de los nmeros dados. Ejemplo 1 Considerando el ejemplo 2.8, el m.c.m. de los nmeros 87, 105 y 2310 es 66990. En el conjunto de los nmeros 2, 6, 10: 2 = 2 6 = (2)(3) 10 = (2)(5) m.c.m. : (2)(3)(5) = 30. Ejemplo 2 Unfabricantetienetresproductosensuinventario,loscualesserevisan peridicamentecada2,6y10semanas,respectivamente.Elfabricante necesita calcular cul ser el mnimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisin de los tres productos coincida.

Solucin: 66 Esteesunproblemadelmltiplomspequeoposibleentre2,6y10.Del ejemploanterior,estenmeroes30.Porlotanto,cada30semanaslostres productos sern revisados al mismo tiempo. Definicin (Nmeros Pares e Impares) Se dice que a es: Nmero Par ^ a = 2n, n e Z Nmero Impar ^ a = 2n + 1, n e Z 12es par porque12= (2X6) -5es impar porque-5= (2)(-3) + 1 0es par porque0= (2X0) 31es impar porque31= (2X15) + 1 -140es par porque-140= (2)(-70) 81es impar porque81= (2X40) + 1 Ejemplo 1 "Si a es un nmero natural impar, entonces su cubo tambin es natural impar" Solucin:Vamos a utilizar el mtodo de demostracin directa. Al ser a impar, podemos escribir a = 2n + 1, siendo n un nmero natural. a es impar ^ a = 2n + 1Definicindenmero impar ^ a3 = (2n + 1)3Elevando al cubo. ^ a3 = 8n3 + 12n2 + 6n + 1 Manipulacin algebraica. 67 ^ a3 = 2(4n3 + 6n2 + 3n) + 1 Agrupacinde trminos. ^ a3 = 2m + 1m=4n3+6n2+3n es un entero. ^ a3 es imparDefinicinde nmero impar. Por lo que, efectivamente, a3 es impar. Ejemplo 2 "Si a2 es un nmero natural par, entonces a es natural par".Solucin: Vamos a utilizar el mtodo de demostracin por contrarrecproca.La Contrarrecproca sera: "Si a no es un nmero natural par, entonces a2 no es natural par". La cual se reescribe como: "Si a es nmero natural impar, entonces a2 es natural impar". Al ser a natural impar, a = 2n + 1, siendo n un nmero natural, tenemos: a es impar ^ a = 2n + 1Definicin de nmero impar ^ a2 = (2n + 1)2Elevando al cuadrado. ^ a2 = 4n2 + 4n + 1 Manipulacin algebraica. a2 = 2(2n2 + 2n) + 1 Agrupacin de trminos. a2 = 2m + 1m = 2n2 + 2n es un entero. a2 es imparDefinicin de nmero impar. 68 Hemos demostrado que si a es un nmero impar, entonces a2 es impar, cuya Contrarrecproca sera: "Si a2 no es un nmero natural impar, entonces a no es natural impar". 2.5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Eslacombinacindesmbolos(nmerosyletras),atravsdelasdiferentes operacionesfundamentales.Lostrminosdelaexpresinalgebraica correspondenacadaunadesuspartes,lascualesestnseparadasentres por los signos + o -. Ejemplo 1 (3x 4)2 = 9x2 24x + 16 Ejemplo 2 (5x + 2)2 = 25x2 + 20x + 4 Entodotrminosedistingueelcoeficientenumricoyelfactorliteral.Enel trmino -5 x2y3z4, -5 es el coeficiente numrico, x2y3z4 esel factor literal. En el factor literal, los nmeros que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el nmero de veces que se toman dichas letras como factores. Si la expresin algebraica tiene un solo trmino se denomina monomio, si tiene dos trminos se denomina binomio, si tiene tres trminos se denomina trinomio. Silaexpresinalgebraicatieneengeneralmsdeuntrmino,sedenomina polinomio. 69 Sedenominantrminossemejantesaaquellosquetienenelmismofactor literal.Alreducirtrminossemejantesqueremosreemplazaratodosellospor uno solo. PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES Ejemplo2 70 2.6 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicacin en que se repite un mismo factor un cierto nmero de veces. an = a . a . a . . . an veces an: es la potenciaa : es la basen : es el exponente Ejemplo 1 Ejemplo 2 71 2.7 PRODUCTOS NOTABLES Losproductosnotablessonmultiplicacionescuyoresultadopuedeescribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicacin. Son como las tablas de multiplicar del lgebra elemental. Los principales productos notables son: Cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma por diferencia(a + b)(a - b) = a2 - b2 Producto de binomios con un trmino repetido (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab Cubo de un binomio(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b Cuadrado de un trinomio(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos (a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Losproductosnotablespueden facilitarclculosaritmticos,comoseobserva en el siguiente. 72 Ejemplo 1 Ejemplo 2 73 2.8 FACTORIZACIN Factorizarunaexpresinalgebraicaconsisteenescribirlacomoelproducto ms simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor comn, si es que lo hay, y luego analizar si el factornocomncorrespondealdesarrollodeunoomsdelosproductos notables.Todaslasexpresionescorrespondientesalosproductosnotables puedenserusadascomoexpresionesdefactorizacinsilasleemosde derecha a izquierda. Ejemplo 1

Ejemplo 2 Racionalizacin Racionalizareldenominadordeunafraccinesconvertirunafraccincuyo denominador es irracional en una fraccin equivalente, cuyo denominador sea racional.Cuandoseracionalizaeldenominadorirracionaldeunafraccin, desaparece todo signo radical del denominador. Ejemplo 1 74 Ejemplo2 2.9 VALOR ABSOLUTO Elvalorabsolutodeunnmeroxserepresentapor|x|yesunnmerono negativo Todo nmero se caracteriza por dos elementos: su valor absoluto y su signo. Ejemplo 1 75 Ejemplo2 2.10 ECUACIONES Unaecuacinoigualdadcondicional,esaquellaqueesverdaderaslopara algnoalgunosvaloresdelasvariablesdelconjuntoreferencialque corresponda. Ejemplo 1 76 Ejemplo 2 2.11 IDENTIDADESIDENTIDAD Unaidentidadoigualdadabsoluta,esunenunciadoquecomparados expresionesmatemticasconelsmbolo"="yesverdaderoparatodoslos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. Ejemplo Ecuaciones lineales Unaecuacinlinealodeprimergrado,correspondealtipomssimplede ecuacin, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma: 77 Ejemplo 1 Ejemplo 2 78 Ecuaciones cuadrticas Unaecuacincuadrticaodesegundogradoesaquellaquepuede representarse con un predicado de la forma: p(x) : ax2 + bx + c = 0 a, b, c e M A a 0 donde x es la incgnita cuyo valor hay que determinar. Sepuedenencontrarlassolucionesdelaecuacincuadrticamediante factorizacin o por la frmula general. Enelprimercaso,setratadeexpresarelmiembroizquierdodelaecuacin cuadrtica como el producto de dos factores lineales, y se igualan a cero estos factores.Lasnuevasecuacionesqueresultansonlinealesyselaspuede resolver separadamente, como se describi en la seccin anterior. Finalmente,lassolucionesdeestasecuacionesseunenparaconformarel conjunto de verdad de la ecuacin cuadrtica dada. Ejemplo1 79 Ejemplo 2 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Unaecuacinconvalorabsolutoesunaexpresinalgebraicaqueincluyeel valorabsoluto,ylasmssimplespuedenrepresentarseconunodelos siguientes predicados: p(x): |ax + b| + c = 0a, b, c e M p(x): |ax2 + bx + c| + d = 0 a, b, c, d e M Aunque pueden darse expresiones ms complejas, con el propsito de utilizar las propiedades del valorabsoluto, en esta seccin se ilustrar un ejemplo de cada forma. Ecuaciones ms avanzadas requieren combinar mtodos grficos y propiedades para su solucin, lo cual se estudiar en captulos posteriores Ejemplo1 80 Ejemplo2 ECUACIONES CON RADICALES Una ecuacin con radicales es una expresin algebraica en la cual la variable x aparece bajo una raz cuadrada. El nico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que posea el radical para eliminarlo. Sinembargo,conesteprocedimientolaecuacinnosetransformaenuna ecuacinequivalente,yaqueparaquedosecuacionesseanequivalentesse necesita que tengan exactamente las mismas soluciones. 81 Ejemplo1 Ejemplo 2 82 Planteo de ecuaciones Unadelasaplicacionesmsimportantesquepodemosencontrarconel estudio del lgebra es la solucin de problemas de las ciencias de la ingeniera, laeconoma,laadministracin,lasfinanzas,lamedicina,yotrosdelmundo real, los cuales pueden plantearse en trminos algebraicos y resolverse con las tcnicas anteriormente estudiadas. Ejemplo 1 2.12INECUACIONES Unainecuacinesunpredicadoqueincluyeunadesigualdadcondicionada,y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposicin verdadera. 83 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Definicin (Desigualdad) Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemticas. Dichas expresiones estn separadas por alguno de los siguientes smbolos: >, . -Lasexpresionesdeltipo:aloms,cuantomucho,comomximo,se traducen con la relacin m Ejemplo 1 Ejemplo 2 94 2.16 COMBINACIONES Una combinacin es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer conparteotodoslos elementosdeunconjuntodado,sinconsiderarelorden en su ubicacin. El nmero de combinaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza como Cm y se calcula as: Ejemplo 1 Ejemplo 2 95 2.17 TEOREMA DE BINOMIOS Esteteoremafuedescubiertopornewtonycomunicadoporprimeravezen 1676ahenryoldenburg,secretariodelaroyalsocietyquefavorecalos intercambiosdecorrespondenciaentreloscientficosdesupoca.Newton presentaelenunciadodesuteoremayunejemploqueloilustra,ymenciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Ejemplo 1 Ejemplo 2 ANLISIS Laimportancia delos nmerosrealesennuestravidacotidianaesquetienen gran influencia para el hombre ya que son una base de apoyo, puesto que nos ayuda a comprender y a resolver mejor los problemas que se nos presentan. A travs de las distintas operaciones podremos realizar cualquier problema que senospresentenenlavidacotidianaporqueestossebasanespecficamente en esto. 96 CAPITULO 4 TRIGONOMETRIA 4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS Para la definicin de un ngulo existe un elemento importante quese llama la semirrecta. SEMIRRECTA Es la parte de una recta que est a lado de la misma desde un punto fijo que se llama extremo y se extiende a una sola direccin. ANGULO Eslauninde2semirrectasqueseintersecanensuextremo.Sepuede designarngulo,pormediodepuntosdelassemirrectasosoloutilizandoun vrtice. 4.2 UNIDADES ANGULARES Seutilizanlasunidadesdemedidamsconocidas,comosonlosgrados sexagesimales,minutosysegundos;talesunidadesestnbasadasenla divisin en partes iguales de una circunferencia. CLASE DE NGULOS COTERMINALES Son aquellos ngulos que tienen el mismo lado inicial y terminal CONSECUTIVOS Dos ngulos de un mismo plano son consecutivos cuando solo tienen un lado en comn. 97 ADYACENTES 2ngulossonadyacentescuandosonconsecutivosylosladosnocomunes son semirrectas en la misma direccin, la suma de las medidas de los ngulos es de 180. COMPLEMENTARIOS Dos ngulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un ngulo recto: + = 90. SUPLEMENTARIOS Dos ngulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos ngulos rectos: + = 180. OPUESTOS POR EL VRTICE Dos ngulos se dicen opuestos por el vrtice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificndose que = . 98 4.3 RELACIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2r, y para el caso de unavueltacompleta,entoncespodemosdenirunaequivalenciaentrelas medidas en grados sexagesimales y radianes. 4.4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ELEMENTALES Funcin Seno: Esta definida por sen(x)=b/1. Es una funcin de R en R. Funcin Coseno: Esta definida por cos(x)= a/1.Funcin Tangente: Si (a 0), la funcin esta definida por Tan(x) = b/a. Funcin Contangente: Si (b 0), la funcin esta definida por sec(x)=1/a. Funcin Secante: Si (a 0), la funcin esta definida por sec(x)= 1/b. Funcin Cosecante: Si (b 0), esta definida por csc(x)=1/b. 4.3 GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS La grca de la funcin f (x) = sen(x), tiene las siguientes caractersticas:dom f = R 99 rg f = [-1, 1].f es impar.f es acotada, | f (x)| 1. f es peridica, su perodo fundamental es T = 2. Las intersecciones con el eje X estn en el conjunto {x/x = n, nz }. 100 101 4.5 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS Conestasfuncionessepodrdeterminareldominio,rango,asntotas, monotona y otras caractersticas de la funcin inversa. FUNCIN SENO INVERSO Si restringimos el dominio de f (x) = sen(x) al intervalo [-/2, /2]y el conjunto dellegadaalintervalo[-1,1],obtenemosunafuncinbiyectiva.Alafuncin inversa del seno se la denota por sen-1(x) o arcsen(x). FUNCIN COSENO INVERSO Sirestringimoseldominiodef(x)=cos(x)alintervalo[0,]yelconjuntode llegadaalintervalo[-1,1],obtenemosunafuncinbiyectiva.Alafuncin inversa del coseno se la denota por cos-1 (x) o arccos(x). FUNCIN TANGENTE INVERSASi restringimos el dominio def (x) = tan(x) al intervalo(- /2 , /2) , obtenemos una funcin biyectiva. A la funcin inversa de la tangente se la denota por tan-1 (x)o arctan(x). 102 FUNCIN COTAGENTE INVERSA Sirestringimoseldominiodef(x)=cot(x)alintervalo(0,),obtenemosuna funcinbiyectiva.Alafuncininversadelacotangenteseladenotaporcot-1(x) o arccot(x) FUNCIN SECANTE INVERSA Sirestringimoseldominiodef(x)=sec(x)alintervalo[0,][/2]yel conjunto de llegada al intervaloR - (- 1, 1), obtenemos una funcin biyectiva. A la funcin inversa de la secante se la denota por sec-1(x) o arcsec(x). Funcin cosecante inversa Sirestringimoseldominiodef(x)=csc(x)alintervalo-2,2-{0}yel conjunto de llegada al intervalo - (- 1, 1), obtenemos una funcin biyectiva. A la funcin inversa de la cosecante se la denota por csc-1(x) o arccsc (x). 103 4.6 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Enestaseccinveremosdadaunaexpresintrigonomtrica,esposible simplificarlaotransformarlaenotraexpresinequivalentealaoriginal, empleandolasprincipalesidentidadestrigonomtricasdelseno,coseno, tangente,cotangente,secante,cosecante,ngulodoble,ngulomedio, productos de seno y/o coseno. IDENTIDADES COCIENTES IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGRICAS IDENTIDADES PARES O IMPARES En base a las grficas de las seis funciones trigonomtricas, se puede deducir que: 104 IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE NGULOS Enestaseccinvamosademostrarlasidentidadescorrespondientesa cos(x+y), cos(x-y), sen(x+y) y sen(x-y). Sean los ngulos cuyas medidas son a, b y a-b, en la siguiente grfica: IDENTIDADES DE NGULO DOBLE cos(2x) = cos(x + x)cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x) sen(2x) = sen(x + x)sen(2x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x) 105 IDENTIDADES DE NGULO MITAD El signo del radical debe escogerse en relacin con la ubicacin de (x/2).Siseencuentraenelprimercuadrante,cos(x/2)>0yas sucesivamente. Identidades de suma a producto El lector puede verificar que: sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y) cos(x - y) - cos(x + y) = 2sen(x) sen(y) cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos(x) cos(y) sen(x + y) - sen(x - y) = 2cos(x) sen(y) Es frecuente utilizar estas frmulas de otra manera. Si hacemos: 106 Las cuales pueden ser expresadas como: IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA 4.7 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMTRICASLasecuacionesoinecuacionesqueinvolucranfuncionestrigonomtricas puedenserresueltasutilizandolasidentidadesestudiadasenlaseccin anterior. ANALISIS Enestecaptuloaprendimosquelatrigonometranossirveparacalcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de tringulos, circunferenciayotros;enlavidarealesmuyutilizadaparalosfuturos ingenieros,yaquepodemosmediralturasodistancias,realizarmedicinde ngulo,entreotrascosas.Ayudatambinpararesolversituaciones problemticasdelavidacotidianaydeotroscamposdelconocimiento cientfico. 107 CAPITULO 11 ESTADSTICA Y PROBABILIDAD 11.1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA Haytendenciaageneralizaratodalapoblacin,lasprimerasconclusiones obtenidastrasunanlisisdescriptivo,esunestudiocalculandounaserie de medidas de tendencia central, para ver en qu medida los datos se agrupan o dispersan en torno a un valor central.11.2 ORGANIZACIN DE LOS DATOSPara el efecto, existen algunas tcnicas que sern estudiadas en esta seccin. Segnelnmerodeobservacionesyelrangodelavariable,podemos clasicar las tablas de la siguiente manera: TABLASDETIPOI:Eltamaodelapoblacinomuestraespequeo.Por ejemplo, las edades de 6 personas: 15, 18, 19, 21, 24, 28. Slo se ordenande manera creciente o decreciente. TABLAS DE TIPO II: El tamao de la poblacin o muestra es grande y elrango de la variable es pequeo. TABLAS DE TIPO III (Tabla de intervalos): El tamao de la poblacin omuestra es grande y el rango de la variable es grande. Tablas de distribucin de frecuencias: Generalmente, las tablas detipo II y III se completan con distintos tipos de frecuencias, tales como: a)FRECUENCIAABSOLUTA:Eselnmerodevecesqueaparecedicho valor, como resultado de la medicin de la variable. Se denota por fi. b)FRECUENCIAABSOLUTAACUMULADA:Eselresultadodesumarala frecuenciaabsolutadelvalorcorrespondientelafrecuenciaabsolutadelvalor anterior. Se denota por Fi. 108 c)FRECUENCIARELATIVA:Eselcocienteentrelafrecuenciaabsolutafiel tamao de la muestra o poblacin: hi = , donde N = Tamao de la N muestra o poblacin. Se denota por hi. d)FRECUENCIARELATIVAACUMULADA:Eselresultadodesumarala frecuenciarelativadelvalorcorrespondientelafrecuenciarelativadelvalor anterior. Se denota por Hi. 11.3 GRAFICOS DE REPRESENTACIONLosgrcospermitenformarnosunaimpresininmediataacercadel comportamientodelasvariablesestudiadas,destacandosuscaractersticas ms relevantes. Ejemplos: 11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL Una medida de tendencia central es un nmero (estadgrafo) que se considera representativo de todos los nmeros en un conjunto de datos. Se dividen en 3. 109 MEDIA ARITMTICA: La mediaaritmtica (tambinllamadapromedio osimplemente media)deun conjuntofinitodenmeroseselvalorcaractersticodeunaseriededatos cuantitativosobjetodeestudioquepartedelprincipiodelaesperanza matemtica o valor esperado. MEDIANA: Lamedianacoincideconel percentil 50,conelsegundo cuartil yconel quinto decil. Su clculo no se ve afectado por valores extremos. MODA: Una distribucin trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda. 11.5 MEDIDAS DE DISPERSIN Existendiversasmedidasdedispersin,entrelasmsutilizadaspodemos destacar las siguientes: RANGO:Midelaamplituddelosvaloresdelamuestraysecalculaporla diferencia entre el mayor valor y el menor. VARIANZA: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media aritmtica.Secalculacomolasumatoriadelasdiferenciasalcuadradoentre cada valor y la media, multiplicadas por el nmero de veces que se ha repetido cada valor.Lavarianzasiempresermayorquecero.Mientrasmsseaproximaacero, msconcentradosestnlosvaloresdelaseriealrededordelamedia.Porel contrario, mientras mayor sea la varianza, ms dispersos estn. Desviacin tpica o estndar: Se calcula como la raz cuadrada de la varianza. 11.6 PROBABILIDADES Sedenominaespaciomuestra()asociadoaunexperimentoaleatorio,al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. 110 Ejemplo1: Un experimento consiste en lanzar dos dados. Se pide realizar lo siguiente: a) Elaborar el espacio muestral del experimento. b) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma de las caras de los dados sea igual a 10. c) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma se encuentre entre 7 y 9, inclusive. Solucin: a) =(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), b)Sea A: El evento que la suma de las caras de los dados sea igual a 10. Las combinaciones que cumplen con esta condicin son: A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}. P(A) = 3 36 8.33 % c) Sea B: El evento que la suma de las caras de los dados se encuentre entre 7 y 9 inclusive. Las combinaciones que cumplen con esta condicin son: B = {(1, 6), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)}. P(B) = 15 36 = 5 12 41.67 % Ejemplo2: Una comisin ecuatoriana est formada por 20 personas: 8 representantes de la Sierra, 5 de la Costa, 4 del Oriente y 3 de la regin Insular. Hallar la probabilidad de seleccionar una persona y que sta sea: a) De la Sierra. b) De la Costa. c) Del Oriente o de la regin Insular. Solucin: a) Sea A: El evento de seleccionar una persona de la Sierra entre los miembros de la comisin. P(A) = 8 20 = 2 5 40% 111 b) Sea B: El evento de seleccionar una persona de la Costa entre los miembros de la comisin. P(B) = 5 20 = 14 25 % c) Sea C: El evento de seleccionar una persona del Oriente o de la regin Insular. Como existen 4 personas del Oriente y 3 de la regin Insular, por el principio aditivo, existen 7 formas diferentes de seleccionar una persona entre stas. P(C) = 4 + 3 20 = 7 20 35 %. ANLISIS LaEstadsticapuededarrespuestaamuchasdelasnecesidadesquela sociedadactualnosplantea,sutareafundamentaleslareduccindedatos, conelobjetivoderepresentarlarealidadytransformarla,predecirsufuturoo simplementeconocerla,conlosconocimientossobrelaestadsticasepuede conseguir conun conocimiento claro de la poblacin con la que se cuenta en un ciudad, pas, etc.