1

MERENJE I DIJAGNOSTIKA

1. MERENJE

Merenje predstavlja proces u kome se merenoj fizičkoj veličini pripisuje brojna

vrednost. Da bi se to uradilo za svaku fizičku veličinu mora da se definiše jedinica mere.

To znači da se merenjem utvrđuje koliko puta se jedinica mere sadrži u posmatranoj

merenoj fizičkoj veličini. Zbog toga je od velike važnosti da jedinica mere bude

definisana sa najvećom mogućom tačnošću.

Prva merenja su vršena u antičko doba i pri tome su se koristile mere koje su imale

smo lokalni karakter. To znači da se utvrđena jedinica mere neke fizičke veličine

upotrebljavala na, geografski, malom prostoru (col, lakat, pedalj,...). Ovo je dovelo do

toga da se za istu fizičku veličinu koristi više različitih jedinica. Razvojem saobraćaja,

trgovine i nauke, različite jedinice za istu fizičku veličinu postale su velika smetnja u

komunikacijama.

Tako je krajem XVIII veka, tokom širenja Francuske revolucije, sazrela ideja o

uspostavljanju sistema mernih jedinica. Ova ideja je potekla od vodećih francuskih

naučnika tog vremena: Lagranža, Laplasa i Monža. Osnovne postavke mernog sistema

sastojala se u sledećem:

- sistem mera treba da se primeni na celoj teritoriji države,

- jedince mere treba da su definisane preko nepromenljivih veličina iz priro-

de koje se mogu precizno izmeriti,

- uvode se decimalni multipleti (manji i veći) jedinice mere:

U novoformiranom sistemu osnovna jedinica za dužinu je metar1 (μετρου- grčki,

znači mera, merilo) pa otuda i naziv metrički sistem. Ovaj sistem je pored definicije

metra, za dužinu, definisao i kilogram, kao jedinicu mase, a sekundu, kao jedinicu je

preuzeo od ranije.

Napoleonova osvajanja su priširila francuski uticaj na celu Evropu, sem Velike

Britanije u kojoj se zadržao anglo-saksonski sistem, koji se sem u Britaniji upotrebljavao

i u njenim kolonijama (Severnoj Americi, Australiji i dr.).

U Parizu, 1875. godine, su mnoge Evropske države potpisale Metričku konvenciju

i time se obavezale da će uvesti metrički sistem. Osnovana je i «Međunarodna

organizacija za zakonsku metrologiju» kao i njen izvršni organ «Međunarodni biro za

tegove i mere», i dogovoreno je da se najmanje svakih šest godina održava «Generalna

konferencija o tegovima i merama» a sa ciljem unapređenja metričkog sistema.

U praksi (tehnici) je primenjivan metrički sistem zasnovan na metru, kilogramu i

sekundi, tzv. MKS sistem, dok je u nauci (naročito u fizici) korišćen sistem zasnovan na

centimetru, gramu i sekundi, tzv. CGS sistem. Veza između ovih sistema je bila jednosta-

vna i u mehanici to nije predstavljalo problem. Ali krajem XIX veka došlo je do naglog

razvoja elektrotehnike, a CGS sistem koji je primenjivan u nauci o elektricitetu ovde se

nije mogao koristiti. Ovaj problem je prevaziđen rešenjem koji je predložio Đorđi 1901.

godine. On se sastojao u sledećem: u MKS sistem koji je postojao uveo je jedinicu za

jačinu struje – Amper. I pored očiglednih prednosti MKS sistem je u nauci prihvaćen tek

1948. godine.

1 Definicija metra je data na strani 3

2

Konačno, na XI Generalna konferencija o tegovima i merama 1960. godine,

utvrđen je «Internacionalni sistem» (Sl sistem) kakav u osnovi i dana egzistira. U

Jugoslaviji Sl sistem uveden zakonom 1976. godine, a od 1980. godine je jedini važeći

sistem.

1.1 SI-sistem

SI-sistem obuhvata sedam osnovnih fizičkih veličina, tabela 1.1.1.

Tabela 1.1.1 osnovne fizičke veličine i jedinice

Fizička veličina Dimenziona

oznaka Oznaka veličine Jedinica

Oznaka

jedinice

dužina L l metar m

vreme T t sekunda s

masa M m kilogram kg

temperatura Θ T kelvin K

jačina struje I i amper A

količina materije N n mol mol

jačina svetlosti J J kandela cd

Jedinice za sve ostale fizičke veličine predstavljaju kombinaciju nekih osnovnih

veličina. U tabeli 1.1.2 su prikazane izvedene fizičke veličine i dat je njihov odnos sa

osnovnim i nekim izvedenim jedinicama.

Tabela 1.1.2 Neke izvedene fizičke veličine i njihove jedinice

Veličina Jedinica Simbol Odnos sa drugim jedinicama

Osnovnim izvedenim

Ugao u ravni radijan rad m/m

Frekvencija herz Hz s-1

Sila njutn N m· kg· s-2

J/m

Pritisak paskal P m-1

· kg· s-2

N· m-2

Energija džul J m2· kg· s

-2 N· m

Snaga vat W m2· kg· s

-3 J/s

Naelektrisanje kulon C A· s A· s

Električni kapacitet farad F m-2

kg-1

· s4· A

2 C/V

Električna otpornost om Ω m2· kg· s

-3· A

-2 A/V= Ω

-1

Magnetni fluks veber Wb m2· kg· s

-2· A

-1 V· s

Induktivnost henri H m2· kg· s

-2· A

-2 Wb/A= Ω· s

Osvetljenost luks lx m-2

·cd·sr lm/m2

Aktivnost bekerel Bq s-1

3

Pored navedenih sistemskih jedinica (osnovnih i izvedenih) u praksi se sreću i van

sistemske jedinice, tabela 1.1.3.

Tabela 1.1.3. Vansistemske fizičke veličine koje su još u upotrebi, i njihove jedinice

veličina jedinica simbol definicija

ugao u ravni stepen ° 1° = π/180 rad

minut ‘ 1’ = (1/60) °

sekunda '' 1'' = (1/60) ’

vreme minuta min 1 min = 60 s

sat h 1 h = 60 min

dan d 1 d = 24 h = 86400 s

godina a 1 a = 365.25 d

zapremina litar l 1 l = 1 dm3 = 10

-3 m

3

1.2. Definicija osnovnih jedinica SI-Sistema

Metar

Prva definicija metra data je u Francuskoj 1791. godine kada je i uveden metrički

sistem. Metar je tada definisan kao 1/10.000.000 deo Zemljinog kvadranta koji prolazi

kroz Pariz. Na osnovu merenja ovog meridijana 1799. godine je izrađen prototip metra

kao rastojanje između dve crte na lenjiru od platine. Načinjeno je više kopija ovog

rastojanja na šipkama, sa profilom u obliku slova H, od veoma stabilne legure 90% Pt i

10% Ir. Jedan od lenjira se danas čuva u sedištu «Međunarodnog biroa za mere i drago-

cenosti», dok su ostali podeljeni državama potpisnicima konvencije. Ovakva definicija je

omogućavala reprodukciju 1 metra sa greškom od oko 10-7

m.

Krajem XIX veka napravljeni su veoma precizni interferometri za određivanje

talasne dužine, svetlosti, a time i merenje dužine uopšte. Definisanje metra pomoću

talasne dužine monohromatskog zračenja pokazala se veoma zgodna, te je na jedanae-

stom zasedanju Generalne konferencije za mere i tegove 1960. godine usvojen standard

za metar kao 1650763,73 talasnih dužina kriptona (86

Kr) u vakumu, koji odgovara emisiji

svetlosti pri prelasku elektrona sa 5d5 na 2p

10. Ovakav etalon je omogućavao da se metar

reprodukuje sa relativnom greškom od oko 10-10

.

Prema najnovijoj definiciji metra, od 1983. godine, metar je jednak rastojanju koje

svetlost pređe u vakumu za vreme od 1/299792458 sekundi. Pri tome je usvojeno da je

brzina svetlosti u vakumu c=299792458 m/s.

Sekunda

Jedinica za vreme, sekunda, je definisana na prvim konferencijama, a za to je

upotrebljena periodična astronomska pojava – rotacija. Zemlje oko svoje ose. Prema ovoj

definiciji sekunda je 1/86 400 deo srednjeg sunčanog dana. Kasnije su vršene popravke sa

ciljem tačnijeg definisanja sekunde, te je 1956. godine na Međunarodnoj koferenciji

ustanovljeno da je sekunda 1/31 556 925.9747 deo tropske godine, pri čemu je za

«tropsku godinu» uzeta 1900. godina (januar 0-24 h). Relativna greška na ovaj način

određene sekunde je oko 10-8

.

4

Međutim, u novije vreme je utvrđeno da je najpouzdanije merenje vremena

pomoću atomskog časovnika. Princip rada ovog časovnika će biti ukratko iznet.

Atomski časovnik umesto oscilacija klatna koristi oscilacije u atomima i

molekulima. Te oscilacije su električne prirode te se pomoću elektronskih uređaja mogu

registrovati. Kao najpodesniji za tu svrhu koriste se atomi cezijuma (133

Cs) kada osciluju

između dva hiperfina atomska nivoa osnovnog stanja. Frekfencija ovih oscilacija je

9192631770 Hz.

Relativna greška ovakvog standarda je reda veličine 10-11

, što odgovara razlici od

1 s između 2 časovnika na 3000 godina.

Kilogram

Prva definicija kilograma se javlja 1799. godine, kada je izrađivan metrički sistem,

a definisan je kao masa 1 dm³ čiste vode na temperaturi od 4 0C (tada je gustina vode

najveća). Na osnovu ove definicije napravljen je prototip koji je predat na čuvanje

«Nacionalnom arhivu Francuske». Kasnije je utvrđeno da prototip ne odgovara potpuno

definiciji te je 1889. godine na I Generalnoj konferenciji o tegovima i merama doneta

nova. Kilogram je jednak masi međunarodnog prototipa koji je oblika valjka prečnika i

visine 39 mm, a izrađen je od legure 90% Pt i 10% Ir. Ovaj prototip sa nekoliko njegovih

kopija se čuva u strogo kontrolisnim uslovima. Relativna greška reprodukcije ovog

etalona je oko 10-8

.

Kelvin

Kao jedinica temperature tokom vremena razvijeno je više njih.

Farenhajt – je 1714. godine predložio skalu u kojoj su referentne tačke

temperaturu topljenja leda 32 0F i temperatura krvi čoveka 96

0F, dok je 0

0F bila najniža

temperatura koja mu je bila poznata. Prema ovoj skali temperatura ključanja vode je na

212ºF. Ova skala se koristi u Velikoj Britaniji i širenjem uticaja proširila se i na njene

kolonije gde se i danas sreće.

Reomir – je 1730. godine predložio skalu u kojoj su referentne tačke temperatura

topljenja leda (0 0Re) i temperatura ključanja vode (80

0Re) pri normalnom pritisku.

Danas se uglavnom ne koristi.

Celzijus – je 1742. godine predložio skalu u kojoj su, takođe, referentne tačke

temperatura topljenja leda i temperatura ključanja vode. Ali on je temperaturu topljenja

leda obeležio sa 0 0C a temperaturu ključanja vode sa 100

0C. Ova jedinica za tempera-

turu se i danas koristi kako u svakodnevnom životu, tako i u nauci.

Kelvin – je 1848. godine predložio skladu koja je bazirana na drugom zakonu

termodinamike i naziva se termodinamička temperatura. Definisana je tako da ne zavisi

od osobina nekog materijala u koji se stavlja termometar. Jedinica za temperaturu je

Kelvin (K), ranije je obeležavano kao ºK, danas K, i definiše se kao 273.16 deo tempe-

rature trojne tačke vode. Trojna tačka vode je ona temperatura na kojoj u ravnoteženom

stanju egzistiraju čvrsta, tečna i gasovita faza, tj. led, voda i vodena para (bez prisustva

vazduha). 0 K je i temperatura apsolutne nule, to je temperatura na kojoj molekuli

apsolutno miruju.

Dakle termodinamička temperatura skala je bazirana na dvema referentnim

tačkama koje definišu 0 K : trojna tačka vode i apsolutna nula.

Interval između dva stepena na Kelvinovoj skali je podešen tako da bude jednak

intervalu između dva stepena na Celzijusovoj skali, tako da je veza između ove dve skale

jednostavna:

5

16,273)()( 0 CtKT .

Dok je veza između Farenhatove i Celzijusove nešto složenija:

9

32

5

00

FC

Amper

Prva definicija ampera se sreće 1893. godine kada je definisan amper pomoću

srebrnog voltmetra, pri čemu amper odgovara jačini struje koja za I s izdvoji 0.011180 g

srebra. Pri merenju je definisan i jedinični om, kao jedinica otpora, i to kao otpor

srebrnog konca dužine 106.30 cm i mase 14.4521 g (čiji je prečnik 1 mm2 na 0 ºC).

Međutim, reprodukcija ovako definisanog ampera nijem ogla da se izvrši sa

malom greškom, te je 1948. godine usvojena druga definicija. Prema ovoj definiciji,

amper je ona jačina jednosmerne struje koja pri prolasku kroz dva paralelna pravolinijska

provodnika beskonačne dužine i zanemarljivog kružnog preseka, na međunarodnom

rastojanju od 1 m u vakuumu, dovodi do pojave sile između provodnika od 2·10-7

N po

metru dužine.

Mol

Mol je najmlađa jedinica SI-sistema. Uvedena je na XIV Generalnoj konferenciji

1971. godine.

To je ona količina supstancije u sistemu čestica koja sadrži onoliko čestica (atoma,

molekula, jona...) koliko ima atoma u 12 g ugljenika 12

C. Iz definicije se vidi da mol

predstavlja broj čestica u nekom sistemu, i taj broj je Avogadrov broj (NA) koji iznosi

molN A /1 10)4(022137,6 23 .

Ovom definicijom je obrazovana i atomska jedinica mase (u). Naime, 1 mol ugljenika 12

C

ima masu od tačno 12g, te je atomska jedinica mase definisana kao:

kgN

gCmu

A

10)10(6605402.112

12

)( 2712

Kandela

Prvi etalon za jačinu svetlosti bila je uvedena 1842. godine, koja je definisana

prema veličini plamena lampe sa fitiljom određenih dimenzija i goriva. Kao nepogodan

on je zamenjen sa električnom sijalicom definisnih karakteristika koja je davala približno

istu jačinu svetlosti.

Nakon ovih prvaih definicija sledi etalon za jačinu svetlosti baziran na zračenju

«crnog tela». Ova definicija glasi: kandela je jačina svetlosti u normalnom pravcu,

površine 1/600 000 m2 crnog tela na temperaturi očvršćavanja platine (2045K) i pri

pritisku od 101325 Pa. Međutim, zbog poteškoća pri izradi «crnog tela» 1979. godine se

na Generalnog konferenciji pristupilo novoj definiciji kandele. Kandela je jednaka onoj

jačini svetlosti u datom pravcu iz izvora koji emituje monohromatsko zračenje

frekvencije 540·1021

Hz (ili talasne dužine 555 nm), kada je u tom pravcu intezitet

zračenja 1/683 W/sr.

Ova definicija kandele je omogućila da se ona reprodukuje sa relativnom greškom

od 5·10-3

.

6

3. NESIGURNOST MERENIH REZULTATA. GREŠKE MERENJA

Merenja se nikada ne mogu izvršiti sa apsolutnom tačnošću, jer sam proces

merenja u sebi sadrži mnogo različitih elemenata. Izvestan broj tih elemenata, od kojih

zavisi tačnost merenja, se može ustanoviti, ali veliki broj elemenata ostaje nepoznat.

U opštem slučaju nesigurnost rezultata merenja sastoji se na neki način od

nesigurnosti grešaka triju kategorija. To su grube greške ili omaške, sistematske greške i

slučajne greške.

Grube greške (omaške)

Grube greške predstavljaju «greške» u pravom smislu te reči, i one nisu rezultat

ograničenja merne aparature ili same metode merenja. One su subjektivne i nastaju iz

nepažnje eksperimentatora ili njegovog nerazumevanja samog procesa merenja. Ove

greške se ne mogu eliministi primenom nekog procesa obrade rezultata. Najbolji način

ootklanjanja ovih grešaka je:

- povećanje pažnje eksperimentatora

- bolje upoznavanje sa metodom merenja

- vođenje uredne evidencije toka i rezultata merenja.

Sistemske greške

U ovu grupu grešaka spadaju greške koje nastaju usled jednog ili više faktora koji

deluju u određenom smeru. One se javljaju kad merni instrument ili metoda merenja

saadrži neki stalan nedostatak ili ako nisu uzeti neki faktori koji značajno utiču na

merenje. jedan od izvora sistematske greške je neuzimanje u obzir malih korekcija

rezultata. Možemo ih svrstati u neke od sledećih:

- sistematsko odstupanje mernih instrumenata:

loše definisana nula instrumenta, loša kalibracija, dejstvo okolnih magnetnih

polja,....

- neispravnost instrumenata:

prazan hod mikrometarskog zavrtnja, termoelektromotorna sila na

provodnicima,....

- neuzimanje u obzir konstantnog odstupanja od prividno poznatih uslova merenja.

sobna temperatura, atmosferski pritisak, gravitaciono ubrzanje, jačina Zemljinog

magnetnog polja, fon,...

Drugi izvor sistematskih grešaka je neodražavanje konstantnih eksperimentalnih

uslova tokom merenja, te se javlja: promena dimenzije usled termičke dilatacije, drift u

elektronskom uređaju zbog promene napona napajanja, varijacija sobne temperature,...

Važna karakteristika sistematskih grešaka je da se one javljaju uvek u istom

smeru, tj. merena veličina je uvek ili veća ili manja od «prave» vrednosti. Ova njihova

osobina onemogućava da se otkriju ponavljanjem merenja u nepromenjenim uslovima.

Njihovo otkrivanje je moguće tek upoređeivanjem sa rezultatima merenja nekom drugom

metodom ili aparaturom.

Eliminacija sistematskih grešaka se u opštem slučaju svodi na eliminaciju uzroka

koji ih proizvode.

7

Slučajne greške

Ove greške su posledica manjeg ili većeg broja raznih uticaja koji uslovljavaju

tačnost merene veličine. Intezitet i smer njihovog dejstva se stalno menja, ali se odvija po

složenim zakonima verovatnoće i statistike.

Ukoliko se istom aparaturom izvrši više uzastopnih i nezavisnih merenja neke

veličine, tako da se pri svakom pokušaju dobiju što tačnije vrednosti, rezultati merenja će

se ipak međusobno razlikovati. Ove razlike će se uvek javljati. Uzme li se tačniji

instrument za merenje, ove razlike će se samo smanjiti, ali neće nestati. Pri tome treba

znati da cena kvalitetnije aparature i napori uloženi za poboljšanje merenja, rastu mnogo

brže nego što se smanjuje greška.

Vrednosti merene veličine se raspoređuju oko neke najbolje veličine, a

ponavljanjem broja merenja dolazi do povećanja pouzdanosti te najbolje veličine.

Međutim, za ponavljanje merenja je potrebno vreme, a produženje vremena dovodi u

pitanje održavanje «istih» uslova merenja.

Sa ovim saznanjem ne preostaje ništa drugo, nego da proučimo zakone

verovatnoće, kao i statističke zakone i pomoću njih dođemo do što tačnijeg rezultata.

3.1. PREDSTAVLJANJE REZULTATA EKSPERIMENATA

Rezultati merenja moraju biti prikazani na odgovarjući način, tako da korisnici tih

rezultata imaju odgovarajući stepen poverenja u njih. Da bi to bilo ostvarljivo, postoji niz

konvencija o prikazivanju rezultata eksperimenta.

Jedan isti broj sa istom nesigurnošću može se napisati sa različitim brojem

decimala, npr. 0.2881.10³pri čemu u oba slučaja postoji isti broj značajnih cifara (u ovom

slučaju 4). Pri raspoznavanju značajnih cifara, treba na umu imati sledeća pravila:

- sve cifre datog broja, različite od nula su značajne cifre:

1.141 – četiri značajne cifre, - 286.366-šest, 12-dve, 1·1015

– jedna...

- nula (ili više njih) između drugih cifara uvek je značajna cifra:

1.012 – četiri značajne cifre, 39000.22-šest, - 102-tri,...

- nula na kraju broja iza decimalne tačke je uvek značajna cifra:

1.120- četiri značajne cifre, - 44.000-pet, 102.020-šest,...

- nula na početku broja nikad nije značajna cifra, već samo određuje red veličine:

0.121 – tri značajne cifre, -0.004080=4.080 · 10-3

– četiri,...

- nula na kraju broja bez decimalne tačke ne govori o broju značajnih cifara, već nekad

služi samo za određivanje reda veličine:

12300-12.3 · 103 – tri značajne cifre, 12.300 · 10

5 – pet,...

Ukoliko se rezultati fizičkih veličina dobijaju vršenjem raznih matematičkih operacija sa

direktno merenim veličinama, i kao rezultat tih operacija dobijaju se beskonačni brojevi,

potrebno je izvršiti zaokruživanje. Postupak zaokruživanja služi da bi se odbacile

beznačajne cifre, i time zadržalo onoliko značajnih cifara koliko diktiraju merne

nesigurnosti, a vrši se prema sledećim prvilima:

- ako je prva cifra koju treba ukloniti od 0 do 4, sve beznačajne cifre se odbacuju

- ako je prva cifra oju treba ukloniti 5, a iza nje ima još cifara različitih od 0, obično se

poslednja značajna cifra uvećava za 1

- ako je prva cifra koju treba ukloniti 5, a iza nje nema više cifara ili su nule, obično se

zadnja cifra koja ostaje uvećava za jedan ako je neparna, a ne menja ako je parna.

8

Primeri:

1.23456789 na pet značajnih cifara je 1.2346, na četiri je 1.235, na tri je 1.23, a na dve

značajne cifre 1.2.

1.251 na tri značajne cifre je 1.25, na dve cifre je 1.3,

1.250 na dve cifre je 1.2

1.350 na dve cifre je 1.4.

1.9950 na četiri cifre je 1.995, na tri je 2.00, na dve 2.0.

1.9940 na četiri cifre je 1.994, na tri je 1.99, na dve je 2.0.

3.2. PRIKAZIVANJE MERNE NESIGURNOSTI

Merne nesigurnosti mogu izraziti implicitno i eksciplitno.

Implicitno / lat. implicite – podrazumevajući / prikazivanje je takvo prikazivanje kao

merna nesigurnost ima red veličine poslednje značajne cifremernog broja, sa intervalom

od 1 do 10.

Npr. λ = 577.4 nm znači da je merna nesigurnost od 0.1 do 1.0 nm, , a obično se

uzima greška koja je polovina ovog intervala. U navedenom primeru to bi bilo 0.5, te

su vrednosti λ u intervalu od 576.9 nm do 577.9 nm, tj. λ = 577.4 0.5 nm.

Implicitno prikazivanje merne nesigurnosti se koristi kada je procena merne nesigurnosti

gruba, ili kad postoji veliki broj podataka sa istom mernom nesigurnošću.

Eksplicitno / lat. – explicitus – izričan / prikazivanje daje samo red veličine, i mnogo je

povoljnije. Ova merna nesigurnost se može iskazati kao apsolutna i kao relativna merna

nesigurnost.

- apsolutna merna nesigurnost – je u istim jedinicama i sa istim dekadnim

faktorom kao merni broj. Postoje dva načina pisanja ove nesigurnosti:

pisanje vrednosti iza znaka , ili pisanjem u zagradi zadnjih cifara

nesigurnosti.

ρ = 1.028 0.004 kg/m3. ili ρ = 1.028(4) kg/m

3

k = 0.258 0.021 ili k = 0.258(21)

t = (1.05 0.12) · 103 s ili t = 1.05(12) · 10

3 s

loš primer

ρ = 1.028kg/m3 4· 10

3 kg/m

3

k = 0.25844 0.021

t = 1050 120 s

- relativna merna nesigurnost δ (relativna grška) veličine x je

δ(x) = x

x)(

gde je σ(x) - apsolutna merna nesigurnost (apsolutna greška).

Ova merna nesigurnost se najčešće koristi kod upoređivanja rezultata merenja

dobijenim različitim instrumentima ili metodama. Piše se u procentima.

Neka je tačnost instrumenta za merenje napona δ(U) =1.5%, i sa ovim instrumentom je

izmeren napon od U = 5.11V. Postavlja se sada pitanje kolika je merna nesigurnost ove

izmerene veličine?

Merna nesigurnost je 5.11 ·1.5% = 5.11 · 0.015 = 0.08, tj.:

U = 5.11 (5.11 · 0.015) = 5.11 0.08 V = 5.11(8) V.

9

3.3 BROJ ZNAČAJNIH CIFARA MERNE NESIGURNOSTI

Prilikom navođenja merne nesigurnosti ne treba navoditi mnogo značajnih cifara, jer je to

ipak samo procena. Za mernu nesigurnost se obično piše samo jedna cifra ako je ona od

3-9, a ako je 1 ii 2 tada se zaokruživanje vrši na dve značajne cifre.

Primeri:

1024.844 0.48286 →1024.8(5)

12.456821 0.215642→12.46(22)

150200 1800→150.2(18) · 103

0.005867 0.2236862→0,01(24)

0.005867 0.44284→0.01(4)

Tabelarno prikazivanje rezultata

Tabelarno prikazivanje rezultata se koristi kada želi da se prikaže veći broj podataka iste

vrste ili vrednosti jedne fizičke veličine u funkciji druge (ili više njih u funkciji jedne).

Tabela ima natpis sa rednim brojem i naslov koji omogućava da primaoc informacije bez

detaljnog čitanja teksta shvati šta se nalazi u tabeli, primer je prikazan u tabeli 3.1.

Tabela 3.1 Zavisnost koncentracije c nosioca naelektrisanja u uzorku i napona

U na elektrodama od temperature t

t(°C) c (1021

m-3

) U(mV)

1.2 0.34(3) 2.44

3.2 0.37(3) 2.34

5.3 0.38(4) 2.25

8.4 0.39(3) 2.10

10.3 0.42(4) 2.02

13.9 0.45(5) 1.85

16.3 0.51(4) 1.74

17.5 0.58(3) 1.69

18.3 0.60(4) 1.64

19.3 0.69(4) 1.60

21.7 0.83(4) 1.49

23.4 0.88(5) 1.41

24.1 0.99(3) 1.38

Pri formiranju tabela treba voditi računa o pravilima unošenja podataka i oznaka koje

nisu obavezujuće ali donose preglednosti:

- Zaglavlje tabele je odvojeno crtom i u njemu se nalaze oznake veličina.

Jedinice tih fizičih veličina su u zagradi, a ponekad se unose i greške

merenja

- U prvu kolonu se obično unosi nezavisnost promenljiva

- Dodavanje drugih horizontalnih i vertikalnih linija je nepotrebno ukoliko

je razmak između kolona i vrsta dovoljan

- Dvostruke crte odvajaju podatke od naslova i završavaju tabelu

Grafičko prikazivanje rezultata

Grafičko prikazivanje rezultata se koristi kda želi da se predstavi funkcionalna zavisnost

jedne fizičke veličine od jedne ili više promenljivih. Ovakav način prikazivanja ima niz

10

prednosti u odnosu na tabelarno, ali i nedostatak. Na osnovu tabelarnih podataka uvek se

može konstruisati grafik, ali se iz grafika retko mogu tačno reprodukovati numerički

podaci.

Grafičko prikazivanje rezultata je mnogo očiglednije jer se zasniva na vizuelnom

upoređivanju dobijenih zavisnosti fizičkih veličina sa graficima funkcija poznatih iz

matematike. Ova vizuelna raspodela tačaka u koordinatnom sistemu se lakše pamti.

Grafik je ustvari viši stepen u obradi rezultata – «jedna slika vredi hiljadu reči».

Veoma je bitno i to što grafik omogućava grafičku obradu:

- povlačenjem linija između tačaka vrši se interpolacija

- povlačenjem linija van oblasti merenja vrši se ekstrapolacija

- povlačenjem tangente vrši se grafičko diferenciranje

- merenjem površine ispod krivine vrši se integracija prikazane funkcije

- sa grafika se jednostavno mogu odrediti ekstremi (minimumi i

maksimumi) funkcije, prevojne tačke,...

Grafik eksperimentalnih rezultata treba razlikovati od ideograma kojima se u

matematici i fizici predstavljaju funkcije, koje se najčešće crtaju sa koordinatama osama

bez skala, slika 3.3.1.a. Da bi se pomoću grafika vršila matematička obrada rezultata

takođe je potrebno znati neka pravila.

Grafički se mogu predstavljati zavisnosti jedne fizičke veličine od jedne

nezavisno promenljive (dvodimenzioni grafik, slika 3.3.1.b.), od dve, i ređe od tri (grafik

gustine). Moguće je, međutim, na jednom grafiku prikazati zavisnost dve zavisno

promenljive veličine od jedne, slika 3.3.2.

a) b) Slika 3.3.1 a) ideogram i b) grafik

zavisnosti pritisaka od zapremine pri konstantnoj temperaturi

.

11

Slika 3.3.2. Grafik zavisnosti napona (puna linija) i koncentracije (isprekidana linija) slobodnih

nosilaca naelektrisanja od temperature

Koordinatni sistem može biti pravougaoni, ređe sa kosim uglovima i polarni u

ravni, a u prostoru cilindrični, sferni... Ovde će se razmatrati prikazivanje

eksperimentalnih rezultata u dvodimenzionom grafiku sa pravouglim koordinativnim

sistemom.

- Grafik je obično u okviru i ima četiri ose kalibrisane skalama, pti čemu je

skala na dnu ista sa skalom na vrhu, takođe su iste skale sa leve i desne

strane. Ponekad se crtaju grafici sa mrežicom, slika 3.3.3. i to u slučaju

kada je potrebno preciznije očitavanje vrednosti. Pri tome treba znati da se

ovakvim prikazom sadržaj grafika vizuelno potiskuje. Kod ručnog crtanja

koristi se potpuna mreža (milimetarski papir) radi lakšeg rasporeda tačaka,

ali se konačna prezentacija prenosi bez mreže (npr. pomoću paus-papira).

- Podaci na skalama ne treba da su pretrpani, već se koriste logični, vizuelno

lako deljivi koraci 0, 1, 2, 3, .... ili 0, 2, 4 , 6,... ili 0, 5, 10, 15,... a ne 1, 3,

5,... i nikako sa nejednakim koracima 0.2, 0.6, 1.0,...

Slika 3.3.3. Graik zavisnosti pritiska od

zapremine sa potpunom mrežom Slika 3.3.5. Loše nacrtan grafik

zavisnosti pritiska od zapremine

12

- Početak skale ne mora obavezno da je nula. Bira se takav opseg brojne

skale koji pokriva vrednost izmerenih veličina, slika 3.3.1.b a ne prikazan

grafik čije brojne vrednosti na skalama počinju od nule, te je ceo grafik

smešten, npr. u godnji desni ugao, slika 3.3.5.

- Oznaka osa sadrži oznaku fizičke veličine i u zagradi jedinicu te veličine.

U nekim slučajevima se u zagradu unosi i dekadni faktor kako bi se

izbeglo pisanje decimala na osama.

- Merene vrednosti se u grafik unose u vidu diskretnih simbola. Veličina tih

simbola treba da je takva ih povučena linija ne pokrije. Za simbole se

najčešće koriste:

Različiti simboli su neophodni ukoliko želi da se prikaže više zavisno promenljivih

veličina na jednom grafiku, slika 3.3.3. U tom slučaju u opisu slike treba navesti značenje

upotrebljenih simbola.

Kao i tabele, svaki grafik mora imati naziv iz kog se može steći bar gruba pretpostavka o

sadržaju slike. Za razliku od tabele, kod grafika ovaj tekst se obično stavlja ispod lsike.

Primena računara je pojednostavila izradu grafika, jer primenom odgovarajućih programa

za grafičko predstavljanje podataka i funkcija moguće je lako i brzo menjati stilovi i

oznake.

13

4. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VEROVATNOĆE

I MATEMATIČKE STATISTIKE

U ovom delu će biti izloženi osnovni elementi matematičke statistike koji su

neophodni za obradu rezultata merenja. Ovi elementi će biti obrađeni samo sa stanovištva

primene u obradi rezultata, bez dubljeg ulaženja u teoriju verovatnoće.

Slučajni događaj je takav događaj čiji se ishod ne može unapred odrediti na jednoznačan

način. Ukoliko je taj događaj utvrđivanje brojne vrednosti neke veličine x, onda je ta

veličina slučajna veličina ili slučajno promenljiva. Svaka njena sledeća vrednosti se ne

može predvideti na osnovu poznatih prošlih vrednosti, ali se može odrediti verovatnoća

P(x) pojavljivanja pojedinih vrednosti xi.

Matematička verovatnoća nekog događaja M predstavlja odnos broja

pojavljivanja događaja ( k ) i broja pokušaja ( n ):

n

kMP )(

Prema definicji verovatnoće, njena vrednost nemogućeg događaja je 0, a sigurnog je 1.

Dakle, brojne vrednosti verovatnoće su:

10 P

Statistička brada veoma česti zahteva preslikavanje slučajnih veličina pomoću

funkcija. Ovo se često javlja kod indirektnih merenja, gde se vrednosti veličine y dobijaju

iz direktno merenje veličine x, tj. xfy .

Kako postoji distribucija (raspodela) verovatnoće pojavljivanja veličine x, tako postoji i

distribucija verovatnoće y. Pri čemu distribucija verovatnoće za y može, a ne mora imati

isti oblik kao distribucija za x, slika 4.1.

Slika 4.1 preslikavanje slučajne veličine X pomoću funkcije f(x)

Matematička nada (E) funkcije f(x) slučajne veličine x je srednja vrednost te

funkcije po svim mogućim vrednostima x slučajne veličine x. Za diskretne slučajne

vrednosti ona je data kao:

),()(1

N

i

ii xfPxfE 4.1

14

dok je za kontinualne

b

a

dxxfxgxfE ,)()()( 4.2

gde je g(x) gustina verovatnoće.

Prilikom ponavljanja merenja fizičke veličine (slučajne promenljive) pojavljivaće

se različite vrednosti, ali očekuje se da se neke vrednosti javljaju češće od ostalih. U

opštem slučaju distribucija slučajnih veličina ima oblik kao na slici 4.2.

Slika 4.2. Najčešće raspodela slučajnih veličina

Za opisivanje distribucije slučajnih veličina postoje dve vrste parametra: lokacioni i

disperzioni.

LOKACIONI parametri opisuju položaj maksimuma ili najčešće vrednosti, tj. oblast

nagomilavanja. Postoji više vrsta lokacionih parametara: srednja vrednost, najverovatnija

vrednost i medijana.

Srednja vrednost ili prosečna vrednost slučajne promenljive x opisuje distribuciju

verovatnoće g(x) i jednaka je matematičkoj nadi same slučajne promenljive μ = E(x).

Srednja vrednost fukcije f(x) je tada f(x)=x i za diskretnu distribuciju verovatnoće:

i

N

i

iPx

1

, 4.3

dok je za kontinualnu:

b

a

dxxxgxfE )()( . 4.4

Najverovatnija vrednost max slučajne promenljive x, je ona za koju njena distribucija

ima maksimalnu vrednost. Njena vrednost kod diskretne distribucije je veoma

jednostavna i dobija se kao artimetička sredina dobijenih vrednosti slučajno promenljive

x, tj:

,1

1

max

N

i

ixN

4.5

dok se kod kontinualne distribucije verovatnoće g(x) najverovatnija vrednost traži iz

uslova maksimuma funkcije:

0)( max xdx

df 4.6

Medijana μ 1/2 slučajne promenljive x je ona njena vrednost ispod i iznad koje se ona

pojavljuje sa istom verovatnoćom od 0,5.

15

Uzajamni položaj srednje vrednosti, najverovatnije vrednosti i medijane zavisi od

oblika distribucije verovatnoće, slika 4.3.

a) b)

Slika 4.3 Uzajamni položaj srednje vrednosti, najverovatnije vrednosti i medijane

a) simetrična distribucija b) nesimetrična distribucija

Kod simetrične distribucije srednje vrednosti, najverovatnije vrednosti i medijane se

poklapaju μ = μ max = μ ½ dok se kod nesimetrične ne poklapaju, a medijana se uvek nalazi

između srednje i najverovatnije vrednosti

μ max< μ ½< μ ili μ max> μ ½> μ.

DISPERZIONI parametri opisuju širinu distribucije verovatnoće oko maksimuma.

Postoji više disperzionih parametara: disperzija, standardna devijacija i srednja

apsolutna devijacija.

Disperzija ili varijansa se definiše kao matematička nada kvadrata otstupanja neke

slučajno promenljive x od svoje srednje vrednosti μ:

D(x)=E[(x – μ)2 ]. 4.7

Kod diskretne distribucije se računa kao:

i

N

i

PxxD

1

2)()( , 4.8

a kod kontinualne kao:

.)()()( 2 dxxgxxD

b

a

4.9

Standardna devijacija se definiše preko disperzije kao:

.)()( xDx 4.10

Prednost iskazivanja disperzionih osobina preko standardne devijacije ogleda se u tome

što tako izražena disperzija ima istu dimenziju (jedinicu) kao i sama slučajna veličina.

Srednja apsolutna devijacija se definiše kao matematička nada apsolutne vrednosti

razlike slučajne veličine i njene srednje vrednosti:

).()( xExd 4.11

Ona se ređe koristi zato što je apsolutna vrednost matematički «nezgodna» funkcija jer

nije glatka.

16

4.1. DISPERZIONI PARAMETRI INDIREKTNE VELIČINE

Ovde će biti prikazani lokacioni i disperzioni parametri indirektno merene

veličine y, koja je funkcija direktno merena veličine x, y = f(x).

Srednja vrednost indirektno merene veličine (transformisane slučajne veličine)

dobija se na osnovu definicije metematičke nade:

.)()()(

b

a

y dxxgxfxfEyE 4.12

Ukoliko se pretpostavi da je standardna devijcija, σx, direktno merene veličine x

mala tada se promena funkcija Δy može razviti u Tajlorov red oko tačke x=μx.

).(')()()()()( xfxfdx

dfxfxf xxxx 4.13

Tada je

)( xy f . 4.14

Ovo znači da se srednja vrednost indirektno merene slučajne veličine može dobro

aproksimirati preslikavanjem srednje vrednosti direktno merene veličine pomoću date

funkcije.

Disperzija indirektno merene slučajne veličine je

22)()()()()( xfExfExfExfDyDDy . 4.15

Koristeći identičnu aproksimaciju, kao kod srednje vrednosti, transformisane srednje

vrdnosti, za disperziju se dobija:

)()( xDdx

dfyD

xx

4.16

a standardna devijacija je:

x

x

xxy

xdx

dyf

)(' 4.17

Ova formula standardne devijacije naziva se formula sa propagaciju greške.

4.2. DISTRIBUCIJA VEROVATNOĆE VIŠE SLUČAJNO PROMENLJIVIH

Ovde će biti izložene osnove distribucije verovatnoće više slučajno promenljivih

koristeći analogiju sa kontinualnim distribucijama jedna slučajne promenljive.

Ukoliko se u eksperimentu određuju dve slučajne promenljive x1 i x2, pri čemu

veličina x1 uzima vrednost iz intervala x1- x1+dx1 a veličina x2 uzima vrednosti iz

intervala x2- x2 +dx2 tada je simultana gistina verovatnoće:

g(x1,x2) = d2P(x1<x1<x1+dx1, x2<x2<x2+dx2). 4.18

Predpostavimo da su x1 i x2 dve slučajne veličine a da se preslikavanjem pomoću

funkcije dve promenljive f(x1,x2) dobija zavisno promenljiva slučajna veličina y =

f(x1,x2) Ukoliko su vrednosti g(x1,x2) značajne samo u oblasti oko tačke određene

srednjim vrednostima μ1 i μ2, tada se funkcija f(x1,x2) može dobro aproksimirati razvojem

u Tajlorov red i zadržavajući se na linearnim članovima:

17

22112

22

1

112121 )()(),(),(

xxx

fx

x

fxfxxf 4.19

gde je f(μ1, μ2) srednja vrednost indirektne slučajne veličine, tj.

).,( 21 fy 4.20

Disperzija je:

)()(),(2)()( 2121

21

2

2

2

1

2

2

1

xxxxx

f

x

fx

x

fx

x

fDy

4.21

gde je ρ(x1,x2) koeficijent korelacije koji se definiše kao:

)()(

),cov(),(

21

2121

xx

xxxx

4.22

gde je cov(x1,x2) = E[(x1-μ1)(x2- μ2)].

Vrednosti koeficijenata korelacije su u intervalu od –1 do +1. Ukoliko je njena vrednost

0, tad su x1 i x2 nekorelirane, tj. međusobno su nezavisne tada se gustina g(x1,x2) može

napisati kao proizvod dve funkcije od kojih svaka zavisi samo od jedne slučajne

promenljive. tada je:

221121, xgxgxxg . 4.23

Međutim, ako x1 i x2 nisu nezavisne, tada se određuje koeficijent korelacije. kao mera

uzajamnog dejstva ove dve slučajne veličine.

Ukoliko su x1 i x2 međusobno nezavisne tada se standardna devijacija izraza 4.1

svodi na:

.)()( 2

2

2

2

1

2

2

1

xx

fx

x

fy

4.24

Analogno gore navedenom, srednja vrednost funkcije više slučajno promenljivih y =

f(x1,x2,......xn) je:

),....,( 21 ny f ,

a formula za propagaciju greške:

n

i

i

i

y xx

f

1

2

2

)( . 4.25

4.3 PRVILA PROPAGACIJE GREŠAKA

Pravila propagacije grešaka jedne slučajno promenljive

Ukoliko je merena nesigurnost slučajne veličine x je σ(x), a njena srednja

vrednost μ(x) tada se rezultat merenja iskazuje kao:

(x)(x) x .

18

Pravila propagacije greške jedne merene veličine

Ukoliko se određuje nesigurnost indirektno merene veličine y koja je funkcija

slučajne veličine x, y = f(x), tada se njena nesigurnost različito računa u zavisnosti od

funkcije f(x). U tabeli 4.3.1 su data pravila za propagaciju grešaka nekih funkcija koje se

najčešće sreću.

Tabela 4.3.1 Pravila propagacije greške funkcija jedne slučajno promenljive

y = c·x )()( xcy

x

cy )(

)()(

2xy

x

x

x

cx

x

cy

y=xc )()()()( 1 xycx

x

xcxcxy

cc

ili )()( xcy

y = cx )(*ln)(*ln)( xycxccy x

ili )(ln)( xcy

y = logcx )(ln)(ln1

)( xcxcx

y

y = ln x )()(1

)( xxx

y

y = ex

)()()( xyxey x

ili δ(y) = σ(x)

Primer 1:

Izmerena jačina struje, na instrumentu klase tačnosti 2.5, iznosi 37.75 mA. Strujno kolo

sadrži etalonirani otpornik od 350 . Izračunati pad napona na otporniku i mernu nesi-

gurnost, primenom Omovog zakona.

I=37.75 mA

R=350

Pre početka rada treba odrediti vrednost merne nesigurnosti struje ( I ) jer je ona jedina

merena veličina. Ona se računa kao:

I = 37.75 ·2.5% = 37.75 · 0.025 = 0.94375.

Dobijena vrednost merne nesigurnosti ukazuje da ona postoji več na prvoj decimali iza

zareza, te nema smisla kod jačine struje pisati i drugu decimalu. Znači vrednost jačine

struje koja ulazi u proračun je I=37.80.9 mA

Iz Omovog zakona se potom izračuna vrednost napona:

U=I·R=37.75·10-3

A·350 =13.2125 V

Merna nesigurnost pada napona se izračunava primenom jednačine 4.17( IUdI

dU ):

19

IU R =350 ·0.9·10-3

A=0.315 V0.3 V.

Vrednost napona je U=13.20.3 V ili U=13.2(3) V

Primer 2:

Vrednost kapacitivnog otpora iznosi 876(9) . Odredi kapacitet kondenzatora, ukoliko je

vrednost frekvencije pri merenju iznosila 50 Hz.

(Formula za kapacitivni otpor je fC

X C2

1 ).

Vrednost kapaciteta kondenzatora je FfX

CC

610635517552.3876502

1

2

1

.

Merna nesigurnost kapaciteta kondenzatora se izračunava primenom jednačine 4.17

(CX

C

CdX

dC ):

FFXfdX

dCCC X

C

X

C

C689

21003737.0107351.391015034.4

2

1

Vrednost kapaciteta je FFC )4(64.31004.064.3 6 .

Zadaci za vežbu:

1. Izmerena vrednost napona, na instrumentu klase tačnosti 1.5, iznosi 9.17 V. Strujno

kolo sadrži etalonirani otpornik od 550 . Izračunati jačinu struje i mernu nesigurnost,

primenom Omovog zakona.

2. Izmerena vrednost napona iznosi 5.47(8) V. Strujno kolo sadrži etalonirani otpornik od

800 . Izračunati jačinu struje i mernu nesigurnost, primenom Omovog zakona.

3. Prosto strujno kolo sastoji se od uzvora napona (U=11,8 V) i otpornika otpornosti R.

Izmerena vrednost jačine struje iznosi 76.55(7) mA. Izračunati vrednost otpora R i mernu

nesigurnost, primenom Omovog zakona.

4. Vrednost induktivnog otpora iznosi 765(8) . Odredi induktivnost kalema, ukoliko je

vrednost frekvencije pri merenju iznosila 50 Hz.

(Formula za kapacitivni otpor je LfX L 2 ).

5. Vrednost kapacitivnog otpora iznosi 1010(12) . Odredi kapacitet kondenzatora,

ukoliko je vrednost frekvencije pri merenju iznosila 60 Hz.

20

Pravila propagacije greške dve merene veličine

Ukoliko imamo merene vrednosti dve nezavisne veličine sa odgovarajućim greškama

)()( 11 xxxi i )()( 222 xxx , tada se merna nesigurnost funkcije, koja

povezuje te dve nezavisne veličine računa na više načina.

Merna nesigurnost zbira: y = x1+x2:

)()()(1)(1)()()( 2

2

1

2

2

22

1

22

2

2

2

2

1

2

2

1

xxxxxx

yx

x

yy

.

Na primer:

1.038(13) + 0.632(8) = 1.670(15), jer je 015.008.0013.0 22 .

Merna nesigurnost razlike y = x1 – x2:

)()()()1()(1)()()( 2

2

1

2

2

22

1

22

2

2

2

2

1

2

2

1

xxxxxx

yx

x

yy

Može se primetiti da se greška razlike računa isto kao i greška zbira. Prema tome, ako se

traži razlika dve prilično precizno određene veličine, može međutim biti neprecizna

vrednost.

Na primer:

10.462(3) – 10.438(5) = 0.024(6), jer je 0058.0005.0003.0 22

Merna nesigurnost proizvoda y = x1 · x2:

)()()()()()()( 2

2

1

2

2

22

11

22

22

2

2

2

1

2

2

1

xxxxxxxx

yx

x

yy

Relativna greška proizvoda:

)()()()(

)()(1)(

)( 2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

22

11

22

2

21

xxx

x

x

xxxxx

xxy

yy

.

Merna nesigurnost količnika y = x1/x2:

)()(1

)()(1

)()()( 2

2

2

2

2

11

2

2

2

2

2

2

2

11

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

xx

xx

xx

x

xx

xx

x

yx

x

yy

Relativna greška količnika:

)()()()(

)()(11)(

)( 2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

11

2

2

2

1

xxx

x

x

xx

x

xx

x

x

xy

yy

21

Može se primetiti da se relativne greške proizvoda i količnika izračunavaju na isti način.

U praksi se najčešće i koriste formule za propagaciju relativnih grešaka iz kojih se kasnije

izračunavaju apsolutne.

Na primer:

13.342(3)*2.8(4) = 37(10), jer je 27.08.2

4.0

342.13

003.0)(

22

y , a

σ(y) = 0.27*37 = 10,

1856.2(22)/0.789(9) = 2353(27), jer je 0115.0789

9

18562

22)(

22

y a

σ(y) = 0.0115*2357 = 27.

U tabeli 4.3.2 su data pravila za propagaciju grešaka nekih funkcija više slučajno

promenljivih koje se najčešće sreću.

Tabela 4.3.2 Pravila propagacije greške funkcija više slučajno promenljivih

y = x1 + x2 + … ...)()()( 1

2

1

2 xxy

y = x1 - x2 - … ...)()()( 1

2

1

2 xxy

y = x1 * x2 ...)()()( 2

22

11

22

2 xxxxy

y = xc )()( 221 xcxy c

y =2

1

x

x )(ln)(ln

1)( xcxc

xy

y = ln x )()(

1)( xx

xy

y = ex

)()()( xyxey x

ili δ(y) = σ(x)

Zadaci za vežbu:

1. Izmerena vrednost napona, na instrumentu klase tačnosti 1.5, iznosi 9.17 V. Strujno

kolo sadrži otpornik otpornosti 550(15) . Izračunati jačinu struje i mernu nesigurnost,

primenom Omovog zakona.

2. Izmerena vrednost jačine struje iznosi 52.47(8) mA. Strujno kolo sadrži otpornik čija je

otpornost 800(20) . Izračunati vrednost napona izvora i mernu nesigurnost, primenom

Omovog zakona.

22

3. Prosto strujno kolo sastoji se od uzvora napona (U=11,8(4) V) i otpornika otpornosti R.

Izmerena vrednost jačine struje iznosi 76.55(7) mA. Izračunati vrednost otpora R i mernu

nesigurnost, primenom Omovog zakona.

4. Vrednost induktivnog otpora iznosi 765(8) . Odredi induktivnost kalema, ukoliko je

vrednost frekvencije pri merenju iznosila 50(1) Hz.

(Formula za kapacitivni otpor je LfX L 2 ).

5. Vrednost kapacitivnog otpora iznosi 1010(12) . Odredi kapacitet kondenzatora,

ukoliko je vrednost frekvencije pri merenju iznosila 60(2) Hz.