Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část27. listopadu 2012 VY_32_INOVACE_110206_Permutace_bez_opakovani_II._cast_DUM

obr. 1

Pojem permutace bez opakováníJak už dobře víme z minulé prezentace, permutací nazveme uspořádanou n-ticiz n prvků.Jedná se proto o speciální případvariace z n prvků bez opakování (všechny prvky v ní jsou různé, tj. neopakují se).

obr. 1

Vzorec pro počet permutací, n faktoriálPro počet všech permutací (pořadí) n prvků platí vzorec:

Symbol , který se čte n faktoriál, je definován:… pro každé Je účelné definovat:

obr. 2

Permutace bez opakování – praktická částV předcházejícím výukovém materiálu jsme se zaměřili naúlohy z oboru přirozených čísel i na úlohy týkajících sereálných situací z praktického života.V tomto výukovém materiálu se budeme v prvních dvou úlohách zabývat znovu využitím permutačního vzorce v reálných situacích, následující tři úlohy se zaměřují na sestavení a řešení rovnic s permutacemi bez opakování.

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1

Řešení úlohy 5Úloha 5

Řešení úlohy 2

Úloha 2

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Řešení úlohy 1

Úloha 4

Řešení úlohy 4

Závěr

Úloha 1 Určete počet způsobů, kterými se do pětimístné lavice může rozesadit 5 hochů, jestliže: a) 2 hoši chtějí sedět vedle sebe, b) jeden hoch chce sedět na kraji.

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1 a) Dva hoši sedící vedle sebe představují jeden prvek, jedná se proto o počet permutací (pořadí) čtyř různých prvků bez opakování. Přitom je třeba brát v úvahu, že daný počet permutací (pořadí) je nutné násobit dvěma, neboť oba dva jmenovaní hoši si vzájemně mezi sebou mohou vyměnit místa (levou stranu za pravou stranu). Platí tedy: Existuje celkem 48 způsobů rozesazení 5 hochů do pětimístné lavice, jestliže dva hoši chtějí sedět vedle sebe.

pokračování

obr. 3

Řešení úlohy 1b) V případě, že v pětimístné lavici chce jeden hoch sedět na kraji, bereme v potaz, že tyto kraje jsou dva. Ostatní čtyři hoši představují 4 prvky pro různé čtveřice (permutace bez opakování). Opět použijeme permutační vzorec pro 4 prvky. Výsledek je třeba znovu násobit dvěma z důvodu, že daný hoch může sedět na levém či na pravém kraji lavice. Platí tedy: Existuje celkem 48 způsobů rozesazení 5 hochů do pětimístné lavice, jestliže jeden hoch chce sedět na kraji.

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Úloha 2Sklad zásobuje 13 prodejen. Na rozvoz zboží používá jednododávkové auto, které z 1. naložení zásobuje 1. až 4. prodejnu, z 2. naložení zásobuje 5. až 8. prodejnu, z 3. naložení zásobuje 9. až 13. prodejnu. Kolika různými způsoby lze tak rozvoz uskutečnit ?

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2Rozvoz zboží na první naložení lze uskutečnit způsoby, neboť se jedná o permutace 4 prvků (prodejen) bez opakování, na druhé naložení taky způsoby, na třetí naložení způsoby.Celkem tedy platí: způsobůPro určení počtu všech způsobů jsme využili kombinatorické pravidlo součinu (vzájemně násobíme počty prvků 3 konečných množin).Rozvoz zboží do 13 prodejen s trojím různým naložením zboží lze uskutečnit celkem 69 120 způsoby.

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Úloha 3Řešte v oboru N rovnici:

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3 pokračováníObě strany rovnice upravíme s využitím permutačního vzorce: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány:Obě strany rovnice dále dělíme výrazem =30 =30 Z kvadratické rovnice určíme kořeny s využitím Viétových vzorců.Platí tedy: , odtud: Kořen nevyhovuje podmínkám definice výrazů v rovnici.

Řešení úlohy 3Podmínkám definice výrazů v rovnici pouze kořen: .O správnosti řešení se lze přesvědčit zkouškou (při stanovení podmínek není nutnou součástí řešení).Řešení rovnice je .

obr. 5

Úloha 4Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací 56krát. Kolik je prvků ?

zpět do nabídky úloh

obr. 6

Řešení úlohy 4 pokračováníNejdříve sestavíme podle zadání úlohy rovnici s permutacemi: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: . Obě strany rovnice dělíme výrazem Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijeme Viétovy vzorce: Odtud plyne ,že kořeny rovnice jsou: , .

Kořen nevyhovuje podmínkám definice výrazů.Rovnici vyhovuje kořen .Řešení je: . Celkem je 6 prvků.

Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úloh

obr. 6

Úloha 5Zmenší-li se počet prvků o dva, zmenší se počet permutací 30krát. Kolik je prvků?

zpět do nabídky úloh

obr. 7

Řešení úlohy 5Nejdříve sestavíme podle zadání úlohy rovnici s permutacemi: Stanovíme si podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Obě strany rovnice dělíme výrazem : Kořeny kvadratické rovnice určíme dosazením do Viétových vzorců: Odtud plyne, že kořeny kvadratické rovnice jsou:

pokračování

Řešení úlohy 5Kořen nevyhovuje podmínkám definice výrazů v rovnici.Kořen podmínkám vyhovuje.Řešením rovnice je .Celkem existuje 6 prvků.

obr. 7

zpět do nabídky úloh

ZávěrV pěti kombinatorických úlohách jsme se opět zaměřili na využití vzorce pro počet permutací bez opakování.S permutacemi bez opakování se tedy setkáme nejen při řešení matematických rovnic, ale i v reálných situacích z praktického života.

obr. 1

CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 181. ISBN 80-7196-109-4. 2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998, s. 290-291. ISBN 80-85849-78-X. 3) POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách II. Praha: Prometheus, spol. s r.o., 1999, s. 86. ISBN 80-7196-166-3.

CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:1) GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – Wikimedia Commons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 3) FLICKR. File:Five School Boys 2006-12-1.jpg - Wikimedia Commons [online]. 1 December 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Five_School_Boys_2006-12-1.jpg 4) DIMANOINMANO. File:Camion sgombero.jpg - Wikimedia Commons [online]. 13 September 2006 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Camion_sgombero.jpg

CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:5) AVERATER. File:Lots of math symbols and numbers.svg - Wikimedia Commons [online]. 8 June 2012 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lots_of_math_symbols_and_numbers.svg 6) RIBA. File:Math 2.png - Wikimedia Commons [online]. 16 December 2008 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_2.png 7) SHARKD. File:Camera focal length distance.gif - Wikimedia Commons [online]. 20 December 2007 [cit. 2012-11-27]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Camera_focal_length_distance.gif Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík