Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.

Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍII. část

20. září 2012 VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM

obr.1

O čem pojednává prezentace…

V 1. části prezentovaného učiva o variacích jsme se setkali s úlohami na jednoduché využití variačního vzorce, s úlohami na úpravu jednoduchých matematických výrazů s variacemi a s úlohami, kde se variace vyskytovaly v rovnicích.

Tato 2. část nám připomene, že variace je možné i využít v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří.

Variace bez opakování

Připomeňme si, co znamená v kombinatorice pojem variace bez opakování:

k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.

obr.2

Variace bez opakování

Abychom mohli opět počítat s variacemi, je třeba si znovu připomenout dva základní variační vzorce!

obr.2

1. vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu:

Poznámka 1: Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“Poznámka 2: n-faktoriál se definuje jako:

!( , )!

nV k nn k

! ( 1) ( 2) ... ( 1)n n n n n k

obr.2

2. vzorec pro počet variací

Pro k, n N0; k n platí:

( , ) ( 1) ( 2) ... 1V k n n n n n k

obr. 2

Variace bez opakování

V následujících sedmi variačních úlohách si přiblížíme další využití obou variačních vzorců, které už známe z minulé prezentace.

obr. 1

Úloha 1

Kolik různých šesticiferných přirozených čísel, v nichž se žádná číslice neopakuje, lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

obr. 3

Řešení úlohy 1Šesticiferná přirozená čísla mohou začínat na libovolnou číslici ze zadaných číslic, ale nikdy nesmí začínat nulou!Obsazujeme tedy šest pozic v čísle sedmi číslicemi, ale musíme přitom vyloučit všechny uspořádané šestice, které začínají nulou:

_ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (k=6, n=7) - (k=5, n=6)

Pomocí variací lze tedy psát:

Existuje celkem 4320 těchto čísel.

7! 6! 7! 6!(6,7) (5,6) 7! 6! 5040 720 4320

(7 6)! (6 5)! 1! 1!V V

obr.1

Úloha 2Kolik různých: a) lichých trojciferných přirozených čísel, b) sudých čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 5, 8 tak, že se žádná číslice neopakuje?

obr. 3

Řešení úlohy 2

a) Lichá trojciferná čísla musí končit na číslice 1 nebo 5, nesmí začínat číslicí 0.

Schematicky tuto situaci znázorníme: _ _ 1 - 0 _ 1 nebo _ _ 5 - 0 _ 5 (n=4,k=2) – (n=3,k=1) Pomocí variací bez opakování lze psát:

Řešení úlohy 2b) Sudá čtyřciferná čísla končí na číslice 0, 2, 8, ale nesmí začínat nulou, schematicky tuto situaci nejprve opět znázorníme:

_ _ _ 0 nebo _ _ _ 2 - 0 _ _ 2 nebo _ _ _ 8 – 0 _ _ 8

Pomocí variací lze psát:

Existuje 60 čísel.

obr. 2

Úloha 3

Kolik různých:a) přirozených čísel menších než 300,b) přirozených čísel větších než 5000 lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 tak, že se žádná číslice neopakuje?

obr. 3

Řešení úlohy 3ad a) Přirozená čísla menší než 300 z číslic 0,1,2,3,4,5 bez opakování: a1) trojciferná čísla začínající na číslice 1 nebo 2: 1 _ _ nebo 2 _ _ , ve variacích zapisujeme: 40 čísel a2) dvojciferná čísla nesmí začínat nulou, tzn. začínají na některou z číslic 1,2,3,4,5: 1 _ nebo 2 _ nebo 3 _ nebo 4 _ nebo 5 _, ve variacích zapisujeme: čísela3) jednociferná přirozená čísla z daných číslic jsou kromě nuly všechna ostatní čísla (1,2,3,4,5), tj. celkem 5 čísel

Celkem lze tedy sestavit 40 + 25 +5 = 70 různých přirozených čísel menších než 300.

Řešení úlohy 3ad b) Přirozená čísla větší než 5 000 z číslic 0,1,2,3,4,5: b1) čtyřciferná přirozená čísla musí začínat na číslici 5: 5 _ _ _ (n=5, k=3) Ve variacích lze psát: b2) pěticiferná přirozená čísla nesmí začínat na číslici nula: _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ (n=6,k=5) – (n=5,k=4) Ve variacích lze psát:

b3) šesticiferná přirozená čísla nesmí začínat nulou: _ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (n=6,k=6) – (n=5,k=5) Ve variacích lze psát:

Celkem tedy existuje 60+600+600 = 1260 různých přirozených čísel větších než 5000.

obr. 2

Úloha 4

Z kolika prvků lze vytvořit 30 variací 2. třídy bez opakování ?

obr. 3

Řešení úlohy 4Jedná se o variace 2.třídy bez opakování, tj. k=2, n=?.Počet těchto variací má být 30.

Lze tedy psát: (podmínkou je: n ≥ 2, n)Podle variačního vzorce přepíšeme:

Pomocí Viétových vzorců zapisujeme: Vyhovuje dvojice kořenů: Pro nejsou variace definovány (n ≥ 2), pro kořen provedeme zkoušku.

Řešení úlohy 4

Zkouška pro kořen :

Kořen vyhovuje.

Počet prvků pro vytvoření třiceti variací 2.třídy bez opakování je 6.

obr. 2

Úloha 5

Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací 2. třídy z těchto prvků vytvořených o 34. Kolik je prvků ?

obr. 3

Řešení úlohy 5Jedná se o variace 2. třídy bez opakování: Můžeme tedy sestavit rovnici:Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne, že: Při řešení rovnice dostaneme:

Pro kořen provedeme zkoušku.

obr. 2

Řešení úlohy 5Zkouška pro kořen :

Kořen vyhovuje.

Prvků je 8.

Úloha 6

Zmenší-li se počet prvků o 4, zmenší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených třikrát. Kolik je prvků ?

obr. 3

Řešení úlohy 6Jedná se opět o variace 2.třídy bez opakování: Sestavíme tedy rovnici: Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne:Při řešení rovnice dostaneme: Na dořešení kvadratické rovnice využijeme Viétovy vzorce: - nevyhovuje podmínce

Řešení úlohy 6

Pro kořen provedeme zkoušku.

Zkouška pro kořen :

Kořen vyhovuje.

Prvků je 10.obr. 2

Úloha 7

Z kolika prvků lze vytvořit sedmkrát více variací třetí třídy než variací druhé třídy ?

obr. 3

Řešení úlohy 7Jedná se o variace 2.třídy resp. 3.třídy: Sestavíme rovnici: Podmínky jsou: Z podmínek plyne: Po úpravě podle variačního vzorce následně řešíme rovnici: Pro kořen provedeme zkoušku.

Řešení úlohy 7Zkouška pro kořen

Kořen vyhovuje.

Prvků je 9.

obr. 2

POUŽITÁ LITERATURA

1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197. ISBN 80-7196-165-5.

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky:1) Search results - "math" - math 4 u color - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=search&cat=0&pos=1

2) People - Stick Figures - Stick sm 010 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png

3) People - Stick Figures - Stick sm 005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32

Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace.

Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík