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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR.FACULTAD DE INFORMATICA Y CIENCIAS APLICADAS
TEMA:APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
PARA EL CALCULO DE AREAS.
ASIGNATURA:MATEMATICAS II
DOCENTE:ING. JUAN ANTONIO REYES MINA.
SECCION:“06”
INTEGRANTES Nº DE CARNET F
DAN ELISEO DIAZ TORRES 25!55"20#! $$$$$$$$$$
FEC%A DE PRESENTACION
SA&ADO #" DE MAYO DE 20#!
'()*+,.
INTRODUCCIÓN………………………………………………......... 1
OBJETIVOS GENERALES…………………………………………… 2
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………….. 3
MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL:………………………………… 4
CONCLUSION…………………………………………………………. 25
FUENTES DE CONSULTA…………………………………………… 2
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INTRODUCCION.
La presente investigación nos permitirá saber más acerca de los problemas del cálculo empleando
integral definida en el desarrollo tcnicas de derivación para el cálculo de áreas! aclarando el concep
de integral definida surge "ntimamente ligado al de área el matemático Riemann introduce la integ
definida de una función continua en un intervalo a partir del l"mite de una suma de áreas de rectángulo
#or ello! una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recint
planos acotados $ definidos por curvas o gráficas de funciones! $ nosotros como futuros ingeniero
podamos comprender la potencia del cálculo integral $ a familiari%arse con aspectos prácticos del mism
&a de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de
ciencia' ("sica! )iolog"a! Ingenier"a o *conom"a. *n ellas! la integral definida permitirá medir magnitud
a travs de la medida de áreas.
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OBJETIVOS GENERALES.
Con el siguiente traba+o ,ueremos lograr ,ue nosotros como alumnos $ futuros ingenieros cono%camos
comprendamos la importancia del cálculo integral $ de sus aplicaciones $ la relación entre el concepto
integral definida $ el de área de un recinto plano pudiendo as" representar e identificar regiones del pla
delimitadas por la intersección de curvas $ rectas dadas.
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Identificar e Interpretar la integral definida $ el valor $ el signo de la integral definida para obtener el áre
de un recinto definido por gráficas de funciones en los intervalos de integración! tanto si la función e
positiva como si es negativa para resolver problemas matemáticos.
MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL:
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Con el siguiente traba+o elaborado por los estudiantes de la universidad tecnológica de el salvador e
diciembre del a-o /01! con la necesidad de reali%ar un traba+o ,ue contenga la información! formas
resolución! $ as" conocer la información general $ conceptos de la integral definida considerando to
esto como importante para soluciones de problemas del cálculo empleando la integral definida en
cálculo de áreas! $a ,ue este tema es esencial para resolución de problemas de diversas ramas como e
la ("sica! biolog"a! econom"a! *tc.
APLICACIÓN DE LAINTEGRAL DEFINIDA
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PARA EL CALCULO DEAREAS.
INTEGRAL DEFINIDA.
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*l concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura plana está acotada p
l"neas rectas es sencillo calcular su área. 2in embargo! áreas acotadas por curvas son más dif"ciles
calcular 3incluso! de definir4.
Uno de los momentos clave de la &istoria de las 5atemáticas fue cuando 6r,u"medes fue capa%
calcular el área de segmentos de una parábola usando el mtodo de e7a8ución de *udo7o.
Cavalieri 3alrededor de 09:/4 sab"a como integrar funciones potencia 3f374; 7<n4 desde n;0 8asta n;=. resultado general! para n arbitrario! fue obtenido por (ermat.
6un,ue Cavalieri no conoc"a el trmino >función> podemos decir ,ue una de sus contribuciones fue ,ue
consideró el problema de calcular el área limitada por la gráfica de una función positiva! el e+e ? $ d
rectas verticales 3un >trape%oide curvil"neo> o >el área ba+o una curva>4
@ueremos asignar un nAmero a esta región ,ue represente su área cuando la función sea positiv
Llamaremos a ese nAmero la integral definida de f entre a $ b.
La integral no siempre representa el área de un >trape%oide curvil"neo>. Bse es el caso si la función es n
negativa. Cuando f es negativa la integral va a ser menos el área. *n general! la integral es el área d
trapecio curvil"neo ,ue está por encima del e+e ? menos el área de las partes ,ue están ba+o el e+e ?.
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2i ,ueremos integrar funciones lineales el problema es simple.
*l problema es más dif"cil cuando la gráfica de la función no es una recta.
amos a seguir una idea de 6r,u"medes. *s apro7imar la función f por funciones 8ori%onta
3constantes4! $ el área ba+o f por la suma de rectángulos pe,ue-os. 3Lang4
*n estos casos ,ueremos construir la integral definida 3un nAmero4 como el resultado de algAn tipo d
proceso de l"mite. #odemos empe%ar dividiendo EaFbG en sub intervalos $ tomar la suma de las áreas
ciertos rectángulos ,ue apro7iman la función f en varios puntos del intervalo. *l área de estos rectángulo
apro7ima la integral. La integración es un proceso de suma.
Usamos esta notación'
*l s"mbolo 2 3una 2 alargada! por suma4 se llama signo de integral $ fue introducido por Leibni% en 09H
*l proceso ,ue produce el resultado se llama integración. Los nAmeros a $ b! ,ue se ponen +unto al sign
de integral! se llaman l"mite de integración inferior $ superior.
Leibni% usó este s"mbolo por,ue consideraba la integral como la suma de infinitos rectángulos con altu
f374 $ cu$as bases eran infinitamente pe,ue-as. (ue aceptado rápidamente por muc8os matemátic
por,ue les gustaba pensar ,ue la integración era un tipo de proceso de suma ,ue les permit"a sum
infinitas cantidades infinitesimales 3infinitamente pe,ue-as4.
# es una partición de Ea!bG.
Una partición define unos sub intervalos. La longitud de esos sub intervalos puede ser diferente'
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Dada una partición de EaFbG podemos a-adir más nAmeros a la partición $ obtenemos una nue
partición ,ue tiene sub intervalos más pe,ue-os. 2i a-adimos suficientes nAmer
intermedios entonces los intervalos se pueden 8acer arbitrariamen
pe,ue-os.
6 veces se consideran subdivisiones regulares del intervalo. *n este caso! las bases de los rectángul
son iguales'
#ara cada i tomamos un punto 7iJ en E7i! 7iK0G. *l valor f37iJ4 puede verse como la altura de
rectángulo.
La idea principal ,ue vamos a desarrollar es ,ue si 8acemos l
intervalos de nuestra partición más $ más pe,ue-os!
suma de las áreas de los rectángulos se apro7imarán
un l"mite! $ podemos usar ese l"mite para definir el área ba+o la curva. 3Lang4
#odemos tomar 7iJ como el punto medio del sub intervalo 3como en el mat8let $ en los e+emplos previos
Una elección popular es ,ue 7iJ se igual a 7i! el e7tremo i%,uierdo de cada subintervalo. *ntonces
altura del rectángulo será f37i4'
O tambin podemos tomar 7iJ igual a 7iK0! el e7tremo derec8o del intervalo. *ntonces la altura d
rectángulo será f37iK04'
La elección de estos 7iJ en E7i! 7iK0G es arbitraria.
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Riemann consideró'
6 estas sumas se les llama sumas de Riemann de ( para la partición #.
Interpretación geomtrica' *s el área total de los n rectángulos ,ue están en parte por encima de
gráfica de f $ en parte por deba+o de ella. Debido al modo arbitrario de elección de las alturas de lo
rectángulos no podemos estar seguros de si una suma de Riemann en particular es menor o ma$or ,
la integral. #ero parece ,ue esta diferencia no debe importarnos demasiado. 2i las bases de todos l
rectángulos son suficientemente estrec8as entonces las sumas de Riemann tienen ,ue apro7imarse a
integral. 32piva4
2i aumentamos el nAmero de rectángulos nos acercaremos 3intuitivamente4 al valor de la integ
definida.
#odemos decir ,ue la integral definida es el l"mite de las sumas de Riemann cuando el nAmero
subdivisiones tiende a infinito $ la longitud de cada sub intervalo tiende a cero. M no importa el punto
,ue tomamos de cada sub intervalo.
La morale+a de esta 8istoria es ,ue algo ,ue parece una buena apro7imación a la integral realmente
es! siempre ,ue las longitudes de los sub intervalos de la partición sean suficientemente pe,ue-os
32piva4
*n el mat8let podemos modificar la función $ el nAmero de rectángulos. *n general! en cada s
intervalo! la altura del rectángulo puede ser cual,uier valor de la función en un punto del sub interval
a,u" sólo consideramos una posibilidad sencilla' 7iJ es el punto medio del sub intervalo.
Las integrales de muc8as funciones no se pueden determinar e7actamente 3aun,ue pueden calcular
con el grado de precisión ,ue se desee calculando sumas de Riemann4. 2in embargo! Ecomo verem
más adelante! por e+emplo! cuando estudiemos el Teorema (undamental del CálculoG! la integral
muc8as funciones puede calcularse con facilidad. 32piva4
*+emplos de aplicación de cálculo de áreas aplicando la integral definida en las diferentes ramas de la
ciencia $ le daremos un enfo,ue 8istórico $ veremos algunos e+emplos ,ue surgieron 8ace más de .//
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a-os! cuando los griegos inventaron el mtodo de e78aución para calcular áreas de figuras planas.
eremos la relación ,ue 8a$ entre el área $ la integral definida $ la regla de )arro! cone7ión entre el
Cálculo Diferencial $ el Cálculo Integral.
El problem !el "#l"$lo !el #re.
Uno de los problemas ,ue más repercusión 8a tenido en la 8istoria de las matemáticas es el del estudio
del área encerrada ba+o una curva! pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de f"sica.
*+emplo'
Consideremos un cuerpo ,ue se mueve con una velocidad constante de :ms. La gráfica velocidadF
tiempo del cuerpo es la representada en el dibu+o. Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t ; /
t ; 9! con las fórmulas de f"sica conocidas. *studiar la relación ,ue e7iste entre este resultado $ el área
encerrada por las rectas t ; /! t ; 9! v ; / $ v ; :.
2olución'
*l 8ec8o de ,ue la velocidad sea constante nos indica ,ue estamos en un caso de 5RU! por lo ,u
deberemos usar la fórmula e ; vJt ,ue nos da el espacio recorrido por el cuerpo si conocemos
velocidad $ el tiempo transcurrido t. #or lo tanto! para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t
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/ 8asta t ; 9 8acemos e ; :J9 ; 0P! ,ue coincide con el área del rectángulo coloreado! $ ,ue es al mism
tiempo el área encerrada por las rectas'
t ; /! t ; 9! v ; O $ v ; :.
&asta a8ora 8emos calculado el área encerrada por funciones continuas pero Q,u 8ar"amos pa
calcular el área encerrada ba+o la función del dibu+o 0 entre 7 ; 0 $ 7 ; 1! Qes siempre posib
descomponer la figura encerrada ba+o una curva en figuras cu$a área conocemos#ara investigarlo! consideremos la gráfica velocidadFtiempo del dibu+o ! $ calculemos el espac
recorrido entre t ; / $ t ; 0. QCómo calcular"amos! apro7imadamente! el área encerrada ba+o esta funció
entre t ; / $ t ; 0. 6cotaremos dic8a área superior e inferiormente! utili%ando rectángulos. QCóm
podr"amos 8acer ,ue estas acotaciones fuesen cada ve% más e7actas
*s intuitivo ,ue el área encerrada por la función del dibu+o 0 se calcula sumando las áreas de l
rectángulos ,ue define la función entre dic8os puntos. *ste tipo de funciones cu$a gráfica en un intervason tramos de rectas paralelas al e+e de las 7! se llaman funciones escalonadas! $ las estudiaremos c
más detalle más adelante.
Como se ve en el dibu+o ! no siempre es posible descomponer el área encerrada ba+o una curva!
figuras geomtricas simples. *n el caso del e+ercicio! dic8a área se encuentra comprendida entre
rectángulo de base 0 $ altura 0! $ un rectángulo de base 0 $ altura 0.! por lo tanto sabemos ,ue
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encuentra entre uno $ uno $ medio! pero no podemos decir con e7actitud cuál es su valor. #ara esto
casos precisamente es para los ,ue se ideó el mtodo de e78aución.
El m%&o!o !e E'($")*+.
*l mtodo de e78aución fue ideado por el matemático griego 6r,u"medes para determinar el área de
recinto. *ste mtodo consiste en inscribir $ circunscribir el recinto considerado en regiones poligonal
cada ve% más pró7imas a l! tendiendo a llenarlo $ cu$as áreas se pueden calcular fácilmente. 6s"
obtienen valores ma$ores $ menores ,ue el área ,ue deseamos calcular $ ,ue se apro7iman! tanto m
a dic8o valor! cuanto ma$or sea el nAmero de lados de regiones poligonales inscritas $ circunscritas.
2egAn el mtodo de e78aución! para apro7imar el área encerrada entre la función! el e+e O?! $ las rect
7 ; /! 7 ; ! tomamos poligonales ,ue inscriban $ circunscriban dic8o recinto. *n este caso dic8a
poligonales son rectángulos $ es evidente ,ue el área se conocerá con ma$or e7actitud cuanto men
sea la base de los rectángulos tomados.
Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. *n este caso la suma de las áreas de lo
rectángulos es menor ,ue el área del recinto! pero se van apro7imando más a su valor segAn va$amo
tomando rectángulos de menor base! como podemos ver en las apro7imaciones de los dibu+os.
2i consideramos a8ora rectángulos ,ue circunscriban al recinto! es evidente ,ue la suma de las áreas d
dic8os rectángulos es ma$or ,ue el área ,ue encierra la función! pero a medida ,ue vamos toman
rectángulos cu$as bases sean menores! nuestra apro7imación será más e7acta. Integral Definida
6plicaciones
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Todo ello pone de manifiesto ,ue al dividir el intervalo E/!G en un nAmero infinitamente grande d
intervalos iguales! el área por defecto coincide con el área por e7ceso $ ambas con el área del recin
,ue se está calculando.
I+&e,rl !e R)em++.
amos a definir la integral de una función cual,uiera! f374! en un intervalo Ea! bG! con la Anica condición d
,ue est acotada. 2e toman todas las funciones escalonadas g374 por defecto! $ todas las funcion
escalonadas 8374 por e7ceso! es decir! g374 S f374 S 8374 cuando 7 4 Ea! bG.
*n estas condiciones! si e7iste un Anico nAmero I ,ue cumpla este nAmero
se le llama integral de f374 entre a $ b.
2e representa' $ se lee integral desde a 8asta b! de f374! diferencial de 7.
Teorem:
Toda función continua en un intervalo es integrable en dic8o intervalo.
Teorema (undamental del Cálculo
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2i f374 es integrable en el intervalo Ea! bG! su función área! 63t4! se define de la siguiente forma'. *n est
condiciones! si f es continua en Ea! bG! la función 6 es una primitiva de
función f en Ea! bG.
Regla de )arro'
2i f374 es una función continua en Ea! bG! $ (374 una primitiva de f374! es decir! ( >374 ; f374 para cual,uier4 3a! b4! entonces'
La importancia de la regla de )arro es doble' #or una parte! es un mtodo de cálculo de integraldefinidas ,ue no e7ige 8allar funciones escalonadasV por otro lado! representa una cone7ión entre Cálculo Diferencial $ el Cálculo Integral.
*+emplo' Calcular la integral definida' e interpretar el resultado geomtricamente.
6plicando la regla de )arro! ,ueda'
donde u representa unidadesde area.
Weometricamente es el Xarea representada en la figura'
-re !el re")+&o l)m)&!o por $+ $+")*+ e+ /0b1
Y Zrea del recinto limitado por una función positiva en Ea!bG 2abemos ,ue la integral de una funció
escalonada entre 7 ; a $ 7 ; b coincide con el área encerrada por dic8a función! el e+e $ ; /! $ las rect
7 ; a $ 7 ; b. eamos ,ue esta relación se cumple tambin con la integral definida de una funció
cual,uiera! para ello! plantearemos el cálculo de áreas encerradas por funciones no escalonadas! $ ,
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se pueden calcular geomtricamente! $ la posterior comprobación de ,ue dic8a área coincide con el va
de la integral.
*+emplo' &allar el área del triángulo determinado por la bisectri% del primer cuadrante! el e+e O? $ la rec
7 ; 1. Calcular esta área geomtricamente! $ comprobar ,ue coincide con la integral entre 7 ; / $ 7 ;
de la función f374 ; 7 3bisectri%4.
La integral entre / $ 1 de la función f374 ; 7 vale'
Luego si una función positiva f374! definida en un intervalo Ea!bG! es integrable! la integral
Representa el área del recinto delimitado por la gráfica de la función! el e+e
de abscisas $ las rectas 7 ; a $ 7 ; b.
-re !el re")+&o l)m)&!o por $+ $+")*+ +e,&)2 e+ /0b1
eamos la relación ,ue 8a$ entre los recintos limitados por las gráficas de f374 3siendo sta negativa
Ff374! por medio de un e+emplo sencillo $ calcularemos! en este e+emplo! el área del recinto determina
por dic8a función negativa.
*+emplo' 2ea f374 ; F7 $ Ea!bG ; E/!1G. &emos calculado! en el apartado anterior! el área ,ue encierra f37
7 entre / $ 1.
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emos! claramente
,ue el área del recinto limitado por una función negativa f374 en Ea!bG es la misma ,ue la limitada por la
gráfica de Ff374! cu$a función es $a positiva $ podemos calcular el área mediante una integral como en eapartado anterior.
La integral entre / $ 1 de la función f374 ; F7 vale'
Comprobamos ,ue si cambiamos el signo de la función! la integral simplemente cambia de signo! pero e
valor absoluto es el mismo.
Luego! para funciones negativas'
Conviene tener presente lo anterior para ,ue los resultados sean correctosV esto pone de manifiesto ,
los conceptos de integral definida $ área de un recinto son distintos. *n definitiva! tanto para funcion
positivas como para las negativas! el área o superficie vendrá dada por'
Zrea del recinto limitado por una función ,ue cambia de signo en Ea!bG (inalmente! si la gráfica de u
función ,ueda parte por encima! $ parte por deba+o del e+e de abscisas! la integral se descompondrá
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varios sumandos cuando se ,uiera calcular el área de la región ,ue delimita con el e+e de abscisas en
intervalo Ea! bG.
2abemos ,ue'
2i la función f se anula $ cambia de signo en más puntos! se procede de forma análoga! calculando lasáreas de cada uno de los recintos.
-re !el re")+&o l)m)&!o por !o3 $+")o+e3:
*n este apartado vamos a calcular el área de recintos planos más generales ,ue los estudiados en l
apartados anteriores.
Uno de los problemas ,ue suele plantearse es la determinación e7acta de la región cu$a área ,uerem
calcular. Como norma conviene! siempre ,ue sea posible! 8acer una representación lo más apro7imadposible de dic8a región o recinto.
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2ean f $ g dos funciones continuas en Ea!bG. 2upongamos ,ue sus gráficas se cortan en Ea!bG para 7 ; a
7 ; a! ...! 7 ; an! con lo ,ue determinan nK0 regiones R0! R!...! RnK0.
*l área de cada región Ri es' luego el área limitada por las dos funciones en
intervalo Ea!bG vale'
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CONCLUSIÓN.
&emos visto en el estudio de este contenido lo Atil $ esencial ,ue será el empleo de los conocimient
de este tema a lo largo de nuestra carrera como es la ingenier"a en sistemas en las diversas materi
,ue cursaremos $ ,ue nosotros como estudiantes le prestemos la debida atención $ motivación $ a
despertemos la curiosidad matemática ,ue se encuentra en el desarrollo de la matemática pura podemdarnos cuenta ,ue todas las formulas en este contenido son esenciales para resolver problemas en
actualidad! siendo de vitalidad utilidad en todos los campos.
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FUENTES DE CONSULTA