1

2

پایداری و بین پیش کنترل

89123012شکوفه جعفری

سمینار درس کنترل پیش بین

استاد درس : آقای دکتر توحید خواه

3

فهرست

معرفی کلی1(

کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت2(

شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی 3(

نهایت

نتایج اولیه4(

پایداری مجانبی5(

مثال حل شده6(

بحث های دیگر7(

4

- معرفی1

.پایداری حلقه بسته ی یک سیستم امری حیاتی برای ادامه ی کار آن سیستم می باشد

حتی در حالتی که الگوریتم بهینه سازی برای مسئله یک پاسخ بهینه پیدا کند، این امر

پایداری حلقه بسته سیستم را تضمین نخواهد کرد )حتی اگر مدل مورد استفاده بسیار

دقیق باشد(.

مثال های متعددی نشان می دهند که الگوریتم های کنترل پیش بین می توانند ناپایدار

شوند.

تکنیک ها برای تضمین پایداری سیستم کنترل شده بر اساس پیش بینی مدل :استفادهاز جریمه های نهاییTerminal Penalty)) قیود( Constraints) توابع لیاپانوف( Lyapunov functions)مجموعه های نامتغیر ( Invariant sets)

5

پیشنهادات اصلی دربرخورد با مشکل پایداریMPC :

افق بی نهایت (Keerthi and Gilbert: )

افزایش افق های پیش بینی و کنترل تا بی نهایت در هر زمان نمونه برداری : غیر متغیرهای تصمیم گیری بودنبی نهایتبه علت

قابل اعمال به صورت مستقیم

قیود نهایی (Keerthi and Gilbert : )

پایداری با اضافه کردن یک قید روی حالت نهایی به فرم •

تضمین می شود. با این قید در پایان افق محدود حالت صفر خواهد شد و در نتیجه ورودی کنترلی •

)اگر اغتشاش وجود نداشته باشد( سیستم در مبدا ونیز صفر خواهد بودمی ماند.

هزینه ی محاسباتی اضافه می کند و باعث افزایش محدودیت ناحیه ی عملکرد •

می گردد.

.استعملی آن مشکل اجرای •

کنترل دوگانه (Michalska and Mayne: )در این ایده یک ناحیه حول حالت نهایی تعریف می شود که سیستم می تواند با •

استفاده از یک کنترل کننده ی فیدبک حالت خطی حالت نهایی را داخل این ناحیه و به مبدا برساند.هدایت کند

افق شبه بی نهایت (Chen and Allg¨ower)

( ) sx k P x

6

هدف : ارائه ی یک کنترل پیش بین غیر خطی با پایداری مجانبی تضمین شده

.این روش می تواند هم به سیستم های پایدار و هم ناپایدار اعمال شود

مسئله یMPC حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه در حلت کلی :

باز با افق محدود و براساس دینامیک سیستم )خطی یا غیر خطی( و قیودی که

شامل حالت ها و ورودی ها هستند.

این فرم کلیMPC.پایداری حلقه بسته را به خودی خود تضمین نمی کند

پایداری حلقه بسته می تواند با انتخاب مناسب پارامتر های طراحی، مانند افق

پیش بینی، افق کنترل و ماتریس های وزنی حاصل گردد.

- کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه 2بی نهایت

7

: آنچه در این جا ارائه می شود

معرفی یکMPC غیر خطی با افق شبه بی نهایت

: شامل یک هزینه با افق محدود و یک هزینه ی نهایی تابعی هدفدینامیک سیستم، قیود روی ورودی و یک قید ناساوی برای حالت نهاییقیود :

حالت ها در پایان افق محدود در یک ناحیه امکان پذیری قید حالت نهایی یعنی :نهایی از پیش مشخص شده ای قرار می گیرند.

حالت های نهایی چنان جریمه می شوند که هزینه ی نهایی، هزینه ی افق نامحدودسیستم غیر خطی کنترل شده با یک فیدبک حالت خطی محلی مفروض را محدود

می کند.

کنترل کننده ی پیش بین غیر خطی پیشنهاد شده یک افق پیش بینی شبه بی

نهایت دارد! اما دنباله ی ورودی کنترلی که قرار است محاسبه شود طبیعت

محدود دارد.

8

،اگر ژاکوبین خطی ساز سیستم غیر خطی ای که قرار است کنترل شود پایدار پذیر باشد

ان گاه پاسخ یکتا و مثبت معین متقارن یک معادله ی لیاپانوف مناسب می تواند به عنوان

ماتریس جریمه ی نهایی در هزینه ی نهایی استفاده شود.

و یک همسایگی از مبدا می تواند به عنوان ناحیه ی نهایی به صورت خارج از خط محاسبهگردد.

: با امکان پذیری مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز در زمان پایداری مجانبی حلقه بستهt=0.تضمین می شود

به صورت معمول درMPC کنترل حلقه بسته با حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه در هر ،

زمان نمونه برداری و بدون توجه به این که حالت ها داخل یا خارج از ناحیه ی نهایی قرار

دارند محاسبه می شود.

هیچ سوئیچی بین کنترل کننده ها الزم نیست.

ماتریس جریمه ی نهایی و خارج از خط فیدبک حالت خطی محلی تنها برای محاسبه ی

ناحیه ی نهایی استفاده می شود.

به همین علت روشی که در این جا ارائه می شود در مقایسه با سایر روش ها کلی تر بوده

و از لحاظ محاسباتی بسیار جالب است.

9

- شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه 3بی نهایت

: معرفی سیستم هایی که قرار با این روش کنترل شوند

: فرض های کلی

فرض فرض محدود کننده ای نیست. زیرا اگر منتقل نمود. می توان مبدا سیستم را به

فرض دیگر : قابل اندازه گیری بودن همه ی حالت های سیستم )چون درطراحی فیدبک حالت نیاز داریم.(

0( ) ( ( ), ( )), x(0)=x (1)x t f x t u t

( ) nx t R بردار حالت :

( ) mu t R بردار ورودی :

( ) , 0u t U t قیود روی ورودی :

: n m nf R R R ( A1). دو بار مشتق پذیر پیوسته بود و یک نقطه ی تعادل سیستم با است.

(0,0) 0f 0 nR0u

(A2) یک مجموعه ی محدب و فشرده است و یک است.Uنقطه ی داخلی از

mU R0 mR

(A3)( برای هر شرایط اولیه ی و 1 سیستم ) که قطعه ای پیوسته و از راست پیوسته باشد یک پاسخ یکتا دارد.

0nx R(.) :[0, )u U

(0,0) 0f ( , ) 0s sf x u ( , )s sx u

10

: نماد گذاری

2

max min

: 2

weighted norm : :

ermitian, Positive Definite Matrix :

2-norm:

Internal Variable in Controller : ( , )

largest & smallest real part of the eigenvalues of A : ( ) &

n

T

P P

x R x norm

x x x Px

H P

Induced A

x u

A

( )A

11

مسئله ی بهینه سازی کنترل حلقه باز در زمانt و با حالت اولیه ی x)t(:

.مسیر سیستم که توسط به دست می آید : .برای سادگی افق کنترل و پیش بینی یکسان در نظر گرفته می شوند مقدار اولیه در پیش بینی آینده : حاالت واقعی سیستم در زمان واقعیt یعنی x)t( قید ناساوی آخر حالت ها را در پایان افق پیش بینی ، مجبور می کند که در یک

همسایگی از مبدا )ناحیه ی نهایی( قرار گیرند.

22 2

(.)min ( ( ), ( )) ( ( ; ( ), ) ( ) ) ( ; ( ), ) (2)

pt T

pQ R Put

J x t u t x x t t u d x t T x t t

Subj. to ( , ), ( ; ( ), ) x(t)x f x u x t x t t

( ) , [t,t+T ]Pu U

( ; ( ), )Px t T x t t

Q&P :Positive Definite Symmetric Weighted MatrixTp : Finite Prediction Horizon

Ω : Terminal Region

(.; ( ), )x x t t(.) :[ , ]Pu t t T U

افق استاندارد ی هزینهعملکرد برای محدود

مطلوب کنترلی

برای نهایی ی هزینهدر ها حالت جریمه

محدود افق پایان

12

Ω به گونه ای انتخاب می شود که برای سیستم غیرخطی کنترل شده توسط یک

فیدبک حالت خطی محلی، نامتغیر باشد.

هزینه ی افق نامحدود سیستم غیرخطی که از ، Ω آغاز

می شود و توسط فیدبک حالت خطی محلی کنترل می شود را محدود می کند،

یعنی :

.و نشان داده می شود که پایداری حلقه بسته به این صورت تضمین می شود

ماتریس جریمه ی نهاییP همراه با ناحیه ی نهایی Ω به خارج از خط به صورت

Ω حفظ شده و قیود ورودی در Ωگونه ای تعیین می شود که ویژگی نامتغیر بودن

برآورده شوند.

2( ; ( ), )P Px t T x t t

2 2 2( ; ( ), ) ( ( ; ( ), ) ( ) )

, ( ; ( ), )P

P P Q Rt T

P

x t T x t t x x t t u d

u Kx x t T x t t

13

: هزینه ی افق نامحدود

: با جایگذاری داریم

بنابراین افق پیش بینی کنترل کننده ی پیش بین پیشنهاد شده به شبه بی نهایتگسترش داده می شود.

: )پاسخ بهینه برای مسئله ی بهینه سازی )در صورت وجود پاسخ

: مقدار هدف متناظر

2 2( ( ), ( )) : ( ( ; ( ), ) ( ) )

Q Rt

J x t u t x x t t u d

( ) ( ; ( ), ), Pu Kx x t t t T

( ( ), (.)) ( ( ), (.))J x t u J x t u

*(.; ( ), , ) :[ , ]PPu x t t t T t t T U

* *( ( ), , ) : ( ( ), )PJ x t t t T J x t u

14

در چهارچوبMPC: کنترل حلقه باز می تواند در دوگام در نظر گرفته شود

.I روی یک افق محدود، یک دنباله ی ورودی بهینه با حل مسئله ی کنترل بهینه ی

حلقه باز به دست می آید که مدل سیستم غیرخطی را به ناحیه ی نهایی می

برد.

.II یک کنترل فیدبک خطی محلی به گونه ای در نظر گرفته می شود که سیستم

را به مبدا هدایت می کند.

: فیدبک حالت خطی هیچ گاه مستقیما به سیستم اعمال نمی شود بلکه نکته

دنباله ورودی حاصل از کنترل پیش بین اعمال می گردد.

، Ω و ناحیه ی نهایی P این فیدبک حالت تنها برای تعیین ماتریس جریمه ی نهایی

به صورت خارج از خط استفاده می شود.

با شرطδ<Tp: زمان نمونه برداری( کنترل حلقه بسته عبارت است از(

* *( ) : ( ; ( ), , ), [ , ]Pu u x t t t T t t

15

- نتایج اولیه4

: بیان نتایج اولیه در مورد ناحیه ی جذب و یک کران روی سیستم هدف

غیرخطی کنترل شده توسط فیدبک حالت خطی محلی برای تعیین ناحیه ی

نهایی و ماتریس جریمه ی نهایی و اثبات پایداری مجانبی حلقه بسته

( در مبدا :1)ژاکوبین خطی ساز سیستم

اگر این ژاکوبین خطی ساز پایدار پذیر باشد آن گاه یک فیدبک حالت خطی

می تواند به گونه ای در نظر گرفته شود که پایدار

مجانبی باشد.

x Ax Bu : ( / )(0,0)A f x : ( / )(0,0)B f u

u Kx

:KA A BK

16

( در مبدا پایدار پذیر باشد. آن گاه :1)فرض کنید ژاکوبین خطی ساز سیستم - 1لم

)a معادله ی لیاپانوف ، یک پاسخ مثبت معین

به دست می دهد به طوریکه مثبت معین و Pمتقارن یکتا

متقارن است و شرط زیر را برآورده می کند :

)b یک ثابت چنان وجود دارد که یک همسایگی از مبدا را به فرم زیر

مشخص می کند:

به طوریکه :

.i برای همه ی داریم )یعنی کنترل کننده ی فیدبک خطی قیود

ورودی را در برآورده می کند(.

.ii( که با فیدبک حالت خطی محلی 1 برای سیستم غیر خطی )

کنترل می شود نامتغیر است.

.iii: برای هر هزینه ی افق بی نهایت

( که از آغاز می شود و با فیدبک حالت 1 بر اساس سیستم غیر خطی )

خطی محلی کنترل می شود از باال به صورت زیر کران دار است :

*( ) ( )TK KA I P P A I Q

* T n nQ Q K RK R [0, )

max ( )A

(0, )

: { | }n Tx R x Px

x Kx U

u Kx

1x 1

2 2

1( , ) ( ( ) ( ) )Q R

t

J x u x t u t dt

1x u Kx

1 1 1( , ) TJ x u x Px

17

: اثباتKA مجانبی پایدار

است.max[0, ( )] : (A ) 0k KA I

* 0 &

(A ) 0K

Q

I

*( ) ( )TK KA I P P A I Q

و متقارن یکتا. P.Dپاسخدارد.

a برقرار است.

0 mR نقطه ی داخلیU است.

10 : [0, )P

به طوریکه ناحیه ای به فرم را به گونه ای تعیین می کند که

1 1: { | }n Tx R x Px 1

:x Kx U

مقادیر کنترل فیدبک خطی قیود ورودی را در برآورده می کند.

1

قرار می دهیم و ناحیه ی را تعریف می کنیم:

1(0, ) : { | }n Tx R x Px

1 می برآورده در ورودی قیودشوند.

i برقرار است.

نظر در قید بدون در تواند می سیستم. شود گرفته

با مشتق گیری از حول مسیر داریم :

Tx Px( , )x f x Kx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ( ))

( ) : ( , )

T T T TK K

K

dx t Px t x t A P PA x t x t P x t

dtx f x Kx A x

18

داریم :

( 1)چون نامساوی آخر بیان می کند که برای سیستم کنترل شده با فیدبک حالت محلی نامتغیر است.

و هر مسیر از که در آغاز می شود در باقی مانده و به مبدا همگرا می شود.

2 2

min

.( ) . ( ) . .

( )

: sup{ ( ) / | , 0}

T T

P

P Lx P x x P x P L x x

P

L x x x x

را چنان انتخاب می کنیم که در داشته باشیم :

1(0, )

min. ( )PL

P

( )T Tx P x x Px

( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( )T T TK K

dx t Px t x t A I P P A I x t

dt

*( ) ( ) ( ) ( )T Tdx t Px t x t Q x t

dt

*0, 0P Q u Kx

( , )x f x Kx

1

1 1

1 1 1

: ( ) ( ) ( , )

( , )

T

t

T

dx x t Px t J x u

dt

J x u x Px

19

همان چیزیست که به دنبالش بودیم!1در واقع نتایج موجود در لم

: با قرار دادن داریم

پاسخP از معادله ی و ناحیه ی

می تواند به عنوان ماتریس جریمه ی نهایی و ناحیه

نهایی به کار گرفته شوند.

1 ( ; ( ), )Px x t T x t t

1 1 1( , ) TJ x u x Px

2 2 2( ; ( ), ) ( ( ; ( ), ) ( ) )

, ( ; ( ), )P

P P Q Rt T

P

x t T x t t x x t t u d

u Kx x t T x t t

*( ) ( )TK KA I P P A I Q : { | }n Tx R x Px

20

اکنون می توان یک روند برای تعیینP و )بزرگترین مقدار ممکن

برای ( به صورت خارج از خط ارائه داد :

( مسئله ی کنترل را بر اساس ژاکوبین خطی ساز برای به دست آوردن 1گام

حل می کنیم.Kبهره ی فیدبک حالت خطی پایدار ساز

( ثابت را به گونه ای انتخاب می کنیم که نامعادله ی 2گام

برآورده شود و سپس معادله ی لیاپانوف

حل P را برای به دست آوردن ماتریس متقارن و مثبت معین

می کنیم.

( برزگترین مقدار ممکن برای را به گونه ای می یابیم که برای همه ی 3گام

داشته باشیم :

( – بزرگترین مقدار را به گونه ای می یابیم که نامساوی زیر 4گام

در برقرار باشد :

[0, ) max ( )A

*( ) ( )TK KA I P P A I Q

11x

Kx U

1(0, ]

min. ( )PL

P

21

: نکات

بر آوردن نامعادله برای یک ناحیه ی نهایی به 4در گام

اندازه ی کافی بزرگ ساده نیست . به علت مقدار کوچک برای

یک سیستم این نامعادله تنها برای ناحیه ی نهایی کوچکی بر آورده گردد. از این

رو برای دست یافتن به ناحیه ی نهایی با محافظه کاری کمتر می توان از رویکرد

دیگری استفاده نمود.

ادامه می دهیم. سپس تکراری از مسئله ی بهینه 3 در ابتدا روند فوق را تا گام

سازی ساده ی زیر را برای انتخاب با کاهش از تا زمانی که مقدار

بهینه ی مسئله ی بهینه سازی زیر نامثبت گردد انجام می دهیم:

اگر مقدار مناسب از این روش پیدا شود ناحیه ی به فرم

را مشخص می کند که می تواند به عنوان ناحیه ی نهایی در

نظر گرفته شود.

min. ( )PL

P

min ( ) /P P

1

max{ ( ) . | }T T T

xx P x x Px x Px

: { | }n Tx R x Px

22

.روند فوق ناحیه ی نهایی یکتایی برای یک سیستم غیر خطی به دست نمی دهد

برای کاهش بار محاسبات رو خط می خواهیم بزرگترین مقدار ناحیه ی ممکن را بیابیم که

Kکار ساده ای نیست. برای این کار در ابتدا باید بهره ی فیدبک پایدار ساز خطی مناسب

انتخاب کنیم که از روش های کنترل خطی بسیاری می توان استفاده نمود، اما به علت

( می تواند انتخاب مناسبی باشد. LQR تکنیک کنترل بهینه ی خطی )MPC»بهینه« بودن

، انتخاب مناسب برای نیاز است که K مورد دوم اینکه برای یک بهره ی داده شده ی

بعدا بحث خواهد شد.

مهم تر از همه اینکه اندازه ی ناحیه ی نهایی بستگی کلی به میزان غیر خطی بودن

سیستم تحت کنترل دارد. هر چه یک سیستم غیر خطی تر باشد ناحیه ی نهایی کوچک تر

خواهد بود. برای یک سیستم خطی و یا غیر خطی ساده اندازه ی ناحیه ی نهایی تنها با قیود

ورودی محدود می شود.

اگر هیچ کنترل کننده ی فیدبک خطی پیدا نشود که بتواند سیستم را به صورت محلی پایدار

مجانبی کند، به مبدا محدود می شود. آن گاه قید نامساوی نهایی به

(.)1990( , Rawlings & Muske )1993(Mayne & Michalskaکاهش می یابد)روش

( ) 0Px t T

23

: اگر سیستم تحت کنترل خطی باشد داریم

پس کنترل پیش بین دقیقا یک افق پیش بینی بی نهایت دارد اما دنباله ی ورودی

به صورت روی خط در افق محدود محاسبه می شود.

1 1 1

2 2 2 2 2

: ( ) 0 & 0 0 ( , )

( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )P

n T

t T

PQ R P Q Rt t

x R x L J x u x Px

x u d x t T x u d

24

- پایداری مجانبی 5

: در این بخش ویژگی پایداری سیستم حلقه بسته زیر مورد بحث قرار می گیرد

که برای آن داریم :

نقطه ی تعادل ( 1تعریفx=0( پایدار است اگر 3 از معادله ی )

( پایدار مجانبی است اگر پایدار بوده 3نقطه ی تعادل از معادله ی )( 2تعریف

به گونه ای بتواند انتخاب شود که نتیجه بدهد ηو

.

*( ) ( ( ), ( )) (3) x t f x t u t

* *( ) : ( ; ( ), , ), [ , ]Pu u x t t t T t t کنترل حلقه :بسته *(.; ( ), , ) :[ , ]

PPu x t t t T t t T U پاسخ مسئله ی :بهینه سازی

0 : ( ) 0 | (0) ( ) ( ) for t 0x x t

(0)x ( ) 0 as tx t

25

: نماد

: نشان دهنده ی مسیر پیش بینی شده از سیستم غیر

آغاز شده و توسط کنترل حلقه باز )x)tخطی که از حالت واقعی

انجام می شود.tهدایت می شود در زمانی که پیش بینی در زمان واقعی

امکان پذیری مسئله ی بهینه سازی به علت تکرار مسئله ی بهینه سازی داده شده مسئله باید در زمان های

ممکن باشد.

امکان پذیری مسئله ی بهینه سازی : حداقل یک پاسخ )نه لزوما بهینه( برای

دنباله ی ورودی چنان وجود دارد که تضمین می کند مسیر معادله ی

قید نامساوی نهایی را بر آورده می کند

همچنین مقدار تابعی هدف کراندار می شود.

در ادامه لمی روی امکان پذیری مسئله ی بهینه سازی در هر زمان ارائه

می شود.

(.; ( ), )x x t t

(.)u

0t

( , )x f x u( ; ( ), )Px t T x t t

( ( ), ( ))J x t u t

26

برای سیستم نامی که حالت های آن کامال قابل اندازه گیری باشند و هیچ - 2لم

نامعینی در آن وجود نداشته باشد، برای یک زمان نمونه برداری به اندازه کافی

( در زمان 2)کوچک ، امکان پذیری مسئله ی بهینه سازی حلقه باز

t=0 امکان پذیری آن برای همه ی ، t>0.را نتیجه می دهد

:بیان می کند که افق پیش بینی 2لم نکته Tp پارامتر تنظیم( باید به گونه ای(

امکان پذیر باشد.t=0(در زمان 2انتخاب شود که مسئله ی بهینه سازی )

پایداری مجانبی

: در ابتدا نشان می دهیم که مقدار بهینه ی تابع هزینه غیر افزایشی است

فرض کنید که مسئله ی بهینه سازی در زمان - 3لمt=0 ممکن باشد. آن گاه

برای سیستم نامی بدون اختالل، برای هر و مقدار

بهینه ی تابع هزینه شرط زیر را برآورده می کند :

0

0t ( , ]t t

22* * *( ( ), , ) ( ( ), , ) ( ( ) ( ) )P P Q Rt

J x T J x t t t T x s u s ds

27

بیان می کند که مقدار بهینه ی تابع هزینه 3چون ، لم

غیرافزایشی است. اکنون می توان نتایج پایداری مجانبی سیستم حلقه بسته ی

را بیان کرد :

فرض کنید که : 1قضیه -

)a مفروضات(A1(-)A3.بر آورده می شوند )

)b( پایدار پذیر است.1ژاکوبین خطی ساز سیستم غیر خطی )

)c( در زمان 2مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز)t=0.امکان پذیر است

آن گاه برای یک زمان نمونه برداری به اندازه کافی کوچک و در

غیاب اغتشاش سیستم حلقه بسته با کنترل کننده ی پیش بین

به صورت نامی پایدار مجانبی است.

اگر نشان دهنده ی مجموعه ی همه ی حالت های اولیه ای باشد که

ناحیه ی جذبی برای سیستم حلقه بسته X( را بر آورده می کند آن گاه cفرض )

معرفی می نماید.

0, 0Q R *( ) ( ( ), ( ))x t f x t u t

0 * *( ) : ( ; ( ), , )Pu u x t t t T

nX R

28

: نکات

شرط پایداری داده شده تنها یک شرط کافی است و الزم نیست. این واقعیت که

سیستم خطی شده پایدار پذیر نیست نیز بیانگر آن نمی باشد که هیچ کنترل کننده ی

فیدبک خطی وجود ندارد که بتواند سیستم غیر خطی را به صورت محلی پایدار کند.

وقتی این شماتیک کنترلی به سیستم های عملی اعمال می شود بهینه سازی عددی

که اجرا می گردد ممکن است دنباله ی بهینه ی ورودی کلی را در هر گام پیدا نکند.

این می تواند به علت محدودیت های زمانی محاسبات بالدرنگ و یا گیر افتادن

در یک نقطه ی بهینه محلی باشد. در این صورت اگرچه عملکرد بهینه از دست می رود

ولی پایداری باز هم تضمین است. زیرا پایداری به بهینگی پاسخ وابسته نیست و

صرفا به امکان پذیری وابسته می باشد.

اگر سیستم غیر خطی به صورت حلقه باز پایدار مجانبی باشد، قید نامساوی نهایی

می تواند حذف شود بدون اینکه پایداری تحت تاثیر قرار گیرد.غیر خطی

( )Px t T

29

- مثال حل شده 6

: سیستم زیر را در نظر بگیرید

همانطور که مشخص است سیستم فوق ناپایدار است.

سیستم خطی شده ی آن عبارت است از :

این سیستم برای هر پایدار پذیر هست اما کنترل پذیر نیست.

قید روی ورودی :

و ماتریس وزن ها :

فرض :

1 2 1

2 1 2

( (1 ) ),

( 4(1 ) ).

x x u x

x x u x

0 1: ( / )(0,0)

1 0A f x

: ( / )(0,0)B f u

1

2

0 1

1 0

xx Ax Bu u

x

(0,1)

{ | 2.0 2.0}u U u R u

0.5 0.0, 1.0

0.0 0.5Q R

0.5

30

فرض های(A1-A3: را چک می کنیم )

روند گفته شده را Ω و ناحیه ی نهایی P برای یافتن ماتریس جریمه ی نهایی طی می کنیم :

مسئله ی کنترل را بر اساس ژاکوبین خطی ساز برای به دست آوردن 1گام ) حل می کنیم.Kبهره ی فیدبک حالت خطی پایدار ساز

1 2 1

2 1 2

(0.5 0.5 ),

(0.5 2 ).

x x u x

x x u x

: n m nf R R R ( A1). دو بار مشتق پذیر پیوسته بود و یک نقطه ی تعادل سیستم با است.

(0,0) 0f 0 nR0u

(A2) یک مجموعه ی محدب و فشرده است و یک نقطه ی داخلی از

U.است

mU R0 mR

(A3)( برای هر شرایط اولیه ی و 1 سیستم ) که قطعه ای

پیوسته و از راست پیوسته باشد یک پاسخ یکتا دارد.

0nx R(.) :[0, )u U

برقرار

برقرار

برقرار

31

در ابتدا مقدمه ای در موردLQR:

برای سیستم خطی پیوسته زمان با تابع هزینه ی

، قانون کنترل فیدبک که مقدار تابع هزینه ی فوق را کمینه

می کند به صورت است که در ان

از حل معادله ی ریکاتی زیر به دست می اید :P بوده و

: حال با حل معادله ی ریکاتی فوق برای مثال ارائه شده خواهیم داشت

ثابت را به گونه ای انتخاب می کنیم که نامعادله ی 2گام )

برآورده شود و سپس معادله ی لیاپانوف

حل می کنیم. :P را برای به دست آوردن ماتریس متقارن و مثبت معین

x Ax Bu 0

( )T TJ x Qx u Ru dt

u Kx

1 TK R B P1 0T TA P PA PBR B P Q

2.2430 1.9930

1.9930 2.2430

2.118 2.118

P

K

max

1.059 0.059 1.118( )

0.059 1.059 1.0

( ) 1.0 0.95

k k

K

A A BK A

A

[0, ) max ( )A

*( ) ( )TK KA I P P A I Q

32

برزگترین مقدار ممکن برای را به گونه ای می یابیم که برای همه ی 3گام ) داشته باشیم :

داریم :

را به گونه ای می یابیم که نامساوی زیر ( – بزرگترین مقدار4گام در برقرار باشد :

خواهیم داشت 4 چون مقدار کوچکی است در گام که مقدار کوچکی است.

از این رو برای یافتن ناحیه ی نهایی بزرگتر از روش اصالحی گفته شده استفاده می کنیم. در این صورت خواهیم داشت :

* 16.5926 11.5926( ) ( )

11.5926 16.5926T

K KA I P P A I Q P

11x

Kx U

1 1: { | }n Tx R x Px

1 12.5

1(0, ] min. ( )P

LP

min ( )0.1774

P

P

0.025

: { | 0.7}n Tx R x Px

33

حال با انتخاب زمان نمونه برداری و افق پیش بینی در واحد زمان به صورت خواهیم داشت :

خطوط پر : مسیر های حلقه بستهخطوط خط چین : مرز ناحیه ی نهایی محاسبه شده

خط چین – نقطه : مسیر پیش بینی شده با حل مسئله ی بهسنه سازی t=0در

0.5, 1.5PT

34

ها حالت و ورودی پروفایل

35

- بحث های دیگر7

بحثی روی بار محاسباتی:

یکی از مزایای این روش با توجه مثال های پیاده سازی شده آن است که بار

که در آن ها MPCمحاسباتی آن نسبت به سایر روش های طراحی کنترل کننده ی

پایداری حلقه بسته نیز تضمین می گردد کمتر است!

بحثی روی ناحیه ی نهایی

اگر غیر ممکن نباشد، بسیار دشوار است که بزرگترین ناحیه ی نهایی را برای یک

سیستم غیر خطی به دست آوریم.

، از روی معادله ی لیاپانوفP با

افزایش پیدا می کند و این افزایش با نزدیک شدن به بسیار

سریع می شود.

یک P بزرگ جریمه ی سنگینی برای حالت ها در پایان افق محدود درنظر می گیرد

اما ناحیه ی نهایی بزرگی را به طور اتوماتیک به دست نمی دهد.

max ( )KA

*( ) ( )TK KA I P P A I Q

36

به نظر می رسد یک ثابت نزدیک به قدر مطلق بزرگترین مقدار ویژه ی

متناظر با بزرگترین ناحیه ی نهایی ممکن است.

اگر چه با این مقدارP نیز بزرگ می شود. از روی ساختار تابع هزینه

می توان گفت جریمه ی بزرگ روی حالت نهایی می تواند تاثیر مخرب روی

عملکرد کنترلی حاصل داشته باشد.

بنابراین یکtrade-off بین ناحیه ی نهایی بزرگ و عملکرد کنترلی مطلوب

وجود دارد.

ضعف های روش

در روش ارائه شده امکان عدم تطابق مدل و سیستم در نظر گرفته نشده

است یعنی هیچ اغتشاشی روی سیستم وجود ندارد.

.فرض شده است که همه ی حالت ها قابل اندازه گیری هستند

.شرایط داده شده برای پایداری تنها شرایط کافی بودند و نه الزم

KA

37

مراجع

Rolf Findeisen, Frank Allgöwer, and L.T. Biegler, Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control. 2007.

Allgower, H.C.a.F., A Quasi-Infinite Horizon Nonlinear Model Predictive Control Scheme with Guaranteed Stability. Automatica, 1998. 34)No. 10(: p. 1205-1217.

Fontes, F.A.C.C., AGeneral Framework to Design Stabilizing NonlinearModel Predictive Controllers. Systems & Control Letters, 2000.

38

THANKS FOR YOUR ATTENTION