CITAS MEMORABLES SOBRE PITGORAS

CITAS MEMORABLES SOBRE PITGORAS0.- Aprende lo necesario para que tu vida sea ms feliz. Lo mejor en todo es la justa medida. Reflexiona sobre todo tomando como gua la recta razn. Pitgoras. Los Versos de Oro (31, 38, 6869).

1.- Pitgoras exhort al que ambicionara una autntica fama a ser individualmente tal como quisiera parecer a los dems. [...]. Pitgoras exhort a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse para hablar. Jmblico, Vida Pitagrica. ( IX.49, p.43 ; X.53, p.45).

2.- Para Pitgoras la primera esencia era la naturaleza de los nmeros y proporciones que se extienden a travs de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo est armnicamente dispuesto y convenientemente ordenado. Jmblico, Vida Pitagrica., XII.59, p.49.

3.- Pitgoras fue el primero en usar el nombre de Filosofa y se llam a s mismo filsofo o amante de la sabidura. [...]. Ninguno de los hombres, dijo Pitgoras, es sabio: slo lo es Dios. Digenes Laercio. Vida de los filsofos ms ilustres. Libro I. Proemio.VIII, pp.1112.

4.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagrico. Cicern (Tusculanas, I.1, XVI).

5.- El mundo platnico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagrica de que el nmero es la base del mundo real. A.Whitehead.La Matemtica en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemticas, Vol.1, p.332).

6.- En el nmeroreside, como lo comprendi Pitgoras con la ntima certidumbre de una sublime intuicin religiosa, la esencia de todo lo real. [...] La afirmacin pitagrica de que el nmero es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la ms valiosa proposicin de la Matemtica antigua. O.Spengler. El sentido de los nmeros (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998, pp.132,148.

7.- Pitgoras es un gran pensador cuya escuela estableci una relacin entre las Matemticas, la Ciencia y la Filosofa que no se ha perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Pennsula, Barcelona, 1979 vol.1. pp.149150.

8.- La Matemtica nace a la sombra de la metafsica pitagrica fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini. Arqumedes:El Mtodo. Eudeba,Buenos Aires, 1966, p.14.

9.- Pitgoras fue el primer pensador que intent conciliar las Matemticas con la Filosofa, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilizacin a lo largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemticas han mantenido una estrechsima relacin con la Filosofa y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los ms grandes filsofos han sido tambin grandes matemticos. B.Mage. Historia de la Filosofa, Blume, Barcelona, 1988. p.15.

10.- Pitgoras es intelectualmente uno de los hombres ms importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la Filosofa Occidental, Austral, vol.1, p.65..

Pitgoras, entre la historia y la leyendaAdems de su decisiva contribucin al acervo matemtico griego, Pitgoras es el principal responsable a travs de la prctica de la demostracin del nacimiento en Grecia de la Matemtica racional como ciencia especulativa y deductiva.

Es sin duda, adems, el matemtico ms conocido. Pero ms all de la Matemtica, en el mbito ms general de la Historia de la Cultura, Pitgoras es realmente un personaje muy clebre. Su figura es una de las ms apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y mstico, filsofo y telogo, matemtico y experimentador, sabio y profeta, maestro y asceta, psiclogo y orador, promotor religioso y taumaturgo, interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de carne y hueso y personaje mtico,

Pitgoras es el primigenio inductor de una parte considerable de los elementos culturales que al configurar en gran medida el pensamiento platnico, influyeron de forma decisiva sobre la ciencia alejandrina y el primer Cristianismo y dejaron una estela que ha pervivido a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradicin del pensamiento occidental hasta nuestros das, lo que convierte a Pitgoras en uno de los personajes ms influyentes en la Historia de la Cultura y del Pensamiento.

Como filsofo del nmero, para Pitgoras y los pitagricos, Filosofa, Ciencia, Matemticas y Religin son aspectos indisociables que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida por un misticismo de carcter aritmticogeomtrico. Al acuar para la posteridad, en el lenguaje del saber, los trminos Filosofa (amor a la sabidura) y Matemticas (lo que se conoce, lo que se aprende), Pitgoras es uno de los artfices del milagro griego como principal instaurador de la tradicin filosfica y matemtica en occidente, contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una ntima y duradera relacin entre Matemtica, Ciencia y Filosofa.

Entre la historia y la ficcin, la extraordinaria figura de Pitgoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo Aristteles que vivi tan slo doscientos aos despus de Pitgoras, es muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradicin, con atribuciones personales a Pitgoras de doctrina matemtica, musical o cosmolgica alguna y prefiere hablar de los pitagricos ms que de Pitgoras, a quien, mencionando slo en dos ocasiones, parece poner en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son desmentidas por algunos documentados testimonios de Herclito y Herodoto. Actualmente la investigacin histrica parece haber dejado fuera de toda duda la historicidad de Pitgoras, pero de todas formas la figura histrica de Pitgoras ha sido muy edulcorada por parte de quienes ms que bigrafos son hagigrafos, sobre todo Digenes Laercio y Porfirio, del siglo III d.C. y Jmblico, del siglo IV. Lstima que la obra de Aristteles Sobre los Pitagricos se haya perdido, aunque es plausible que en ella se hallara ms doctrina pitagrica que biografa del maestro. Durante mucho tiempo hubo un gran escepticismo sobre la verosimilitud de las biografas de Pitgoras, atribuyndoles ms novela que historia, ante el estilo laudatorio sobre las peripecias cientficas y las enseanzas religiosas del sumo pontfice del Pitagorismo. Actualmente, la investigacin y la crtica histrica de algunos eruditos han separado la ganga fantstica de la mena histrica y sobre todo tras la reciente publicacin de la obra de B.L. Van der Waerden Die Pythagoreer (Zurich, 1979), se tiende a dar ms credibilidad a los bigrafos aludidos considerando que ellos pudieron tal vez disponer de documentos prximos a los tiempos del Pitagorismo.

Pitgoras naci en la isla de Samos. Tras una exquisita formacin intelectual bajo la direccin de los filsofos Ferecides y Hermodomas, es probable y as lo asegura Jmblico que visitara a Tales en Mileto y aprendiera directamente de l lo que por proximidad cronolgica y geogrfica habra sido posible. Avido de ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber griego de la poca, con un alma helnica, inquieta y viajera, y aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitgoras habra estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le debieron inculcar no slo de la ciencia exotrica, como a Tales, sino tambin de la ciencia esotrica que impregnara toda su elaboracin cientfica y la transmisin de la misma a sus discpulos. Es posible incluso que en sus peregrinaciones Pitgoras llegara hasta la India donde habra asimilado tanto conocimientos matemticos y astronmicos como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la reencarnacin y la transmigracin de las almas, que sera un lugar comn en la Comunidad Pitagrica. Incluso se le atribuyen viajes por el Mediterrneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hrcules y de aqu a las Galias y a las Islas Britnicas para aprender de los druidas. El saber milenario de egipcios, fenicios, judos, rabes, caldeos, persas, indios y druidas habra conformado, segn tradiciones legendarias, la extraordinaria sabidura de Pitgoras. Al regreso de sus viajes, Pitgoras sesienteimbuido de una funcin casi mesinica de transmisin de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer doctrina matemtica, filosfica y religiosa, primero en Samos y despus en Crotona, colonia drica de la Magna Grecia, situada en la costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carcter cientfico y religioso. La leyenda persigue a Pitgoras hasta el umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo deversiones ms o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relacin con las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Segn lo ms fiable parece ser que muri en Metaponto, hacia el ao 500 a.C..Pitgoras: Filosofa, Religin, Ciencia y Matemticas.Nicmaco de Gerasa (en Introduccin a la Aritmtica), Digenes Laercio (en Vida de los filsofos ms ilustres ) y Jmblico (en Vida pitagrica), entre otros, atribuyen a Pitgoras los trminos Filosofa y Filsofo, como el amor y el amante de la Sabidura, respectivamente.

Pitgoras fue el primero en utilizar el trmino Cosmos para describir el orden y la armona inherentes a un universo regido por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a travs del nmero que es el principio elemental, la esencia de todas las cosas, componente esencial de la armona matemtica que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigacin sobre el universo. Pitgoras alcanzara esta iluminacin, tras sus viajes, a travs de su propia reflexin sobre la sabidura milenaria de los pueblos de Oriente Prximo. De los egipcios aprendera que las formas de las figuras geomtricas se ajustan a nmeros y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros estn regidos por leyes numricas. De su propia experimentacin, Pitgoras deduce que la armona musical tambin est regida por el nmero. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolacin, Pitgoras estableci que el nmero es la esencia del universo y que el nmero es la raz y fuente de la naturaleza eterna.

Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitgoras funda una comunidad en la que los aspectos cientficos y religiosos estn ntimamente asociados de forma mstica. Se trata de una secta animada por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde las armonas y misterios de la Matemtica y de la Filosofa eran partes esenciales y cuya influencia no tard en hacerse sentir en toda la Magna Grecia e incluso en Roma. El principal objeto de las doctrinas pitagricas era la purificacin del alma o catarsis mediante la permanente prosecucin de estudios filosficos, matemticos y cosmolgicos, emprendidos como factores de sublimacin espiritual para la direccin de la existencia, merced a la identificacin intelectual filosfica con la gran idea divina ordenadora del universo: el nmero, que integra y confiere unidad a todo un sistema de pensamiento filosfico, cientfico y religioso. Las propias palabras Filosofa y Matemtica parece que fueron acuadas por el propio Pitgoras para describir sus actividades intelectuales, como elementos de elevacin moral hacia la salvacin.

Los pitagricos perseguan penetrar en el secreto de la armona de los nmeros, ya que desvelado ste crean poder comprender la armona del universo. Soaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de nmeros enteros, imaginndose estar tras las huellas del misterio ltimo de las cosas. Los pitagricos vinculaban ntimamente Mstica, Religin y Ciencia; Geometra, Msica, y Cosmologa; Aritmologa, Metafsica y Filosofa; cuerpo, alma y espritu en una armoniosa sntesis. Quiz resida en esa capacidad unificadora del Pitagorismo entre lo cientfico-racional y lo mstico-religioso su radicacin profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental.

Pero ms all de la Filosofa, la Mstica y la Religin, Pitgoras y los pitagricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemticos. Proclo escribe Sobre Pitgoras en su celebre Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides:

Pitgoras transform la doctrina filosfica que trata de la geometraen enseanza liberal, examin desde lo alto sus principios, investig los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubri la dificultad de los nmeros irracionales y la construccin de las figuras csmicas [poliedros].

Segn Proclo, Pitgoras marca un hito en la Historia de la Matemtica, al transformar la Geometra en saber puramente terico e investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situndose en el umbral de la Matemtica racional como artfice supremo del milagro griego en Matemticas, en cuyo mbito la idea y la necesidad de la demostracin es uno de los componentes capitales del patrimonio pitagrico, fundamento de la instruccin liberal que proclama Proclo respecto de Pitgoras, al indicarnos que este sabio fue el primero en someter la Matemtica a la exigencia de la rigurosa deduccin lgica, que generacin tras generacin, se hizo cada vez ms imperiosa.

La evidencia sensible reiterada por la emprica percepcin sensorial que va forjando prescripciones tiles se manifiesta, para Pitgoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la prctica emprica sobre los casos particulares desarrollando mtodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones una comprobacin geomtrico-emprica de carcter inductivo puede satisfacer el espritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de frmulas aritmticas que los propios pitagricos obtienen con el atomismo numrico-geomtrico de los nmeros poligonales; pero hay problemas transcendentales de la Matemtica, sobre todo aquellos en los que subyace la presencia del infinito, en los que slo una rigurosa demostracin, como acto intelectual puro, ms all de la intuicin sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un pentgono, que no es comprobable empricamente y que tal vez fue la primera demostracin verdaderamente matemtica realizada por los pitagricos.

He aqu pues, en la demostracin, la contribucin fundamental del Pitagorismo a la Matemtica, valorado siempre muy por encima de sus magnficas contribuciones particulares en mbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, adems, la demostracin, como elemento esencial en el trnsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostracin va mucho ms all de la mera persuasin de la Retrica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasin argir lo falso contra lo verdadero (de ah los reproches de Scrates hacia los sofistas). La demostracin convence por la ilacin argumental incontrovertible que alcanza algo legtimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lgica. Por eso a partir de Pitgoras la Matemtica es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetivaTextos de Bertrand Russell sobre PitgorasB.Russell. Historia de la Filosofa Occidental. Austral, Madrid, 1995, vol.1. La Matemtica como argumento deductivo-demostrativo empieza con Pitgoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las Matemticas en la Filosofa debida a Pitgoras ha sido desde entonces muy profunda. (p.67). Para Pitgoras la contemplacin simptica apasionada era intelectual y desemboc en la ciencia de las Matemticas. (p. 71). Pitgoras como profeta religioso y como matemtico ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede parecer a una mente moderna. (p.72). En Platn, San Agustn Toms de Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusin ntima de religin y razonamiento, de aspiracin moral y admiracin lgica por lo eterno, que procede de Pitgoras. (p.75). No conozco ningn otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta despus de analizarlo, esencialmente pitagorismo. (p.75).

Platn era lo suficientemente pitagrico para creer que sin Matemticas no era posible una verdadera sabidura. (p.144).

En la Filosofa de Platn existe la misma fusin de intelectoy de misticismo que en Pitagorismo. p.162.SIMBOLISMO DE LOS ATRIBUTOS MATEMTICOS EN LA COMUNIDAD PITAGRICA

La Arcadia pitagrica, una atmsfera mstica impregnada de msica y simbologa matemtica, donde la comunidad pitagrica desarrollaba la pasin por el conocimiento mediante especulaciones filosficas y matemticas como base moral para la consecucin de la armona interior y con el entorno, de acuerdo con el orden natural de las cosas que emana de Dios, supremo ordenador csmico a travs del maravilloso poder de la armona matemtica y musical, metforas del orden universal.

El Dodecaedro como quintaesencia de la Cosmogona pitagrica, la sagrada Tetractys como fuente y raz de la naturaleza eterna, el tringulo rectngulo depositario de la inconmensurabilidad, el Pentagrama mstico smbolo de identificacin de los pitagricos y de la salud, son los talismanes de la actividad intelectual del modo de vida pitagrico, en el que la msica cuya armona es de naturaleza matemtica ejerce una influencia definitiva en el equilibrio emocional.

La comunidad pitagrica, de carcter cientfico y religioso, se basaba en un ideario comn fundamentado en todo un cuerpo de doctrina sobre el hombre, el alma, la sociedad, el cosmos, etc., que conduca necesariamente al estudio, a la reflexin filosfica y a la especulacin matemtica y cosmolgica, actividades en las que el adquisicin del conocimiento participaba ms del carcter de una iniciacin religiosa que de una mera instruccin o investigacin, es decir, religin y ciencia son aspectos ntimamente vinculados en un tipo de vida llamado pitagrico (Platn, Repblica, 600b) y la actividad cientfica es una consecuencia de la doctrina, no el mvil inicial como sera en la Academia platnica, en el Liceo de Aristteles o en el Museo de Alejandra.

Pitgoras organiz en su comunidad dos tipos distintos de enseanza, que daran lugar segn Jmblico (Vida Pitagrica, XVIII.8087) a dos tipos de miembros en la primitiva comunidad pitagrica: los Matemticos (conocedores), jvenes especialmente dotados para el pensamiento abstracto y el conocimiento cientfico y los Acusmticos (auditores), hombres ms simples, pero igualmente sensibles, que reconocan la verdad de forma intuitiva a travs de dogmas, creencias, sentencias orales indemostrables y sin fundamento, principios morales y aforismos.

La diferenciacin entre los dos grupos de pitagricos que se corresponde con las dos tendencias, la racional y la religiosa que convergan en el propio Pitgoras, pero no as en todos los pitagricos, tendra una decisiva incidencia sobre la ulterior evolucin de la hermandad. Los Acusmticos eran devotos religiosos que se encargaron de velar por la pureza del modo de vidapitagrico, las esencias originales y la fidelidad a la primigenia doctrina pitagrica, mientras que los matemticos no comprometidos solamente con el cultivo de las matemticas, sino con la totalidad del conocimiento o gnosis se consideraban continuadores del espritu especulativo de Pitgoras y de su natural evolucin y magnificacin del acervo cientfico y matemtico..

El misticismo aritmticogeomtrico pitagrico. Los nmeros msticos.Los pitagricos basaron su filosofa y su modo de vida en el culto a los nmeros llevndolo hasta el paroxismo. Para los pitagricos todo era una encarnacin del nmero.

La fuente primaria ms cualificada sobre la Filosofa pitagrica es, sin duda alguna, el captulo V del libro I de la Metafsica de Aristteles que tiene por ttulo Los pitagricos y su doctrina de los nmeros, donde se lleva a cabo una exposicin general del Pitagorismo que empieza con estas palabras (Metafsica, 985b, 986a):

Los filsofos pitagricos se dedicaron al cultivo de las matemticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las matemticas eran los principios de todas las cosas. [...] Supusieron que las cosas existentes son nmeros pero no nmeros que existen aparte, sino que las cosas estn realmente compuestas de nmeros, es decir, los elementos de los nmeros son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del universo es armona y nmero. Su razn consista en que las propiedades numricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas. Este texto de Aristteles resume el ncleo de la metafsica pitagrica. El entusiasmo ante el descubrimiento pitagrico de la base numrica de los intervalos musicales los intervalos bsicos de la msica griega podan representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3 encendi un chispazo de inspirada intuicin hacia una frmula de aplicacin universal: si los nmeros son la clave de los sonidos musicales, no sern tambin la clave de toda la naturaleza?. Los pitagricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo mstico hacia los nmeros, hasta el punto de que Filolao (el pitagrico favorito de Aristteles) lleg a afirmar:

Todo lo cognoscible tiene un nmero, pues no es posible que sin nmero nada pueda ser concebido ni conocido.

Cuando los pitagricos decan, como mdula de su metafsica, que todos los objetos estaban compuestos de nmeros, que los nmeros son la esencia del universo, o que el nmero es el arj, el principio elemental como para otros filsofos presocrticos era el agua, el aire, la tierra, el fuego lo entenderan en sentido literal, porque los nmeros eran para ellos como los tomos para Demcrito, pero tomos con magnitud y extensin.

Para los pitagricos el gran sistema del mundo reposa sobre ciertas bases de las que el ser, la forma y la accin de todas las cosas, tanto las particulares como las generales, son una consecuencia natural de la consideracin de los nmeros. Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la naturaleza existe. Los nmeros determinan el nexo de unin de todas las cosas y la mecnica del universo entero, son la base del espritu y el nico medio por el cual se manifiesta la realidad. Segn el neoplatnico Porfirio:

Para Pitgoras los nmeros eran smbolos jeroglficos mediante los cuales explicaba las ideas relacionadas con la naturaleza de las cosas.

Adems, la Geometra permita someter a los nmeros a operaciones metafsicas de gran significado simblico. A esta doctrina pitagrica se la llama, a veces, misticismo numrico, como queriendo indicar la atribucin a los nmeros, no slo de un carcter sagrado, sino tambin de una realidad sustancial descriptiva tanto de los aspectos cualitativos como de los aspectos fsicos de las cosas.

Los pitagricos denominaron Dcada a los diez primeros nmeros y en la consideracin de sus propiedades msticas y cabalsticas y de sus virtudes mgicas desarrollaron, ms all de la Aritmtica, un cierto misticismo numrico, una Aritmologa (la palabra nmero deriva del trmino griego Aritmo) al establecer que cada nmero posea sus propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales. Con base en Filolao, Platn en algunos de sus Dilogos Aristteles en su Metafsica, Alejandro de Afrodisias (comentador de Aristteles), Ten, Porfirio, Jmblico, Sexto Emprico y Nicmaco de Gerasa resumimos estos atributos de acuerdo con la tabla sinttica siguiente:

El Nmero1 o mnada representa el principio activo frente a la diada que es el principio pasivo. Es la verdadera esencia de todas las cosas, el principio y fundamento de cuanto existe. Smbolo del buen principio (el Dios nico, expresado en latn por Solus, de donde deriva la palabra Sol). Smbolo de la razn suprema, asociada al concepto de Dios, inteligente e increado, supremo paradigma del Bien y la Belleza. Smbolo del Sumo Poder, Creador y Conservador. Generador de todos los nmeros y de todas las dimensiones. Espacio aritmtico entre los nmeros enteros y los fraccionarios. Smbolo de inmutabilidad aritmtica (11=1, 1/1=1, 11=1).

Para Filolao el uno es el Padre de los Seres, Padre y Demiurgo del mundo, artfice de la permanencia de las cosas.

El Nmero 2 o dada, es el smbolo de la diversidad, de la opinin, de la contraposicin, y en particular de la expresin de los contrastes de la naturaleza y de la mayora de las cosas que afectan al ser humano en forma de dualidad (noche y da, luz y oscuridad, humedad y sequedad, calor y fro, salud y enfermedad, dulce y amargo, bueno y malo, grande y pequeo, belleza y fealdad, etc.).

Aristteles resume esta dualidad en la Metafsica (986a): Otros pitagricos admiten diez principios coordinados entre s en este orden [cuadro adjunto].

Es la llamada lista pitagrica de los contrarios, de sorprendente similitud con la doctrina del Yin-Yang de la filosofa china, que indicara que todos los fenmenos se originaran por la interaccin de dos fuerzas csmicas o principios antagnicos.

Aunque el esquema pitagrico estara enraizado en los valores, por la posicin que ocupa lo bueno en la izquierda del cuadro y lo malo en la derecha. Tambin Digenes Laercio (Libro VIII. Pitgoras.15) atribuye esta dualidad a Pitgoras.

El Nmero 5 tena un gran simbolismo para los pitagricos, como conjuncin de los principios masculino y femenino y por tanto smbolo del matrimonio (2+3=5); tambin de lo par y lo impar; como nmero esfrico o circular porque sus potencias termina en cinco; como menor nmero cuyo cuadrado es suma de cuadrados (52=32+42, representacin aritmtica del tringulo divino), en relacin con el Teorema de Pitgoras. Adems, cinco son los slidos poliedros regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos ms tarde por el nombre de Cuerpos Platnicos al ser tomados por Platn de los pitagricos.

El nmero 5 corresponde al Pentagrama mstico pitagrico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas obtenida al trazar las diagonales de un pentgono regular o prolongando sus lados emblema de la salud y smbolo de identificacin de los pitagricos como miembros de una comunidad. El Pentagrama mstico fue uno de los tpicos geomtricos ms importantes de la Escuela Pitagrica por sus bellsimas propiedades geomtricas de las que nace su simbolismo mstico. Esta figura geomtrica pudo estar en la base del ms importante hallazgo cientfico de los pitagricos el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, una de las causas de la profunda crisis que arruin a la cofrada pitagrica.

Una de las curiosas propiedades del Pentagrama, que impona respeto a los pitagricos era su unicursalidad: la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos veces por el mismo lado.

Una segunda propiedad profundamente aritmolgica en su esencia inspiraba a los pitagricos un entusiasmo mstico, relacionando el pentagrama con la palabra salud (ugieia = higieia, de donde deriva higiene). Aunquela palabra ugieia tiene seis letras, a veces se produca una contraccin que haca desaparecer la primera i (como atestiguan algunas inscripciones), quedando entonces con cinco letras ugeia, que se situaban sobre cada uno de los vrtices del Pentagrama, que de esta forma se converta en el anagrama supremo de la salud.

El nmero 5 es, adems, el centro aritmtico de los nueve primeros nmeros de la dcada 1,2,3,4,5,6,7,8,9, siendo, asimismo, la media aritmtica de sus equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) segn manifiesta el Esquema de Ten de Esmirna.147

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El Nmero 10 es el de mayor carga simblica y el ms sagrado de todos los nmeros. Puesto que los cuatro primeros nmeros contienen el secreto de la escala musical, su suma (1+2+3+4=10), el nmero diez, la dcada, puede parecer que abarca, como dice Aristteles, la naturaleza toda del nmero, sera en s algo perfecto, y representa el nmero del universo, la suma de todas las posibles dimensiones geomtricas. Para Filolao la Dcada era grande, todopoderosa y generadora de todo, comienzo y gua tanto de la vida divina como de la terrestre y para Sexto Emprico la razn de la composicin de todas las cosas.

El nmero diez, cuya veneracin, no es tributaria, paradjicamente, de la anatoma de la mano del hombre, es la quintaesencia del misticismo pitagrico. Los pitagricos lo representaban mediante 10 puntos, piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un tringulo equiltero. A este anagrama, representacin visual y geomtrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le llamaron la Tetractys de la Dcada. Tena, para ellos tanta significacin esotrica como el Pentagrama mstico, y su importancia simblica deriva de que por l juraban en sus ceremonias ms solemnes, sobre todo en el rito inicitico de incorporacin a la comunidad: lo juro por Aquel que ha dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raz de la Naturaleza eterna! (Versos Dorados, 47) juramento referente al secreto sobre el contenido de la enseanza pitagrica (Porfirio, Vida de Pitgoras, 20)..

La Cosmologa pitagrica La veneracin hacia el nmero diez tiene para los pitagricos una implicacin cosmolgica transcendental en su doctrina acerca de la configuracin del universo, al ser la inspiradora del primer sistema astronmico no geocntrico. Segn Aristteles (Metafsica, 986a):

[...] Como creen [los pitagricos] que la dcada es perfecta y que abarca la naturaleza entera de los nmeros, afirman que tambin los cuerpos que se mueven en torno de los cielos son diez, pero al ser nueve solamente los visibles, se inventan, por esta razn, el dcimo, la anti-tierra, [...].

Aristteles desarrolla estas ideas ms ampliamente en su obra Del Cielo (293a):

La mayora de los pueblos dicen que la tierra est situada en el centro del universo, [...], pero los filsofos pitagricos sostienen lo contrario. Dicen que en el centro est el fuego y que la tierra es uno de los astros que, al moverse circularmente en torno al centro, da lugar al da y a la noche, [...].

Ocho cuerpos celestes: la tierra, la luna, el sol y los cinco planetas conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno), giran en rbitas circulares concntricas en torno al fuego central Trono de Zeus, situado en el centro del universo. Con la Esfera de las estrellas fijas se llega al valor nueve. Como falta uno para alcanzar el valor diez de la Tetractys, emblema sagrado de los pitagricos, se aade al sistema de modo que toda su teora fuera coherente, como dice Aristteles, la antitierra, situada en la rbita ms interior, en equilibrio con la tierra, alineada con sta y con el fuego central y con el mismo perodo de revolucin diaria que ella. El sol no era el centro del universo, ni era el creador de su propio calor, sino que era una especie de cristal reflector que recoga la luz y el calor del fuego central, en torno al cual giraba con un perodo de un ao. Las estrellas fijas permanecan estacionarias, mientras que la tierra mantena, durante su movimiento, el mismo hemisferio deshabitado hacia el fuego central de modo que sus habitantes no podan ver jams ni el fuego central ni la anti-tierra.

Al desplazar a la tierra del centro del universo, la cosmologa pitagrica supone un heroico salto de imaginacin cientfica. No se trata de una mera fantasa arbitraria. De hecho el sistema proporcionaba una explicacin plausible de los eclipses. No es exactamente una anticipacin de la teora heliocntrica, pero algunos estudiosos de la Historia de la Cosmologa lo consideran de rango superior en importancia a la identificacin del fuego central con el sol.

La teora pitagrica es de una gran originalidad. Para Tales y otros filsofos presocrticos como Anaxmenes, Herclito, Parmnides y Empdocles la tierra estaba ciertamente en reposo en el centro del universo esfrico y ms tarde Eudoxo y por supuesto Aristteles volvieron a situar con firmeza la tierra en el centro, del que no se movera hasta los primeros balbuceos heliocntricos de Aristarco. Para pensadores como G. Bruno el giro copernicano no sera una novedad sino la restauracin de la antigua Cosmologa pitagrica. As pues, como en otros muchos aspectos del pensamiento pitagrico, carcter mstico y religioso, no le resta valor cientfico..

Clasificacin y denominacin pitagricas de los nmeros.Segn Isidoro de Sevilla (Etimologas, III.2): Pitgoras fue el primero que escribi sobre la ciencia del nmero, es decir, a Pitgoras se debe la primera depuracin filosfica o terica de la Aritmtica la liberacin de la Ciencia del Nmero de la prctica de artesanos y mercaderes que constituan la llamada Logstica. Sobre ello escribe Aristxeno:

Pitgoras honr a laAritmtica ms que ningn otro. Hizo grandes avances en ella, sacndola de los clculos prcticos de los comerciantes y tratando todas las cosas como nmeros.

Los pitagricos realizaron diversas clasificaciones y acuaron numerosos nombres para los diversos tipos de nmeros. Pero debido a su proceder mstico, muchas de sus definiciones son bastante abstrusas de forma que conviene a veces recurrir a los preliminares del Libro VII de Los Elementos de Euclides, donde se recogen gran parte de ellas, en el lenguaje inteligible y riguroso caracterstico del gran compilador de la Matemtica griega elemental. Veamos los nombres y definiciones de algunos nmeros:

Nmeros pares e impares: definiciones 6 y 7 de Euclides VII.

Los nmeros pares e impares se subdividen en cuatro clases: (Definiciones VII.8 a VII.10):

Parmente par: cuando su mitad es par (son de la forma 2n[2k+1], n>1).

Imparmente par: cuando su mitad es impar (son de la forma 2[2k+1], n>1).

Parmente impar: cuando al ser dividido por un nmero impar da uno par (son de la forma 2n[2k+1]p, n>1).

Imparmente impar: cuando no tiene ms que divisores impares.

Es divisor de (Euclides D.VII.3). Es mltiplo de (Euclides D.VII.5).

Nmeros primos (Euclides D.VII.11) y compuestos (Euclides D.VII.13).

Nmeros lineales, planos y slidos:

Lineal: es el que no tienen divisores (es decir, los primos).

Plano: es el producto de dos nmeros que son sus lados (Euclides, D.VII.16).

Slido: es el producto de tres nmeros que son sus lados (Euclides, D.VII.17).

Cuadrado: es el producto de un nmero por s mismo (Euclides, D.VII.18).

Cbico: es el producto de un nmero por s mismo dos veces (Euclides, D.VII.19).

Nmeros perfectos, deficientes y abundantes. Nmeros amigos.

Deficiente: es un nmero que es menor que la suma de sus partes alcuotas.

Abundante: es un nmero que es mayor que la suma de sus partes alcuotas.

Perfecto: es un nmero que es igual que la suma de sus partes alcuotas.

Nmeros amigos: son nmeros en los cuales cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.

Los nmeros perfectos y los nmeros amigos han causado siempre una gran fascinacin, por eso la bsqueda de nmeros perfectos y amigos ha desplegado un derroche de tinta matemtica desde los primeros tiempos pitagricos hasta nuestros das, en los que se aplican potentes instrumentos de computacin. Los primeros pitagricos slo conocan los nmeros perfectos 6 y 8. Euclides define el nmero perfecto en D.VII.22. A los nmeros amigos, literalmente habra que llamarlos nmeros enamorados. Los pitagricos slo conocieron el par 220, 284:

284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(suma de los divisores de 220),

220 = 1+2+4+71+142(suma de los divisores de 284) .

Jmblico atribuye el descubrimiento de los nmeros amigos al propio Pitgoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente ancdota: Siendo preguntado Pitgoras qu es un amigo?, contest Alter ego. Por analoga aplic el trmino amigos a dos nmeros cuya suma de partes alcuotas es igual al otro.

La Msica pitagrica y la Teora de las mediasSegn Nicmaco, Gaudencio, Porfirio, Digenes Laercio, Ten de Esmirna, Jmblico, Boecio y otros pitagricos, Pitgoras estudi, quiz por primera vez en la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acstica, al determinar el fundamento matemtico de la armona musical con la realizacin de la primera experiencia cientfica que consigna la historia, mediante la construccin de un instrumento, el monocordio (Jmblico, XXXVI.119; Digenes Laercio, VIII.12),con el propsito de interrogar a la naturaleza y obligarla a responder a una cuestin concreta: cul es la relacin precisa, si es que existe, entre la armona musical y los nmeros? Pitgoras descubre que las cuerdas que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenan longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los nmeros 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las ms sencillas que se pueden formar con los nmeros de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitgoras dedujo que sta es la fuente y raz de la Naturaleza eterna como dicen los Versos Dorados. Como en tantos aspectos pitagricos los nmeros de la Tetractys eran la piedra angular de la armona musical. Mediante una mstica extrapolacin, la Tetractys sera la fuente del conocimiento de las races de la armona del Cosmos divino, alcanzable a travs del nmero.Si en el nmero est la clave del tono musical, en l residir tambin la clave de toda la naturaleza y en ultima instancia apareca la matriz de la filosofa pitagrica: el nmero es la esencia de todas las cosas. Con este feliz descubrimiento Pitgoras instaura algo nuevo en la Historia del Pensamiento: el mtodo experimental y la expresin en frmulas matemticas de las leyes de la naturaleza.

La teora musical de Pitgoras tiene que ver tambin con la Teora de las medias de raz pitagrica. As lo seala el pitagrico Arquitas: En msica hay tres medias: la media aritmtica, la media geomtrica y la subcontraria, llamada tambin armnica.

Dados dos nmeros a y b, se definen las medias aritmtica, m, armnica, h, y geomtrica, g, de la forma: , verificndose que : Estas relaciones son verificadas por las proporciones musicales que se derivan de la cuaterna de nmeros 12, 9, 8, 6 del experimento pitagrico sobre el monocordio:

El fundamento matemtico de la armona musical se representa en la tablilla sostenida por un joven discpulo de Pitgoras. En la parte superior de las cuerdas de la lira aparecen con tipografa romana los nmeros 6, 8, 9, 12, de las proporciones musicales. Las consonancias musicales se denominan de forma literal y numrica: diatssaron (6/8, 9/12); diapente (6/9 y 8/12); diapasn u octava (6/12). Adems, en la parte inferior del diagrama de Rafael aparece el nmero 10 bajo la forma de la sagrada Tetractys como emblema pitagrico que resume las razones musicales.

la Armona de las EsferasLa doctrina pitagrica de la Armona de las Esferas es la quintaesencia de la belleza en la explicacin pitagrica del Cosmos divino armonizado de forma fascinante por la concordancia de las proporciones aritmticas y musicales, que extrapoladas al universo entero determinaran que los cuerpos celestes deban emitir en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinacin produca una maravillosa meloda permanente: La Msica de las Esferas. Tal vez Pitgoras se remontara a la Mitologa puesto que en el himno de Ares, Homero se dirige a los planetas como si fueran un coro de voces divinas. Adems, conocemos la aficin de los pitagricos a los ritos de Orfeo vinculados al poder del nmero y de la msica. De modo que Pitgoras racionalizara el sistema y la dara un valor mstico y cientfico. Segn relata Jmblico (Vida Pitagrica XV.65, pp.5253):

Sirvindose de un poder divino, inefable y difcil de comprender, Pitgoras aplicaba sus odos y concentraba su mente en la sublime sinfona del universo, l slo escuchando y entendiendo, segn sus manifestaciones, la universal armona y concierto de las esferas y de los astros que se mueven en ellas. Esta armona produce una msica ms plena e intensa que la terrenal por el movimiento y revolucin sumamente melodioso, bello y variopinto, producto de desiguales y muy diferentes sonidos, velocidades, volmenes e intervalos.

La msica csmica se produce porque los cuerpos celestes, al ser de tamao tan grande y moverse a velocidades gigantescas, emitan a travs delter un conjunto de sonidos de la misma manera que los cuerpos terrenales producen vibraciones cuando se mueven en el aire, como por ejemplo las velas de un barco cuando suenan con la brisa. Pero los hombres no pueden escuchar la meloda del barco csmico porque han crecido acostumbrados a ella, lo mismo que el herrero se ha acostumbrado al ruido de sus martillos. Adems, los cuerpos celestes que giran sin tregua en sus rbitas circulares, producen permanentemente armonas, de modo que al no haber intervalos de silencio no se puede apreciar la msica csmica. Es decir, el sonido armonioso de las esferas nos es congnito, pero no lo podemos or ya que el sonido y el silencio se perciben por mutuo contraste. En realidad la msica de los hombres no es ms que un eco de la Msica de las Esferas, pero su instinto innatoque hace que su alma resuene con la msica, le proporciona un indicio de la naturaleza de las armonas matemticas que se hallan en su fuente csmica. El sonido emitido por cada esfera corresponde a un tono diferente de la escala musical, dependiendo de los radios de sus rbitas como los tonos musicales emitidos por la cuerdas dependen de su longitud. La vida en la Tierra se ve afectada por la Msica de las Esferas porque sta gobierna los ciclos temporales de las estaciones, los ciclos biolgicos y todos los ritmos de la naturaleza. He aqu en breve sntesis la doctrina pitagrica de la Armona de las Esferas, desarrollada de forma clara y crtica por Aristteles en su obra Del Cielo (290 b y siguientes.)

La doctrina de la Armona de las Esferas prendi en la imaginacin de escritores de las generaciones posteriores, variando los detalles segn la evolucin de las teoras sobre el movimiento planetario. Platn, Plinio, Ptolomeo, Cicern, Plotino, Jmblico, San Agustn, Boecio, Filn, Casiodoro, San Isidoro, Shakespeare y otros muchos, aluden a ella frecuentemente. Pero quiz sea en la Oda a Salinas de Fray Luis de Len donde la mstica pitagrica alcanza la ms bella descripcin potica de la Msica de las Esferas.La idea pitagrica de la Msica de las Esferas no deja de ser una especulacin fantstica que hoy nos suena a msica celestial, pero tanto Kepler como Newton le escribieron pentagrama y Einstein fugas y lmites. Kepler bas en ella su inspiracin en la bsqueda de la armona del movimiento planetario, y en efecto, una ferviente combinacin de mstica pitagrica y meticulosa experimentacin permiti a Kepler encontrar sus famosas Leyes.

Como es natural la doctrina de la Armona de las Esferas ha tenido su influencia sobre la msica sinfnica, de modo que la crtica musical ha querido ver reminiscencias pitagricas en algunas composiciones como La Creacinde Haydn, As habl Zaratustra de R.Strauss y La Consagracin de la Primavera de Stravinski. Modernamente tambin Vangelis parece haberse inspirado en laMsica de las Esferas para la realizacin de algunas de sus composiciones, sobre todo en los de la serie televisiva Cosmos de C.Sagan.

Los nmeros poligonalesLos pitagricos solan representar los nmeros mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban segn las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los nmeros a figuras geomtricas obtenidas por la disposicin regular de puntos, cuya suma determina el nmero representado. As obtenan los diversos tipos de nmeros poligonales o figurados:

Los nmero triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ... Los nmero cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ... Los nmeros pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ... ...............................................................................Los nmeros poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagrica como un elemento esencial de su misticismo numrico: no slo las cosas son en esencia nmeros sino que los nmeros son concebidos como cosas, de modo que las expresiones nmeros triangulares o nmeros cuadrados no son meras metforas sino que esos nmeros son, efectivamente, ante el espritu y ante los ojos, tringulos y cuadrados.

.La asociacin del nmero con la imagen geomtrica permiti a los pitagricos la representacin visual de los nmeros combinando las dos esencias con que tiene que ver la Matemtica: el nmero y la forma, confiriendo a los nmeros propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgndoles de este modo un carcter universal e inmutable.La consideracin de los nmeros poligonales y su representacin geomtrico-visual permita, por una parte, constatar que ciertos nmeros tienen caractersticas diferentes que otros a tenor de las diferentes configuraciones geomtricas a que dan lugar, y por otra, el descubrimiento de forma geomtrico-emprica, casi corprea, de importantes propiedades de los nmeros y la obtencin de interesantes relaciones entre ellos. La polifiguracin numrica llevaba a extender conceptos de la Aritmtica como generalizacin de la experiencia prctica, desarrollando un atomismo numrico bellamente ilustrado en una geometra de nmeros figurados. stos, que son las primeras y las ms simples estructuras de la Geometra numrica estn en el corazn de las Matemticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la Teora de Nmeros.A partir de las distribuciones geomtricas de puntos que hicieron los pitagricos con los nmeros poligonales, aparecan, como evidencia empricovisual, numerosas propiedades de los nmeros enteros, al considerar la relacin entre rdenes consecutivos de nmeros de un determinado tipo y relaciones entre nmeros poligonales de tipos diferentes. As por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-simo nmero triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los siguientes esquemas grficos nos proporcionan importantes propiedades aritmticas de los nmeros enteros:

Los nmeros poligonales han sido uno de los tpicos ms atractivos de la Historia de la Aritmtica tratado por matemticos de la talla de Nicmaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Forman parte de las races histricas de la Teora de Nmeros, apareciendo en numerosos mbitos como por ejemplo en el Tringulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Anlisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el Clculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtencin de sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los nmeros poligonales ha alcanzado un valor prctico en una incipiente aplicacin criptogrfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitgoras se sita en el umbral del pensamiento matemtico.

La expresin de los diez primeros nmeros poligonales.

El Teorema llamado de PitgorasUna tradicin muy persistente con base documental en Vitrubio, Plutarco, Digenes Laercio, Ateneo y Proclo, atribuye el Teorema de Pitgoras al propio Pitgoras. Pero los descubrimientos arqueolgicos de los restos de las culturas de Mesopotamia, Egipto, India y China, han revelado que estas civilizaciones conocan aspectos del Teorema de Pitgoras muchos siglos antes que este sabio. Las referencias prehelnicas al Teorema no contienen, sin embargo, pruebas del mismo, mientras que es generalizada la creencia de que fue Pitgoras el primero en proporcionarnos una demostracin lgica del Teorema, lo que har justo que ste haya pasado a la historia con su nombre.

Digenes Laercio en su Vida de filsofosrecoge (Pitgoras VIII.7) una referencia de un tal Apolodoro El Calculador sobre Pitgoras, en la que asegura que este filsofo sacrific una hecatombe (cien bueyes), habiendo hallado que en un tringulo rectngulo la potestad de la lnea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo componen. Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en verso: Pitgoras hallada / aquella nobilsima figura / bueyes mat por ello en sacrificio. Estas ancdotas son, sin duda, ficticias, porque contradicen la filosofa pitagrica sobre la transmigracin de las almas, pero han contribuido a magnificar la leyenda que envuelve a Pitgoras, y adems determinaron que en la Edad Media al Teorema de Pitgoras se le llamara Inventum hecatombe dignum. La tradicin ha establecido que Pitgoras habra dado una prueba emprica del Teorema con base en las figuras adjuntas.

Muchos historiadores admiten que la demostracin de Pitgoras se basara en su propia Teora de las Proporciones imperfecta por aplicarse slo a cantidades conmensurables, de modo que la prueba de Pitgoras podra haber sido alguna de las dos siguientes :

Sea ABC un tringulo rectngulo, con el ngulo recto en A, y sea AD perpendicular al lado BC. Segn Euclides VI.8 los tringulos DBA y DAC son ambos semejantes con el tringulo ABC y semejantes entre s

Prueba 1. De la semejanza de los tringulos ABC, DBA y DAC resulta:

BA/BD = BC/BA , AC/CD = BC/AC (Euclides VI.4). De aqu se hayan las expresiones del llamado Teorema del cateto: BA2 = BDBC , AC2 = CDBC, que al sumarlas, se obtiene: BA + AC = (BD+CD)BC = BCBC = BC,

es decir: BA2 + AC2 = BC2.

En esta demostracin del Teorema de Pitgoras basada en el Teorema del cateto, se descompone, de forma implcita, el cuadrado sobre la hipotenusa, BCIK,en dos rectngulos, BDJK y DCIJ, cada uno de ellos con el mismo rea que cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos el rectngulo BDJK de rea como el cuadrado ABEF sobre el cateto AB ya que BA2 =BDBK, y el rectngulo DCIJ de rea como el cuadrado ACHG sobre el cateto AC ya que AC2 = CDCI.

Debemos observar que la figura exhibida forma parte de la figura que utiliza Euclides en su demostracin del Teorema de Pitgoras en la Proposicin I.47 de Los Elementos de Euclides, y adems, puntualizar que variantes de esta prueba se encuentran en el hind Bhaskara, en Leonardo de Pisa (Fibonacci)y en Wallis.

Prueba 2. De la semejanza de los tringulos ABC, DBA y DAC resulta, segn Euclides VI.19 (la razn entre las reas de los tringulos semejantes ser igual al cuadrado de la razn de semejanza): DBA/AB =DAC/AC =ABC/BC.

Pero de las propiedades de la suma de proporciones (Euclides 5.12) resulta:

ABC/BC2 = DBA/AB2;=DAC/AC2;=(DBA+DAC) / (AB2+AC2)=ABC / (AB2+AC2) por tanto se tiene: AB2+AC2=BC2.

Como vemos, estas pruebas del Teorema de Pitgoras mantienen su plena vigencia en los libros de texto de matemticas escolares elementales.

Quiz ningn teorema de la amplia Matemtica haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitgoras. De todas ellas la ms famosa es sin duda la realizada por Euclides en la Proposicin I.47 de Los Elementos. En la Edad Media esta Proposicin se la consideraba la base de toda slida formacin matemtica. En algunos centros docentes adems de exigir, para obtener el grado de maestro, un profundo conocimiento del Teorema, se obligaba a exhibir una nueva y original demostracin del mismo, por eso el Teorema de Pitgoras alcanz la honrosa designacin de Magister matheseos. Este hecho y la gran significacin del teorema explica la razn de las innumerables demostraciones que los matemticos y no matemticos de todas las pocas y personajes tan diversos como filsofos, monjes, polticos, juristas, ingenieros y artistas, han encontrado del ms famoso Teorema de la Geometra.

El Teorema de Pitgoras aparece por doquier en la Matemtica. Es la base de multitud de teoremas geomtricos, de la trigonometra y de la Geometra analtica. La ecuacin pitagrica x2+y2=z2 es la ecuacin de la circunferencia, la base de la frmula cos2a+sen2a=1 y el origen del Anlisis indeterminado de Diofanto y Fermat. Tambin pudo ser el germen del dramtico alumbramiento de la inconmensurabilidad en la Escuela pitagrica.

La aparicin del Teorema de Pitgoras en el horizonte histrico cultural pero tambin en el horizonte escolar seala el primer salto intelectual entre los confines de la especulacin emprica y los dominios del razonamiento deductivo. As pues, estamos ante un autntico paradigma para la Matemtica y sobre todo para la Educacin matemtica. Por esto y por su universalidad el Teorema de Pitgoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.

La Divina Proporcin y el Pentagrama pitagrico.

Uno de los tpicos pitagricos ms fascinantes y que ms influencia ha tenido sobre el Arte, la Mstica, la Biologa e incluso la Magia ha sido la Seccin urea o Divina Proporcin.Euclides introduce la nocin en la Definicin VI.3 de Los Elementos:

Se dice que un segmento est dividido en media y extrema razn cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.

Importantes especulaciones filosficas, teolgicas, naturales y estticas han surgido en torno a la Divina Proporcin desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geomtricas que conforman el mundo, siendo el Pitagorismo quien comienza a dar consistencia racional a toda esta doctrina. Puede decirse que donde haya una especial intensificacin de la belleza y la armona de las formas, ah se encontrar la Divina Proporcin, por ejemplo en muchos aspectos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraern su inspiracin. La Divina Proporcin, sobre todo en forma de rectngulo ureo (con las dos dimensiones en proporcin urea), constituye uno de los mtodos cannicos de composicin para obras de arte ms utilizados por toda clase de artistas a lo largo de toda la Historia del Arte interviniendo, adems, en el canon ideal de la belleza humana, en particular en las dimensiones del rostro y de la mano.

Buena parte de la Geometra pitagrica en relacin con la seccin urea, tuvo que ver con el pentgono regular. Ya se coment que la figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de un pentgono llamada Pentagrama mstico era una especie de smbolo de identificacin de la Escuela Pitagrica; por eso los pitagricos estudiaron exhaustivamente la construccin y propiedades del pentagrama. El Pentagrama mstico pitagrico se obtiene a partir de tres tringulos issceles iguales que tienen los ngulos iguales dobles del ngulo desigual. Este tipo de tringulo llamado ureo porque los lados iguales estn en proporcin urea con el lado menor se construye en la Proposicin 10 del Libro IV de Los Elementos de Euclides, cuyo contenido es de raz pitagrica en su mayor parte. En la siguiente Proposicin, la IV.11, se construye efectivamente el Pentagrama a base de inscribir en un crculo un pentgono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma sorprendente se cortan determinando segmentos que estn en proporcin urea siendo el segmento mayor igual al lado del pentgono (Euclides XIII.8).

El pentagrama mstico de Pitgoras fue un diagrama simblico esencial del esoterismo geomtrico de los pitagricos que trasmitido desde la antigedad hasta el siglo XVIII forma parte de dos tradiciones culturales importantes: los trazados de los arquitectos y las estrellas pentagonales del simbolismo mgico europeo, corrientes subterrneas que emergen a la luz a travs de la obra de Luca Pacioli LaDivina Proporcin, que con finalidad teolgica racionaliza los arcanos del misticismo geomtrico pitagrico, exhumando una ciencia geomtrica en cuyas fuente bebern Alberti, Durero y otros muchos artistas del Renacimiento.

Monedas griegas con el Pentagrama pitagrico halladas en Metaponto (450 a.C).

El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.La grandeza sublime del Teorema de Pitgoras y la mgica belleza del Pentagrama mstico pitagrico fueron dos caballos de Troya para la Geometra griega, porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la secta pitagrica donde aparecieron. Los Pitagricos, que, como filsofos presocrticos, haban considerado como ncleo dogmtico de su Filosofa que los nmeros son la esencia del universo, encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les haba llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numrico y la representacin geomtrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geomtricas ms simples, proporciona un terrible ente geomtrico, la diagonal, que no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal y el lado del pentgono. La creencia de que los nmeros podan medirlo todo era una ilusin. As quedaba eliminada de la Geometra la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se haba descubierto la magnitud inconmensurable, lo irracional no expresable mediante razones, el alogon, que provocara una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemtica. La sacudida que la aparicin del nuevo ente provoc en la Matemtica griega puede calibrarse por la leyenda apocalptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides:

Es fama que el primero en dar al dominio pblico la teora de los irracionales, perecera en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debera siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente toc y revel este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.

En el mismo tono apocalptico escribe Jmblico (Vida Pitagrica. XXXIV, 246247, p.141):

Se dice que primero que revel la naturaleza de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad pitagrica] hasta el punto de que no slo lo expulsaron de la vida y de la vivienda en comn, sino que incluso le erigieron una tumba como si l, que haba sido una vez compaero, hubiese abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirmanque la divinidad se enoj contra quien divulg la doctrina de Pitgoras, pereciendo como un impo en el mar por sacrlego al haber revelado la doctrina de los nmeros irracionales y la inconmensurabilidad.

Las circunstancias concretas del primer reconocimiento de inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo lugar. Aunque Proclo en sus Comentarios, lo atribuye al propio Pitgoras cuando escribe que este filsofo descubrila dificultad de los nmeros irracionales suele admitirse que fue hacia el 480 a.C. por Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al intentar reiteradamente de forma emprica encontrar una unidad que permitiera medir, de manera exacta, simultneamente la diagonal y el lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentgono regular.

El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la Historia de la Geometra, porque no es algo emprico, sino puramente terico. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban afectadas y deban ser reconstruidas todas las pruebas pitagricas de los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geomtricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagricos sobre la cuestin irracional y la leyenda del castigo por su divulgacin. Leyendas y conjeturas aparte, se comprende que el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjera un escndalo lgico en todo el mbito pitagrico, ya que exiga una revisin a fondo de los fundamentos de su Matemtica y su Filosofa, pero fue no slo la cuna de la Geometra griega sino uno de los componentes esenciales del milagro griego en Matemticas.

La tempestad provocada por el descubrimiento pitagrico de los irracionales precipit la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemtica, propiciando el horror al infinito, que caracteriza casi toda la Matemtica griega posterior. Como reaccin al lenguaje ingenuo de los pitagricos, mezcla de brillantes ideas matemticas, actitudes msticas y aforismos religiosos, se impondr el severo rigor de Los Elementos de Euclides. Pero el desarrollo de La Geometra al margen de la Aritmtica, la ausencia de un lgebra simblica y la conversin de toda la Matemtica en Geometra, con un estilo sinttico de exposicin que oculta la va heurstica del descubrimiento, fue el efecto ms inmediato.

La Cosmogona polidrica pitagrica.

Diversos historiadores de las Matemticas admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilnicas tenan conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitira a Grecia a travs de los viajes de Tales y Pitgoras.

Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides atribuye a Pitgoras la construccinde las figuras csmicas, nombre relacionado con su uso en la elaboracin de una cosmogona pitagrica que asociara los cuatro elementos primarios fuego, tierra, aire y agua, con los cuatro slidos tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro, respectivamente, mientras el dodecaedro como smbolo general del universo se relacionaba de forma mstica con el Cosmos, representacin del universo armnico ordenado por el nmero.

Aecio (basndose en Teofrastro) atribuye a Pitgoras la cosmogona descrita con estas palabras (W.K.C.Guthrie. Historia de la Filosofa griega. Vol.1. Gredos, Madrid,1999, p.256):

Por ser cinco las figuras slidas, denominadas slidos matemticos, Pitgoras dice que la tierra est hecha del cubo, el fuego de la pirmide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro est compuesta la esfera del todo.

Tambin Filolao y en parte Simplicio aseguran lo mismo, mientras que algunos escoliastas del Libro XIII de Los Elementos de Euclides aseguran que los cinco cuerpos platnicos no tuvieron su origen en Platn, sino que el cubo, la pirmide [el tetraedro] y el dodecaedro derivaban de los pitagricos y las otras dos formas de Teeteto.

Los pitagricos estaban fascinados por los slidos regulares, sobre todo por el dodecaedro, debido a la presencia del emblemtico pentgono en sus caras, generador al trazar las diagonales de la estrella pentagonal, llamada Pentagrama mstico, que era el smbolo de identificacin de los miembros de la secta pitagrica y responsable, junto con el Teorema de Pitgoras, de la aparicin de la inconmensurabilidad.

La construccin del dodecaedro era un secreto guardado celosamente, hasta el punto de que se fue fraguando una leyenda sobre el terrible fin de quien os divulgar sus misterios, relatada entre otros autores por Jmblico (Vida Pitagrica, XVIII.88, p.97):

De Hipasos cuentan que fue uno de los pitagricos que por haber divulgado por escrito por primera vez la esfera de doce pentgonos [la construccin del dodecaedro inscrito en una esfera] pereci en el mar por impo.

Y tambin, ms adelante (en Vida Pitagrica, XXXIV, 247, p.141), Jmblico escribe:

Dicen que la divinidad se enoj contra quien divulg la doctrina de Pitgoras, pereciendo como un impo en el mar por sacrlego el que revel cmo la estructura del icosgono (esto es el dodecaedro, una de las cinco figuras llamadas slidas) se inscriba en una esfera.

Este texto recuerda la descripcin apocalptica de muchos escritores acerca de la maldicin que cay sobre Hipasos de Metaponto por haber revelado la aparicin de lo inconmensurable. La analoga entre ambas leyendas avalara la tesis de que el advenimiento de la inconmensurabilidad habra tenido lugar a travs del pentgono de las caras del dodecaedro.

Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crtica histrica considera improbable que Pitgoras hubiera planteado la cosmogona descrita, ya que, por una parte, fue Empdocles de Agrigento el primero que distingui explcitamente los cuatro elementos primarios fuego, tierra, aire y agua, y por otra, segn mencionan diversas fuentes, los primeros pitagricos habran reconocido slo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyndose el octaedro y el icosaedro al brillante matemtico de la Academia, Teeteto, que realiz importantes aportaciones sobre los inconmensurables y que fue honrado por su amigo Platn con el nombre de uno de sus Dilogos (142a210d)..

El Quadrivium Pitagrico. Mediante lo que se considera la primera aplicacin histrica de la Matemtica a la descripcin de las leyes de la naturaleza, Pitgoras encuentra el fundamento matemtico de la consonancia musical. Quin podra imaginar que el espacio, el nmero y el sonido se combinaban en una correlacin armoniosa? La Aritmtica y la Geometra entraban en una comunin divina con la armona musical que es patrimonio de la Esttica y en ultima instancia apareca la matriz de la Filosofa pitagrica: el nmero es la esencia de todas las cosas. Si en el nmero est la clave del tono musical en l residir tambin la clave de toda la naturaleza. As pues, la Aritmtica y la Geometra se vinculan con la Msica, que de esta forma se convierte en una rama de las Matemticas.

Para Pitgoras la congruencia de lasconsideraciones cientficas sobre los nmeros, las figuras y las notas musicales, es decir, la concordancia de las proporciones aritmticas, geomtricas y musicales, y su extrapolacin al Cosmos, determina que los astros emiten en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinacin produca una maravillosa meloda perpetua: La Msica de las Esferas. El misticismo aritmtico de la Dcada tambin haba llevado a Pitgoras al establecimiento del primer sistema cosmolgico no geocntrico. Ambos elementos pitagricos, la Msica de las Esferas y su Cosmologa incluyen tambin a la Astronoma en el mbito matemtico, el cual quedaas completado en lo que con posterioridad a partir de Boecio que acuara el trmino en su obra aritmtica se llam las cuatro Artes del Quadrivium pitagrico Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma, que junto con las tres Artes del Trivium Gramtica, Retrica y Dialctica constituyen las Siete Artes liberales del curriculum medieva

El Quadrivium pitagrico. Fragmento del cdice de Nicolo da Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de Milan.

Las cuatro Artes Liberales del Quadrivium pitagrico Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma se representan de manera alegrica en forma de figuras de mujeres que llevan cada una de ellas atributos e instrumentosmatemticos distintivos. Las damas son como musas de los sabios matemticos que las acompaan en este icono la Aritmtica infunde la sabidura a Pitgoras, la Geometra a Euclides, la Msica a Tubalcan y la Astronoma a Ptolomeo. En otras representaciones del Quadrivium pitagrico es la Msica quien asiste a Pitgoras, siendo entonces la Aritmtica la consejera de Boecio.

Los cuatro Mathemata fueron considerados por Platn en La Repblica como enseanzas preliminares que haba que dominar antes de emprender el camino de la Filosofa.

El legado de Pitgoras. Herencia y vigencia del Pitagorismo.La pervivencia de la estela pitagrica a lo largo de los siglos es uno de los fenmenos culturales ms interesantes de la Historia del Pensamiento. Con Pitgoras nace por primera vez en la historia la confianza ilimitada en nuestra capacidad para explorar este universo, entendiendo por tal todo lo que el ser humano, que es razn y sentidos, puede percibir, incluyendo el universo interior. Por tanto podramos calificar de pitagrica la fe que ha presidido la tarea humana de ir haciendo comprensible para el hombre el Cosmos global (macrocosmos y microcosmos) y que ha inspirado toda la actividad cientfica durante los ltimos 2500 aos.

La comunidad pitagrica de ndole religiosa, cientfica y filosfica alumbr el llamado Pitagorismo, uno de los movimientos intelectuales ms influyentes y persistentes en la Historia de la Cultura. A partir de rudimentos rficos,la concepcin pitagrica del Cosmosamalgama elementos filosficos, racionales y matemticos con poticos, religiosos y msticos, buscando la comunin con lo divino en la contemplacin racional del universo, alcanzando una sntesis sumamente atractiva no slo para sus coetneos sino para muchas corrientes de inspiracin pitagrica durante muchos siglos. Pitgoras alcanza una armoniosa sntesis entre la mstica del espritu religioso oriental del que se impregna en sus viajes a Oriente y la cientfica visin del universo, desarrollando un potente movimiento cultural que lleg a ser mucho ms que una Escuela de Pensamiento, un autntico estilo de vida: el modo de vida pitagrico, del que habla Platn en La Repblica (Libro X, 600b).

De la Filosofa pitagrica arrancan dos sistemas de pensamiento muy diferentes. Los aspectos ms abstractos y lgicos fueron adoptados por Parmnides, y muy contaminados de misticismo, constituyen la base del idealismo platnico. En sentido opuesto, el atomismo numrico-geomtrico pitagrico (por ejemplo, los nmeros poligonales), recogido por Leucipo, adoptar un contenido materialista en el atomismo de Demcrito.

La mayor parte de la doctrina del Timeo que Platn no pone en labios de Scrates sino de un pitagrico natural de Lcride, ciudad prxima a Crotona, y en particular la cosmogona polidrica de Platn es pitagrica. De hecho la filosofa platnica tendi a ser interpretada como Pitagorismo por sus contemporneos y sucesores. As sucedi ya no slo con la cosmogona del Timeo, sino tambin con la concepcin platnica del almay la Teora de las Ideas, por citar algunos de los aspectos ms sobresalientes de la Filosofa de Platn. El propio Aristteles, que fue miembro de la Academia Platnica durante veinte aos, escribe refirindose a Platn (Metafsica, I.6, 987b): Su Filosofa sigue, en la mayora de las cosas, la de los pitagricos. Tambin B. Russell se expresa de forma parecida (Historia de la Filosofa Occidental. v.I.p.75): [...] lo que aparece como Platonismo [en muchos Dilogos de Platn] resulta despus de analizarlo, esencialmente Pitagorismo. La famosa inscripcin que se encontraba en el umbral de la entrada de la Academia Platnica No entre nadie ignorante en Geometra es de indudable origen pitagrico, como actitud reverencial del gran filsofo ateniense hacia las Matemticas. Podemos, por tanto, asegurar la decisiva influencia de la Filosofa pitagrica sobre Platn, quien con su incomparable profundidad filosfica y su inefable sensibilidad esttica, fue el prominente vehculo de transmisin de gran parte del pensamiento pitagrico a la posteridad, en particular a la ciencia alejandrina y a la primitiva iglesia cristiana, ambas empaadas de Platonismo.

La desaparicin de la Escuela pitagrica produjo una cierta dispora hacia la regin griega del tica que compondra el germen de la futura Academia Platnica, pero la tradicin pitagrica no se interrumpi en tierras italianas, sobresaliendo sobre todo las figuras de Filolao que sistematiz y difundi la doctrina pitagrica y Arquitas de Tarento (en cuyas fuentes directas bebera Platn). El propio Cicern asegura que el verbo de Pitgoras no ha dejado de resonar en Roma, y es ms que en Roma nadie era considerado instruido si no era pitagrico (Tusculanas, I.1, XVI). La influencia pitagrica contina en la Roma imperial; citemos a Sneca y Moderato de Cdiz (por aludir a dos figuras de races hispnicas), a San Agustn (que en su aplicacin de la doctrina de los nmeros lleva el misticismo pitagrico hasta el paroxismo), a los reconocidos pitagricos Nicmaco de Gerasa (de quien Proclo deca que era una reencarnacin del mismo Pitgoras) y Teon de Esmirna, a los clebres bigrafos de Pitgoras, Porfirio y Jmblico, al propio Proclo y a toda una plyade de pitagricos menores cuya doctrina, en amalgama bastarda con aspectos de la joven Iglesia de Cristo, har aparecer la Gnosis pitagrica con Simn el Mago, que en el curso de los siglos evolucionar, a travs de corrientes subterrneas de la cultura que tienen que ver con sus propios orgenes rficos, hacia las tendencias de Filosofa Hermtica que llegan hasta Agrippa de Nettesheim, Paracelso, Goethe, y alcanzan a las logias actuales.

La Edad Media tambin sufri la influencia del Pitagorismo. Por ejemplo, la doctrina de la Armona de las Esferas encuentra en el Medioevo su ms gloriosa expresin en la arquitectura de la grandes abadas y catedrales conscientemente diseadas segn las proporciones de la armona aritmtica, geomtrica y musical, metfora del orden universal. Adems, las cofradas de constructores y artesanos medievales trasmitieron de generacin en generacin un ritual inicitico en el que la Geometra pitagrica desempe un papel preponderante, interviniendo en la construccin de las grandes catedrales gticas donde hayamos toda una enciclopedia grfica en los trazados de rosetones en los que el mstico smbolo pitagrico del Pentagrama irradia luminosa magnificencia a travs de los vitrales.

En el Renacimiento la figura de Pitgoras tiene gran incidencia sobre el pensamiento de Nicolas de Cusa, de Jernimo Cardano y sobre todo de Giordano Bruno, quien llegaa escribir: [...] qued muy sorprendido al conocer las doctrinas pitagricas.

Pero la mayor influencia del pensamiento filosfico y matemtico pitagrico tiene lugar en la Filosofa de la Esttica, de modo que todas las cuestiones tratadas el concepto de Cosmos como universo ordenado a travs de la armona matemtica y musical, el fundamento aritmtico de la armona musical, la Teora de las Medias y Proporciones, la Msica de las Esferas, el Quadrivium pitagrico, la Divina Proporcin y los Poliedros regulares, son tpicos pitagricos de gran incidencia en la Historia del Arte. La fuente primigenia de la armona y la proporcin en el Arte del Renacimiento se remonta a las concepciones matemticas del pensamiento pitagrico, que al descubrir las sorprendentes relaciones proporcionales de la consonancia musical crey haber alcanzado la verdad absoluta de la estructura armnica del universo, tomndolas como principio generador en el macrocosmos y en el microcosmos del orden y la armona, basados en los nmeros. Estas ideas, reveladas por Pitgoras y plasmadas en el Timeo por Platn, han sido de trascendental importancia en la Historia de la Cultura, en general, pero sobre todo en el Arte, que al intentar dar expresin a ese orden se apoya en la verdad irrebatible de los nmeros y las relaciones espaciales, que parecen revelar esa armona preestablecida, ya que para muchos artistas la armona espacial ser el eco visible y el espejo de la armona csmica pitagrica, de ah que para los tericos y artistas del Renacimiento la armona como esencia y fuente de la belleza, se concibe como la perfecta relacin entre el todo y las partes y de stas entre s, en trminos de proporciones y razones matemticas. La concrecin prctica de las concepciones pitagricas sobre la armona en la configuracin de las proporciones artsticas en el Renacimiento se resume en la aplicacin de dos tipos cannicos de proporciones: las conmensurables relativas a las consonancias musicales y las inconmensurables vinculadas a la Divina Proporcin. Ambas derivan de la tradicin pitagrica. Sirva como frase emblemtica la plasmada por L.B.Alberti en De re Aedificatoria (1450-1485):

Tengo que afirmar de una vez por todas la opinin de Pitgoras de que la recta naturaleza est en todo,[...], y que los nmeros determinantes de que la concordancia de las voces sea agradable a los odos odos son exactamente los mismos que deleitan nuestra vista y nuestra mente

Pitgoras es uno de los artfices de la revolucin cientfica de la Filosofa jnica por haber encontrado, de forma emprica, el fundamento aritmtico de la armona musicalmediante la primera experiencia cientfica de la que hay constancia histrica, de modo que Pitgoras probablemente fue quien primero estudi las ms antiguas leyes cuantitativas de la Fsica, siendo el primer sabio convencido de que los fenmenos de la naturaleza podran entenderse y explicarse por medio de la Matemtica. Las investigaciones de Pitgoras sobre la msica constituyen las primeras leyes matemticas completamente generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el primer intento en la tradicin occidental de reducir las leyes de la fsica a relaciones matemticas, el primer paso hacia la matematizacin de la experiencia humana. En la Astronoma le cabe a Pitgoras el gran mrito de haber establecido el primer sistema cosmolgico no geocntrico. Aunque no se trata de un sistema propiamente heliocntrico tuvo una gran influencia en la revolucin copernicana. El espritu pitagrico pleno de pasin mstica por el conocimiento reaparece en momentos histricos en los que la evolucin del pensamiento cientfico realiza un viraje esencial. Tal es el caso de Kepler que, convencido de que la armona matemtica pitagrica deba haber presidido la labor del creador, aplica la mstica de la Cosmogona pitagrica y de la Msica de las Esferas, para alumbrar sus famosas leyes planetarias.

Para muchos pensadores Pitgoras es el fundador de la Filosofa y de la Matemtica europeas. As lo expresa literalmente el filsofo y matemtico A.N.Whitehead en su obra Science in the Modern World de 1925. De hecho fue Pitgoras, como se ha dicho, quien acu para siempre, los trminos Filosofa y Matemticas. Pitgoras es el iniciador del mtodo deductivo en Matemticas que hace de esta disciplina una ciencia racional independiente del empirismo. Pitgoras planta la semilla del razonamiento geomtrico que germinar con sus sucesores pitagricos, florecer en la Academia Platnica y fructificar con Euclides. Fue, pues, Pitgoras quien inici el milagro griego de realizar la organizacin racional de la Matemtica, aadiendo el elemento de estructura lgica a la Geometra. Es decir, el mrito de Pitgoras, ms all de la magnificacin inconmensurable del acervo matemtico buena parte del contenido de Los Elementos de Euclides es de procedencia pitagrica, fue la propia instauracin de la Matemtica como ciencia racional a travs de la idea y la prctica de la demostracin. Segn B.Russell (Historia de la Filosofa Occidental, vol.1, p.67):

La Matemtica como argumento deductivo-demostrativo empieza con Pitgoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las Matemticas en la Filosofa debida a Pitgoras, ha sido desde entonces muy profunda.

La demostracin es, pues, la aportacin esencial de Pitgoras a la Matemtica. Con Pitgoras, adems, el talento griego para la generalizacin, para la extraccin de la ley universal a partir de los casos concretos en sentido aristotlico: la forma a partir de la materia, haba empezado ya a causar su efecto. Por eso Pitgoras marca tambin un hito en la Historia de la Matemtica.

A partir de Pitgoras la Matemtica es universalmente considerada como un manantial inagotable de verdad objetiva, la ciencia por excelencia, la reina de las Ciencias que dira Gauss.

Para los pitagricos la Matemtica era la ciencia tipo paradigma del conocimiento; todo su sistema tiende al matematismo que impregna la ciencia de hoy. Y ms que la Matemtica en general, la ciencia de los nmeros: la Aritmtica. La suprema mxima pitagrica que resume su Metafsica el nmero es la esencia de todas las cosas es un antecedente de la clebre frase de Galileo en Il Saggiatore resumida en la forma:

El libro de la naturaleza est escrito en lenguaje matemtico.

Actualmente el aforismo pitagrico, ms all de su sentido alegrico, es una autntica realidad; y ello por varias razones. Hoy muchas disciplinas cientficas, incluso dentro del mbito social, estn fuertemente matematizadas. Es ms, la propia Matemtica, tras las penosas crisis de fundamentos de siglos pasados, ha encontrado sus cimientos lgicos en un proceso de aritmetizacin progresiva, que permite completar la cita de Gauss: [...] y la Aritmtica es la reina de la Matemtica, dando pleno significado a la clebre frase de Kronecker: Dios creo los nmeros naturales y todo lo dems es obra del hombre, que debemos interpretar como un mayesttico pronunciamiento pitagrico, que preparara la celebre frase de B. Russell publicada en La Nation (27-10-1924):

Quiz lo ms extrao de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo.

Ms an, hoy, a travs del proceso informtico de digitalizacin, puede llegar a ser un nmero sucesiones de ceros y unos buena parte de la creacin del intelecto humano desde una argumentacin discursiva hasta una composicin musical o una pintura en un lienzo y gracias a tal estructura magntica ser trasmitido, de forma casi instantnea, por va telemtica, a cualquier lugar del orbe terrqueo. As que Pitgoras, el filsofo del nmero est de plena actualidad.

Tambin en el terreno de la Educacin Pitgoras es un pionero ya que el Quadrivium pitagrico Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma sancionado por Platn en La Repblica, se convierte en la mdula de una instruccin liberal dominando gran parte del pensamiento pedaggico casi hasta nuestros das.

Si a propsito del Teorema de Pitgoras habamos dicho que este teorema pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos, a estas alturas podemos extrapolar la expresin para afirmar categricamente que la propia figura de Pitgoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.

Pitgoras no slo es el instaurador de la tradicin filosfica, cientfica y matemtica en Occidente sino que su proyeccin ulterior en la Historia de la Ciencia, de la Matemtica, de la Filosofa y del Pensamiento y la Cultura en general, es inmarcesible e imperecedera. No es extrao que el gran filsofo y matemtico B.Russell comience el captulo dedicado a Pitgoras de su Historia de la Filosofa Occidental, con esta palabras (vol.I, p.65):

Pitgoras es intelectualmente uno de los hombres ms importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento.

Sellos emitidos en Grecia el 20 de agosto de 1955 con ocasin de un Congreso sobre Pitgoras conmemorativo del 2500 aniversario de la fundacin de la primera Escuela de Filosofa de la historia. El primero representa al propio Pitgoras retratado en una moneda encontrada en Samos y el segundo es una imagen visual del Teorema de Pitgoras aplicado al sagrado tringulo egipcio.

EPLOGO:PITGORAS FILSOFO Y MATEMTICOPitgoras filsofo. Grabado de History of Philosophy. Thomas Stanley, 1660.La extensa e intensa actividad intelectual de Pitgoras y su Escuela ha dejado un legado que est en la raz de la Filosofa, la Ciencia, la Matemtica, la Cosmologa, la Msica, ..., y ha tenido influencia decisiva en el Arte, la Educacin, la Literatura, la Religin, la Mstica, la Ecologa, e incluso en la Magia y el Esoterismo.

Para Pitgoras Filosofa, Ciencia, Matemticas, Cosmologa y Religin, son aspectos indisociables que conforman un estilo de vida: el modo de vida pitagrico, imbuido por un entusiasmo mstico que promueve una pasin por el conocimiento mediante la especulacin filosfica y matemtica como parmetros esenciales cotidianos de la existencia.

El Pitagorismo, tamizado por la Filosofa platnica, est en la base de la fundamentacin filosfica e ideolgica del Cristianismo. En Pitgoras encontramos el primer antecedente histrico del sincretismo cultural Oriente-Occidente, del pacifismo,del feminismo,del socialismo, del vegetarianismo, del ecologismo y de otros muchos ismos y tendencias que hoy son lugares corriente en nuestra cultura. Pitgoras es el filsofo del nmero artfice mximo del milagro griego. Su figura histrica crea las races de la Filosofa y de la Matemtica, por eso su entidad intelectual es tan inconmensurable, que debemos situarla en el umbral del pensamiento occidental, como cuna del saber y del conocimiento

Pitgoras con los atributos de matemtico: el Dodecaedro, la Tetractys, el Tringulo Rectngulo, el Pentagrama Mstico y la Msica.Ilustracin de Pedro Lario Cruz,09/ 2000.

Pitgoras y los pitagricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemticos que fluanen el ambiente mstico y filosfico de la Escuela Pitagrica:

La doctrina aritmtica incluye la Aritmologa pitagrica de los nmeros msticos, la clasificacin de los nmeros, los nmeros perfectos y amigos y los nmeros poligonales. Es lo que se llama el misticismo aritmtico geomtrico, que incluye el descubrimiento del fundamento aritmtico de la armona musical y la construccin del primer sistema cosmolgico no geocntrico.

La doctrina geomtrica clsica atribuye a los pitagricos infinidad de teoremas elementales sobre tringulos, polgonos, rectas paralelas, crculos, esferas, etc., resultados que conforman gran parte de los trece libros de Los Elementos de Euclides. Los pitagricos aplicaban una teora restringida de figuras semejantes (vlida nicamente para el caso conmensurable) y segn testimonio de Proclo conocan los poliedros regulares. Adems, se consideran tpicos pitagricos el famoso Teorema sobre el tringulo rectngulo y la Divina Proporcin, ambos depositarios histricos del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.

Pero lo ms importante del legado pitagrico matemtico es la propia instauracin la Matemtica como ciencia racional a travs de la prctica de la demostracin.