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El teorema de Pitágoras fue demostrado en la antigua Grecia y representó un enorme avance en las matemáticas. Incluso algunos matemáticos con-temporáneos, como Ian Stewart, lo catalogan como la primera ecuación que cambió el mundo, debido a que la posibilidad de relacionar longitudes, áreas y números permitió el desarrollo de gran parte de las matemáticas, como la trigonometría o la geometría analítica. En esta unidad estudiaremos el teorema de Pitágoras, veremos algunas de sus aplicaciones y una de sus numerosas demostraciones.

• Conocer el teorema dePitágoras.

• Utilizar el teorema dePitágoras para calcular ladosfaltantes en un triángulorectángulo.

• Revisar una demostración delteorema de Pitágoras.

MATEMÁTICAS | UNIDAD 33

Teoremade Pitágoras

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Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°; en cualquier triángulo sólo puede haber un ángulo de este tipo, dado que la suma de los ángulos interiores es 180° (para que hubiera más de un ángulo de 90°, sería necesario que el tercer ángulo midiera 0°).

Losladosdeuntriángulorectángulorecibennombresespecíficos:los dos adyacentes al ángulo recto se llaman catetos, mientras que el opuesto a éste se denomina hipotenusa.

• Catetos• Hipotenusa• Cuadrado

El teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados del triángulo rec-tángulo:lasumadeloscuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipo-tenusa; entonces, si la hipotenusa es c y los catetos, a y b,tenemoslosiguiente:

a² + b² = c²

Un número positivo al cuadrado se puede representar geométricamente co- mo un cuadrado cuyo lado es igual a ese número. Por ello, el teorema de Pitágoras

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Observa que el cuadrado grande c², corresponde a la hipotenusa c, mientras que los otros dos cuadrados, a² y b², se relacionan con los catetos a y b, respec-tivamente.

Pitágoras demostró el teorema anterior hace más de dos mil quinientos años. Con el paso del tiempo, se han dado varios sobrenombres a su representación gráfica,inclusoalgunoslúdicos;porejemplo,hayquieneslellamanlos“calzo-nes de Pitágoras”, y lo representan así.

Enlafigura,loscuadradossonelcuerpoylas piernas de Pitágoras, mientras el trián-gulorectángulorepresentasus“calzones”.

Comprender la relación entre la hipote-nusa y los catetos es fundamental, pues ésta tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, por ejemplo, nos permitecalcular medidas y distancias, como veremos a continuación.

se puede representar al construir cuadrados so- bre los lados de un triángulo rectángulo, como se muestraacontinuación:

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Calcular la medida de lados en triángulos rectángulos

Cuando conocemos la medida de dos lados de un triángulo rectángulo, con el teorema de Pitágoras podemos calcular la medida del lado faltante. En general, la literal c representa la hipo-tenusa, mientras que a y b, representan a los catetos.

Si sabemos la medida de los dos catetos, a y b, basta con sustituir los valores conocidosenelteoremadePitágoras:c² = a² + b², para conocer la hipotenusa.

Observa,porejemplo,elsiguientetriángulo.

• c² = a² + b²• a² = c²−b²• b² = c²−a²

En este caso, a = 12 unidades y b=5unidades,entoncessetienelosiguiente:

c² = a² + b²c² = 12² + 5²c² = 144 + 25c² = 169c=√ 169c = ±13

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Al calcular la raíz cuadrada de cualquier número mayor que cero, ob-tienes dos resultados, uno positivo y uno negativo. Sin embargo, dado que estamos calculando la medida de un lado, el resultado debe ser positivo. Por tanto, la hipotenusa mide 13 unidades.

Si el lado desconocido es algún cateto, es decir, si conoce-mos la medida de la hipotenusa y de un cateto, obtener el valordelladofaltanteessencillo:enlaprimeraexpresión(c² = a² + b²)despejamosa o b, según corresponda, y sustituimos los valoresconocidos.Asíobtenemosdosfórmulas:a² = c²−b²y b² = c²−a².

Porejemplo:

En este caso, b = 15 unidades y c=17unidades,porloquealutilizarlaexpre-siónobtenemoslosiguiente:

a² = c²−b²a²=17²−15²a²=289−225a² = 64a=√ 64a = ±8

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De nuevo obtenemos dos valores, pero sólo consideramos el número positivo. Por tanto, el cateto desconocido, a, mide 8 unidades.

Enelejemploanterior,desconocíamoselvalordea; pero, si nos hubiera faltado la medida del cateto b, habríamos procedido de igual manera, sólo que usando la expresiónb² = c²−a².

Calcular la distancia entre dos puntos

Como comentamos anteriormente, el teorema de Pitágoras también permite calcular un dato importante en geometría analítica:ladistancia entre dos puntos. Para ver cómo hacerlo, marcamos enelplanocartesianodospuntos,juntoconsuscoordena-das:(x1, x2) y (y1, y2).

• Coordenadas• Distancia• Geometría

analítica

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Además, trazamos rectas que pasan por los puntos y son paralelas a losejes,lascualesseránperpendicularesentresí,demodoquehe-mos construido un triángulo rectángulo del cual conocemos las medidasdeloscatetos:

a = y2−y1

b = x2−x1

Así, con el teorema de Pitágoras, podemos calcular la distancia entre los dos puntos, c:

c² = a² + b² c² = (y2 −y1)² + (x2−x1)² c=√(y2−y1)² + (x2−x1)²

Notepreocupessinocomprendestodaslasletrasdelaexpresiónanterior.Eneste momento de tu preparación académica no es fundamental que entiendas porcompletolaexpresión,peroquisimospresentártelaparademostrarotraaplicación del teorema de Pitágoras.

Una demostración del teorema de Pitágoras

Existenmuchísimasdemostracionesdel teorema de Pitágoras. Una de las más conocidas y sencillas utiliza el binomio al cuadra-do y su desarrollo, el trinomio cuadrado perfecto, visto geomé-tricamente.Porello,paraexponer-la, utilizaremos lo que aprendiste en el repaso de las unidades anteriores, acerca de los productos notables.

• Misma área• Binomio al cuadrado• Congruencia

de triángulos

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Para demostrar el teorema, calcularemos el área de un mismo cuadrado de dos manerasdistintas.Observaquelossiguientescuadrados,elazulyelanaranja-do, tienen la misma área, pero se dividieron de distinta forma.

En el cuadrado izquierdo, como cada lado mide a + b, su área es igual a (a + b)².Esaexpresión,desarrollada,esigual

a² + 2ab + b².

El área del cuadrado derecho es igual a la suma del área de los cuatro triángulos congruentes y un cuadrado más pequeño. El área de cada trián-gulo es ab

2 , mientras que la del cuadrado pequeño es c². Así, el área de todo el cuadrado es 4(ab

2 ) + c².

Y,comolosdoscuadradostienenelmismotamaño,lasexpresionesanterio-resdebenseriguales:

(a + b)² = 4(ab2 ) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c² a² + 2ab + b²−2ab = 2ab + c²−2ab a² + b² = c²

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El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rec-tángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Enunciado

Teorema de Pitágoras

Representación algebraica

catetos Hipotenusa

Aplicacionesc² = a² + b²

Calcular la medida de un lado faltante

Calcular la distancia entre

dos puntos

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Durante una tormenta, un árbol se fracturó a una altu-ra de 1.60 m. Su punta cayó al suelo a una distancia de 7.40 m de la base. ¿Aproximadamente, cuánto medía de alto el árbol antes de fracturarse?

A) 1.7 m

B) 4.5 m

C) 7.6 m

D) 9.2 m