polarimetrija i merenje polarizacije

Polarimetrija i merenje polarizacije

SADRZAJ 2

Sadrzaj

1 Uvod 3

2 Polarizaciona elipsa i Poankareova sfera 42.1 Polarizaciona elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Poankareova sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Stoksov vektor 73.1 Definicija Stoksovog vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Normalizovani Stoksovi parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Osobine polarizovane svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Dzonsova i Milerova matrica 104.1 Dzonsova matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Milerova matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1 Definicija Milerove matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Koordinatni sistem za Milerove matrice . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Merenje Stoksovog vektora i Milerove matrice 145.1 Odredivanje elemenata Stoksovog vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Odredivanje elemenata Milerove matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Odredivanje elemenata Milerove matrice metodom

kalibracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Polarimetri 196.1 Polarimetri sa prostornom podelom svetlosnog zraka . . . . . . . . . . . . 196.2 Polarimetri sa vremenskom podelom svetlosnog zraka . . . . . . . . . . . 19

6.2.1 Polarimetar sa rotirajucim retarderima . . . . . . . . . . . . . . . 206.2.2 Polarimetar sa rotirajucim polarizatorima . . . . . . . . . . . . . 21

6.3 Karakteristike polarizacionih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3.1 Bitne osobine polarizacionih elementa . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3.2 Odredivanje parametara polarizacije koriscenjem Milerove matrice 23

7 Retardansa i njeno merenje 257.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.1.1 Polarizacioni kontroleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Merenje retardanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.2.1 Merenje retardanse pomocu Poankareove sfere . . . . . . . . . . . 267.2.2 Merenje retardanse pomocu Dzonsove matrice . . . . . . . . . . . 27

8 Preslusavanje u vlaknima sa stabilnom polarizacijom 288.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2 Merenje preslusavanja pomocu polarizatora . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.3 Merenje preslusavanja pomocu polarimetra . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.4 Merenje preslusavanja duz PM vlakna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.5 Merenje preslusavanja na preseku PM vlakna . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Zakljucak 32

1 UVOD 3

1 Uvod

Merenje polarizacije igra veoma vaznu ulogu u dizajniranju i karakterizaciji modernihtelekomunikacionih sistema i stoga je veoma korisno biti upoznat ne samo sa terminolo-gijom vec i merenjima polarizacije. Cilj rada je da pruzi direktan uvid u nekoliko bitnihreprezentacija polarizovane svetlosti:

• Polarizaciona elipsa

• Poankareova sfera

• Stoksov vektor

• Dzonsov vektor

Delimicno polarizovana svetlost moze biti modelovana kao superpozicija polarizovane inepolarizovane svetlosti. Elipsa polarizacije, povrsina pridruzena Dzonsovom vektoru iPoankareova sfera se koriste za predstavljanje polarizovane svetlosti. Stoksov vektor iunutrasnjost Poankareove sfere predstavljaju svetlost bilo kog stepena polarizacije.

Alati koji se mogu koristiti u opisu transformacije polarizacije kod dvoulaznih uredajai fibera su:

• Dzonsova matrica

• Milerova matrica

Dzonsova matrica je korisna za opis efekata koji se u uredaju javljaju pri prolasku pot-puno polarizovane svetlosti. Milerova matrica pak ima mogucnost opisivanja efekata kojiodgovaraju signalu bilo kog stepena polarizacije. Vecina merenja koristi ili polarimetarili polarizacioni analizator. Prvi pruza brzu, intuitivnu analizu ponasanja polarizacije, adrugi dodatno sadrzi elemente koji omogucuju ekstrakciju informacija iz Dzonsove ma-trice.

Za odredivanje retardanse koristicemo merenja zasnovana na Poankareovoj sferi iDzonsovoj matrici.

2 POLARIZACIONA ELIPSA I POANKAREOVA SFERA 4

2 Polarizaciona elipsa i Poankareova sfera

U ovom poglavlju bice reci o predstavljanju svetlosne polarizacije grafickim metodama.Dva najpoznatija graficka metoda za predstavljanje polarizacije svetlosti su:

• Polarizaciona elipsa

• Poankareova sfera

Prvi metod podrazumeva predstavljanje polarizacije u 2D sistemu, dok drugi metod (Po-ankareova sfera) to isto cini u 3D sistemu.

2.1 Polarizaciona elipsa

Polarizovana svetlost matematicki moze biti predstavljena preko x i y projekcija vek-tora elektricnog polja. Za usvojeni koordinatni sistem

x

y

z

0 q

pravac

prostiranja

Slika 2.1. Referentni koordinatni sistem

polarizovana svetlost se moze predstaviti na sledeca tri nacina:

x

y

E0X

E0Y

CCW (L)

CW (R)

x

y

E0

E0CCW (L)

CW (R)

x

y

E0X

E0Y

αE 0

( )1 ( )2 ( )3

Slika 2.2. Tipovi polarizacije svetlosti: (1) linearna, (2) kruzna i (3) elipticnapolarizacija

Najopstiji oblik polarizacije jeste elipticna polarizacija (sve ostale su njeni specijalni slu-cajevi). Stoga u daljem razmatranju ce najvise reci biti o ovom tipu polarizacije svetlosti.

Na sledecim slikama su prikazani vremenski oblici Ex(t) i Ey(t) komponenti elektric-

nog polja ~E, kao i polarizaciona elipsa tj. kriva koju ”ocrtava” vrh vektora elektricnogpolja u toku jedne vremenske periode.


x

y

E0X

E0Y

polarizacionaelipsa

EY

E ,X

E

0

wt

EY

EX

E0X

E0Y

d d -d= =45Y X

o

EX

EY

(a) (b)

Slika 2.3. (a) Vremenski oblici komponenti vektora elektricnog polja, (b) polarizacionaelipsa

Polarizacija svetlosti zapisana u matematickoj formi ima oblik:

Ex(z, t) = E0x cos(τ + δx) (1)

Ey(z, t) = E0y cos(τ + δy) (2)

τ = ωt− kz

Jednacina krive koju opisuje vrh vektora elektricnog polja ~E ima oblik

E2x

E20x

+E2

y

E20y

− 2Ex

E0x

Ey

E0y

cos δ = sin2 δ , δ = δx − δy (3)

2.2 Poankareova sfera

Poankareova sfera je graficki 3D-alat koji omogucava pogodan opis polarizovanog sig-nala i transformacije polarizacije izazvane prostiranjem kroz uredaj. Svako polarizacionostanje moze biti jednoznacno predstavljeno na ili unutar jedinicne sfere u pravougaonomkoordinatnom sistemu. Kruzna stanja su locirana na polovima sfere(RCP i LCP).

RCP

0, 0, 1

LCP

0, 0, -1

LHP

1, 0, 0

L+45

0, 1, 0

LVP

-1, 0, 0L-45

0, -1, 0

Slika 2.4. Predstavljanje polarizovane svetlosti preko Poankareove sfere


Elipticna su izmedu ekvatora i polova, pri cemu desno i levo polarizovani talasi obuhvatajusevernu i juznu hemisferu respektivno. Koordinate ovih tacaka bilo unutar sfere bilo nasferi predstavljaju normalizovane Stoksove parametre. Tacke na povrsini reprezentujupotpuno polarizovanu svetlost. Delimicno polarizovana svetlost koja moze biti smatranakao superpozicija polarizovane i nepolarizovane svetlosti predstavljena je tackom unutarzapremine Poankareove sfere. Rastojanje tacke od centra sfere daje stepen polarizacijesignala − od nulte vrednosti u centru (nepolarizovana svetlost) do vrednosti jedan napovrsini (potpuno polarizovana svetlost).

3 STOKSOV VEKTOR 7

3 Stoksov vektor

Od pocetka bavljenja polarizacijom svetlosti pa do danas razvijen je veliki broj me-toda za analiziranje polarizacije svetlosti, ukljucujuci i one zasnovane na Dzonsovim ma-tricama, matricama koherencije, Milerovim matricama i drugim. Od svih metoda Milerovmetod je najpodesniji za opisivanje instrumenata za merenje iradijanse kao sto su mnogipolarimetri, radiometri, spektrometri itd.

U Milerovom metodu Stoksov vektor S se koristi za opisivanje stanja polarizovanesvetlosti, a Milerova matrica M da opise polarizaciono-promenljive karakteristike sre-dine. Ova sredina moze biti neka povrsina, polarizacioni element, opticki sistem kao imnogi drugi materijali koji generisu reflektovanu, refraktovanu, difraktovanu ili rasejanusvetlost.

3.1 Definicija Stoksovog vektora

Stoksov vektor se definise u odnosu na sledecih sest flukseva izmerenih sa idealnimpolarizatorima ispred radiometra:

• PH − linearni horizontalni polarizator (0◦);

• PV − linearni vertikalni polarizator (90◦);

• P45 − linearni polarizator sa uglom skretanja od 45◦;

• P135 − linearni polarizator sa uglom skretanja od 135◦;

• PR − kruzni polarizator sa skretanjem udesno;

• PL − kruzni polarizator sa skretanjem ulevo.

Na osnovu sest izmerenih flukseva Stoksov vektor S, definise se kao:

S =

s0

s1

s2

s3

=

PH + PV

PH − PV

P45 − P135

PR − PL

(4)

gde su s0, s1, s2, s3 elementi Stoksovog vektora.Nacin na koji se dobija Stoksov vektor ne mora biti gore navedeni nacin ali u svakom

slucaju Stoksov vektor mora imati iste parametre definisane prethodnim metodom saidealnim polarizatorima.

Inace, Stoksov vektor predstavlja funkciju talasne duzine, pozicije(koordinate) i pravcaemitovane ili rasejane svetlosti.

Stoksov vektor je definisan u odnosu na lokalni koordinatni sistem definisan u ravninormalnoj na pravac prostiranja svetlosti.

3.1.1 Normalizovani Stoksovi parametri

Pored ortogonalne Stoksove data je i reprezentacije preko normalizovanih Stoksovihparametara:

s1n =s1

s0

, s2n =s2

s0

, s3n =s3

s0

; sin ∈ [−1, 1] (5)

3 STOKSOV VEKTOR 8

Na taj nacin linearno horizontalno polarizovan talas ima koordinate

s1n = +1 , s2n = s3n = 0 (6)

(a) (b)

RCP

LCP

L+45

LVPL-45

LHP

0,0,1

0,1,01,0,0

-1,0,00,-1,0

0,0,-1

Slika 3.1. Predstavljanje Stoksovih parametra preko ortogonalne (a)i normalizovane forme (b)

3.2 Osobine polarizovane svetlosti

Polazeci od Stoksovog vektora definisani su sledeci polarizacioni parametri:

• Fluks

P = s0 (7)

• Stepen polarizacije

DOP =

√s21 + s2

2 + s23

s0

(8)

• Stepen linearne polarizacije

DOLP =

√s21 + s2

2

s0

(9)

• Stepen kruzne polarizacije

DOCP =s3

s0

(10)

Stoksov vektor za delimicno polarizovan zrak (DOP < 1) moze se predstaviti kao su-perpozicija potpuno polarizovanog Stoksovog vektora SP i nepolarizovanog Stoksovogvektora SU na sledeci nacin:

S = SP + SU =

s0

s1

s2

s3

= s0 ·DOP

1s1/ (s0 ·DOP )s2/ (s0 ·DOP )s3/ (s0 ·DOP )

+ s0 · (1−DOP )

1000

(11)

Polarizovan deo zraka predstavlja cisto polarizovanu elipsu koja predstavlja trag vektoraelektricnog polja u funkciji vremena. Elipsa sadrzi duzu poluosu a,kracu poluosu b,orijentaciju glavne ose η (azimut elipse), merenu od ose x koordinatnog sistema u smerusuprotnom kazaljci na satu, i koeficijent ekscentriteta.

3 STOKSOV VEKTOR 9

• Koeficijent elipticnosti

e =b

a=

s3

s0 +√

s21 + s2

2

(12)

• Orijentacija glavne ose elipse (azimut)

η =1

2arctan

s2

s1

(13)

• Koeficijent ekscentriteta

ε =√

1− e2 (14)

Elipticnost je odnos male i velike poluose polarizacione elipse odgovarajuceg vektora elek-tricnog polja. Ona moze da uzima vrednosti od 0 za linearno polarizovanu svetlost do 1za kruzno polarizovanu svetlost.

Polarizaciona elipsa se moze okarakterisati i koeficijentom ekscentriteta koji ima vred-nost 0 u slucaju kruzno polarizovane svetlosti povecavajuci se kako elipsa postaje “tanja”da bi u krajnjem slucaju uzeo vrednost 1 sto predstavlja slucaj linearno polarizovanesvetlosti.

4 DZONSOVA I MILEROVA MATRICA 10

4 Dzonsova i Milerova matrica

Dve najrasprostranjenije forme koje sluze za opisivanje stanja polarizacije kod dvoul-znih optickih sistema su:

• Dzonsova matrica

• Milerova matrica

I jedna i druga forma imaju znacajnu ulogu u opisivanju polarizacionih stanja svetlosti,ali se prednost daje Milerovoj matrici (zbog jednostavnijeg merenja). Stoga ce u ovompoglavlju akcenat biti na odredivanju Milerove matrice.

4.1 Dzonsova matrica

U periodu 1941−1948 R.Klark Dzons je publikovao niz radova u kojima je predstaviojedan novi pristup polarizaciji. Naime, njegovi proracuni su bili bazirani na samom op-tickom polju, a ne intenzitetu svetlosti, sto je znatno olaksalo tumacenje interferencionihi nekih drugih efekata u optici.

Klarkova nomenklatura polarizovanu svetlost predstavlja dvoelementnim komplek-snim vektorom

E =

[Ex

Ey

]=

[E0xe

iδx

E0yeiδy

](15)

Pored Dzonsovih vektora koji opisuju stanje polarizovane svetlosti moze se definisatiDzonsova matrica uredaja kroz koji svetlost prolazi i koja moze uticati na promenu po-larizacije svetlosti. Drugim recima, ako su

X =

[x1

x2

]; Y =

[y1

y2

](16)

x

y

z

polarizator

0o

aktivnasredina

x

y

z

polarizator

90o

aktivnasredina

x

y

z

polarizator

45o

aktivnasredina

Slika 4.1. Odredivanje elemenata Dzonsove matrice


Dzonsovi vektori svetlosti pre i posle njenog prolaska kroz napravu, onda je[

y1

y2

]=

[j11 j12

j21 j22

]·[

x1

x2

](17)

pri cemu

J =

[j11 j12

j21 j22

](18)

predstavlja Dzonsovu matricu uredaja. Elementi ove matrice mogu biti odredeni mere-njem odziva na tri pobude kod kojih je poznata polarizacija, kao sto je prikazano na sliciiznad.

Izracunavanje matrice je najjednostavnije kada je svetlost linearno polarizovana poduglom 0◦, 45◦ ili 90◦, ali mogu biti koriscene bilo koje tri razlicite vrste polarizovanesvetlosti. Intenzitet |k| je relativno lako odrediti, dovoljno je ukloniti napravu sa optickeputanje, ali je merenje faze znatno teze. Neophodna su pouzdana interferometarska mere-nja. Na svu srecu za vecinu merenja faza i nije od veceg znacaja. Jedini veliki nedostatakove metode je sto svetlost mora biti potpuno polarizovana.

4.2 Milerova matrica

4.2.1 Definicija Milerove matrice

Milerova matrica M za sisteme koje menjaju polarizaciju se definise kao matrica kojatransformise upadni Stoksov vektor S u izlazni (reflektovan,transmitovan ili rasejan) Stok-sov vektor S′ na sledeci nacin:

S′ =

s′0s′1s′2s′3

= M · S =

m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

·

s0

s1

s2

s3

(19)

Milerova matrica M(k, λ) je uvek funkcija pravca prostiranja k i talasne duzine λ upo-trebljene svetlosti. Milerova matrica je podesna forma za karakterizaciju polarizacionihmerenja jer sadrzi u sebi sve elemente svojstvene za polarizaciju: diatenuaciju, retar-dansu, depolarizaciju i jednu od njihovih formi linearnu,kruznu ili elipticnu.

Kada je Milerova matrica poznata,onda je stanje polarizacije na izlazu takode poznatoza proizvoljno ulazno stanje.

U slucaju da postoji vise uredaja koji menjaju ravan polarizacije svetlosti pri cemusvetlosni zrak prolazi kroz svaki od njih jedan za drugim,rezultujuca Milerova matrica Mse dobija kao:

M = MnMn−1 · · ·Mi · · ·M2M1 =1∏

i=n

Mi (20)

gde n predstavlja ukupan broj uredaja za polarizaciju svetlosti, a Mi Milerovu matricuza svaki od njih redom.

Pri cemu posebno treba obratiti paznju na redosled mnozenja Milerovih Matrica (ma-trice se mnoze u obrnutom redosledu od onog kako svetlost prolazi kroz date uredajetj. prvo dolazi Milerova matrica poslednjeg uredaja pa tako sve redom do matrice prvoguredaja).

Kada se polarizacioni element sa Milerovom matricom M rotira oko pravca prostiranjasvetlosti za ugao θ, pri cemu se upadni ugao svetlosti ne menja, dobija se nova Milerovamatrica M(θ) u sledecoj formi:


x

y

z

aktivna sredinaq

svetlosni

izvor

horizontalnaosa

Slika 4.2. Aktivna sredina zarotirana za ugao θ > 0 u odnosu na prvobitni polozaj

M(θ) = RM(θ) ·M ·RM(−θ) = (21)

=

1 0 0 00 cos(2θ) − sin(2θ) 00 sin(2θ) cos(2θ) 00 0 0 1

m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

1 0 0 00 cos(2θ) sin(2θ) 00 − sin(2θ) cos(2θ) 00 0 0 1

gde je RM transformaciona matrica za osnovni Stoksov vektor i osnovnu Milerovu matricuprilikom rotacije polarizacionog elementa. Matrica RM je oblika:

RM =

1 0 0 00 cos(2θ) − sin(2θ) 00 sin(2θ) cos(2θ) 00 0 0 1

(22)

Pri cemu je θ > 0 ako se uredaj rotira u smeru suprotnom kazaljci na satu. U slucajuda polarizacioni element ostaje nepokretan dok se koordinatni sistem rotira za ugao φrezultujuca Milerova matrica se racuna kao:

M(φ) = RM(−φ) ·M ·RM(φ) (23)

4.2.2 Koordinatni sistem za Milerove matrice

U ovom delu razmotricemo Milerov polarimetar koji sadrzi generator polarizovanesvetlosti koji osvetljava uzorak i analizator koji propusta svetlost koja izlazi iz uzorka uodredenom pravcu. Na ovaj nacin cemo okarakterisati promenu polarizacionih osobinauzorka za odreden upadni i izlazni snop svetlosti preko Milerove matrice.

Stanje ulazne polarizacije specificirano je Stoksovim vektorom definisanim u odnosuna {x, y} koordinatni sistem koji je normalan na pravac kretanja upadnog zraka. Slicno,Stoksov vektor za izlazni zrak svetlosti definisan je u odnosu na koordinatni sistem {x′, y′}normalan na pravac prostiranja izlaznog zraka. Kod merenja transmisije kada izlazni zrakne odstupa od pravca upadnog zraka orijentacija osa ova dva koordinatna sistema ce bitiista tj. {x = x′, y = y′}.

U globalu orijentacija {x, y} koordinatnog sistema je proizvoljna, pri cemu Milerovamatrica uzima razlicite vrednosti u zavisnosti od medusobnog odnosa koordinatnih si-stema {x, y} i {x′, y′}.

U slucaju kada se pravac izlaznog zraka razlikuje od pravca upadnog zraka neophodnoje nezavisno izabrati oba gore navedena koordinatna sistema. Npr. za merenje refleksije


svetlosti koja se odbija od ravne povrsi logicno je izabrati onakve koordinatne sistemecije ose pripadaju ili su normalne na incidentnu ravan.

X

Y

Z

aktivna sredina

q1

svetlosni

izvor

horizontalnaosa

xy

x’y’

q2

Slika 4.3. Izbor koordinatnih sistema za ulazni i izlazni snop svetlosti

Neka je Milerova matrica M definisana u odnosu na unapred odredene koordinatne si-steme {x, y} i {x′, y′}. Posmatrajmo sada Milerovu matricu M(θ1, θ2) definisanu u odnosuna koordinatne sisteme dobijene rotacijom prethodno odredenih koordinatnih sistema, pricemu je osa x zarotirana za ugao θ1, dok je osa x′ zarotirana za ugao θ2.

Uglovi θ1 i θ2 su pozitivni kada se rotacija koordinatnih sistema vrsi u smeru suprot-nom kazaljci na satu.

Uz sve gore navedeno dolazi se do konacnog izraza za Milerovu matricu M(θ1, θ2):

M(θ1, θ2) = RM(θ2) ·M ·RM(−θ1) = (24)

1 0 0 00 cos(2θ2) − sin(2θ2) 00 sin(2θ2) cos(2θ2) 00 0 0 1

m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

1 0 0 00 cos(2θ1) sin(2θ1) 00 − sin(2θ1) cos(2θ1) 00 0 0 1

U slucaju kada je θ1 = θ2 tj. kada se koordinatni sistemi rotiraju za isti ugao, Milerovamatrica ne menja karakteristicne vrednosti pa se na osnovu toga ne menjaju karakteristikecirkularne polarizacije dok karakteristike linearne polarizacije bivaju promenjene.

Sam izbor koordinatnih sistema nije bitan za opisivanje stanja upadnog i izlaznogzraka koliko je znacajan za odredivanje polarizacionih karakteristika sredine kroz koju sezrak prostire.

5 MERENJE STOKSOVOG VEKTORA I MILEROVE MATRICE 14

5 Merenje Stoksovog vektora i Milerove matrice

U ovom poglavlju bice reci o odredivanju elemenata Stoksovog vektora S i Milerovematrice M, kao i o metodama kojima se pomenuti elementi odreduju.

5.1 Odredivanje elemenata Stoksovog vektora

Ovaj deo opisuje generalni princip merenja sa sto manjim brojem parametara za po-larimetar, koji se koristi za merenje stanja polarizacije svetlosnog zraka.

Stoksov vektor i odgovarajuci parametri zraka su odredeni merenjem transmitovanogfluksa kroz niz polarizacionih analizatora. Svaki analizator odreduje fluks jedne kompo-nente upadnog zraka. Sve dok analizator ne sadrzi idealne polarizacione osobine on semora podesavati sto doprinosi jednostavnijem racunanju Stoksovog vektora.

Analizator predstavlja polarizacioni element koji se koristi za analizu polarizacije sve-tlosti zajedno sa mnogim drugim optickim elementima(sociva,ogledala...) i detektoromkoji takode predstavlja sastavni deo polarimetra. Pri tome polarizacioni efekti svih ele-menata bice ukljuceni u rezultate merenja i sto laksem tumacenju istih.

Analizator se karakterise vektorom koji sadrzi cetiri elementa definisana na slican na-cin kao elementi Stoksovog vektora. Npr. PH predstavlja fluks koji pada na detektor kaoposledica horizontalno polarizovane komponente prisutne u upadnom zraku. Definicijeostalih flukseva su takode analogne sa onima u Stoksovom vektoru.

Na osnovu ovoga vektor analizatora ima sledeci oblik:

A =

a0

a1

a2

a3

=

PH + PV

PH − PV

P45 − P135

PR − PL

(25)

Odziv P polarizacionog analizatora za proizvoljno stanje polarizacije S racuna se kaoskalarni proizvod sledecom formulom:

P = A · S = a0s0 + a1s1 + a2s2 + a3s3 (26)

Merenje Stoksovog vektora sastoji se od serije merenja obavljenim nizom razlicitih pola-rizacionih analizatora. Neka je ukupan broj analizatora n pri cemu vektor Ai, i = 1 . . . nodgovara svakom od pojedinacnih analizatora redom. Pri tome treba ostvariti da prisvakom od pojedinacnih merenja Stoksov vektor bude isti.

Prilikom i−tog merenja izlaz dobija vrednost Pi = AiS. Od vektora Ai pojedinacnihanalizatora formira se matrica W dimenzije n× 4 pri cemu je svaka vrsta matrice ustvarisam vektor Ai odredenog analizatora.

Gore pomenuta matrica W ima sledeci oblik:

W =

a00 a01 a02 a03

a10 a11 a12 a13...

......

...an−1,0 an−1,1 an−1,2 an−1,3

(27)


Fluksevi izmereni u toku merenja cine poseban vektor izlaza P = [P0 P1 · · · Pn−1]T .

Izlazni vektor P i Stoksov vektor S povezani su sledecom matricnom jednacinom:

P =

P0

P1...

Pn−1

= W · S =

a00 a01 a02 a03

a10 a11 a12 a13...

......

...an−1,0 an−1,1 an−1,2 an−1,3

s0

s1

s2

s3

(28)

Pri cemu je matrica W unapred precizno odredena. Zapravo sama kalibracija polarimetrase vrsi s ciljem da se odredi matrica W. Medutim, sistematske greske su u ne tako malomslucaju uzrocnici razlike izmedu prave i kalibrisane matrice W.

Na osnovu vec postojece matricne jednacine u prethodnom tekstu navedene, dobijase izraz za izmereni Stoksov vektor Sm (da bi se razlikovao od stvarnog S) koji se racunapo formuli:

Sm = W−1P (29)

Medutim, prilikom racunanja izlaznog Stoksovog vektora Sm treba obratiti paznju nanekoliko stvari koje su uglavnom vezane za izracunavanje inverzne matrice W−1.

Prethodni obrazac vazi u slucaju kada je n = 4 (broj upotrebljenih analizatora) i kadaje matrica W regularna (ne smeju postojati linerno zavisne vrste unutar matrice).

U ostalim slucajevima kada je n 6= 4 primenjuje se sledeci obrazac za racunanjeizlaznog Stoksovog vektora:

Sm =(WTW

)−1WTP = W−1

P P (30)

gde su WT i W−1P redom transponovana matrica od matrice W i ”pseudoinverzna”matrica

dobijena izrazom W−1P =

(WTW

)−1WT .

5.2 Odredivanje elemenata Milerove matrice

U ovom delu bice vise reci o izracunavanju elemenata Milerove matrice koja opisujepolarizacione karakteristike sredine kroz koju se svetlosni zrak prostire.

Na slici ispod je prikazan blok dijagram polarimetra koji se koristi za odredivanjepolarizacionih karakteristika neke sredine tj. Milerove matrice.

fotodetektor

polarizator analizatoraktivnasredina

izvor

Slika 5.1. Blok dijagram polarimetra za odredivanje karakteristika aktivne sredine

Kao sto se vidi na slici sastavni delovi polarimetra su: izvor svetlosti, polarizator, sre-dina(uzorak), analizator i detektor zracenja.

Cilj ovog postupka je da se odrede elementi Milerove matrice M kroz niz polarimetrij-skih merenja. U toku merenja polarizator generise niz od n polarizacionih stanja kojimaodgovara Stoksov vektor Si, i = 1 . . . n, respektivno. Zrak zatim prolazi kroz uzorak pana njegovom izlazu Stoksov vektor uzima vrednost MSi. Kada izade iz uzorka zrak pro-lazi kroz i−ti analizator pa je fluks koji pada ne detektor Pi = AT

i MSi. Svaki izmerenifluks predstavlja linearnu funkciju elemenata Milerove matrice.


Na ovaj nacin smo dobili sistem od n linearnih jednacina iz kojih mozemo resavanjemodrediti elemente Milerove matrice.

U daljem tekstu bice navedeno nekoliko primera za izracunavanje elemenata Milerovematrice. Prvo cemo razmotiti merenje gde je na mestima polarizatora i analizatora upo-trebljen linearni horizontalni polarizator. Izmereni fluks u tom slucaju zavisi od elemenatam00,m01,m10,m11 Milerove matrice, na sledeci nacin:

P = ATMS =1

2

[1 1 0 0

]

m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

1

2

1100

=

=m00 + m01 + m10 + m11

4(31)

Dalje, razmotricemo postupak odredivanja elemenata m00,m01,m10,m11 Milerove matriceizvodeci cetiri merenja sa horizontalnim(H) i vertikalnim(V) linearnim polarizatorima namestima polarizatora i analizatora.

U ova cetiri merenja izmereni su fluksevi P0, P1, P2, P3 za sledece cetiri kombinacije(polarizator/analizator): (H/H),(V/H),(H/V),(V/V). Sva cetiri izmerena fluksa data susledecim izrazima:

P0 =m00 + m01 + m10 + m11

4; P1 =

m00 + m01 −m10 −m11

4(32)

P2 =m00 −m01 + m10 −m11

4; P3 =

m00 −m01 −m10 + m11

4(33)

Na osnovu dobijenih izraza za fluks njihovim resavanjem dobijamo elemente m00, m01,m10, m11 Milerove matrice u sledecoj formi:

m00

m01

m10

m11

=

P0 + P1 + P2 + P3

P0 + P1 − P2 − P3

P0 − P1 + P2 − P3

P0 − P1 − P2 + P3

(34)

Ostali elementi Milerove matrice dobijaju se razlicitim kombinacijama elemenata na me-stima polarizatora i analizatora. Npr. ako budemo koristili levo i desno kruzno polarisanepolarizatore i analizatore polarisane pod uglovima od 45◦ i 135◦ dobicemo elemente m00,m02, m30, m32 Milerove matrice.

U praksi, problem odredivanja elemenata Milerove matrice je znatno slozeniji zbogcinjenice da sama merenja nisu toliko jednostavna jer upotrebljeni elementi nemaju ide-alne karakteristike.

U narednom tekstu bice reci o resavanju ovog problema baziranjem na podacimadobijenim kalibracijom polarizatora i analizatora.

5.3 Odredivanje elemenata Milerove matrice metodomkalibracije

U ovom delu bice reci o odredivanju elemenata Milerove matrice metodom preciznekalibracije realno neidealnih polarizacionih elemenata. Tokom merenja se formira sistemlinearnih jednacina cijim se resavanjem dobijaju elementi Milerove matrice.Dati metodmoze koristiti teorijski ili eksperimentalno odredene karakteristike Stoksovog vektora za


polarizator i analizator.Pri tom je ovaj metod jos dobar zbog smanjenog uticaja siste-matskih gresaka na merenje.

Vrsi se ukupno n merenja koja su redom oznacena indeksom i = 1 . . . n− 1. Za i−tomerenje polarizator generise zrak ciji je Stoksov vektor Si. Zrak koji izade iz uzorkaanalizira se koriscenjem polarizacionog analizatora ciji je vektor Ai. Izmerena izlaznairadijansa je povezana s Milerovom matricom sledecim izrazom:

Pi = ATi MSi =

[ai,0 ai,1 ai,2 ai,3

]

m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

si,0

si,1

si,2

si,3

=

=3∑

j=0

3∑

k=0

ai,jmj,ksi,k (35)

Ova jednacina se moze sada napisati u obliku skalarnog proizvoda dva matricna vektora.Najpre je od Milerove matrice formiran Milerov vektor dimenzije 16× 1 na sledeci nacin:

~M =[

m00 m01 m02 m03 m10 · · · m33

]T(36)

Kao i polarimetrijski vektor Wi koji sadrzi parametre i−tog merenja:

Wi =[

wi,00 wi,01 wi,02 wi,03 wi,10 · · · wi,33

]T=

=[

ai,0si,0 ai,0si,1 ai,0si,2 ai,0si,3 ai,1si,0 · · · ai,3si,3

]T(37)

Na osnovu ovako formirana dva matricna vektora dobija se izraz za izlaznu iradijansui−tog merenja:

Pi = WTi

~M =[

ai,0si,0 ai,0si,1 ai,0si,2 ai,0si,3 ai,1si,0 · · · ai,3si,3

]

m00

m01

m02

m03

m10...

m33

(38)

Posle obavljenog celokupnog merenja formira se polarimetrijska matrica W dimenzijan× 16 ciju i−tu vrstu predstavlja matricni vektor Wi. Posle formiranja polarimetrijskematrice W formira se i matricna jednacina koja povezuje matricne vektore P i M kao imatricu W sledecom formom:

P =

P0

P1...

Pn−1

= W · ~M =

w0,00 w0,01 · · · w0,33

w1,00 w1,01 · · · w1,33...

.... . .

...wn−1,00 wn−1,01 · · · wn−1,33

m00

m01...

m33

(39)

Ako matrica W sadrzi 16 linearno nezavisnih kolona tada je moguce odrediti svih 16elemenata Milerove matrice.

U slucaju kada su izvrseno n = 16 merenja tada je matrica W kvadratna i Milerovvektor se tada racuna pomocu obrasca:

~M = W−1P (40)


Sve ovo ima smisla ako je matrica W regularna tj. ako postoji njena inverzna matrica.U cescem broju slucajeva je n > 16, pa se tada za racunanje Milerovog vektora koristi

obrazac koji sadrzi tzv. ”pseudoinverznu” matricu W−1P :

~M =(WTW

)−1WTP = W−1

P P (41)

Ovakav nacin odredivanja elemenata Milerove matrice ima veliki broj prednosti, u odnosuna ostale,medu kojima su:

1. Niz upotrebljenih polarizacionih elemenata (polarizatori i analizatori) ne morajuimati unapred zadatu formu tj.mogu se birati proizvoljno. Npr.elemente tokommerenja nije potrebno rotirati osim ako se to metod ne nalaze.

2. Ne zahteva se da polarizacioni elementi poseduju idealne karakteristike ili neke po-sebne osobine. Npr.ako je Stoksov vektor odreden metodom kalibracije polarizaci-onog elementa, efekat neidealnog elementa bice korigovan kroz metod oderedivanjaMilerove matrice (metod nije osetljiv na neidealnosti upotrebljenih elemenata).

3. Ovakav metod lako tretira slucaj predimenzionisanog sistema (kada je broj merenjaveci od 16) koristeci tada odredivanje Milerovog vektora koristeci ”pseudoinverznu”matricu.

6 POLARIMETRI 19

6 Polarimetri

Tip polarizacije optickog signala moze biti odreden merenjem opticke snage koja pro-lazi kroz specijalne polarizacione filtere. Merenje zahteva deljenje svetlosnog talasa naodbirke u prostornom ili u vremenskom domenu. Na osnovu prethodno recenog, polari-metre mozemo podeliti u dve grupe:

• Polarimetri sa prostornom podelom svetlosnog zraka,

• Polarimetri sa vremenskom podelom svetlosnog zraka:

– Polarimetri sa rotirajucim retarderima,

– Polarimetri sa rotirajucim polarizatorima.

U ovom poglavlju bice vise reci o polarimetrima sa vremenskom podelom svetlosnog zrakatj. o dve gore navedene vrste polarimetra (sa rotirajucim retarderima ili polarizatorima).

Zajednicko za sve polarimetre je da zahtevaju kalibracioni proces kako bi se prevazisliefekti kakvi su gubici usled razlike u optickim putanjama, razlicite osetljivosti fotodi-oda, nesavrsenosti optickih retardera i dr. Ovi uredaji su najcesce dodatno snabdeveniopremom za merenje retardanse, raznih gubitaka i sl, a zovu se polarizacioni analizatori.

6.1 Polarimetri sa prostornom podelom svetlosnog zraka

U slucaju polarimetra sa prostornom podelom snop se deli na cetiri manja snopa kojise dalje prostiru paralelno jedan drugom. Jedan od zrakova je po polarizaciji identicanpolaznom, dok ostala tri prolaze kroz tri razlicita polarizatora. Na osnovu slike se mozeuociti da su polarizatori tako odabrani da se moze odrediti koji je od tipova polarizacijepo Stoksovoj notaciji u pitanju.

fotodetektor

deliteljsnopa

fotodetektor

fotodetektor

fotodetektor

polarizator (0 )o

polarizator (45 )o

polarizator (45 )o

l/4 - retarder

Slika 6.1. Blok dijagram polarimetra sa prostornom podelom svetlosnog zraka

6.2 Polarimetri sa vremenskom podelom svetlosnog zraka

U polarimetru sa vremenskom podelom signal prolazi kroz rotirajucu λ/4−plocicu ipolarizator. Registrovanje komponenti s0,s1,s2 i s3 se ostvaruje sekvencijalno, postepenimokretanjem (rucno ili pomocu motora) plocice i/ili polarizatora. Za rucna merenja vre-menska metoda moze biti sasvim dovoljna, ali za brza merenja je potrebna motorizacija

6 POLARIMETRI 20

i kompjuterska kontrola pa je neophodno koristiti polarimetre sa prostornom podelomsnopa.

fotodetektor

polarizatorl/4 pločica

(retarder)

q1 q2

brzaosa

sporaosa transmisiona

osa

Slika 6.2. Polarimetar na bazi vremenskog deljenja svetlosnog zraka

6.2.1 Polarimetar sa rotirajucim retarderima

Polarimetar sa rotirajucim retarderima je jedan od najjednostavnijih polarimetaraza odredivanje elemenata Milerove matrice. Princip rada ovog polarimetra je sledeci:svetlost iz izvora prvo prolazi kroz fiksiran linearni polarizatror pa zatim kroz linearniretarder koji moze da rotira. Po izlasku iz retardera svetlost prolazi kroz uzorak i zatimpada na drugi rotirajuci retarder. Po izlasku iz njega pada na fiksirani analizator a zatimna detektor. Polarizatori su postavljeni paralelno,dok se retarderi rotiraju za razliciteuglove tj.drugi retarder rotira za 5 puta veci ugao od prvog. Ovaj odnos pri rotaciji re-tardera omogucuje pretvaranje svih 16 elemenata Milerove matrice u slozen izlazni signalsa spektrom od 12 razlicitih frekvencija. Na ovaj signal se zatim primenjuje Furijeovaanaliza, a elementi Milerove matrice se dobijaju iz Furijeovih koeficijenata.

Diatenuacija analizirajuce optike i polarizaciona osetljivost detektora nemaju uticajne merenje.

x

y

z

polarizator

polarizator

aktivna sredina

q1

q2

fotodetektor

svetlosniizvor

retarder

retarder

transmisionaosa

spora osa

brza osa

Slika 6.3. Polarimetar sa rotirajucim retarderima

Uglovi za koje se rotiraju retarderi su

θ1 =i · 180◦

n; θ2 =

5i · 180◦

n(42)

gde je n ukupan broj izvedenih merenja, a i = 0 . . . n− 1.Princip merenja je slican kao kod polarimetra s rotirajucim polarizatorima s tom

razlikom sto ovde broj merenja nije fiksan (kod polarimetra sa rotirajucim polarizatorima

6 POLARIMETRI 21

broj merenja je 16).Zapravo ovde se mere izlazne iradijanse koje odreduje detektor i one se smestaju u

poseban vektor P. Polarimetrijska (pseudoinverzna matrica) se odreduje kalibracionimmerenjima na osnovu poznatih karakteristika elemenata i njihovih polozaja.

Konacno, Milerov vektor koji sadrzi svih 16 elemenata Milerove matrice se dobijaizrazom:

~M = W−1P P (43)

6.2.2 Polarimetar sa rotirajucim polarizatorima

U ovom delu bice reci o polarimetru sa rotirajucim polarizatorima koji predstavljakonfiguraciju koja je u stanju da izmeri devet elemenata Milerove matrice.

Sema ovog polarimetra data je na slici ispod dok je njegov princip rada sledeci. Sve-tlost iz izvora prolazi kroz linarni polarizator cija je orijentacija θ1 podesiva, zatim line-arno polarizovana svetlost prolazi kroz sredinu (uzorak) da bi prosavsi kroz drugi linearnipolarizator (analizator) podesive orijentacije θ2 konacno pala na detektor.

x

y

z

polarizator

polarizator

horizontalna osa

aktivna sredina

transmisiona osa

transmisiona osa

q1

q2

fotodetektor

svetlosniizvor

Slika 6.4. Polarimetar sa rotirajucim polarizatorima

Ovaj polarimetar je nepotpun jer ne moze da odredi sve vrednosti elemenata Milerovematrice. Konkretno na ovaj nacin se ne mogu odrediti elementi poslednje kolone Milerovematrice za koje je potrebno da upadna svetlost bude elipticki polarizovana, kao i elementiposlednje vrste matrice za koje je potrebno koristiti elipticki analizator.

Redukovana polarimetrijska matrica koja sluzi za odredivanje elemenata Milerove ma-trice dobija se nizom od 16 nezavisnih merenja. Pri merenju su uzeti u obzir neki defektipolarizacionih elemenata kao sto su neidelna diatenuacija i postojanje nezeljenih polari-zacionih komponenti zraka kao posledica prvog nedostatka. Elementi su okarakterisanimaksimalnom Tmax i minimalnom Tmin vrednoscu transmitanse. Na osnovu svega togadobijeni su koeficijenti redukovane polarimetrijske matrice:

a =1

16 (Tmax + Tmin)2 ; b =

1

8 (T 2max − T 2

min); c =

1

4 (Tmax − Tmin)2 (44)

Fluksevi izlaznog snopa koji pada na detektor mereni su za 16 razlicitih polozaja polari-zator/analizator. Ti polozaji su odredeni podesavanjem odgovarajucih uglova elemenata

• Polarizator:

θ1 = (0◦, 0◦, 0◦, 0◦, 45◦, 45◦, 45◦, 45◦, 90◦, 90◦, 90◦, 90◦, 135◦, 135◦, 135◦, 135◦) (45)

6 POLARIMETRI 22

• Analizator:

θ2 = (0◦, 45◦, 90◦, 135◦, 0◦, 45◦, 90◦, 135◦, 0◦, 45◦, 90◦, 135◦, 0◦, 45◦, 90◦, 135◦) (46)

Na ovaj nacin je izmereno 16 flukseva (iradijansi) pri svakom razlicitom merenju i oni susmesteni u vektor P:

P =[

P0 P1 · · · P15

]T(47)

Redukovana polarimetrijska matrica W−1P ima dimenzije 9× 16 i ima sledeci oblik:

W−1P =

a a a a a a a a a a a a a a a ab b b b 0 0 0 0 −b −b −b −b 0 0 0 00 0 0 0 b b b b 0 0 0 0 −b −b −b −bb 0 −b 0 b 0 −b 0 b 0 −b 0 b 0 −b 0c 0 −c 0 0 0 0 0 −c 0 c 0 0 0 0 00 0 0 0 c 0 −c 0 0 0 0 0 −c 0 c 00 b 0 −b 0 b 0 −b 0 b 0 −b 0 b 0 −b0 c 0 −c 0 0 0 0 0 −c 0 c 0 0 0 00 0 0 0 0 c 0 −c 0 0 0 0 0 −c 0 c

(48)

Izalazni Milerov vektor koji sadrzi 9 elemenata Milerove matrice ima oblik:

~M =[

m00 m01 m02 m10 m11 m12 m20 m21 m22

]T(49)

i dobija se vec poznatim obrascem:

~M = W−1P P (50)

Prilikom merenja korisceni su izvor nepolarizovane svetlosti kao i polarizaciono neosetljivdetektor.

6.3 Karakteristike polarizacionih elemenata

6.3.1 Bitne osobine polarizacionih elementa

Za razliku od karakteristika idealnih elemenata koji su uglavnom cesce spominjani uprethodnim razmatranjima, opisivanje karakteristika realnih elemenata je znatno sloze-nije. Polararizacioni elementi medu kojima su: polarizatori, retarderi, depolarizatori iostali, karakterisu se sa tri najvaznije osobine. Te osobine su redom koeficijent diatenua-cije, retardardansa i koeficijent depolarizacije.

Koeficijent diatenuacije D definise se u odnosu na maksimalnu Tmax i minimalnu Tmin

transmitansu sledecom formulom:

D =Tmax − Tmin

Tmax + Tmin

(51)

U slucaju kada je D = 1 rec je o idealnom polarizatoru (Tmin = 0), a kada je D = 0tada je rec o polarizatoru koji ima istu transmitansu bez obzira na prirodu polarizovanesvetlosti.

Kvalitet nekog polarizatora se neretko izrazava i kao odnos maksimalnog i minimalnogkoeficijenta transmisije na sledeci nacin:

E =Tmax

Tmin

=1 + D

1−D(52)

6 POLARIMETRI 23

Sledeci koficijent karakteristican za polarizacione elemente je retardansa. Ona predstavljafaznu razliku koja se uocava pri prolasku polarizovane svetlosti kroz element a koja se ob-jasnjava razlicitim uslovima za prostiranje pojedinih polarizacionih komponenti svetlosti.

U slucaju birefrigentnog retardera indeksa prelamanja n1 i n2 , debljine t retardansaje izraz oblika:

δ =2π

λ(n1 − n2) t (53)

Retardansa se meri u radijanima.Jos jedan parametar je znacajan za polarizacione elemente a to je koeficijent depola-

rizacije e. On predstavlja ukupan udeo nepolarizovane svetlosti u transmitovanom zrakuza slucaj kada je upadni zrak potpuno polarizovan. Depolarizacija se veoma cesto javljau multimodnim optickim vlaknima zbog razlicitih uzroka medu kojima je i rasejanje.

6.3.2 Odredivanje parametara polarizacije koriscenjem Milerove matrice

Odredivanjem elemenata Milerove matrice jednim od prethodno navedenih metodamogu se izracunati mnogi bitni parametri vezani za polarizaciju, sto ce biti navedenodalje u poglavlju.

Transmitansa T za zadatu Milerovu matricu M i Stoksov vektor ulaznog stanja pola-rizacije S definisana je kao odnos izlaznog fluksa s′0 i upadnog fluksa s0 sledecim izrazom:

T (MS) =s′0s0

=m00s0 + m01s1 + m02s2 + m03s3

s0

(54)

Sledecim izrazima su date maksimalna i minimalna vrednost transmitanse dobijene kori-scenjem prethodnog izraza,

Tmax = m00 +√

m201 + m2

02 + m203 ; Tmin = m00 −

√m2

01 + m202 + m2

03 (55)

Stoksovi vektori koji odgovaraju maksimalnoj i minimalnoj vrednosti transmitanse suuvek ortogonalni (skalarni proizvod im je 0) i dati su u obliku sledecih vektora:

Smax =

√m2

01 + m202 + m2

03

m01

m02

m03

; Smin =

√m2

01 + m202 + m2

03

−m01

−m02

−m03

(56)

Jos jedan znacajan parametar za polarizaciju je diatenuacija koja je povezana sa atenua-cijom dva ortogonalna stanja. Diatenuacija se meri kao varijacija transmitanse upadnogzraka,

D(M) =Tmax − Tmin

Tmax + Tmin

=

√m2

01 + m202 + m2

03

m00

(57)

Kada je D = 1 radi se o idealnom elementu. Takav element propusta jednu od dveortogonalne komponente upadnog zraka (druga biva u potpunosti zaustavljena). Za slucajD = 0 transmitansa je podjednaka za obe normalne komponente upadnog zraka.

Kada je upadni zrak linearno polarizovan definise se novi parametar koji se nazivalinearna diatenuacija ili linearna polarizaciona osetljivost,

LD(M) =Tmax − Tmin

Tmax + Tmin

=

√m2

01 + m202

m00

(58)

6 POLARIMETRI 24

Neretko se izraz za diatenuaciju u oblastima optickih komunikacija izrazava u logaritam-skom obliku sledecom formulom:

PDL(M) = 10 log10

Tmax

Tmin

(59)

Na samom kraju definisimo jos jednu velicinu koja je definisana za potpuno nepolarizo-vanu upadnu svetlost. Ova velicina predstavlja stepen polarizacije transmitovanog zrakaza slucaj potpuno nepolarizovanog upadnog zraka,

P (M) =

√m2

10 + m220 + m2

30

m00

(60)

Stoksov vektor transmitovanog zraka pri gore navedenim uslovima predstavlja prvu ko-lonu Milerove matrice i formiran je kao sledeci vektor:

SP =[

m00 m10 m20 m30

]T(61)

7 RETARDANSA I NJENO MERENJE 25

7 Retardansa i njeno merenje

7.1 Osnovni pojmovi

Vecina optickih materijala pokazuju izvestan stepen asimetrije kada je indeks prela-manja u pitanju. Kod polarizacije to znaci da ce se njeni modovi prostirati razlicitimbrzinama kroz materijal. Ovakva pojava se naziva dvojnim prelamanjem. Stanja na kojase ”razlaze” incidentna svetlost odredena su internom strukturom materijala. Za pojedinestrukture kakav je kvarcni kristal ova stanja se odrzavaju tokom prostiranja kroz napravui predstavljaju sopstvene modove. Dvojno prelamanje moze biti linearno (kvarc) ili kru-zno. Vecina razmatranja su bazirana na linearnom slucaju.

Retardansa je mera diferencijalnog faznog pomeraja svetlosti u sopstvenim modovimakoja na taj nacin upucuje na brze i spore talase. Primer je retarderska plocica, uredajnapravljen da obezbedi predvidenu kolicinu faznog pomeraja. Polarizovana svetlost kojapada na tipican retarder razlaze se na linearne brze i spore talase. Izlazna polarizacija jerazlicita od ulazne, sto zavisi od veze ulazne polarizacije i odgovarajucih sopstvenih mo-dova plocice. Retardansa se tipicno izrazava u stepenima faznog pomeraja na odredenojtalasnoj duzini.

7.1.1 Polarizacioni kontroleri

Polarizacioni kontroleri imaju siroku primenu u fiberoptickim laboratorijama, a retar-deri su jedan od njegovih bitnih elemenata.

obrtnipolarizator

ulazno i izlaznosočivo

obrtni

retarderl/4

obrtni

retarderl/2

optičkovlakno

optičkovlakno

Slika 7.1. Kontroler polarizacije na bazi polarizatora i talasne plocice

Kada je linearni ulazni polarizator poravnat bilo sa sporom bilo sa brzom osom λ/4−skeplocice, signal na izlazu ce biti neizmenjen. Medutim, kada je linearno polarizovana ula-zna svetlost orjentisana izmedu ove dve ose, bice razbijena na brzi i spori polarizacionimod. Dva talasa ce biti fazno pomereni za 90◦ i formirace kruzno polarizovani talas na iz-lazu. Za sve druge ulazne orjentacije, λ/4−ska plocica transformise polarizaciju na ulazuu elipticnu na izlazu. λ/2− ska plocica sluzi kao dodatna kontrola polarizacije. Koordi-nisanim rotacijama ovih plocica se moze generisati proizvoljno polarizaciono stanje. Iakosu retarderi tipicno implementirani u formi diskretnih optickih elemenata tzv. talasnihplocica, mogu biti realizovani i pomocu kratkih umetaka od fibera ciji materijal pokazujeosobine dvojnog prelamanja, kao i od kalemova od monomodnih vlakana.


pokretne l/4-ske fiber petlje

Slika 7.2. Podesavanje polarizacije fiber petljama

Savijanje proizvodi asimetricno pojacanje(naprezanje) polja sto dovodi do pojave razlikeu indeksu prelamanja izmedu napregnute i nenapregnute ose. Sama retardansa rastesa brojem namotaja. Rotacija kalemova menja nacin na koji se ulazno elektricno poljedekomponuje na brzu i sporu osu kalema uticuci tako na transformaciju polarizacije. Nataj nacin se mogu konstruisati ekvivalenti λ/4-ske i λ/2-ske plocice i njihovih kombinacija.

7.2 Merenje retardanse

Dve metode koje ce ovde biti opisane ne karakterise bas najbolja pouzdanost, aliposto pruzaju odlican uvid u tehniku merenja i koncept dvojnog prelamanja uopste, spa-daju medu najpogodnije. U obe se koristi polarimetar ili analizator polarizacije. Metodazasnovana na merenju Dzonsove matrice je narocito korisna jer je brza i laka za automa-tizaciju.

obrtnipolarizator

optičkovlakno

optičkovlakno

izvor

retarderbrza osa

spora osa

ulazna sočiva izlazna sočiva

ka polarizacionomanalizatoru

Slika 7.3. Postavka eksperimenta za merenje retardanse na bazi Poankareove sfere iDzonsove matrice

Seme koriscenih aparatura su prikazane na slici. Retarder koji je koriscen pri testiranjuje kvarcna plocica.

7.2.1 Merenje retardanse pomocu Poankareove sfere

Ovom metodom se retardansa odreduje na osnovu povrsine koja se opisuje na Po-ankareovoj sferi kada se retarder koji se testira okrece u linearno polarizovanom snopu.Referentni polozaj nije neophodan, ali moze znatno pojednostaviti interpretaciju grafic-kih rezultata. Kada je referentni nivo aktiviran rotacija polarizatora do 0◦ horizontalnepolarizacije treba na ekranu da izazove pozicioniranje u tacku (1, 0, 0) na sferi. Isto takorotiranjem polarizatora za 180◦ bi na sferi trebalo da bude opisan ekvator itd. Obicnose tada instrument postavlja tako da predstavlja linearni polarizator. Nakon aktiviranjai merenja iza polarizatora se postavlja retarder. On se okrece oko sopstvene opticke ose


dok displej sa Poankareovom sferom ponovo ne pokaze (horizontalnu) linearno polarizo-vanu svetlost. Tada je, u stvari, pobudna polarizacija spregnuta sa jednim od sopstvenihmodova tj. vektor elektricnog polja je idealno poravnat sa jednom od osa kristala i ”vidi”samo jedan indeks prelamanja (onaj koji korespondira toj osi), pa ne dolazi do trans-formacije polarizacije. Odgovarajuce polarizaciono stanje se zabelezi na sferi. Zatim seretarder rotira +45◦ kako bi se ulazno stanje dekomponovalo podjednako na dva sop-stvena moda. U ovom slucaju dolazi do stvaranja najveceg polarizacionog pomeraja.Odgovarajuce stanje se ponovo zabelezi na sferi. Ugao izmedu vektora ciji su poceci ucentru sfere, a krajevi u oznacenim tackama

A

B

q

Slika 7.4. Merenje retardanse θ za plocicu koja je po osobinama slicna λ/4−skoj.Koriscen je polarimetar na bazi displeja koji ima mogucnost prikazivanja Poankareove

sfere.

predstavlja retardansu plocice. Na slici je dat primer plocice ”manje” od λ/4−ske (ugaoθ je manji od 90◦). Ukoliko retarder proizvodi linearno dvojno prelamanje, merenje mozebiti izvedeno i bez referentnog polozaja.

7.2.2 Merenje retardanse pomocu Dzonsove matrice

Aparatura je ista kao u prethodnom slucaju, a takode se podrazumeva koriscenjepolarizacionog analizatora. Osim toga, nakon postavljanja u referentni polozaj polarizatorse vraca na horizontalnu linearnu orijentaciju i iza njega se postavlja retarder. Retarderse zatim rotira oko sopstvene opticke ose sve dok svetlost koja napusta retarder ne budelinearno polarizovana. Tip polarizovane svetlosti koja napusta retarder se meri za triorijentacije polarizatora:

0◦ − (LHP )

+45◦ − (LHP + 45◦)

+90◦ − (LV P )

Dzonsova matrica se, kao sto smo ranije videli, moze odrediti iz ova tri merenja. Zaλ/4−plocicu sa ”brzom” osom u horizontalnom pravcu ona ima oblik

J (λ/4) =

[eiπ/4 0

0 e−iπ/4

](62)

pa je retardansa δ = π/4− (−π/4) = π/2.

8 PRESLUSAVANJE U VLAKNIMA SA STABILNOM POLARIZACIJOM 28

8 Preslusavanje u vlaknima sa stabilnom polarizaci-

jom

8.1 Osnovni pojmovi

Termin stabilna polarizacija (PM-polarization maintaining) se odnosi na klasu mo-nomodnih vlakana sa jako izrazenim dvojnim prelamanjem. Ovakvo vlakno se tipicnokoristi da vodi linearno polarizovanu svetlost od tacke do tacke, npr. izmedu laserskediode i modulatora u ultrabrzim telekomunikacionim sistemima. Takode postoji primenai u optickim senzorima i komunikacijama. Samo dvojno prelamanje moze biti ostvarenonaprezanjem kada se jezgro stavi izmedu ili unutar staklenih elemenata razlicitog fizickogsastava. Drugi nacin je promena geometrije samog jezgra. U svim slucajevima rezultatje razlika u indeksu prelamanja izmedu ortogonalnih osa.

panda leptir mašna ovalno jezgro „eliptično“naprezanje

Slika 8.1. Primeri vlakana sa stabilnom polarizacijom. Fizicka asimetrija indukuje damedusobno ortogonalne ose imaju razlicite indekse prelamanja

Svetlost ubacena u PM vlakno biva razlozena na dva ortogonalna, linearno polarizovanamoda. U vecini aplikacija linearno polarizovana svetlost je poravnata sa jednom od osa,najcecce sporom.

Kada je jednom elektricno polje svetlosti potpuno poravnato sa sporom ili brzomosom, PM vlakno ce zadrzati ovu polarizaciju.

Zbog razlike u indeksu prelamanja izmedu brze i spore ose, elektricno polje u ova dvapravca je fazno pomereno jedno u odnosu na drugo i proporcionalno predenom rastojanju.Zato, ako postoje komponente elektricnog polja duz obe ose, polarizacija se menja tokompropagacije i moze napustiti vlakno u nekom od proizvoljnih stanja.

optičko vlakno

brza osa brza osa

spora osa

spora osa

idealnosprezanje

vanosnosprezanje

stabilnapolarizacija

nestabilnapolarizacija

Slika 8.2. PM vlakno zadrzava polarizaciju samo ako je ona pri sprezanju poravnata sabrzom ili sporom osom


Postoji nekoliko zahteva pri vodenju linearno polarizovane svetlosti kroz PM vlakno.Svetlost mora biti visoko linearno polarizovana pre sprezanja sa jezgrom, a dvojno pre-lamanje u socivima i optickim konektorima minimizivano. Svetlost moze biti rasejanaizmedu osnovnih osa zbog nesavrsenosti i strukturnih necistoca, kao i zbog spajanja visefibera, narocito na razdvojnoj povrsini.

8.2 Merenje preslusavanja pomocu polarizatora

Aparatura za merenje preslusavanja ovom metodom prikazana je na slici. Da bi seizbegli efekti interferencije koriscen je opticki izvor sirokog spektra.

širokopojasnioptički izvor

instrument zamerenje

optičke snage

obrtnipolarizator

obrtnipolarizator

ulazno i izlaznosočivo

PM

optičko vlakno

Slika 8.3. Aparatura za merenje preslusavanja u PM optickim vlaknima metodomukrstenih polarizatora

Vreme koherencije izvora bi moralo da bude dosta krace od diferencijalnog vremena pro-pagacije duz brze i spore ose test vlakna. Nepolarizovani izvor ima kao prednost sprezanjesa ulazom test-fibera koje je nezavisno od rotacije ulaznog polarizatora. Izlaz test-fiberase vodi na instrument za merenje snage preko izlaznog rotirajuceg polarizatora. Obapolarizatora se prvo tako podesavaju da minimizuju detektovani signal. Tada je ulaznipolarizator poravnat sa jednom, a izlazni sa drugom osnovnom osom. Izlazna snaga Pmin

tada odgovara kolicini svetlosti koja se prostire u nezeljenom pravcu, duz ”pogresne” osevlakna.

Zatim se izlazni polarizator okrene za 90◦. Izmerena snaga Pmax sada odgovara kolicinisvetlosti koja se prostire u zeljenom pravcu. Na osnovu ove dve velicine se moze odreditinivo preslusavanja:

preslusavanje polarizacije = 10 log10

Pmin

Pmax

(63)

Na rezultate merenja mogu bitno uticati nestabilnost izvora i varijacije usled sprezanjasignala sa polarizatorima. Zbog toga polarizatori moraju biti dovoljno jaki da slabljenjepri uklanjanju vlakna bude najmanje 10dB vece od preslusavanja koje se meri. Ta jacinase izrazava pomocu koeficijenta ER(extinction ratio):

(ER)polarizacije = 10 log10

Pblock axis

Ppass axis

(64)

gde brojilac i imenilac predstavljaju opticku snagu svetlosti u pravcu blokirajuce i dozvo-ljene ose. Na taj nacin, za merenje preslusavanja od −30dB neophodno je da polarizatoribudu jacine najmanje −40dB.


8.3 Merenje preslusavanja pomocu polarimetra

Kao sto je ranije naznaceno, PM vlakna zadrzavaju linearnu polarizaciju samo akoje elektricno polje poravnato sa jednom od osnovnih osa. Ako polje ima komponente duzobe ose, polarizacija se sa promenom rastojanja menja. Iz istih fizickih razloga izlaznapolarizacija vlakna se menja i kada se menja talasna duzina izvora uskog opsega. NaPoankareovoj sferi se ove promene polarizacije manifestuju opisivanjem kruznih lukova.Preslusavanje polarizacije moze biti izracunato na osnovu dijametara ovih kruznica.

Merenje preslusavanja polarizacije na bazi polarimetra je primer relativnog merenja.Informacija o preslusavanju se dobija iz dijametra kruznice, a specificna pozicija kruznicena sferi nije od znacaja. PM vlakno koje se testira moze cak biti povezano sa polarime-trom preko drugih sekcija vlakana. Opticki izvor mora biti visoko polarizovan tj. moraprevazici mereno preslusavanje najmanje 10dB. Stavise, spektar izvora mora biti do-voljno uzan kako bi vreme koherencije izvora bilo znatno vece od vremenske razlike kojase javlja izmedu brze i spore ose prilikom propagacije kroz vlakno. Ovim se obezbedujeda svetlost koja se prostire duz ortogonalnih osa moze interferirati na izlazu.

Pomenuto diferencijalno vreme moze biti izracunato na osnovu duzine izbijanja. Du-zina izbijanja od 2nm znaci da brzi i spori mod trpe fazni pomak od 360◦ na svakih2nm duzine vlakna. Na 1550nm ovoj duzini odgovara kasnjenje od 0.005ps, tako da bisegment od 2m vlakna trebalo da ima diferencijalno grupno kasnjenje od oko 5ps. Akopretpostavimo da je spektar Gausovog oblika, vreme koherencije izvora se moze odreditiiz

tC =λ2

c ·∆λ(65)

gde je λ centralna talasna duzina optickog izvora, a ∆λ njegova spektralna sirina. Pri-mera radi, na 1550nm opticki izvor sa 0.1nm spektralne sirine ima vreme koherencije od80ps sto je dovoljno dugo za koriscenje u testiranju PM vlakna duzine 2m. Spektralnasirina nefiltriranih LED izvora je generalno suvise siroka za koriscenje u ovoj metodi.

U metodi je koriscena cinjenica da naprezanje ili grejanje fibera sa stabilnom polari-zacijom menja njegovu duzinu, a samim tim i faznu razliku izmedu brzog i sporog modavlakna. Promena faze, s druge strane, uvek opisuje krug na Poankareovoj sferi. Na osnovuprecnika tog kruga mozemo izracunati preslusavanje. Da bismo jasnije videli zasto je totacno posmatracemo dva preseka Poankareove sfere.

A

r

1

(a)

Ar

1

(b)

B

rq

Slika 8.4. Odredivanje polarizacionog preslusavanja pracenjem putanje podataka(a) frontalni pogled na Poankareovu sferu, (b) poprecni presek Poankareove sfere

Tacke A i B odgovaraju ortogonalnim modovima (brzom i sporom) PM vlakna. Kruznaputanja poluprecnika r je prikazana u poprecnom preseku (bocnom) kao linija duzine 2r.Ugao izmedu AB ose i zraka do tacke na kruznoj putanji iznosi θ.

Kao sto je diskutovano ranije, bilo koje polarizaciono stanje moze biti dekomponovano


na ortogonalni par polarizacionih stanja. U ovom slucaju projekcija rezultata na osnovnapolarizaciona stanja u stvari predstavlja deljenje duzi AB va segmente 1+cos θ i 1−cos θ.Odnos snage u stanjima B i A je data sa

PB

PA

=1− cos θ

1 + cos θ(66)

pa je preslusavanje polarizacije


(1− cos θ

1 + cos θ

)(67)

Da bismo preslusavanje izrazili preko radijusa putanje rezultata primetimo da je

sin θ = r , cos θ =√

1− r2 (68)

sto daje


(1−√1− r2

1 +√

1− r2

)(69)

Najveca moguca kruznica ima jedinicni radijus koji odgovara prostiranju svetlosti koja jerasporedena podjednako u svakom modu. U slucaju kada je svetlost dobro konfinirana upravcu jedne od osnovnih osa, kruznica se skuplja konvergirajuci ka tacki na Poankareovojsferi koja predstavlja(izlazni) sopstveni mod vlakna.

Obe metode su pokazale zadovoljavajuce slaganje sa eksperimentalnim merenjima svedo nivoa preslusavanja od oko 20dB. U sledecim odeljcima cemo dati pregled nekihinteresantnih primera merenja preslusavanja na bazi polarimetra.

8.4 Merenje preslusavanja duz PM vlakna

U slucaju veoma dugih PM vlakana preslusavanje polarizacije moze biti mereno utackama duz vlakna koristeci metodu na bazi polarimetra. Kada je PM vlakno koje setestira savijeno ili ugrejano, kruznica na Poankareovoj sferi upucuje na preslusavanje uregionu vlakna koji je savijen ili ugrejan. Deo vlakna u nastavku ili sledece vlakno uticena poziciju kruznice, ali ne utice i na poluprecnik. Zato se i moze meriti preslusavanjena nekom mestu duz vlakna, a ne samo na njegovom izlazu. Kada je sistem jednompobuden i fizicki zasticen od pomeranja, preslusavanje u pojedinim tackama moze bitiodredeno ako se taj deo zagreje. U svakom slucaju potrebno je oko 0.5m vlakna zagrejatiili pazljivo napregruti da bi se proizveo odgovarajuci luk i dobila vrednost preslusavanja.

8.5 Merenje preslusavanja na preseku PM vlakna

PM vlakna mogu biti spojena na razlicite nacine (stapanjem, spajanjem pomocu raz-nih fluida, komercijalnim konektorima i sl.), ali u svim tim slucajevima da bi se zadrzalalinearna polarizacija nakon prolaska kroz spoj neophodno je izuzetno kvalitetno porav-nanje osa vlakana. Time se izbegava preslusavanje izmedu polarizacionih modova.

Merenje preslusavanja u samom preseku se najbolje moze odrediti kada se u jedansegment ubaci linearno polarizovani talas, a u drugom, neposredno iza sastava, pomocugrejanja odredi trazena velicina.

9 ZAKLJUCAK 32

9 Zakljucak

Na osnovu navedenih cinjenica i primera u ovom radu, mozemo reci da su polarime-trija i merenje polarizacije nasli veoma vaznu primenu u razlicitim oblastima savremenenauke i tehnologije.

Primenom u elipsometriji i spektrometriji daju znacajan doprinos u odredivanju ka-rakteristika raznorodnih materijala (kristali, tecni rastvori, tanki filmovi, . . . ) i laksemrazumevanju optckih procesa koji se u njima odigravaju.

U medicini polarimetrija i merenje polarizacije imaju primenu u utvrdivanju i pobolj-sanju karakteristika ljudskog vida (oko se posmatra kao slozen opticki sistem). Farmacijatakode koristi ”usluge” pomenutih metoda za odredivanje sastava (merenje spektra) po-jedinih farmaceutskih supstanci.

Senzori i merni sistemi su oblast gde merenje polarizacije igra vaznu ulogu u mere-nju uticaja na polarizaciju svetlosti, razlicitih efekata kao sto su: piezoopticki, opticko-akusticni, elektroopticki, magnetnoopticki, itd. Fizicke velicine koje se mogu meriti naovaj nacin su: naprezanje, sila , pritisak (piezoopticki efekat); jacina elektricnog polja(elektroopticki efekat); jacina magnetske indukcije, jacina struje (magnetnoopticki efekat)i jos mnoge druge.

Kao sto je navedeno u osmom poglavlju polarimetrija i merenje polarizacije imajuprimenu u slozenim optickim sistemima (sistemi optickih vlakana). Opticke telekomuni-kacije u znacajnoj meri koriste novootkrivena saznanja iz oblasti merenja polarizacije iuspesno ih implementiraju u najsavremenije sisteme za prenos informacija optickim pu-tem. Uzimajuci u obzir da je opticki prenos informacija relativno mlada tehnologija usavremenoj oblasti telekomunikacija, moze se slobodno zakljuciti da ce polarimetrija imerenje polarizacije i u narednim godinama, pa i decenijama, davati vazan doprinos urazvoju buducih informacionih sistema baziranih na prenosu podataka pomocu mnogo-brojnih svetlosnih efekata.

Konacno, posle svih navedenih oblasti primene mnogo puta pomenutog metoda, po-larimetrije i merenja polarizacije, opravdano se namece zakljucak da ce raznostarnostprimene pomenutih metoda imati veoma znacajan uticaj u obimu i duzini primene gorepomenutih postupaka.

LITERATURA 33

Literatura

[1] Russel A. Chipman, Polarimetry, Handbook of optics (Michael Bass), 3rd edition,McGraw-Hill, 2010

[2] Russel A. Chipman, Mueller matrices, Handbook of optics (Michael Bass), 3rdedition, McGraw-Hill, 2010

[3] Rasheed M.A. Azzam , Ellipsometry , Handbook of optics (Michael Bass), 3rdedition, McGraw-Hill, 2010

[4] Jean M. Bennett , Polarization , Handbook of optics (Michael Bass), 3rd edition,McGraw-Hill, 2010

[5] Jean M. Bennett , Polarizers , Handbook of optics (Michael Bass), 3rd edition,McGraw-Hill, 2010

[6] David Pye, Polarized light in science and nature, Queen Mary, University ofLondon, 2001

polarimetrija i merenje polarizacije

Documents