penelitian operasional - programa linier solusi grafis
TRANSCRIPT
2014/9/17
1
PROGRAM LINIER / PROGRAM LINIER / LINEAR PROGRAMMING LINEAR PROGRAMMING
AudityaAuditya PurwandiniPurwandini SutartoSutarto, PhD, PhD
1
2
Program Linier
Solusi GrafisMetode
SimpleksDualitas danSensitivitas
Tipe-tipeKhusus
Integer Programming
2014/9/17
2
Pendahuluan
Masalah Program Linier
Asumsi dalam Porgram Linier
Formulasi Masalah
Contoh Masalah Maksimasi Sederhana
Prosedur Penyelesaian Secara Grafis
Titik Ekstrim dan Solusi Optimum
Solusi Komputasi
Masalah Minimasi Sederhana
Kasus-kasus Khusus
PROGRAM LINIER PROGRAM LINIER –– SOLUSI SOLUSI GRAFISGRAFIS
PendahuluanPendahuluan
ProgramaPrograma Linier Linier tidaktidak adaada hubungannyahubungannya dengandenganpemrogramanpemrograman komputerkomputer..
KataKata “program/“program/programmingprogramming” ” bermaknabermakna memilihmemilihserangkaianserangkaian tindakantindakan
Program linier Program linier melibatkanmelibatkan pemilihanpemilihan serangkaianserangkaiantindakantindakan ketikaketika model model matematisnyamatematisnya hanyahanya berupaberupafungsifungsi linierlinier
PelopornyaPelopornya adalahadalah George B. George B. DantzigDantzig seorangseorang ilmuwanilmuwanahliahli teknikteknik matematikamatematika yang yang dipekerjakandipekerjakan militermiliter AS AS selamaselama PD II PD II untukuntuk memecahkanmemecahkan masalahmasalah logistiklogistikmilitermiliter
4
2014/9/17
3
5
MasalahMasalah ProgramaPrograma LinierLinier BertujuanBertujuan untukuntuk mmaksimasimmaksimasi atauatau minimasiminimasi
SemuaSemua permasalahanpermasalahan memilikimemiliki konstrainkonstrain//kendalakendala yang yang membatasimembatasi seberapaseberapa banyakbanyak fungsifungsi obyektifobyektif dapatdapatdicapaidicapai
SolusiSolusi LAYAK (LAYAK (feasible solution) feasible solution) memenuhimemenuhi semuasemuakonstrainkonstrain masalahmasalah..
SolusiSolusi OPTIMUM OPTIMUM adalahadalah solusisolusi layaklayak yang yang menghasilkanmenghasilkan nilainilai fungsifungsi obyektifobyektif maksimasimaksimasi terbesarterbesar((atauatau minmasiminmasi terkecilterkecil))
MetodeMetode solusisolusi grafisgrafis dapatdapat digunakandigunakan untukuntukmemecahkanmemecahkan masalahmasalah program linier program linier dengandengan duaduavariabelvariabel..
6
Asumsi dalam Model Program Linier
LinierityLinierity & & AdditivityAdditivity
FungsiFungsi tujuantujuan dandan semuasemua konstrainkonstrain harusharus linier. linier. SuatuSuatu kendalakendala yang yang melibatkanmelibatkan nn variabelvariabel akanakanmenghasilkanmenghasilkan hyperplanehyperplane ((bentukbentuk geometrisgeometris yang rata) yang rata) dalamdalam ruangruang berdimensiberdimensi nn
JumlahJumlah variabelvariabel keputusankeputusan dandan jumlahjumlah penggunaanpenggunaansumberdayasumberdaya bersifatbersifat aditifaditif
DivisibilityDivisibility
NilaiNilai solusisolusi yang yang diperolehdiperoleh tidaktidak harusharus berupaberupabilanganbilangan bulatbulat, , dapatdapat berupaberupa pecahanpecahan. . JikaJika nilainilai bulatbulatmutlakmutlak diperlukandiperlukan integer programminginteger programming
2014/9/17
4
AsumsiAsumsi
DeterministikDeterministik
Parameter model Parameter model diasumsikandiasumsikan diketahuidiketahui konstankonstan, , deterministikdeterministik. .
DalamDalam kenyataannyakenyataannya jarangjarang bersifatbersifat deterministikdeterministik analisisanalisis sensitivitassensitivitas
7
FormulasiFormulasi MasalahMasalah
FormulasiFormulasi MasalahMasalah atauatau Modeling Modeling adalahadalah prosesprosesmenerjemahkanmenerjemahkan masalahmasalah dalamdalam pernyataanpernyataanverbal verbal keke dalamdalam pernyataanpernyataan//bentukbentuk matematismatematis
FormulasiFormulasi model model merupakanmerupakan suatusuatu seniseni yang yang hanyahanya dapatdapat dikuasaidikuasai dengandengan banyakbanyak praktekpraktek dandanpengalamanpengalaman
SetiapSetiap masalahmasalah LP LP memilikimemiliki beberapabeberapa sifatsifat//fiturfiturunikunik, , tetapitetapi sebagiansebagian besarbesar masalahmasalah jugajuga memilikimemilikisifatsifat--sifatsifat yang yang umumumum ((miripmirip))
8
2014/9/17
5
9
FormulasiFormulasi ModelModel
MemahamiMemahami problem problem secarasecara keseluruhankeseluruhan..
MendeskripsikanMendeskripsikan tujuantujuan..
MendeskripsikanMendeskripsikan variabelvariabel..
MendefinisikanMendefinisikan variabelvariabel keputusankeputusan
MenulisMenulis fungsifungsi obyektifobyektif dalamdalam terminilogiterminilogivariabelvariabel keputusankeputusan..
MenulisMenulis konstrainkonstrain dalamdalam terminologiterminologi variabelvariabelkeputusankeputusan..
ContohContoh 1: 1: MasalahMasalah MaksimasiMaksimasiSederhanaSederhana
10
Max 5Max 5xx11 + 7+ 7xx22
s.t. s.t. xx11 << 66
22xx11 + 3+ 3xx22 << 1919
xx11 + + xx22 << 88
xx11 >> 0 and 0 and xx22 >> 00
FungsiFungsiObyektifObyektif
KonstrainKonstrain““RegularRegular””
KonstrainKonstrain non non negatifnegatif
2014/9/17
6
ContohContoh 11: : SolusiSolusi GrafisGrafis
11
GrafikGrafik untukuntuk KendalaKendala PertamaPertamaxx22
xx11
xx11 = 6= 6
(6, 0)(6, 0)
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
Area Area iniinimengandungmengandung
semuasemua titiktitik layaklayakuntukuntuk kendalakendala
pertamapertama
12
GrafikGrafik untukuntuk konstrainkonstrain keduakedua
22xx11 + 3+ 3xx22 = 19 = 19
xx22
xx11
(0, 6(0, 6 1/31/3))
(9(9 1/21/2, , 0)0)
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
Area Area iniinimengandungmengandungsemuasemua titiktitiklayaklayak untukuntukkendalakendala keduakedua
2014/9/17
7
13
GrafikGrafik untukuntuk KonstrainKonstrain KetigaKetigaxx22
xx11
xx11 + + xx22 = 8= 8
((00, , 88))
(8, 0)(8, 0)
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
Area Area iniinimengandungmengandungsemuasemua titiktitik layaklayakuntukuntuk konstrainkonstrainketigaketiga
14
xx11
xx22
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
22xx11 + 3+ 3xx22 = 19= 19
xx11 + + xx22 = 8= 8
xx11 = 6= 6
KombinasiKombinasi GrafikGrafik konstrainkonstrain yang yang menunjukkanmenunjukkanarea area solusisolusi yang yang layaklayak
Area Area LayakLayak
2014/9/17
8
15
GarisGaris FungsiFungsi ObyektifObyektif
xx11
xx22
(7, 0)(7, 0)
(0, 5)(0, 5)
FungsiFungsi ObyektifObyektif55xx11 + + 7x7x2 2 = 35= 35FungsiFungsi ObyektifObyektif55xx11 + + 7x7x2 2 = 35= 35
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
16
GarisGaris terpilihterpilih untukuntuk FungsiFungsi ObyektifObyektif
xx11
xx22
55xx11 + + 7x7x2 2 = 35= 3555xx11 + + 7x7x2 2 = 35= 35
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
5x1 + 7x2 = 425x1 + 7x2 = 42
5x1 + 7x2 = 395x1 + 7x2 = 39
2014/9/17
9
17
SolusiSolusi OptimumOptimum
xx11
xx22 GarisGaris fungsifungsi ObyektifObyektif MaksimumMaksimum5x1 + 7x2 = 46GarisGaris fungsifungsi ObyektifObyektif MaksimumMaksimum5x1 + 7x2 = 46
SolusiSolusi OptimumOptimum((x1 = 5, x2 = 3))SolusiSolusi OptimumOptimum((x1 = 5, x2 = 3))
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
18
TitikTitik EkstrimEkstrim dandan SolusiSolusiOptimumOptimum
TitikTitik pojokpojok padapada daerahdaerah layaklayak disebutdisebut titiktitikekstrimekstrim
SolusiSolusi optimum optimum suatusuatu masalahmasalah LP LP dapatdapatditemukanditemukan didi salahsalah satusatu titiktitik ekstrimekstrim daridari daerahdaerahlayaklayak..
KetikaKetika mencarimencari solusisolusi optimal optimal tidaktidak perluperlu tidaktidakperluperlu mengevaluasimengevaluasi semuasemua titiktitik didi daerahdaerah solusisolusilayaklayak melainkanmelainkan cukupcukup mempertimbangkanmempertimbangkan titiktitik--titiktitik kritiskritis sajasaja
2014/9/17
10
19
ContohContoh : : TitikTitik KritisKritis
xx11
Daerah Daerah LayakLayak
11 22
33
44
55
xx22
88
77
66
55
44
33
22
11
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 109 10
(0, 6 (0, 6 1/31/3))
(5, 3)(5, 3)
(0, 0)(0, 0)
(6, 2)(6, 2)
(6, 0)(6, 0)
20
SolusiSolusi MenggunakanMenggunakanKomputerKomputer
MasalahMasalah LP LP dengandengan 100 100 variabelvariabel dandan 1000 1000 konstrainkonstrain sekarangsekarang dapatdapat dipecahkandipecahkanmenggunakanmenggunakan bantuanbantuan program program komputerkomputer
Microsoft Excel.Microsoft Excel.
CPLEX, LINGO, MOSEK, XpressCPLEX, LINGO, MOSEK, Xpress--MP, and MP, and Premium Solver for Excel.Premium Solver for Excel.
The Management ScientistThe Management Scientist
2014/9/17
11
ContohContoh 2: 2: MasalahMasalah MinimasiMinimasiSederhanaSederhana
FormulasiFormulasi LPLP
21
Min 5Min 5xx11 + 2+ 2xx22
s.t. 2s.t. 2xx11 + 5+ 5xx22 >> 1010
44xx11 -- xx22 >> 1212
xx11 + + xx22 >> 44
xx11, , xx22 >> 00
GrafikGrafik untukuntuk KonstrainKonstrain KonstrainKonstrain 11: : JikaJika xx11 = 0, = 0, makamaka xx22 = 2; = 2; jikajika xx22 = 0, = 0,
makamaka xx11 = 5. = 5. HubungkanHubungkan (5,0) and (0,2). (5,0) and (0,2). TandaTanda">" side is ">" side is menyatakanmenyatakan daerahdaerah diatasdiatas garisgaris tersebuttersebut..
KonstrainKonstrain 22: : JikaJika xx22 = 0, = 0, makamaka xx11 = 3. = 3. NamunNamundengandengan men set men set xx11 = 0 = 0 makamaka xx22 = = --12, (12, (diluardiluar grafisgrafis). ). Set Set lahlah xx11 lebihlebih besarbesar daridari 3 3 3 3 lalulalu carilahcarilah xx22: : misalmisal xx11
= 5, = 5, makamaka xx22 = 8. = 8. hubungkanhubungkan (3,0) (3,0) dandan (5,8). (5,8). TandaTanda">“ ">“ didi sisisisi kana.kana.
KonstrainKonstrain 33: : JikaJika xx11 = 0, = 0, makamaka xx22 = 4; = 4; jikajika xx22 = 0, = 0, makamaka xx11 = 4. = 4. hubungkanhubungkan (4,0) (4,0) dandan (0,4). (0,4). TandaTanda
">" ">" beradaberada diatasdiatas garisgaris
22
2014/9/17
12
23
GrafikGrafik KonstrainKonstrainxx22xx22
44xx11 -- xx22 >> 121244xx11 -- xx22 >> 1212
22xx11 + 5+ 5xx22 >> 101022xx11 + 5+ 5xx22 >> 1010
xx11xx11
Area Area LayakLayak
1 1 22 3 3 44 5 5 6 6
66
55
44
33
22
11
xx11 + + xx22 >> 44xx11 + + xx22 >> 44
24
BuatlahBuatlah GrafikGrafik untukuntuk fungsifungsi ObyektifObyektif
TetapkanTetapkan nilainilai fungsifungsi obyektifobyektif samasama dengandengan suatusuatukonstantakonstanta sembarangsembarang ((misalmisal 2020) ) dandan gambarlahgambarlah! ! UntukUntuk55xx11 + + 22xx22 = = 2020, , jikajika xx11 = = 00, , makamaka xx22 = = 1010; ; jikajika xx22= = 00, , makamaka xx11 = = 44. . HubungkanHubungkan ((44,,00) ) dandan ((00,,1010).).
PindahkanPindahkan GarisGaris FungsiFungsi obyektifobyektif menujumenuju optimalitasoptimalitas
PindahkanPindahkan keke araharah dimanadimana nilainyanilainya terusterus menurunmenurun((karenakarena tujuantujuan minimasiminimasi) ) sampaisampai menyentuhmenyentuh titiktitikterakhirterakhir daridari daerahdaerah layaklayak yang yang ditentukanditentukan oleholeh duaduakonstrainkonstrain terakhirterakhir
2014/9/17
13
25
xx22xx22
44xx11 -- xx22 >> 121244xx11 -- xx22 >> 1212
22xx11 + 5+ 5xx22 >> 101022xx11 + 5+ 5xx22 >> 1010
xx11xx111 1 22 3 3 44 5 5 6 6
66
55
44
33
22
11
xx11 + + xx22 >> 44xx11 + + xx22 >> 44
GrafikGrafik FungsiFungsi ObyektifObyektif
Min 5x1 + 2x2Min 5x1 + 2x2
26
CarilahCarilah titiktitik ekstrimekstrim padapada pertemuanpertemuan antaraantara duadua konstrainkonstrain
44xx11 -- xx22 = 12= 12
xx11+ + xx22 = 4= 4
sehinggasehingga diperolehdiperoleh
55xx11 = 16 = 16 atauatau xx11 = 16/5 = 16/5 dandan xx22 = 4/5= 4/5
MasukkanMasukkan nilainilai tersebuttersebut keke dalamdalam fungsifungsi obyektifobyektif
55xx11 + 2+ 2xx22 = 5(16/5) + 2(4/5) = 88/5= 5(16/5) + 2(4/5) = 88/5
2014/9/17
14
27
xx22xx22
44xx11 -- xx22 >> 121244xx11 -- xx22 >> 1212
22xx11 + 5+ 5xx22 >> 101022xx11 + 5+ 5xx22 >> 1010
xx11xx111 1 22 3 3 44 5 5 6 6
66
55
44
33
22
11
xx11 + + xx22 >> 44xx11 + + xx22 >> 44
SolusiSolusi OptimumOptimum
SolusiSolusi Optimal:Optimal:x1 = 16/5, x2 = 4/5,
5x1 + 2x2 = 17.6
SolusiSolusi Optimal:Optimal:x1 = 16/5, x2 = 4/5,
5x1 + 2x2 = 17.6
RingkasanRingkasan ProsedurProsedur PenyelesaianPenyelesaianGrafisGrafis Program LinierProgram Linier
BuatlahBuatlah grafikgrafik yang yang mengandungmengandung solusisolusi yang yang layaklayak untukuntuksetiapsetiap konstrainkonstrain
TentukanTentukan area yang area yang layaklayak yang yang memenuhimemenuhi semuasemua kendalakendalasecarasecara simultansimultan..
GambarkanGambarkan garisgaris fungsifungsi obyektifobyektif
PindahkanPindahkan garisgaris--garisgaris fungsifungsi obyektifobyektif yang yang paralelparalel mengikutimengikutinilainilai fungsifungsi obyektifobyektif yang yang membesarmembesar ((atauatau mengecilmengecil padapadaminimasiminimasi) ) tanpatanpa melanggarmelanggar area area solusisolusi yang yang layaklayak..
SmuaSmua solusisolusi yang yang layaklayak padapada garisgaris fungsifungsi obyektifobyektif dengandengan nilainilaiterbesarterbesar ((atauatau terkecilterkecil padapada minimasiminimasi) ) adalahadalah solusisolusi optimunoptimun
28
2014/9/17
15
KasusKasus--kasuskasus KhususKhusus MasalahMasalah TidakTidak LayakLayak ((UnfeasibleUnfeasible))
Tidak ada solusi atas masalah LP yang mampu memenuhi semua kendala, termasukkondisi non negatif
Secara grafis, daerah layak ini tidak ada
Penyebabnya:
Kesalahan dalam formulasi model
Ekspektasi pihak manajemen terlalu tinggi,
Terlalu banyak batasan pada masalah tersebut(over-constrained)
29
30
ContohContoh 1: 1: MasalahMasalah TidakTidak LayakLayak
TinjauTinjau MasalahMasalah LP LP berikutberikut
Max 2Max 2xx11 + 6+ 6xx22
s.t. 4s.t. 4xx11 + 3+ 3xx22 << 1212
22xx11 + + xx22 >> 88
xx11, , xx22 >> 00
2014/9/17
16
31
Tidak ada titik yang memenuhi kedua konstrain, sehingga tidak ditemukan daerah yang layak (dantidak ada solusi yang layak)
xx22
xx11
44xx11 + 3+ 3xx22 << 1212
22xx11 + + xx22 >> 88
2 2 4 4 6 6 8 8 1010
44
88
22
66
1010
KasusKasus--kasuskasus KhususKhusus
Masalah Tak Terbatas (Unbounded)
Solusi untuk suatu masalah maksimasi LP dapat menjadi tidak terbatas jika nilai solusitersebut dapat dibuat besar tak terbatastanpa melanggar konstrain manapun
Dalam kasus nyata, hal ini dapat terjadikarena formulasi yang tidak tepat(umumnya ada konstrain yang tidakdimasukkan/diabaikan)
32
2014/9/17
17
33
TinjauTinjau MasalahMasalah LP LP berikutberikut
Max 4Max 4xx11 + 5+ 5xx22
s.t. s.t. xx11 + + xx22 >> 55
33xx11 + + xx22 >> 88
xx11, , xx22 >> 00
ContohContoh 2: 2: SolusiSolusi TakTak TerbatasTerbatas
Area yang Area yang layaklayak tidaktidak terbatasterbatas dandan garisgaris fungsifungsiobyektifobyektif dapatdapat dipindahkandipindahkan keluarkeluar daridari asalnyaasalnyatanpatanpa terbatasterbatas sehinggasehingga nilainilai fungsifungsi obyektifobyektif naiknaiktaktak terbatasterbatas
34
xx22
xx11
33xx11 + + xx22 >> 88
xx11 + + xx22 >> 55
66
88
1010
2 2 4 4 6 6 8 8 1010
44
22