fungsi kubik

25
FUNGSI Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu ekonomi, mengingat ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Yang dimaksud dengan fungsi berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (≤atau≥). Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai fungsi. Variabel ialah unsur pembentukan fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnnya ditulis Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4 Fekon 9

Upload: windawulansari

Post on 01-Dec-2015

1.708 views

Category:

Documents


70 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fungsi Kubik

FUNGSI

Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu

ekonomi, mengingat ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk

persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Yang dimaksud dengan fungsi

berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan

dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang

ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (≤ atau≥).

Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah

fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel,

koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk

fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara

kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali

mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau

sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai

fungsi.

Variabel ialah unsur pembentukan fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor

tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf latin. Dalam

matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnnya ditulis dengan huruf-huruf

kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalam sistem koordinat (absis dan ordinat) dalam

ekonomika, tidak terdapat ketentuan bahwa variabel dalam suatu persamaan harus ditulis

dengan huruf kecil. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua

macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independent

variabel ) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel

terikat (dependent variabel) ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Koefisien dan konstanta. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan

terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau

angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai

bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 2: Fungsi Kubik

Notasi sebuah fungsi secara umum : y=f(x)

Contoh konkret : y= 5 + 0,8x

Atau, karena y =f(x), bisa pula : f(x)= 5 + 0,8x

Bentuk y= f(x) diatas berarti menyatakan bahwa y merupakan fungsi x,besar kecilnya

nilai y tergantung pada atau fungsional terhadap nilai x. Masing-masing x dan y adalah

variabel. Dalam hal ini, x adalah variabel bebas karena nilainya tidak tergantung pada

variabel lain (y) dalam fungsi tersebut. Sebaliknya, y adalah variabel terikat karena nilainya

tergantung pada nilai x. Angka 0,8 adalah koefisien variabel x, karena ia terkait pada variabel

tersebut. Pada variabel y sesungguhnya terkandung sebuah koefisien lagi, yang besarnya

sama dengan 1. Namun karena angka 1 di depan sebuah variabel biasanya tidak di tuliskan,

maka koefisien koefisien 1 yang terikat pada variabel y itu seakan-akan tidak ada. Angka 5

dalam persamaan di atas adalah sebuah konstanta. Fungsi dapat digolongkan menjadi

beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar

dan kelompok fungsi non-aljabar. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada

skema berikut ini :

Dalam makalah kali ini akan dibahas mengenai bagian dari fungsi rasional yaitu

fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga.

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 3: Fungsi Kubik

FUNGSI KUBIK

Fungsi kubik atau berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya

adalah pangkat tiga.Bentuk umum persamaan fungsi kubik:

y=a+bx+cx2+d x3

Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point ),

yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung. Selain titik belok, sebuah

fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum ataau minimum ) atau

dua titik ekstrim (maksimum atau minimum ). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi

kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b,c dan d di dalam persamaannya. Dengan

demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik.

Kemungkinan-kemungkinan tersebut di perlihatkan oleh gambar-gambar berikut.

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 4: Fungsi Kubik

Gambar-ganbar diatas memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang hanya mempunyai

titik belok, tanpa titi ekstrem.Gambar dibawah memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang

mempunyai titik ekstrim.

Banyaknya penyelesaian, atau akar dari persamaan pangkat tiga, tergantung pada

berapa kali kurva memotong sumbu x dan kemungkinannya ada satu,dua,atau tiga

akar.Grafik fungsi pangkat tiga sedikit rumit untuk digambarkan dibandingkan dengan fungsi

kuadrat karena untuk menentukan titik-titik ekstrimnya dibutuhkan pengetahuan kalkulus.

Soal 1. Y= x3-x2-5x+2 = 0

Penyelesaian soal 1 :

1. x=-3

y=(-3)3-(-3)2-5(-3)+2

=-27-9+15+2

=-36+17

=-19

2. x=-2

y=(-2)3-(-2)2-5(-2)+2

=-8-4+10+2

=0

3. x=-1

y=(-1)3-(-1)2-5(-1)+2

=-1-1+5+2

=5

4. x=0

y=2

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -19 0 5 2 -3 -4 -5

Page 5: Fungsi Kubik

5. x=1

y=(1)3-(1)2-5(1)+2

=1-1-5+2

=-3

6. x=2

y=(2)3-(2)2-5(2)+2

=8-4-10+2

= -4

7. x=3

y=(3)3-(3)2-5(3)+2

=27-9-15+2

=5

Kurva:

Soal 2 : x3-1 =0

Y= x3-1

1. y=(-3)3-1 = -27

2. y=(-2)3-1 = -8

3. y=(-1)3-1 = -2

4. y=(0)3-1 = -1

5. y=(1)3-1 = 0

6. y=(2)3-1 = 7

7. y=(3)3-1 =26

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -27 -8 -2 -1 0 7 26

Page 6: Fungsi Kubik

Soal 3 : x3-2x2=2x-2

Penyelesaian soal no 3

x3-2x2=2x-2

x3-2x2-2x+2=0

1. (-3)3-2(-3)2-2(-3)+2=-37

2. (-2)3-2(-2)2-2(-2)+2=2

3. (-1)3-2(-1)2-2(-1)+2=1

4. (0)3-2(0)2-2(0)+2=2

5. (1)3-2(1)2-2(1)+2=-1

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -37 2 1 2 -1 -2 -5

Page 7: Fungsi Kubik

6. (2)3-2(2)2-2(2)+2=--2

7. (3)3-2(3)2-2(3)+2=-5

1. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik (jika ada), serta titik beloknya,

dapat dicari melalui penulusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua dari

fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik beloknya. Perhatikan

fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara grafik.

y=13

x3−3 x2+8 x−3 ……………… …………. fungsi kubik

y I=x2−6 x+8 …………………… Fungsi kuadrat parabolik

y II=2 x−6……… ………………………………… Fungsi linear

jika y I=0 , x2−6 x+8=0 , (x−2 ) ( x−4 )=0→ x 1=2 , x2=4

untuk x=x 1=2 , → y=13

(2 )3−3 (2 )2+8 (2 )=3,67

[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum]

→ yII=2 (2 )−6=−2<0(derivatif keduanegatif )

untuk x=x 2=4 , → y=13(4)3−3(4)2+8 (4 )−3=2,33

[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum]

→ yII=2 (4 )−6=2<0(derivatif kedua positif )

Jika y II=0,2 x−6=0→ x=3

→ y=13

(3 )3−3 (3 )2+8 (3 )=3 , (fungsi kubik y=f ( x )berada pada titik belok )

y I=32−6 (3 )+8=−1

[derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]

Jadi fungsikubik : y=13

x3−3 x2+8 x beradadi :

Titik maksimum pada koordinat (2;3,67)

Titik belok pada koordinat (3;3)

Titik minimum pada koordinat (4;2,33)

Soal no 4

Tentukan titik ekstrem dan titik belok fungsi kubik

y=− x3+15 x2−48 x

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 8: Fungsi Kubik

y=− x3+15 x2−48 x → y I=−3 x2+30 x−48 → yII=−6 x+30

syarat ekstrim: yI=0 ,−3 x2+30 x−48=0→ x1=2 , x2=8

x=2 → y=−8+60−96=−44

y II=−12+30=18>0

x=8 → y=−512+960−384=64

y II=−48+30=−18<0

Syarat titik belok : y II=0→ x=5

x=5 → y=−125+375−240=10

Soal 5 : sketsalah grafik dari fungsi y=(x+1)(x-1)(x-2)

x=-2→y=(-2+1)(-2–1)(-2–2 ) =-12

x=-1→y=(-1+1)(-1-1)(-1-2)= 0

x=0→y=(0+1)(0-1)(0-2)=2

x=1→y=(1+1)(1-1)(1-2)=0

x=2→y=(2+1)(2-1)(2-2)=0

x=3→y=(3+1)(3-1)(3-2)=8

Kurva:

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Titik belok (5,10)

Mak (8,64

Min (2,-44)

X -2 -1 0 1 2 3

Y -12 0 2 0 0 8

Page 9: Fungsi Kubik

Soal no 6 : tentukan d2 y/dx untuk y=2 x3−4 x2+7 x−5

Penyelesaian ,dydx

=6 x2−8 x+7

Soal no 7 : tentukan d2 y/dx untuk y=6 x3−6 x2+10 x+30

dydx

=18 x2−12 x+10

Soal no 8 : tentukan d2 y/dx untuk y=18 x3−10 x2+8 x+8

dydx

=54 x2−20 x+8

Soal no 9 : tentukan d2 y/dx untuk y=4x3-5x2+2x+16

dydx

=12 x2−10 x+2

Soal no 10 : tentukan d2 y/dx untuk y=15x3-10x2+5x+11

dydx

=45 x2−20 x+5

Soal no 11 : tentukan d2 y/dx untuk y=30x3-6x2+7x+11

dydx

=90 x2−12 x+7

Soal no 12 : tentukan d2 y/dx untuk y=11x3-7x2+8x+16

dydx

=33 x2−14 x+8

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 10: Fungsi Kubik

Soal no 13: sketsalah grafik dari y=f(x) =x3-4x2-3x+18

X=-2→y=-23-4(-2)2-3(-2)+18 = 0

X=-1→y=-13-4(-1)2-3(-1)+18 = 16

X=0→y=03-4(0)2-3(0)+18 = 18

X=1→y=13-4(1)2-3(1)+18 = 12

X=2→y=23-4(2)2-3(2)+18 = 4

X=3→y=33-4(3)2-3(3)+18 = 0

Kurvanya :

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

X -2 -1 0 1 2 3

Y 0 16 18 12 4 0

Page 11: Fungsi Kubik

PENERAPAN EKONOMI

1. Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan

jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)

yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah keluaran terhadap

presentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan

sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi

dinyatakan dengan P = f (X), maka elastisitas produksinya :

ηp=% ∆ P% ∆ X

=EPEx

lim ¿∆ x →0 ¿¿¿

Di mana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P’ atau f’(X)]

Soal no 14

Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 6X2 – X3. Hitunglah

elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.

Penyelesaian :

P=6 x2−x3 → P I=dpdx

=12 x−3 x2

ηp=dpdx

∙xp=( 12 x−3 x2 ) ∙ x

(6 x2−x3 )

Pada x=3 , ηp=(36−27 ) 3(54−27 )

=1

Pada x=7 , ηp=( 84−147 ) ∙ 7(294−343 )

=9

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 12: Fungsi Kubik

2. Biaya Marjinal

Biaya marjinal (marginal cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk

menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal

merupakan derivative pertamadari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan

dengan C=f (Q)dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka

biaya marjinalnya :

MC=C I=dCdQ

Soal no 15

Biayatotal :C=f (Q )=Q3−3Q2+4 Q+4 ;

Biaya Marginal : MC=C I= dCdQ

=3 Q2−6Q+4

Pada umumnya fungsi biaya total yang non – linear berbentuk fungsi kubik, sehingga

fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. Dalam hal demikian, seperti ditunjukan

oleh contoh kasus ini, kurva biaya marjinal (MC) selalu mencapai minimumnya tepat pada

saat kurva biaya total (C) berada pada posisi titik beloknya.

C=Q3−3 Q2+4 Q=4

MC=C I=3Q2−6 Q+4

¿

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 13: Fungsi Kubik

MC minimum jika¿

(MC )I=0→ 6 Q – 6=0 → Q=1

PadaQ=1 → MC=3 (1)2 –6 (1)+4=1

C=1 3 – 3(1)+4 (1)+4=6

3. Utilitas Marjinal

Utilitas marjinal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh

konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Secara matematik,

fungsi utilitas marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi

utilitas total dinyatakan dengan U=F (Q ) di mana U melambangkan utilitas total dan Q

adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

MU=U I=dUdQ

Karena fungsi utilitas total yang non – linear pada umumnya berbentuk fungsi

kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva utilitas marjinal

selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.

4. Produk Marjinal

Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan

faktor poduksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan

derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan

P=f (x )dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka

produk marjinalnya :

MP=PII=dPdx

Karena fungsi produk total yang non linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik,

fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolic). Kurva produk marjinal

(MP) selalu mencapai niilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva

produk total (P) berada pada posisi titik beloknya ; kedudukan ini mencerminkan berlakunya Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 14: Fungsi Kubik

hukum tambahan hasil yang semakin berkuranf (the law of the diminishing return). Produk

total mencapai pun caknya ketika produk marjinal nol. Sesudah kedudukan ini, produk total

menurun bersamaan dengan produk marjinal menjadi negative. Area di mana produk marjinal

negative menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru

akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan

produksi. Dalam area ini, jika produk total hendak ditingkatkan, jumlah masukan yang

digunakan harus dikurangi.

Soal no 17

Produk Total : P=F ( x )=9 x2−x3

Produk marginal : MP=P I=18 x−3 x2

Pmax pada P I=0 ; yakni pada x=6 , denganPmax=108

P beradadi titik belok dan

MPmax pada P II=( MP ) I=0 ;

yakni pada x=3

1. Efek perpajakan bagi penunggal.

Pajak , di samping merupakan sumber penting pendapatan negara, dapat pula

berfungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan “berlebihan” yang dapat di keduk oleh

penungal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang di produksi atau di

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 15: Fungsi Kubik

jual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-rata meningkat sebesar t, dan biaya

totalnya meningkat sebesar Qt. Akibatnya bukan saja harga barang menjadi lebih mahal,

tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal menjadi berkurang.

Penerimaan total : R=r (Q )

Biayatotal :C=c (Q )

Biayatotal sesudah pengenaan pajak :C=c (Q )+ t (Q )

Keuntungan sesudah pengenaan pajak :π=r (Q )−c (Q )−t (Q )

Pajak perunit : t Pajak total :T=t ∙ Q=f (t ,Q)

Soal no 18

Andaikan seorang penunggal atau monopolist menghadapi permintaan P=1000−2 Q

dan fungsi biaya totalnyaC=2000+1315 Q−59 Q2+Q3. Pemerintah memungut pajak sebesar

405 atas setiap unit barang yang di produksi atau di jual. Bandingkan keuntungan maksimum

yang di peroleh penunggal ini antara tanpa dan dengan pengenaan pajak ! berapa pajak total

yang di terima pemerintah ?

Tanpa pengenaan pajak :

R=PQ=1000Q−2 Q2

C=2000+1315 Q−59 Q2+Q3

π=R−C=−2000−315Q+57 Q 2−Q3

π max pada Q=35

πmax=13925 Pe=1000−2 (35 )=930

Dengan pengenaan pajak

Biayatotalmenjadi C=2000+1315 Q−59 Q2+Q3=+405 Q

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Keuntungan : π=R−C

π=r (Q )−c (Q)

Page 16: Fungsi Kubik

Fungsi keuntungan yangbaru : π=−2000−720 Q+57 Q2−Q3

π I=720+114 Q−3 Q2 π II=114−6Q

π max jika π II=114−6Q π max jika π I=0 dan π II<0

π I=0→−720+114 Q−3 Q2=0

Q2−38 Q+240=0 →Q1=8Q2=30

Q=8→ π II=66

Q=30 → π II=−66 (memenuh i syarat π maksimum )

Pajak total yang diterima pemerintah : T=t ∙ Q=405 (30 )=12150

[jika di analisis, dari jumlah 12.150 ini sebesar (10 x 30 = ) 300 merupakan beban pajak total

yang ditanggung oleh pihak konsumen , 11.850 selebihnya ditanggung oleh pihak produsen

alias sang penunggal. Hal ini mencerminkan kebijakan pajak cukup efektif untuk

mengendalikan keuntungan produsen monopolis].

Soal no 19

Andaikan seorang produsen monopolis menghadapi fungsi permintaan Q=100−5 P

dan biaya totalnya . pemerintah mengenakan pajak atas setiap unit barang

yang di jual oleh penunggal ini, dan menginginkan pajak yang diterimanya maksimum. Di

lain pihak, walau pun barang dagangannya dipajaki, produsen tetap menginginkan operasi

bisnisnya menghasilkan keuntungan maksimum. Berapa pajak per unit yang harus di tetapkan

oleh pemerintah agar penerimaan pajaknya, dan juga keuntungan produsen, maksimum ?

hitunglah masing-masing penerimaan pajak maksimum dan keuntungan maksimum tersebut.

Permintaan :Q=100−5 P → P=20−0,2 Q

Penerimaan : R=PQ=20Q−0,2 Q2

Biayatotal denganadanya pajak ≔20−4 Q+0,1 Q2+tQ

( t melambangkan pajak perunit )

Keuntungan : π=R−C=0,3 Q2+24 Q−tQ−20

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 17: Fungsi Kubik

π I=−0,6 Q+24−tπ max jika π=0→−0,6 Q+24−t → Q=(24−t)

0,6

T=tQ=t(24 t−t )

0,6=

(24−t 2 )0,6

T I=dTdt

=(24−2 t)

0,6

Tmax bila T I=0→(24−t )

0,6=0 → 24−2t=12

Jadi, Tmax bila t=12(bukti :T II=(−20,6

)<0)

π max jika Q=(24−t )

0,6=

(24−12 )0,6

=20

Adapunbesarnya Tmax=tQ=12 (20 )=240

Sedangkanπmax=−0,3 (20)2+24 (20 )−20=100

Hubungan biaya marjinal dengan biaya rata-rata.

Dalam ekonomi mikro terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal dan biaya

rata-rata, yakni bahwa pada saat biaya rata-rata mencapai nilai minimumnya maka biaya

marjinal sama dengan biaya rata-rata minimum tersebut. Secara grafik hal ini ditunjukkan

oleh perpotongan kurva biaya marjinal dengan kurva biaya rata-rata pada posisi minimum

kurva biaya rata-rata.secara matematik hubungan tersebut dapat di jelaskan sebagai berikut :

Andaikan biaya total dinyatakan dengan C = f(Q).

Maka :

Biaya marjinal : MC = C’ =dC/dQ

Biaya rata-rata : AC =C/Q

Syarat yang diperlukan agar AC minimum ialah bahwa derivatif pertamanya sama dengan

nol.

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 18: Fungsi Kubik

Menurut kaidah diferensiasi, jika y = uv

maka y’ = v u'−u v '

v2

AC = CQ

→ (AC)’ = QC '−C Q'

Q 2 = QC '−C

Q 2

[CQ’ = C, sebab jika Q = Q maka Q’ = dQ/dQ = 1]

Syarat agar AC minimum : (AC)’ = 0 → QC '−CQ 2

= 0

→ QC’ – C = 0 → QC’ =C → C’ = C/Q

Mengingat C’ ≡ MCdan C/Q ≡ AC

Pada posisi AC minimum : MC = AC, dCdQ

=CQ

Soal no 20

andaikan C = Q3 – 6Q3 + 15Q. buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama

dengan biaya marjinal.

biaya marjinal : MC = C’ dC/dQ = 3Q2 – 12Q +15

biaya rata-rata : AC = C/Q = Q3 – 6Q + 15

Hubungan produk marjinal dengan produk rata-rata.

Analog dengan hubungan antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, begitu pula

hubungan antara produk marjinal dan produk rata-rata. Produk marjinal sama dengan produk

rata-rata pada saat produk rata-rata mencapai posisi ekstrimnya (dalam hal ini posis

maksimum).

Andaikan produk total dinyatakan dengan P = f(X),

Maka :

Produk marjinal : MP = P’ = dP/dX

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9

Page 19: Fungsi Kubik

Produk rata-rata : AP = P/X

(AP)’ = X P '−P X '

X 2 = X P '−P

X 2

[PX’ = P, sebab jika P = P maka P’ = dP/dP = 1]

Agar AP maksimum : (AP)’ = 0 → X P '−PX 2

= 0 → P’ = P/X

Mengingat P’ ≡ MP dan P/X ≡ AP, jelaslah bahwa :

Pada posisi AP maksimum : MP = AP, dPdX

= PX

Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9