portafolio mate geovanny patricio guerrero

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL

DEL CARCHI

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

PARALELO: “B ”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Módulo Algebra Página 1

Nombre: Geovanny Guerrero

Marzo 2013 – Agosto 2013


ContenidoINTRODUCCIÓN............................................................................................................................3

OBJETIVOS................................................................................................................................4

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES....................................................................................5

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................6

EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11

Partes de una ecuación..........................................................................................................11

¡Exponente!............................................................................................................................12

PRODUCTOS NOTABLES.........................................................................................................13

FACTORIZACIÓN.....................................................................................................................15

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16

ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16

SILABO........................................................................................................................................18


INTRODUCCIÓN

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las

propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para

generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos

análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro

de la misma operación; ecuación algebraica.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos

usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el

Teorema de Pitágoras.

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros

símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5

a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2

x - 5 + 5 = 2 + 5

x + 0 = 7

x = 7 (la respuesta)

Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de

ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de

algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Elaborar el portafolio estudiantil

Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para

la evaluación.

Trabajar en forma grupal en la recolección de la información


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALESCiertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y

así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como 12

y 53

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como pq

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =21

. De hecho todo entero

es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números

irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la

derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Sia=b y b=c ,entonces a=c

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

a+b=b+a y ab=ba

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=(ab ) c

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que

para todo número real a.

0+a=a y1a=a

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

a+ (−a )=0

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y

después sumar todos los productos.

a (a+c )=ab+ac y (b+c )a=ab=ac


EXPONENTES Y RADICALESExponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b−5b es el valor base y -5 es el exponente

−27-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

(xn ) (xm )=xn+m

xn

xm=xn−m

x0=1

x−n= 1

xn

xm

xm=1

(xm )n=xmn

( xy )n

= xn

yn

( xy )−n

=( yx )RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.n√ x= y

n = índice

x = radicando


y = raíz

√❑ =signo radical

Leyes radicales

x1/2=n√ x

x−1 /2= 1

x1/2= 1

n√ x

n√ xm√ y= n√xy

n√ xn√ y

= n√ xym√ n√x=mn√x

x ,/n=n√ xm

(m√ x )m=x


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos

semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.


¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).


Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz


PRODUCTOS NOTABLESBinomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27


Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de

polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se

dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

a2+2a=a (a+2 )

10b+30ab=10b (1+3a)

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es

igual al producto de dos binomios conjugados.

9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado

como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al

primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del

signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

9 x2−12 xy+4 y2= (3x−2 y )(3 x−2 y )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

Factorización de cubos perfectos de binomios.


(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c

9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )

4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )

ECUACIONES LINEALESSabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192


4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

I.


SILABOI. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes,

poseedores de conocimientos

científicos y tecnológicos;

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno

para contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional,

entregando profesionales que

participan en la producción,

transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario

y agroindustrial, vinculados con la

comunidad, todo esto con criterios de

eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.


TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.


mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas


http://www.sectormatematica.cl/

para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO PROCESO

COG NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.


4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados


5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.


6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les


permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y técnicas

HORAS CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENEque saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE queaplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente?

T P


Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4



Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos polinomios

Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,

2 4


socializar la solución.


Máximo común divisor de polinomios.

Mínimo común múltiplos de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.

Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6


Ecuaciones lineales, resolución

Sistemas lineales y clasificación.

Resolución de ecuaciones lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su clasificación

Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera

Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.

Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.

EXPOSICION PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6


Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.

Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados

EXPOSICIÓN PROBLEMICA

1. Determinar el problema

2. Realizar el encuadre del problema

3. Comunicar el

3 6


Resolución por completación de un trinomio cuadrado.

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.

conocimiento (conferencia ,video )

4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes)


Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA

descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1° PARCIA

L

2° PARCIA

L

3° PARCIA

L

SUPLETORIO


FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10% 100%


PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%


FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas complejos.

Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5% 100%

ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


Nivel ponderado de aspiración y alcance


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO

T P


Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.

2 4


Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.

Grado de un polinomio y su ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identifica los tipos de polinomios 2 4


Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

3 6


Dar solución a ecuaciones de primer grado

Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6



Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6


3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:

Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

ENTREGADO: Marzo 2013


http://www.sectormatematica.cl/

NOMBRES SEXO EDAD fecha de compra fecha actual dias trancurridos años trancurridos

Dayan F 18 20/03/1998 29/07/2013 5610 15,37

Salma F 18 01/01/2010 29/07/2013 1305 3,58

Cintyia F 19 30/06/2009 29/07/2013 1490 4,08

BrayanM

19 01/12/201129/07/2013 606

1,66

MiguelM

19 15/04/201229/07/2013 470

1,29

Adriana F 19 18/10/2005 29/07/2013 2841 7,78

Geovanny M 18 01/01/1996 29/07/2013 6419 17,59

Jonathan F 18 29/06/2000 29/07/2013 4778 13,09

Cristina F 20 01/01/2010 29/07/2013 1305 3,58

Diana F 18 10/09/2004 29/07/2013 3244 8,89

karen F 20 28/11/2000 29/07/2013 4626 12,67

PatriciaF

19 01/01/201329/07/2013 209

0,57

kepler M 21 14/02/2010 29/07/2013 1261 3,45

JavierM

21 01/01/201229/07/2013 575

1,58

Jacob M 20 30/03/2011 29/07/2013 852 2,33

Oscar M 21 01/01/1994 29/07/2013 7149 19,59

Diana F 21 17/08/2009 29/07/2013 1442 3,95

DiegoM

22 23/12/201129/07/2013 584

1,60

Tania F 20 12/05/2012 29/07/2013 443 1,21

LENIN F 24 01/01/2013 29/07/2013 209 0,57


Dayan5% Salma

5% Cintyia5%

Brayan5%

Miguel5%

Adriana5%

Geovanny5%

Jonathan5%

Cristina5%Diana

5%karen5%

Patricia5%

kepler5%

Javier5%

Jacob5%

Oscar5%

Diana5%

Diego6%

Tania5%

LENIN6%

TABLA DE COMPRAS

Dayan

Cintyia

Miguel

Geova

nny

Cristina

karen

kepler

Jacob

Diana

Tania

0

5

10

15

20

25

NOMBRES DE ESTUDIANTES

Series1


Dayan5% Salma

5% Cintyia5%

Brayan5%

Miguel5%

Adriana5%

Geovanny5%

Jonathan5%

Cristina5%Diana

5%karen5%

Patricia5%

kepler5%

Javier5%

Jacob5%

Oscar5%

Diana5%

Diego6%

Tania5%

LENIN6%

TABLA DE COMPRAS

Dayan

Cintyia

Miguel

Geova

nny

Cristina

karen

kepler

Jacob

Diana

Tania

0

5

10

15

20

25

NOMBRES DE ESTUDIANTES

Series1

0.00

20000.00

40000.00

60000.00

80000.00

100000.00

120000.00

140000.00

160000.00

Series1Series2

Tarea 1

Números reales


Tarea 2

Problemas


Tarea 3

Ejercicio de potenciación racionalización

Expresiones algebraicas


Ejercicios de factorización


Trabajo de algebra

Nombre: Geovanny Guerrero

Curso: 1 B

1. ES el conjunto de número que nos sirve para contar A. RacionalesB. NaturalesC. EnterosD. Primos

2. la suma de dos enteros consecutivos es 43, diga cuales son:

A. 42y 1B. 16 y 17 C. 21 y 22 D. 43x

3. Cuál es la Raíz de 32.A. 2√2B. 4√2C. √2D. √6

4. Resuelva el siguiente ejercicio y determine la respuesta correcta.

√ x−5=4A. 14B. 21C. 23D. 30

5. Dado que x vale 5 remplace en la ecuación dada.Y= 5x +1

A. 10B. 15C. 26D. 30

6. Supongamos que el Gobierno impone un precio máximo para la vacuna de la varicela que es superior al precio de equilibrio de dicha vacuna. Ante esta situación, se espera

Que: A. Se produzca un exceso de oferta en el mercado B. Se produzca un exceso de demanda en el mercado. C. No tenga consecuencias sobre la cantidad demandada y la ofrecida. D. Se desplazará la curva de demanda y la curva de oferta.


7. ¿Qué determina el precio que están dispuestos a pagar los consumidores?. A. El coste de oportunidad. B. La utilidad marginal. C. La utilidad total. D. . La renta.

8. El crecimiento económico puede tener lugar por cualquiera de los siguientes hechos: A. Disminución de la fuerza de trabajo. B. Disminución del volumen de capital C. Mejora técnica en la producción de bienes y servicios. D. Ninguna de las anteriores.

9. El crecimiento económico puede expresarse gráficamente mediante: A. Un desplazamiento hacia la izquierda de la FPP. B. Un desplazamiento hacia la derecha de la FPP. C. La FPP no se desplaza. D. Ninguna de las anteriores.

10. . Un sistema de economía mixta se caracteriza por: A. Que la actuación del sector público es mínima. B. Que no existen fallos de mercado. C. El libre juego de la oferta y la demanda. D. La colaboración del sector público con la iniciativa privada en las

decisiones económicas.


Tarea


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIDESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

NOMBRE: GEOVANNY GUERREROCURSO: 1 B

Año de compra Tipo costo Valor de

rescatePorcentaje de

depresiónDepreciación

sin rescateDepresiación con rescate

# de años trascurridos

hasta el 2013 1/2 año

Depreción sin rescate

Depresión con rescate

Saldo por depreciar

sin rescate

Saldo por depreciar

con rescate

1 EN2012

TOYOTA20.000

2000 20% 4000 3600 1,5 6000 5400 14.000 12.600

1EN2011 NIZZAN 15.000 2000 20% 3000 2600 2,5 7500 6500 7.500 6.5001EN2010 MAZDA 30.000 2000 20% 6000 5600 3,5 21000 19600 9.000 8.4001EN2013 CHEVROLET 40.000 2000 20% 8000 7600 0,5 4000 3800 36.000 34.200


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

NOMBRE: GEOVANNY GUERRERO

CURSO: 1B

Año de compra Tipo costo Valor de

rescate

Porcentaje de

depresión

Depreciación sin rescate

Depresiación con rescate

# de años trascurridos

hasta el 2013 1/2 año

Depreción sin rescate

Depresión con rescate

Saldo por depreciar

sin rescate

Saldo por depreciar

con rescate

2008 maquinaria 20.000 2000 33% 6666 5999,4 1,5 9999 8999,1 10.001 9.0012007 camioneta 15.000 1000 20% 3000 2800 2,5 7500 7000 7.500 7.0002001 trupler 30.000 1000 20% 6000 5800 3,5 21000 20300 9.000 8.7002004 NPR 45.000 2000 20% 9000 8600 0,5 4500 4300 40.500 38.7002000 CASA 75.000 2000 5% 3750 3650 1,5 5625 5475 69.375 67.5252005 EDIFICIO 200.000 1000 5% 10000 9950 2,5 25000 24875 175.000 174.1252010 MICROONDAS 400 50 33% 133,32 116,655 3,5 466,62 408,2925 -67 -582012 PORTATIL HP 8.000 100 33% 2664 2630,7 0,5 1332 1315,35 6.668 6.5852011 CELULAR 250 50 33% 83,25 66,6 0,5 41,625 33,3 208 1672010 LCD 500 50 33% 166,5 149,85 1,5 249,75 224,775 250 2252010 COCINA 600 50 33% 199,8 183,15 2,5 499,5 457,875 101 92


Tarea de algebra

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

a) Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos lados miden

50 y 30 m, respectivamente.

b) Halla el valor numérico del polinomio para

SUMA ALGEBRAICA

En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas más hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.

PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA

1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio.

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).

Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)

4. PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.

Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A


PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido


otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.

Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple que: A+(-A)=0

División de expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones.

División de monomios

Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

Ejemplo:

Restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:

División de polinomios entre polinomios

La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;

Si se tiene la división

1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:

2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x2) por el primer término del divisor (x):


3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.

4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.

TAREA DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES.

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Roché -Provenías, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método de Gauss como otra alternativa de resolución.


ECUACIONES CUADRATICAS

nteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremosecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.A

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 Ecuación polifónica en la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma general de tales ecuaciones en la variable x es

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son constantes.

Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:

En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde la gráfica cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales distintas. Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la gráfica no cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante es negativo y las raíces son dos números complejos conjugados.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.


Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

EJEMPLOS Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo

grado

Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado




Ç




Graficando Funciones Cuadráticas

Las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones poligonales con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomio tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con


áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración. Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas. Graficando con Puntos Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

x y = x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:


Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función. Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:


Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.


Características de una Parábola

La forma estándar de una ecuación cuadrática es . Por ejemplo

, el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola. Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.


portafolio mate geovanny patricio guerrero

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