Pénzügyi modellek

A képletek korlátai

Opcióárazás - Mi a modell célja

• Árazás? Nem igazán. Modellre épített árakból jelentős pozíciót vállalni elfogadhatatlan kockázatot jelent, mint azt láttuk az elmúlt húsz évben. Így az árak elsősorban a piacon alakulnak ki

• Előfordulhat, hogy olyan terméket akarunk árazni ami nem létezik pontosan a piacon, csak hasonlók. Ilyenkor jól jöhet a modell.

• Kockázatkezelés? Inkább. Ha pozíciót vállalunk, akkor szeretnénk tudni, hogyan kezeljük azokat a kockázatokat, amelyeket nem akarunk vállalni. Pl. csak a volatilitásról gondoljuk, hogy a piac félreárazza, akkor nem akarunk delta kockázatot futni

• Az arbitrázsmentes árazás fontos – de csak akkor ha gyakorlatban kivitelezhető

Black Scholes model

• Black Scholes formula pénzügyi termékekre kiírt opciók árát adja meg

• Inputként a mögöttes termék árát, árának szórását, a lejáratig hátralévő időt és a kockázatmentes kamatot használja fel

• Feltételezi a mögöttes termék árának lognormális eloszlását, az árak folytonos mozgását (mindkét értelemben) és a piacokhoz való folyamatos hozzáférést

• A formula régen ismert, Black Scholes a levezetéssel elméleti igazolást akart adni

• A szükséges feltételekről hamar kiderült, hogy nem állják meg a helyüket

Black Scholes a fedezés tükrében

• Detering és Packham megvizsgálta a következő kereskedési stratégiát: DAX opciókat eladunk a piacon majd a Black Scholes alapján fedezzük (naponta újrasúlyozva az indexet)

• A stratégia pozitív várható értékű (implied rendszerint nagyobb mint a realizált) és a szórás is nagy. A veszteség az opció prémium 25%-a 95% konfidenciaszinten és 41%-a 99% konfidenciaszinten

• A fedezeti stratégia teljesítménye nem javul akkor sem, ha a delta számításakor figyelembe vesszük az az implied volatilitás változását

• Black Scholes modell szerint opciónként is működnie kellene, de még statisztikailag sem működik

Kockázat kezelés

• Ideális kockázatkezelés piaci elemekből összállított statikus fedezés

• Példa: extinguishing swap

• Ha több lehetőség van, akkor mindig érdemes a leglikvidebb eszközosztállyal fedezni

• Black Scholes modellben a fedezés csak az opció tárgyára irányul – az ideális választás a forward használata, kiküszöböli a kamatkockázatot

• De mi történik ha a volatilitás változik? Ebben a modellben ezt nem tudjuk kezelni

Black Scholes a piacon

• A piaci opció árakat csak úgy lehet megkapni, ha a különböző lehívási árakhoz különböző volatilitást társítunk, vagyis a piac nem fogadja el a Black Scholes modellt – csak azt állítja, hogy használja

• Az eloszlás nem esik egybe a tapasztalattal – mint ahogy a piac 1987-ben megtanulta

• A folytonos fedezés nem lehetséges – likviditási és információ eloszlási korlátok miatt

• Kereslet kínálat itt is létezik

Alternatív modellek

• Az alternatív modellek a Black Scholes modell megkötéseit próbálják enyhíteni

• Sztochasztikus szórás – pl. Heston mean reverting szórás

• Lokális szórás – szórás függ a az eszköz árától

• Mean reverting modellek – elsősorban fx és kamat témakörben

• Multifaktor modellek kamat és kötvényopciók részére

• Egyéb eloszlások, pl. általános Lévy folyamatok, vagy Pareto eloszlás

Alternatív modellek értékelése

• Túl sok paraméter: overfitting, alacsony szignifikncia a paraméterekre

• A paraméterek időben nem stabilak, ráadásul a piaci mozgások intenzitása is befolyásolja őket

• A nem folytonos modellek eleve nem biztosítanak fedezési stratégiát

• Általában a modellek célszerszámok: bizonyos problémákat jól oldanak meg, másokat egyáltalán nem

• A modellek fedezési teljestménye még mindig hagy kivánnívalót maga után

Piaci információ korlátok

Minimális modell hiba

• Definiáljuk a megengedett modellek halmazát

• Keressünk ezen egy eloszlást valamilyen jósági kritérium alapján (pl a piaci árakhoz való illeszkedés)

• Egy adott fedezési stratégia modellhibáját egy adott modellre ki tudjuk számítani

• Az egyes modellekhez tartozó modellhibákat átlagoljuk a fentebb definiált eloszlás szerint – ez lesz a stratégiához tartozó modellhiba

• Azt ezt minimalizáló stratégia hibája lesz a minimális modellhiba

• Általában véve a modellből adódik az adott modellhez tartozó optimális modell

Minimális modell hiba

• Ha a minimális modellhiba nulla, akkor az ezt elérő stratégia modell-független

• Ha a modell nem folytonos, akkor nem lehet fedezni

• Modell független statikus fedezési stratégiák a legjobbak

• Általában a jósági kritérium befolyásolja a modellhibát

• Carr-Madan alapján, ha létezik likvid opció minden strike-ra és lejáratra akkor lehet statikus modell független fedezést csinálni

• Ez persze nem így van, de ezt a tényt fel lehet használni optimális fedezési stratégiák kidolgozására

A stratégiához alkalmazkodó modellek megtalálása a cél

• Általában épeszű trading stratégiában fontos a korlátlan kockázat elkerülése

• Ha nagy opciós portfoliónk van, kis gammával akkor alapvetően a várható érték fontos számunkra

• Ha stratégiánk a volatilitás monetizálása (például hosszú opció fedezése a mögöttes termék segítségével), akkor a szórás modellezése a legfontosabb

• Ha a stratégia passzív opció vétel vagy eladás, akkor elsősorban eseményvalószínűségek korlátok közé szorítása

• Gyakran a korlátozó feltételek – ha piaci információra épülnek – akkor egyben a fedezeti stratégiát is megmutatják

Mi is az a CDO

• Egyszerűen fogalmazva egy speciális cég

• Eszközei kötvények, vagy hasonló hiteleszközök

• Forrásszerkezete hierarchikus és számos részből áll

• A hierarchikus szerkezet miatt a különböző források kockázata is különböző

Teljes tőkeszerkezet

• A teljes tőkeszerkezet a klasszikus CDO, itt a források összege megegyezik az eszközök összegével

• Árazást a piac biztosítja, mivel a szervező bank eladja az összes forrást

• Létjogosultságát a ‚rating arbitrage’ adta, ugyanis a középső és felső részek a forrásban a ratinghez képest sokat fizetett

• Kockázatkezelésre a vevőknek van szüksége, de ezek általában lejáratig tartott eszközök voltak, így csak a veszteség valószínűségét próbálták megítélni

Szintetikus CDO

• A CDO-k ‚rating arbitage’-a legjobban a tőkeszerkezet közepén működik ezért ez volt a legjövedelmezőbb része

• Lehetne-e csak ezt a részét csinálni az üzletnek?

• Hát persze! Csináljunk modellt, árazzuk be a középső részt a modell alapján és mehet! Arbitrage!

• De valahogy meg kellene oldani a kockázatkezelést is, erre is kellene egy modell! Ez a modell nem biztos, hogy ugyananaz a modell mint az árazáshoz, hiszen dinamikus fedezésre van szükség

Szintetikus CDO: a piac

• Mivel a bankok számára a kereslet csak egyik irányban létezett, ezért féltek attól, hogy a paraméterek nem piackonformak

• Piaci szereplők ezért létrehoztak sztenderdizált indexekre épülő sztenderdizált forrásszeleteket

• Ezek együttesen lefedik a teljes tőkeszerkezetet, de nem kellett együtt kereskedni velük

• Lehet árazásra és fedezésre is használni

• Bankok egymás között és ügyfelekkel is kereskedtek ezekkel

Sztenderd modell

• Credit modellezése: csőd bekövetkezik vagy nem.

• Megállási idővel modellezzük, időtől független túlélési ‚sűrűség’, ebből következik hogy az exponenciális eloszlás logikus választás. Piac adja a kockázat semleges eloszlást

• Hogyan modellezzük az együttes eloszlást? A marginális eloszlást ismerjük, már csak egy copula függvényre van szükség, hogy összekovácsoljuk őket

• Sztenderd modell: normál copula. Egy faktor, ami a piacot modellezi plusz független azonos eloszlású zaj

• Legnagyobb előny – kevés paraméter becslésére van szükség és számítása könnyű

Sztenderd modell

• Input (elméletileg): az árazáshoz a túlélési valószínűségek és az ezek közötti összefüggések kellenek.

• Ha dinamikus fedezést akarunk, akkor valószínűleg modellezni akarjuk a valószínűségek változását is

• Output: az adott forrásszelethez tartozó kamatfelár, valamint a fedezéshez tartozó mennyiségek.

• A sztenderd modellben az összefüggések leredukálódnak egy ‚korreláció’ értékre, az egyes túlélési valószínűségek helyett pedig az átlagos érték szerepel

Problémák a sztenderd modellel

• Index és az index alkotóinak súlyozott átlaga nem ugyanaz. Átlag használata az egyes spreadek helyett. Bid-ask spread.

• Normál copula nem tud ‚tail dependence’-t modellezni.

• Általában véve nem feltétlenül van olyan korreláció, amely helyesen árazza az összes forásszeletet, nem feltétlenül egyértelmű a megoldás (-base correlation)

• Az indexszel való fedezés nem teszi lehetővé a realizált korreláció monetizálását

• A modell nem számol azzal, hogy a maradványérték különböző és szituációfüggő lehet

• A modell nem ad a Black Scholes modell levezetéséhez hasonló explicit algoritmust a fedezésre – statisztikai modell

Piaci tapasztalatok

• Prémium a konvexitásért

• Nagy kitettség egyedi kockázatnak – 2005 Ford and GM leminősítés

• Interakció a piac és a modell között – a modell ‚sikere’ az egész piacot elnyomta

• Korrelációs különbségek portfoliónként

Alternatív modellek

• Merton típusú strukturális modellek: például Variance Gamma modellek

• Student és double t-copula lehetővé teszi a tail dependence modellezését

• A sztochasztikus korrelációra épülő modellek jobban magyarázzák a korrelációs smile-t

• Marshall-Olkin copula megengedi az együttes csődöt pozitív valószínűséggel

• Igazi opciós modell nincs erre. Vasicek féle LHP közelítésre építve lehet összehozni valamit közvetlenül a veszteséget modellezve.

Összehasonlító eredmények a modellek között

• Gaussian és Student nagyon hasonló eredményekhez vezet

• Marshall Olkin lehetővé teszi a vastagabb farok eloszlást és ennek megfelelően a senior szeleteket magasabb felárral árazza

• A double t és sztochasztikus korreláció jobban illeszkedik a korreláció ‚smile’-ra, a double t a senior szeleteket a gauss és a Marshall Olkin között árazza

• A Variance Gamma modellek jól illeszkednek, de nem mondanak semmit a fedezésről

• Egyik modell sem kezeli a az intenzitás volatilitását

Senior szelet – tail dependence

• Ebben a szeletben a veszteség kis valószínűségű esemény

• A kiíró számára ez tipikusan statikus pozíció, legtöbbször pozitív bevétellel (hasonlít egy OTM opció kiírására)

• A modellezésnek figyelembe kell venni, hogy ha van veszteség, akkor valószínűleg szélsőséges helyzet következett be, és negatív események között sokkal nagyobb az összefüggés mint normális helyzetben

• Mivel az események időzítése sokkal kevésbé jelentős, mint az esemény bekövetkezése, ezért nyugodtan lehet az események előfordulására figyelni

Mezzanine szelet – előtérben a volatilitás és korreláció

• Mezzanine szelet sok szempontból az ATM opció párja – a határon van, egy két csődesemény előfordulhat, több ne nagyon

• Ennek megfelelően itt a legnagyobb a “gamma”, vagyis a pozíció fedezését itt kell leggyakrabban változtatni

• Ráadásul a korreláció változásának is itt van az inflexiós pontja

• Ezért bármilyen értelmes modellezésnek figyelembe kell venni a volatilitást

• A piaci faktor és az egyedi kockázatok volatilitását egyaránt

Equity tranche

• Csődesemény bekövetkezésének valószínűsége nagy

• Az előfordulás időzítése nagyon fontos

• Sokat számít a kamatfelárak eloszlása a portfolión belül

• Potenciális nyereség és veszteség összemérhető egymással

• Legérzékenyebb piaci mozgásokra

• Általában fundamentális elemzésre van szükség a pozíció válalásához

Záró megjegyzések

• A pénzügyi piacokon a modellek funkciója az árak és fedezési stratégiák korlátok közé szorítása

• Explicit és modell független replikáció nélkül csak segédeszköze az üzletkötésnek

• Leghasznosabb funkciója a nem triviális összefüggésekre való rávilágítás illetve fedezési stratégiák megtalálása