KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ

Mgr. Zdeňka Hudcová

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

DEFINICE

K-členná kombinace bez opakování z 

n prvků je neuspořádaná k-tice,

v níž nezáleží na pořadí prvků sestavená

pouze z těchto prvků tak, že každý prvek

se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

VÝPOČET PODLE VZORCE

!

1.....1.

k

knnn

kP

nVnC k

k

n

k

k nCnebo

KOMBINAČNÍ ČÍSLO „N NAD KÁ“

KOMBINAČNÍ ČÍSLO „N NAD KÁ“

n

k !!

!

knk

n

=

12!5

!567

KOMBINAČNÍ ČÍSLO

Vypočítej:

.

7

5

15

5

8

3

9

3

5

3

9

4

10

8

PROCVIČENÍ- VYPOČÍTEJ HODNOTU KOMBINAČNÍCH ČÍSEL

= !57!5

!7

!2!5

!73

21

Utvoř všechny dvojčlenné kombinace z čísel 1, 2, 3, 4

2,1

Kombinace jsou neuspořádané dvojice

2,1 3,1 4,1 3,2 4,2 4,3

1,2 Tatáž kombinace

SLOVNÍ ÚLOHY

1. Na písemné zkoušce z matematiky je 16 žáků, z nichž čtyři jsou na zkoušku výborně připraveni. Polovina žáků má vždy stejné zadání úlohy. Kolika způsoby můžeme žáky rozdělit, aby v obou skupinách byli vždy dva výborně připravení žáci?

n

ŘEŠENÍ

V každé skupině budou 2 výborní žáci z 4 a 6 ostatních z 12 žáků

16 žáků = 4 výborní + 12 ostatních

124 62 CC

12

6

4

25544

Odpověď: Žáky je možno vybrat 5544 způsoby.

2. Kolik prvků je třeba vzít, aby z nich bylo možné utvořit šestkrát více kombinací čtvrté třídy než kombinací druhé třídy?

nCnC 24 6ŘEŠENÍ

!2!2

!6

!4!4

!

n

n

n

n

!4!46!2!2 nn

!42346!4322 nnnn 7232 nn

06652 nn

Vyjádříme :

Řešíme kvadratickou rovnici n1,2=

11

-6 nevyhovuje

Odpověď: Je třeba 11 prvků

3. V rovině je dáno 10 bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik kružnic je jimi určeno?

ŘEŠENÍ Úvaha: Kružnice je určena 3 body

103Cn Vypočítej!

Výsledek: n=120

Odpověď: 10 body je dáno 120 kružnic

4. Určete, kolika způsoby je možno ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou právě dvě ženy.

74 42 CCn

7

4

4

2

23!4

!4567

2!2

!234

!3!4

!7

!2!2

!4

ŘEŠENÍ

Vypočítej!

Výsledek: n=210

210567

Odpověď: Způsobů výběru je 210.

5. Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenisu, jestliže bylo odehráno ve dvouhře celkem 21 utkání a hráči hráli každý jednou?

212 nC

042

421

21!2!2

!

21

2

2

nn

nn

n

n

n

ŘEŠENÍ Vypočítej!

2,1

1691681

n

D7

-6 nevyhovuje

Odpověď: Hráčů bylo 7.

Příklady na procvičení

1. Z kolika prvků lze vytvořit 66 kombinací druhé třídy?

2. Hokejové družstvo má 20 hráčů: 13 útočníků, 5 obránců, 2 brankáře. Kolik různých sestav by mohl trenér vytvořit, jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce, 1 brankáře?

3. V bedně je 28 výrobků 1. jakosti a 2 výrobky vadné. Kolikerým způsobem je možno vybrat pět výrobků tak, aby tři z nich byly 1. jakosti a dva z nich vadné?

4. Ve třídě je 20 dívek a 15 chlapců. Kolik různých pětičlenných skupin lze sestavit tak, aby ve skupině byli tři dívky a dva chlapci.