درس کنترل ديجيتال

1389مهر

بسم ا... الرحمن الرحيم

دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده

تبديل عکسz

روشهای عکس zتبديل

- روش تقس�يم 1روش 2مستقيم -

گس���ترش 3محاسبه ای روش -انتگ����رال 4کسرهای جزيی روش -معکوس سازی

تذکرمجدد :تب�ديل آوردن عکس در بدس�ت Z ف�رض می ،

ص�فر k<0 ب�رای x(kT) ي�ا x(k)ک�نيم ک�ه دنبال�ه زم�انی است

مستقيم- 1 تقسيم روش

عکس تب'ديلZ ب'ا گس'ترش X(z) ب'ه ي'ک س'ری ت'وانیبی پايان از

1z

آوردن بدس'ت ک'ه اس'ت س'ودمند زم'انی روش اين دش'وار باش'د ي'ا تنه'ا zص'ورت بس'ته ب'رای عکس تب'ديل

مورد نظر باشد.x(k)چند جمله اول اين روش از تعري'ف تب'ديلz .حاص'ل می ش'ود

يعنی :

0

)()(k

kzkTxzX

...)(...)2()()0( 21 kzkTxzTxzTxx

: تبديل مثال برای zعکس را زير k=0,1,2,3,4تابعنماييد محاسبه

)2.0)(1(

510)(

zz

zzX

حل :

21

21

2.02.11

510)(

zz

zzzX

مخرج بر صورت تقسيم ازداريم :

تبديل مثال : نماييد zعکس محاسبه را زير تابع

321 4321)( zzzzX

...)(...)2()()0()( 21 kzkTxzTxzTxxzX

تبديل حل : تعريف با فوق رابطه مقايسه zباداريم :

0)0( x2)1( x3)2( x4)3( x

تمام .x(k)مقادير است صفر ديگر های

روش- 2محاسباتی

روش گسترش کسر -3جزئی

اول :(z=0) دارای يک صفر در مبدا باشد X(z)اگر :حالت

را ب�ه ص�ورت مجم�وع جمالت مرتب�ه اول X(z)/zدر اين ح�الت و دوم س�اده گس�ترش می دهيم. س�پس ب�رای بدس�ت آوردن

از قض�يه انتق�ال اس�تفاده می ک�نيم : X(z) ت�ابع zعکس تب�ديل مثا

ل :1

1

1)(

az

zzX

حل :11

1)()(

azzYzzX

kakyzYZ )()]([1

)()( 1 zYzzX

)1()()]([1 kykxzXZ

pizii

n

n

z

zXz

zzzzz

zX

pa

pa

pa

pa

pa

])(

)[(

)()()()(

)(

3

3

2

2

1

1

1)1( kaky)(kx

0k0

,...3,2,1k

کلی : دارای قطبه�ای س�اده و ح�داقل ي�ک X(z)اگ�ر حالت :(z=0)صفر در مبدا باشد

=0

: مثال

)2.0)(1(

10)(

zz

zzX

2.0

5.12

1

5.12

)2.0)(1(

10)(

zzzzz

zX

2.0

5.12

1

5.12

)2.0)(1(

10)(

zzzzz

zX

)2.01

1

1

1(5.12)(

11

zzzX

1]1

1[

11

zZ k

zZ )2.0(]

2.01

1[

11

])2.0(1[5.12)( kkx ,...2,1,0k

می دانيم :

)1()2(

2)(

2

3

zz

zzzX (مثال : مکرر ( قطبهای

اول جزئی X(z)/z :روش کسرهای صورت رابهدهيم : می گسترش

1

3

2

1

)2(

9

)1()2(

12)(22

2

zzzzz

z

z

zX

1121

1

1

3

21

1

)21(

9)(

zzz

zzX

)2(])21(

[ 121

11

kk

z

zZ k

zZ 2]

21

1[

11

1]

1

1[

11

zZ

می دانيم :

32)2(9 1 kkk

دوم می :روش تقسيم مخرج بر را صورت ابتداکنيم :

0k

,...3,2,1k)(kx

2

)1()2(

815102)(

2

2

zz

zzzX

1

3

2

2

)2(

9)(ˆ

2

zzz

zzX

)1()2(

81510)(ˆ

2

2

zz

zzzX

1

1

1

1

21

1

1

3

21

2

)21(

9)(ˆ

z

z

z

z

z

zzX

1

1

1

1

21

1

1

3

21

2

)21(

92)(

z

z

z

z

z

zzX

بن��ابراين :

00k

,...3,2,1k ]2[1Z

2

0k

,...3,2,1k

]

)21([

21

11

z

zZ

)2( 1kk0

0

1

]

21[

1

11

z

zZ

0

12 k

]

1[

1

11

z

zZ

0k

,...3,2,1k

0k

,...3,2,1k

32)2(9 1 kkk

0k

,...3,2,1k)(kx

2

: سوم می روش تقسيم مخرج بر را صورت ابتداکنيم :

1

3

2

7

)2(

18)(ˆ

2

zzzzX

1

1

1

1

21

1

1

3

21

7

)21(

182)(ˆ

z

z

z

z

z

zzX

]

)21(

1[]

)21([

2111

21

11

zzZ

z

zZ

0k

,...3,2,1k22)1( kk0

)(kx0k

,...3,2,1k3)2(72)1(18 12 kkk0

)(kx,...3,2,1k برای

3)2(7)2(18)2(18)( 122 kkkkkx

3)2(2)2(9 11 kkk

32)2(9 11 kkk

32)2(9 1 kkk

0k

,...3,2,1k)(kx

2

تابع تبديل پالسی و در اين بخش، نخس�ت ت�ابع تب�ديل پالس�ی و دنبال�ه وزنی را دنباله وزنی

در ح�ل zتعري�ف ک�رده، س�پس در م�ورد اينک�ه روش تب�ديل بحث خ�واهيم رود بک�ار می تفاض�لی چگون�ه مع�ادالت اين

سيس�تم زم�ان – گسس�ته تابع تب�ديل پالس�ی و دنبال�ه وزنی: کرد.خطی تغيير ناپذير با زمان زير را درنظر می گيريم :

)(...)1()( 1 nkxakxakx n

)(...)1()( 1 nkuakubkub no

معادل�ه ف�وق Zتب�ديل )()(...)( عبارتست از: 1

1 zXzazXzazX nn

)(...)()( 11 zUzbzUzbzUb n

no

معادل�ه ف�وق را ب�ه ص�ورت زي�ر بازنويس�ی می کنيم :

)()...1( 11 zXzaza n

n

)()...( 11 zUzbzbb n

no

می تعري�ف کنيم :

)(...1

...)(

11

11 zU

zaza

zbzbbzX

nn

nno

nn

nno

zaza

zbzbbzG

...1

...)(

11

11

معادل�ه ف�وق را ب�ه ص�ورت زي�ر بازنويس�ی می کنيم :

دلت���ای تابع کرونر :

0

1 0k

0k)(kTo

1)]([ kTZ o 1)]([)( kTZzU o

)(...1

...)(

11

11 zG

zaza

zbzbbzX

nn

nno

ورودی ب�ه سيس�تم پاس�خ تابع دلتای کرونر :

)]([)( 1 zGZkg

دنبال�������ه وزنی :

معادل'ه تفاض'لی زي'ر را درنظ'ر بگيري'د و ت'ابع تب'ديل پالس'ی را مث'ال: برای اين سيستم محاسبه نماييد.

0)( ku0kتابع تب'ديل پالس'ی را ب'رای اين سيس'تم محاس'به نمايي'د. ب'ا ف'رض اينک'ه

سيستم در ابتدا در حالت استراحت بوده و برای .

)()1()2()()1()2( 2121 kubkubkubkxakxakx o

معادل'ه ف'وق را بدس'ت zتب'ديل حل: می آوريم :

)()]0()([)]1()0()([ 2122 zXazxzzxazxxzzXz

)()]0()([)]1()0()([ 2122 zUbzuzzUbzuuzzUzbo

)()(

)(21

221

2

zUazaz

bzbzbzX o

)()()()( 212

212 zUbzbzbzXazaz o

را ف'وق معادل'ه ب'وده، س'کون ح'الت در سيس'تم آنک'ه ف'رض با بصورت زير ساده می نماييم :

را از معادل�ه اص�لی x(1) و x(0)اکن�ون باي�د ش�رايط اولي�ه 2kمحاسبه نماييم:

)2()1()0()2()1()0( 2121 ubububxaxax o

)0()0( ubx o

1k

)1()0()1()1()0()1( 2121 ubububxaxax o

)0()1()0()1( 11 ububxax o

)()(

)(21

221

2

zUazaz

bzbzbzX o

)()1()( kukaxkx

22

11

22

11

212

212

1)(

)()(

zaza

zbzbb

azaz

bzbzb

zU

zXzG oo

دنباله وزنی سيستم زمان – گسسته زير را به دست آوريد:مثال:

حل:

)()()( 1 zUzXazzX

)(1

1)(

1zU

azzX

11

1

)(

)()(

azzU

zXzG

)]([)( 1 zGZkg

ka

0 0k

,...2,1,0k