penentuan lengkung kubik newton
DESCRIPTION
Penentuan Lengkung Kubik NewtonTRANSCRIPT
3.4 PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK NEWTON
Sir Isaac Newton dilahirkan pada tanggal 4 Januari 1643 di Woolsthorpe-by-Colsterworth
yang merupakan sebuah desa di Lincolnshire. Ayahnya telah meninggal dunia tiga bulan
sebelum Newton dilahirkan manakala ibunya pula digambarkan sebagai seorang yang
berkarakter baik dan berintelek. Pada tahun 1661, Newton telah diterima masuk ke Trinity
College Cambridge untuk menyambung pelajaran dalam bidang undang-undang. Peraturan
di Cambridge telah didominasi oleh falsafah Aristotle namun pada tahun ketiga, pelajar telah
diberikan kebebasan untuk mempelajari falsafah yang lain. Newton telah mempelajari
falsafah Descartes, Gassendi, Hobbles dan Boyle. Newton telah merekodkan dapatannya
dalam bukunya yang bertajuk Certain Philosophical Questions.
Pada tahun 1665, beliau telah menemui teorem binomial umum dan mula
memperkembang teori matematik yang kemudiannya berkembang menjadi kalkulus.
Newton telah berjaya menamatkan pelajarannya semasa berumur 22 tahun. Pembelajaran
persendirian yang telah dilakukan oleh beliau telah berjaya mendorongnya
mengembangkan teori kalkulus, optik dan juga hukum graviti. Penemuan pertama Newton
adalah mengenai cahaya putih yang sebenarnya wujud berdasarkan pembiasan tujuh jenis
warna yang terdapat pada pelangi. Berpegang kepada hukum ini, beliau telah mencipta
teropong refleksi pertama yang digunakan oleh sebahagian besar penyelidik bintang pada
hari ini.
Rajah : Sir Isaac Newton
Salah satu pencapaian terbesar yang telah dicapai oleh Isaac Newton ialah
penyiasatan beliau mengenai pengkelasan lengkung kubik pada akhir abad ke tujuh belas.
Newton telah menjumpai 72 bentuk lengkungan yang berbeza manakala pengkaji lain telah
menemui enam lagi bentuk lengkungan yang menjadikan jumlah keseluruhan bagi lengkung
kubik sebanyak 78. Newton menyatakan bahawa semua kubik boleh dihasilkan melalui lima
unjuran parabola kubik yang berbeza.
Pengkelasan mengenai lengkung kubik Newton dinyatakan dalam topik ‘Curve’ pada
tahun 1710 oleh John Harris dalam buku yang ditulisnya bertajuk Technicum Lexicon yang
diterbitkan di London. Di samping itu, beliau turut menunjukkan bahawa mana-mana kubik
boleh didapati dengan unjuran yang sesuai bagi lengkung eliptik dengan persamaan berikut:
di mana unjurannya adalah transformasi birational, dan kubik umum juga boleh ditulis
sebagai:
Persamaan Newton bagi kelas pertama adalah:
Lengkung Newton yang ke-66 dinamakan sebagai Trident of Newton. Pengkelasan Newton
mengenai kubik telah dikritik oleh Euler kerana kekurangan kenyataan umum. Plucker
kemudiannya telah mengupas mengenai pengkelasan tersebut secara lebih mendalam
dengan menyatakan bahawa terdapat 219 jenis kubik.
y2=ax3+b x2+cx+d
y2=x3+ax+b
xy2+ey=ax3+b x2+cx+d
Newton telah mengenalpasti beberapa tingkah laku kualitatif yang mungkin wujud melalui
lengkungan yang mempunyai persamaan berikut:
yang mana a ,b , c… j ialah parameter tetap, manakala x dan y ialah pemboleh ubah.
Dianggarkan bahawa sekurang-kurangnya satu pekali awal ahingga d adalah bukan sifar
supaya ia dapat membentuk lengkungan kubik yang sah. Penyiasatan Newton boleh dikaji
dengan mengaplikasikan pengetahuan mengenai kalkulus dan aljabar seperti berikut:
a) Untuk mendapatkan idea mengenai kepelbagaian lengkung kubik, lukiskan graf
lengkung yang telah disenaraikan di bawah yang telah berlaku dalam persekitaran
geometri atau algebra tertentu.
Didapati bahawa pakej aljabar komputer adalah sangat berguna untuk menyelesaikan
persamaan bagi y dalam sebutan x dan kemudian menghasilkan graf. Walau
bagaimanapun, anda perlu berhati-hati dengan folium itu; anda akan perlu melakukan plot
parametrik untuk mendapatkan sekurang-satu ini dengan betul. Untuk memastikan bahawa
graf anda menunjukkan semua ciri-ciri lengkung, anda mungkin perlu untuk zum keluar
untuk melihat gambar global.
b) Andaikan kes khas y=f (x )=a x3 +b x2+cx+d di mana a≠0manakala b , c dand
adalah nombor nyata yang tetap. Tentukan bentuk-bentuk graf dari segi fungsi pekali
a x3+b x2 y+cx y2+d y3+c x2+ fxy+g y2+hx+ iy+ j=0
y (1+x2)=1, the witch of Maria Agnesi
y2(2−x )=x3, the cissoids of Diocles
x3+ y3=1, Lengkung Fermat bagi n=1
x3+ y3−3 xy=0 the folium of Descartes
yang sesuai. Adalah lebih mudah jika kita menganggarkan bahawa penyelesaian
bagi f ' (x)=0.
c) Dengan menggunakan cara yang sama, teroka bentuk bagi lengkung
x y=f (x)=a x3+b x2+cx+ddi mana a≠0. Kemudian tentukan bentuk bagi lengkung
dari segi pekali. Anda perlu membuat keputusan apabila persamaan c=0
mempunyai penyelesaian dalam bentuk tiga positif atau tiga negatif.
d) Teruskan penyiasatan anda dengan menganggarkan bahawa lengkung dalam
bentuk y2=f (x )=a x3+b x2+cx+d di mana a≠0. Kali ini, anda perlu mendapatkan
lima bentuk yang berbeza bergantung kepada ciri bagi punca f (x).
e) Newton telah dapat mempermudah persamaan kubik umum kepada empat
persamaan yang lebih ringkas berdasarkan perubahan koordinat yang sesuai.
Empat persamaan tersebut adalah:
Persamaan (1) dan (2) menyumbang kepada satu spesies daripada 78 spesies lengkung
kubik yang tidak dijana. Persamaan (3) menyumbang kepada lima spesies dan persamaan
(4) menyumbang kepada 71 spesies yang selebihnya. Berdasarkan persamaan (2) dan (3),
Newton menenekankan bahawa kedua-dua lengkung ini hanya menyumbang satu spesies
kepada katalog beliau. Ini adalah berdasarkan fakta bahawa ‘bumps’ boleh tergelincir keluar
apabila berlaku perubahan koordinat yang linear dan dibenarkan oleh Newton supaya ia
tidak boleh dipisahkan melalui skima spesifikasi beliau. Sebagai contoh, mulakan dengan
dengan lengkung y=x3−x dan lakukan perubahan pemboleh ubah x '=x dan y '= y+x .
Lakarkan lengkung pada titik x yang asal, koordinat y dan koordinat x 'dan y ' yang baru.
1) y=f (x )=a x3 +b x2+cx+d
2) x y=f ( x )=ax3+b x2+cx+d
3) y2=f ( x )=a x3+b x2+cx+d
4) x y2+ey=f (x)=a x3 +b x2+cx+d
f) Kita telah mengkaji tiga jenis lengkung kubik pada langkah (b) hingga (d). Secara
umum, langkah keempat adalah lebih rumit. Namun demikian, adalah tidak mustahil
untuk menyelesaikan y dalam sebutan x. Newton melakukannya dengan
mendarabkan x dan kemudiannya melakukan ‘completing the square’. Buat
sebarang kenyataan umum mengenai persamaan kubik yang keempat. Sebagai
contoh, berapakah titik di atas lengkung yang boleh menyentuh setiap nilai x?
Berapa banyakkah selang pada paksi x yang tidak boleh menyentuh setiap nilai x?
Berapakah asimptot yang mungkin?
Cara yang lain juga boleh digunakan bagi memansuhkan lengkung (selain daripada tidak
mempunyai nilai kubik) jika faktor-faktor yang menentukan persamaan menjadi hasil darab
bagi nilai tersebut. Sebagai contoh, x y2+ y=x3−x yang mempunyai faktor
(x+ y )(1+ xy−x2)=0. Berikan senarai yang lengkap mengenai lengkung kubik yang
dimansuhkan dengan menggunakan cara ini. Akhir sekali, gunakan komputer untuk
meneroka tentang persamaan kubik yang keempat.
Dalam usaha mentakrifkan persamaan kubik sebenar iaitu selain kuadratik, telah
diandaikan bahawa a ,b , c dand ialah bukan sifar. Newton berpendapat bahawa semua
persamaan dalam bentuk y=a x3+c x2+hx+ j=0 adalah dari jenis yang sama; persamaan
ini boleh mempunyai sifar atau dua ekstrema (titik ekstrem) yang cenderung sebagai infiniti
positif mahupun negatif. Hal ini telah menyokong fakta bahawa Newton menganggap dua
lengkungan akan mempunyai bentuk yang sama sekiranya perubahan koordinat
mentransformasikannya kepada posisi yang lain. Ciri-ciri utama bagi membezakan
lengkungan ialah:
Ciri-ciri yang membezakan lengkungan
Bilangan titik yang
bersilang
Kewujudan dan bilangan
gelung (loops) tertutup
Bilangan cabang asimptot
Isaac Newton telah membezakan lengkung kubik kepada empat buah kelas yang mana
setiap satu kelas tersebut dibahagikan kepada beberapa spesies. Berikut merupakan enam
jenis lengkung kubik yang akan dibincangkan:
3.4.1 Parabola Mencapah Newton
Parabola mencapah merupakan lengkung kubik bagi kelas yang ketiga. Menurut Newton,
parabola mempunyai kaki yang saling mencapah antara satu sama lain dan bersifat tidak
terhingga. Beliau menggunakan teorem bahawa setiap kubik boleh diperolehi melalui
unjuran di bahagian tengah iaitu dari satu permukaan kepada permukaan yang lain.
Persamaan bagi lengkung kubik ini adalah seperti berikut:
yy=a x3+bxy+cx+d
Rajah : Ciri-ciri yang membezakan lengkungan
Lengkung Kubik Newton
Parabola Mencapah
Newton
1) Parabola
Semikubik
2) Lengkung
Telur Newton
3) Kubik
Tschirnhausen 4) Hanya 1
punca nyata
5) Lengkung
Eliptik
6) Trident of
Newton
Rajah : Enam jenis lengkung kubik Newton
Parabola mencapah pula boleh dikategorikan mengikut jenis-jenisnya bergantung
kepada penyelesaian bagi sebelah kanan persamaan yang dinyatakan di atas. Rajah di
bawah menunjukkan jenis-jenis lengkungan kubik bagi parabola mencapah:
3.4.1.1 Tiga Punca Nyata
a) Semua Punca Nyata Sama: Parabola Semikubik
Sebagai salah satu lengkung kubik bagi parabola mencapah, parabola semikubik
merupakan keadaan lengkung kubik di mana tiga punca nyata bagi sebelah kanan
persamaan adalah sama. Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung semikubik:
Parabola Mencapah
Newton
Hanya 1 punca nyata
3 punca nyataSemua punca
nyata sama:
Parabola
semikubik
3 punca nyata & punca
yang tidak nyata:
Lengkungan telur Newton
2 punca nyata:
Kubik
Tschirnhausen
Rajah : Jenis Parabola Mencapah Newton dan jenisnya
Lengkung Eliptik
Rajah : Parabola Semikubik
Nama parabola semikubik diperolehi daripada perkataan ‘parabola kubik’. Nama ini
diberikan berdasarkan nilai kuasa tiga (kubik) yang telah dibahagikan dengan dua (semi).
Parabola semikubik juga dikenali dengan nama Parabola Neile bersempena dengan nama
William Neile (1637-1670) yang menemui lengkung ini pada tahun 1657. Lengkung ini
merupakan lengkungan aljabar yang pertama sekali mengambil kira jarak lengkungan.
Pengiraannya telah diterbitkan oleh Wallis pada tahun 1659 yang kemudiannya telah
mengkreditkannya kepada anak muridnya, Neile. Persamaan bagi parabola ini adalah
seperti berikut:
Pada tahun 1687, Leibniz mencabar rakan-rakannya dengan soalan tentang
lengkung isokronus; di bawah graviti, halaju menegak bagi objek yang bergolek di atas
lengkung ini adalah malar. Pada tahun 1690, Jacob Bernoulli mendapati bahawa lengkung
yang diberikan adalah parabola semi-padu (perubahan x dan y dalam formula di atas).
Pengetahuan mengenai lengkungan ini telah diaplikasikan oleh Dutch Van Heuraet dalam
melaksanakan kerja-kerja pembinaannya.
Lengkung semikubik juga boleh didapati dengan mengambil kira sesuatu objek,
contohnya Bumi sebagai punca graviti. Persamaan yang sepadan bagi jarak s(t) sebagai
fungsi masa t yang telah berlalu adalah s" = - gM/s ². Oleh yang demikian, tentulah mudah
bagi mengesahkan bahawa parabola semikubik t(s) adalah penyelesaiannya.
b) Tiga Punca Nyata & Punca Tidak Nyata: Lengkungan Telur Newton
y2=x3
Menurut Newton (1710), lengkungan telur merupakan parabola mencapah yang berbentuk
seolah-olah loceng dengan bucu yang berbentuk bujur. Newton menamakan lengkung ini
sebagai ‘lengkungan telur’ memandangkan bentuknya yang bujur seakan-akan sebiji telur.
Persamaan bagi lengkung ini adalah seperti berikut:
Melalui beberapa transformasi linear, tiga pemboleh ubah yang sepadan dengan
punca boleh dikurangkan kepada satu pemboleh ubah a sahaja. Berikut merupakan gambar
rajah bagi lengkungan telur Newton:
.
c) Dua Punca Nyata: Kubik Tschirnhausen
y2=(x2−1)( x−a)
Rajah : Lengkungan Telur Newton
Menurut Newton (1710), lengkungan Kubik Tschirnhausen merupakan parabola mencapah
yang dibentuk sama ada melalui Nodated dengan menyentuh lengkung bujur atau melalui
Punctuate dengan menggambarkan lengkung bujur sebagai sesuatu yang kecil dan tidak
terhingga. Dua daripada tiga punca nyata adalah sama. Lengkung ini mempunyai dua
bentuk. Berikut merupakan gambar rajah bagi Lengkungan Kubik Tschirnhausen:
Lengkung yang pertama adalah lebih biasa dilihat dalam literatur lengkung. Lengkung ini
juga boleh dilihat sebagai satu lingkaran sinusoidal (a = 1/3). Persamaan bagi lengkung ini
adalah seperti berikut:
Origin bagi persamaan di atas dipanggil sebagai kutub bagi lengkung. Lengkung ini
juga mempunyai persamaan kutub berbentuk r=cos−3φ dan ia juga dikenali sebagai
duplikatriks padu. Lengkung ini kemudiannya telah dikaji oleh Tschirnhaus pada tahun
1690. Pada tahun 1696 pula, ia telah dikaji oleh de L'Hôpital dan Catalan. Oleh yang
demikian, lengkung ini turut dikenali dengan nama Kubik Tschirnhaus, Kubik L'Hôpital dan
Trisektrik Catalan. Namun demikian, R.C. Archibald telah menamakan lengkung ini sebagai
Lengkung Kubik Tschirnhaus berdasarkan laporan yang telah ditulis oleh beliau pada tahun
1900.
y2=x2(x+1) y2=x2(x−1)atau
Rajah : Lengkungan Kubik Tschirnhausen
Antara ciri-ciri yang menarik mengenai Lengkung Kubik Tschirnhaus adalah:
Ciri-ciri Lengkung Kubik
Tschirnhaus
Merupakan katakaustik bagi
parabola
Katakaustiknya berbentuk
parabola semi kubik
Pedalnya adalah parabola
Merupakan sonsangan bagi
kutub Triseks MacLaurin
Merupakan pedal bagi Lengkung
Talbot
Merupakan sonsangan bagi folium mudah
Rajah : Ciri-ciri Lengkung Kubik Tschirnhausen
3.4.1.2 Hanya Satu Punca Nyata
Hanya terdapat satu punca nyata. Menurut Newton pada tahun 1710, jika terdapat dua
punca nyata adalah mustahil, maka akan ada Parabola Tulen yang berbentuk seperti
loceng. Berikut merupakan persamaan bagi lengkung ini:
Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung yang hanya mempunyai satu punca nyata:
3.4.1.3 Lengkung Eliptik
Adalah tidak mustahil untuk menentukan parabola mencapah sebagai salah satu jenis
lengkung kubik yang bersamaan dengan topologi torus a. Lengkung ini wujud dalam kajian
mengenai kamiran eliptik. Baru-baru ini, ia telah digunakan untuk membina kod ralat bagi
kerja-kerja membaik pulih. Ia juga telah digunakan dalam bidang kriptografi dengan gelaran
‘’lengkung eliptik sistem kripto’. Pada tahun 1997, telah dinyatakan bahawa lengkung eliptik
boleh dikesan dengan mudah berdasarkan simetri. Berikut merupakan persamaan bagi
lengkung ini:
y2=x (x2+a2)
Rajah : Parabola mencapah yang hanya mempunyai 1 punca nyata
y2=x3+ax+b
Bagi lengkung, parameter
adanb tidak boleh bersamaan
dengan sifar. Berikut merupakan gambar rajah bagi Lengkung
Eliptik:
Lengkung Eliptik merupakan lengkung bukan tunggal yang diaplikasikan dalam
sebarang bidang K di mana ia mempunyai punca nyata. Pada masa kini, Lengkung Eliptik
Rajah : Lengkung-lengkung Eliptik
biasanya dikaji dalam beberapa varian dalam fungsi eliptik Weierstrass yang mentakrifkan
sambungan kuadratik dalam fungsi rasional boleh diperoleh dengan mengekstrak punca
kuasa bagi kubik.
3.4.2 Trident of Newton
Trident of Newton merupakan lengkung kubik bagi parabola satah. Nama Trident of Newton
diberikan berdasarkan bentuknya yang seperti serampang tiga mata. Ia merupakan
lengkung kubik yang ke-66 dalam pengkelasan Newton terhadap kubik dan telah dikaji
sendiri oleh Newton dan Descartes. Ia terkandung dalam pengkelasan Newton terhadap
lengkung kubik dalam buku yang ditulis oleh John Harris bertajuk Lexicon Technicumby.
Oleh yang demikian, lengkung ini juga turut dikenali dengan nama Parabola Descartes
walaupun sebenarnya ia bukanlah parabola. Lengkungan ini akan menyentuh satah pada
satu atau tiga titik. Persamaan bagi Trident of Newton adalah:
Newton telah menyatakan beberapa ciri bagi lengkung ini iaitu ia mempunyai empat kaki,
dua kaki asimptot menghala paksi y dan dua kaki parabola. Bentuk yang paling mudah
adalah axy=x3−a3 seperti dalam gambar rajah di bawah. Dalam kes ini, posisi serpentin
dimansuhkan kepada titik infleksion.
xy=ax3+b x2+cx+d
Rajah : Lakaran lengkung axy=x3−a3di mana a=0hingga3
Descartes menggunakan lengkung ini untuk menyelesaikan persamaan sektik dengan
menentukan persilangan dengan bulatan. Ia juga diaplikasikan oleh Descartes dalam
proses pembinaan mekanikal dan Maclaurin dalam geometrik organik.
Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung Trident of Newton:
Terdapat dua persamaan subset bagi Trident of Newton iaitu:
Rajah : Lengkung-lengkung Kubik Trident of Newton
yx=(x+a)(x−a)(x−2a)
y=x2+ ax
Rajah : Lakaran lengkung axy=x3−a3di mana a=0hingga3
Newton telah meninggal dunia pada tahun 1727 ketika berusia 84 tahun. Beliau
telah mendapat penghormatan untuk disemadikan di Westminster Abbey. Sesungguhnya,
terlalu banyak sumbangan yang telah diberikan oleh Newton dalam bidang matematik.
Melalui sumbangan beliau, bidang matematik telah berjaya diperkembang dan diperluas
dari hari ke hari. Teorem-teorem yang diketengahkan oleh beliau juga masih digunakan dan
diaplikasikan oleh ahli-ahli matematik sehingga ke hari ini. Pemergiannya merupakan suatu
kehilangan yang besar bagi seluruh warga dunia.