مقدمه

پارامترها سایز و سیستم بهزه ها ریضه هىدس ی مکان روش خالف بز فزکاوس ی پاسخ تحلیل در هظز در تبدیل تابع های قطب تغییرات به پاسخ در تبدیل تابع فاس و دامىه صده، فزض ثابت

.میضىد گزفته

σ=0حالت بسیار مهم حالت . است s=σ+jω: بصىرت sهز قطب در صفحه

. است jω) با sجایگزینی )

مقدمه یک سیستم خطی تغییر هاپذیز با سمان پایدار تحت ورودی سیىىس ی در حالت ماهدگار هیز یک

خزوجی سیىىس ی با همان فزکاوس ورودی دارد و در حالت کلی دامىه و فاس خزوجی با دامىه و فاس . ورودی متفاوت است

G(s)

( )G j s j مثال

22 2 2 1/2

1

3 3 2( ) ( )

2 2 2

3 2 3 3( ) ( ) 4

4 4 ( 4

3( )

2

)

( ) ( )2

jG j G j

j j j

j

G ss

G j G j

G j tg

مقدمه

تحلیل حوزه فرکانسی سیستم هایLTI را می توان توسط روش های زیر انجام :داد

(Bode Diagram)دیاگرام های بود دیاگزام های بىد اس دو دیاگزام اهداسه و فاس بز حسب فزکاوس تضکیل صده است.

: اهداسه -۱

( بزای استفاده میضىد دس ی بلاس واحد )

: فاس بز حسب فزکاوس -۲

:فاکتىر است ۴صامل (G(sدر حالت کلی هز تابع تبدیل

kجمله ثابت 1)

(2,

جمله درجه یک بصىرت3)

بصىرت ۲جمله درجه 4)

( ) 20log ( ) logLmG j G j

( ) logG j

:pp s

: (1 )q

q Ts

2

2

2: (1 )

r

n n

sr s

( )LmG j

(Bode Diagram)دیاگرام های بود مثال:

بزای مثال و بداهیم را قبلی اسالید فاکتىر ۴ بىد دیاگزام رسم هحىه است کافی لذا G(s) این فىق ( فاس لحاظ اس هم و اهدسه لحاظ اس هم) کىیم جمع هم با را ها فاکتىر بىد های دیاگزام

2

2

2 4( )

2 4 3

20 log ( ) 20 log 20 log ( 2) 20 log ( 4)

20 log ( ) 20 log (( ) 2 4) 20 log ( 3)

s sG s k

s s s s

G j k j j

j j j j

رسم دیاگرام های بود جمله ثابتG(jω)=k

فزض k=10 یاk=0.1

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60

20

log

|GH

(j

)| (

dB

)

(rad/sec.)

20 log(10)

20 log(0.1)

رسم دیاگرام های بود جمله ثابتG(jω)=k

فزض k=10 یا k=0.1 ( اگزk=-10 )

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

(rad/sec.)

ph

ase

GH

(j )

(de

g.)

10 , 0.1

10

رسم دیاگرام های بودجمله

p=1

( )pG s s

db/dec 20خطی با ضیب

2 21 2 1 2

1 1

: to , if 10, : to , if 2

20 6

dec

db

oc

d

t

b

dec oct

میباصد 6-20بهزه بزابز ω=5است پس در 20dbبهزه ω=10چىن در

10 10 10( ) 20 log ( ) 20 log 20 logLmG j G j j

رسم دیاگرام های بودجمله

p=-1

( )pG s s

db/dec 20-خطی با ضیب

رسم دیاگرام های بودجمله

فىق جمله بىد دیاگزام رسم :هکته

.میکىیم رسم20p db/dec صیب با خطی :اهداسه

.میکىیم رسم 90p ثابت فاس با خطی :فاس

( )pG s s

2p

p=+2برای p=-2برای 40db/dec-خطی با شیب

p=-2برای

رسم دیاگرام های بودجمله

q=1

( ) (1 )q

G s Ts 2

1

20log 1 20log 1 ( )

10

120log 20log

3

(1 ) ( )

c

c

db

c

jT T

T

TT

Ts tg T

ωc ( : فزکاوس گىصه)فزکاوس صکست

20 db/dec

رسم دیاگرام های بودجمله

q=2

( ) (1 )q

G s Ts 2 2

2 1

20 log 1 40 log 1 ( )

10

140 log 40 log

6

(1 ) 2 ( )

c

c

db

c

jT T

T

TT

Ts tg T

0.1ωc 10ωc 100 ωc -180

-120

-60

0

60

120

180

Phase G

H(j

ω)

(deg

.)

ω(rad/sec.)

q=2

q=-2

0.5

40 db/dec

-60

-40

-20

0

20

40

60

20 log|G

H(j

)| (

dB

)

(rad/sec.)

q=-2 -40db/dec

ωc 10ωc

q=2 40db/dec

رسم دیاگرام های بودجمله

بود دیاگرام تقریبی رسم :نکته:

تا :اندازه ω= ωc 0 اندازه با خطیdb 20 شیب با خطی بعد بو نقطو این از و رسمq رسم .میکنیم

نقطو تا :فاز ω= 0.1ωc 45 شیب با خطی رسم سپس و 0 فاز با خطیq dB/dec نقطو تا ω= 10ωc 90فاز با خطی بینهایت تا نقطو این از آنگاه وq میکنیم رسم.

رسم دیاگرام های بودجمله

r=-1

2

2

2( ) (1 )

r

n n

sG s s

1

2 2

2 2

21

( )2

1 1

0 0

90

180

n

n n n

n

tg

j

رسم دیاگرام های بودجمله

r=-1 در شد مالحظه که همانگونه :نکته

اندازه دیاگرام بازاء قطع فرکانس اطراف

کلی طور به .باشد می پیک دارای

اندازه و(ωr) (تشدید) پیک فرکانس

:آیند می بدست زیر روابط از (Mr) پیک

2

2

2( ) (1 )

r

n n

sG s s

2

2

2

2

1 22

: 122 1

r n

rM

db/dec 40-شیب خط با

رسم دیاگرام های بود

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

=1

=1

=0.7

=0.7

=0.5

=0.5

=0.3

=0.3

=0.2

=0.2

=0.1

=0.1

=0.05

=0.05

(Mp)اوج تشديد Resonance Peak

( )فركانس تشديد Resonance Freq.

p

نمودار بودي سيستم درجه دوم

2

2 2

2

2

1

1 2 / ( / )

n

n n s j

n n

s s

j

رسم دیاگرام های بودِجول

:ًکتِحالت r=1 : ِایذ هی دست بِ هتٌاظش ّای ضکل ٍ ّا ػباست کشدى هؼکَس با سادگی ب.

2

2

2( ) (1 )

r

n n

sG s s

رسم دیاگرام های بود :بَد دیاگشام سسن کلی هشاحل

.ًواییذ بیاى قبلی ّای اسالیذ دس ضذُ بیاى فاکتَس ۴ بصَست سا تبذیل تابغ -۱ .دسآٍسیذ باضٌذ یک ثابت ػباسات کِ فشکاًسی پاسخ هٌاسب بصَست سا فاکتَسّا -۲ .کٌیذ جایگضیي jω با سا s تبذیل تابغ دس -۳ .کٌیذ هطخص فاکتَسّا دس سا (قطغ) (گَضِ) ضکست ّای فشکاًس -۴ کٌیذ سسن جذاگاًِ سا ّا فاکتَس اص کذام ّش فاص ٍ اًذاصُ بَد ّای دیاگشام -۵ .ًوائیذ سسن ۵ بٌذ ّای دیاگشام جوغ با سا کلی فاص ٍ اًذاصُ بَد دیاگشام -۶

:باضذ کٌٌذُ کوک صیش سٍابط است هوکي فاص دیاگشام سسن دس :ًکتِ .است سیستن ًَع با بشابش m کِ

.است G صَست دسجِ G ٍ m هخشج دسجِ n کِ

0

( ) 90G j m

( ) 90( )G j n m

معیار های پایداری در حوزه فرکانس :میضىد استفاده سیستم یک وسبی پایداری تعیین بزای سیز معیار دو اس فزکاوس حىسه در

(phase Margin) فاس حاصیه - Gain Margin) ۲) بهزه حاصیه -۱

:سیستم یک پایداری صزط

: PM و GM معقىل محدوده

20 log ( )Gain Margin(GM):

: ( ) 180

180 ( )Phase Margin(PM):

: ( ) 1 0

db c

c

p

p p db

GM G j

G j

PM G j

G j

2 6 4 12

30 60

dB GM dB

PM

باز سيستمي برابر است با-تابع تبديل حلقه: مثال

تابع پاسخ فركانسي اين سيستم عبارت است از

2 2

160( 1)( )

( 16)

sGH s

s s s

2 2

10(1 )( )

( ) 1 /16 (j / 4)

jGH j

j j

rad/sec 1 =فركانس شكست

rad/sec 4 =فركانس شكست

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

602

0 lo

g|G

H(j

)|

(d

B)

(rad/sec.)

0 dB/dec

20 log(10)

0 dB/dec

20 log |1+j|

20 log |1/(j | 2

20 log |1/(1+j/4 /4 | 2

4

=8 dB

40

20 log |GH(j|

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

(rad/sec.)

ph

ase

GH

(j )

(de

g.)

0.4 40

1/(j 2

1+j

GH(j

1/(1+j/4 /4 2

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60

20 log

|GH(j

)| (dB

)

(rad/sec.)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

(rad/sec.)

ph

ase

GH

(j )

(de

g.)

10 -1

10 0

10 1

10 2

10 3

60

40

20

0

-20

-40

-60

1.6 p

3.4 p

18 dB 10 dB

5.7 1

-27 o

5.7 1

-46 o

مثال-رسم دیاگرام های بود .کٌیذ سسن سا صیش تبذیل تابغ بَد دیاگشام :هثال

:حل صیش صَست بِ تابغ باصًَیسی

اًتقال تابغ ایي دس هَجَد فاکتَسّای

:گَضِ ّای فشکاًس

2

10( 3)( )

( 2)( 2)

sG s

s s s s

1 3c 2 2c 2

0.3536

n

1 2 3 4

5

مثال

قوانین رسم دیاگرام بود بصورت سریع ُاًذاص:

:دس هؼادلِ صیش kبا قشاس دادى . هطخص هیکٌذ db ًقطِ ضشٍع هٌحٌی اًذاصُ سا بش سٍی هحَس kػذد ثابت یا

. ω =100هثال دس بیطتش هَاسد . دس هؼادلِ باالی ًقطِ ضشٍع هحَس اهگا یا فشکاًس ضوا است ωکِ

.ًذاضتین هٌحٌی اص صفش ضشٍع هیطَد k پس اگش : ًکتِ ضیب 20db/decًکتِ ای کِ ّست، ّش صفش بِ اًذاصُ . حاال کِ ًقطِ ضشٍع هطخص ضذ، سشاؽ تاثیش صفشّا ٍ قطب ّا هیشٍین

.هٌحٌی اًذاصُ سا افضایص ٍ ّش قطب بِ ّواى اًذاصُ کاّص هیذّذ

یؼٌی هٌحٌی با ضیب ضشٍع خَاّذ )خَدضاى سا ًطاى هیذٌّذ Bodeاگش صفش ٍ قطب دس هبذا باضٌذ، دس ّواى ابتذای ًوَداس ، دس غیش ایي صَست هٌحٌی تا سسیذى بِ هقذاس فشکاًس گَضِ صَست یا هخشج بذٍى تغییش اداهِ پیذا هی کٌذ ٍ بِ هحض (ضذ

!سسیذى بِ هقذاس هَسد ًظش ضیب هٌحٌی کن یا صیاد هی ضَد

:ًکتِ ّای هشبَط بِ هٌحٌی اًذاصُ ، هٌحٌی ۲قطب ٍ صفش ّای هکشس، بستِ بِ دسجِ تکشاس، ضیب هٌحٌی سا تغییش هی دٌّذ؛ هثال یک قطب هکشس با دسجِ تکشاس -

…ٍ بِ ّویي تشتیب ( هی ضَد ۴۰یؼٌی ضیب خط بشابش )پاییي هیکطذ db/dec 40اًذاصُ سا .ًْایی هٌحٌی اًذاصُ بذست هی آیذ ،ضیب با کن کشدى دسجِ صَست ٍ هخشج اص ّن - .صفش یا قطب سوت ساست ّیچ تاثیشی دس ًوَداس اًذاصُ ًذاسد -

20 log( )k

قوانین رسم دیاگرام بود بصورت سریع فاص: 45 صفشّا ضیب هٌحٌی فاص ساdb/decافضایص ٍ قطب ّا ّن بِ ّویي اًذاصُ کاّص هی دٌّذ. دسجِ ضشٍع 90+اگِ صفش دس هبذا داضتین هٌحٌی اص . ًقطِ ضشٍع هٌحٌی فاص بستگی بِ ایي داسد کِ صفش یا قطبی دس هبذا داضتِ باضین یا خیش

هاًٌذ قبل دسجِ تکشاس سیطِ ّای هکشس ، ضشیب صٍایای دادُ ضذُ . دسجِ هٌجش هی ضَد90-خَاّذ ضذ ٍ قطب دس هبذا ضشٍع هٌحٌی سا اص هٌحٌی اص ًقطِ ضشٍع اداهِ پیذا هی کٌذ : حاال دقت کٌیذ . دس صَست ًذاضتي هقذاسی دس هبذا ، هٌحٌی فاص اص صفش ضشٍع هی ضَد . خَاّذ ضذ

دس ایي ًقطِ بستِ بِ ایي کِ فشکاًس گَضِ ای هشبَط بِ صفش باضذ یا قطب ٍ یا دسجِ . تا بِ یک دّن هقذاس اٍلیي فشکاًس گَضِ ای بشسذدٍباسُ خط سا با ضیب جذیذ اداهِ هی دّین تا هقذاس یک دّن فشکاًس گَضِ ای صفش یا قطب . تکشاسش چقذس باضذ، ضیب خط تغییش هیکٌذ

.بؼذ اص ػبَس اص دُ بشابش هقذاس ّش صفش یا قطب بایذ تاثیش آى صفش یا قطب سا اص هٌحٌی حزف کٌین. بؼذی ضیب خط پاییي 45db/decبِ اًذاصُ ( یک دّن هقذاس اصلی)سسیذ ω=1، ٍقتی هٌحٌی فاص بِ هقذاس 10هثال، با داضتي یک قطب داسین دس

تایی کِ بِ هٌحٌی اضافِ کشدُ بَد سا 45کِ سسیذین تاثیش ایي قطب اص بیي هیشٍد ٍ بایذ ( دُ بشابش هقذاس اصلی) ω=100هی کطذ، بِ هقذاس بِ طَس کلی ّش باس کِ بِ یک دّن هقذاس فشکاًس گَضِ ای ّش صفش یا قطب سسیذین تغییش فاص خَاّین داضت ٍ ایي تغییش فاص پس اص . بشداسین

دس ًتیجِ هی تَاى فْویذ کِ هٌحٌی فاص دس پایاى یک . ػبَس هٌحٌی اص دُ بشابش هقذاس ّواى فشکاًس گَضِ ای صفش یا قطب اص بیي خَاّذ سفت .خط صاف ٍ بذٍى ضیب خَاّذ بَد

ًکتِ ّای سسن هٌحٌی فاص: .تاثیشی بش ًوَداس فاص ًذاسد kهقذاس -صفش سوت ساست دس سسن هٌحٌی فاص ّواًٌذ قطب سوت چپ ٍ قطب سوت ساست ّواًٌذ صفش سوت چپ ، ضیب هٌحٌی سا تغییش خَاٌّذ -

.داد ٍ دس صَست ٍجَد ّش دٍ 180- ٍ دس صَست ٍجَد قطب سوت ساست اص 180+ ًقطِ ضشٍع هٌحٌی فاص دس صَست ٍجَد صفش سوت ساست اص -

.دسجِ اضافِ هی کٌٌذ 90ضوي ایٌکِ صفش ٍ قطب دس هبذا بِ هقادیش اٍلیِ رکش ضذُ ، بِ اصای ّش یک دسجِ تکشاس ، . خَاّذ بَد 0اص .